3.2 简单几何体的体积

625 过点(800,500),所以可求得方程为 y = x. 2
2
2
800 体积为 V3=π 800 y dx= π 0 0
2
625 xdx 2
625 = π x2 4
800 0
=100000000π .
250000000 ∴V=V1+V2+V3=(325000000+ )π 3 1225000000 = π. 3
2
2 2 R 这个问题是定积分问题 V= π (R -x )dx, R
根据定积分的性质 3 得 V=π
2 2 R R ( R R dx- R x dx)
R R
(R -x )dx=π
2
2
=π (R x
2
R R
1 3 - x 3
R R
2 3 4 3 )=π (2R - R )= π R . 3 3
1 1
1 x = ( +x) 2 2
2
1 1
2 - x 3
3 2 1 0
2 1 =1- = . 3 3
1 2 2 1 (3)V=π [ (x+1)] dx-π 0 ( x ) dx 2
1 1
π 1 3 = × (x+1) 4 3
1 1
x -π · 2
2 1 0
2 π π = π- = . 3 2 6
把半圆分割成许多垂直于 x 轴的小长条,设第 i 个 小长条的宽是Δ xi,这个小长条绕 x 轴旋转一周就 得到一个厚度是Δ xi 的小圆片,当Δ xi 很小时,每个 小圆片近似为底面半径是 R x 的小圆柱,因此,
2 2 i
小圆片的体积近似为 Vi≈π · (R - xi2 )Δ xi,球的体积等于所有小圆片的体积和.
【例 1】 平地有一条水沟,沟 沿是两条长 100 米的平行线段, 沟宽 AB 为 2 米,与沟沿垂直的 平面与沟的交线是一段抛物 线,抛物线的顶点为 O,对称轴与地面垂直,沟深 1.5 米,沟中水深 1 米. (1)求水面宽; (2)如图所示形状的几何体称为柱体.已知柱体的 体积为底面积乘以高,问沟中的水有多少立方米?
解:如图所示,由题意知 V=π y dx=π 4x dx
2 1
2
2 1
2
4 3 =π · x 3
2 1
28π = . 3
解此类题的关键是什么? (一是弄清旋转体形成的两个要素,即被旋转的 平面图形和旋转轴;二是确定被积函数和积分 变量)
变式训练 1 1:证明:底面半径是 r,高是 h 的圆
2 b 2 2 a π 0 2 (a -x )dx a
1 3 b 2 =2π 2 (a x- x ) 3 a
2
a 0
4 2 = π ab . 3
法二:V=π y dx
a a
2
b x x 2 =π (b - 2 )dx=b π (x- 2 ) 3a a
a a
2
2
2
3
a a
1 1 4 2 =b π (a- a+a- a)= π ab . 3 3 3
(2)水的体积 V=2
1 3 =200(x- x ) 2
6 3 0
6 3 0
3 2 (1- x )dx×100 2
400 6 = . 9
400 6 故沟中有水 立方米. 9
x y 【例 2】 求椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)与圆 a b
2
2
x +y =b 所围成的图形绕 x 轴旋转而成的 旋转体的体积.
点击进入课时训练
1 2 锥的体积为 V= π r h 3
证明:如图所示,底面 半径是 r,高是 h 的圆锥 可看成是直角三角形 OAB 绕 x 轴旋转一周形 成的.故其体积为
r 2 r 2 1 3 V=π ( x) dx=π ( ) · x h h 3
h 0
h 0
1 2 = π r h. 3
求由曲边图形旋转而成的旋转 体的体积
4π π =-π + = . 3 3
实际应用题
【例 3】 飞机副油箱中部是圆柱面,尾部是圆 锥面,头部是旋转抛物面(抛物线绕对称轴旋 转一周而成的几何体的表面),尺寸如图所示, 求它的体积.
名师导引:(1)本题切入点是什么? (弄清油箱各部分的几何构成) (2)从哪些方面去思考? (①各部分是怎样的旋转体;②如何确定被积函数和 积分区间;③各个定积分是否容易求值) (3)解题步骤是什么? (建立各部分积分模型→利用定理求各积分→综合 确定所求体积)
2
变式训练 2 1:设抛物线 y=-x +2x,y=x 所围成的图形 为 M,求: (1)将 M 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积; (2)将 M 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解:如图所示,解方程组
2 y x 2x ,得 2 y x
2
2
x1 0, x2 1, y1 0, y2 1.
从而交点为(0,0),(1,1). (1)所求体积为
2 2 2 2 V=π 1 [(-x +2x) -(x ) ]dx 0
4 3 =π [-4x +4x ]dx=π [-x + x ] 3
1 0
3 2 4
1 0
π = . 3
(2)由 y=-x2+2x=-(x-1)2+1(0≤x≤1), 得 x=1- 1 y (0≤y≤1).
