青海省海北藏族自治州数学高数统编版第一册3.3 幂函数同步训练

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2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 3

3.3 幂函数(精练)【题组一幂函数的概念】1．(2021·福建高一期末)若幂函数()f x 的图象过点()2,4，则()3f 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9【答案】D【解析】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()f x 的图象过点()2,4，所以24α=，解得2α=，所以()2f x x =，所以()2339f ==，故选：D2．(2021·江苏省锡山高级中学高一期末)若幂函数()f x 经过点()3,33，且()8f a =，则a =( )A ．2B ．3C ．128D ．512【答案】