微积分的综合应用
【例 4】 已知曲线 y= x .求: (1)曲线过点(-1,0)的切线 l 的方程; (2)曲线、切线及 x 轴所围图形 D 的面积; (3)将 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解:(1)由于点(-1,0)不在曲线 y= x 上,因此可设切 点为 A(x0,y0),由 y′=
1 2 x
,故可设切线 l 的方程为
1来自百度文库y-y0= (x-x0). 2 x0
因为此切线经过点(-1,0),
1 故 0- x0 = 2 x0
(-1-x0),解得 x0=1,y0=1.
从而 A(1,1),故所求的切线方程为 x-2y+1=0. (2)如图所示,其中阴影部分即为所 求的图形 D.
1 x dx S= [ (x+1)]dx- 1 0 2
2 2 1 1 y y 所以其体积为 V=π 0 [( ) -(1) ]dy
=π 1 0 [y-(1-2 1 y +1-y)]dy =2π 1 0 [(y-1)+
1 0
1 y ]dy
1 0
=2π (y-1)dy-2π =π (y-1)
2 1
1 y dy
1 0
0
3 2 -2π · 1 y 2 3
x2 y 2 【例 2】 求椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)绕 x 轴旋转 a b
而成的旋转体的体积. 名师导引:如何由椭圆方程确定被积函数? (由椭圆方程确定被积函数,即用 x 表示 y.因为 求旋转体体积时被积函数为[f(x)] 的形式,故 求出 y2 即可确定被积函数)
2
解:法一:如图所示,V=2
解:由题图知,中部为圆柱体,高为 900,底面半 径为 500, 体积 V1=π (500) ×900=225000000π . 尾部为圆锥,高为 1000,底面半径为 500,
2
1 1 2 体积 V2= π (500) ×1000= ×250000000π . 3 3
如图所示,建立坐标系,设抛物线方程为 y =2px,因为
2
2
2
2 b 2 2 2 2 b a 解:由图知,V=2π 0 2 (a -x )dx-2π 0 (b -x )dx a
1 3 b 2 =2π 2 (a x- x ) 3 a
2
a 0
-2π
1 3 (b x- x ) 3
2
b 0
4 4 2 3 = π ab - π b . 3 3
通过本节课的学习,你有什么收获? 1.了解了用积分方法求旋转体的体积; 2.学会了用定积分的方法求旋转体的体积的步骤; 3.初步掌握了由直边图形旋转和由曲边图形旋转 得的旋转体体积的求解方法,进一步体会了微积分 的灵活运用.
思路点拨:利用解析几何知识,建立数学模型,得到 有关函数,进而解决问题. 解:(1)如图所示,建立直角坐标系,设 抛物线的方程为 y=ax .
3 3 则由抛物线过点 B(1, ),得 a= . 2 2 3 2 于是抛物线方程为 y= x . 2
2
6 2 6 当 y=1 时,x=± ,由此,水面宽为 米. 3 3
3
4 3 所以,半径为 R 的球的体积为 V= π R . 3
实例中用定积分推导球的体积的步骤 是什么?你能得到什么结论? (步骤是:分割—近似代替—求和—逼近;对于一 般的旋转体该方法均适合并能运用定积分求旋 转体体积)
设旋转体是由曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 以及 x 轴所围成的曲边梯形 AMNB 绕 x 轴旋转一周而成的,如 图所示 根据定积分的定义可得旋 转体的体积为 V=π [f(x)] dx.
b a
2
求旋转体体积的步骤是什么? ((1)根据题意画出草图; (2)找出曲线范围,确定积分上、下限和被积 函数; (3)写出体积的定积分表达式; (4)计算定积分,求出体积)
求由直边图形旋转而成的旋转体的体积
【例 1】 求由直线 y=2x,x=1,x=2 与 x 轴围成的平面图形 绕 x 轴旋转一周所得几何体的体积.
3.2 简单几何体的体积
学习目标要求 问题情境导学 课堂互动探究
栏 目 导 航
课堂归纳总结
1.能够应用定积分概念形成过程中的基本 思想分析求简单旋转体的体积问题.并能建 立它的数学模型解决实际问题. 2.能够初步掌握应用积分公式表进行计算.
【实例】 用定积分推导球的体积公式 一个半径为 R 的球可以看成是由曲线 y= R 2 x 2 与 x 轴所围 成的区域(半圆)绕 x 轴旋转一周得到的,如图所示.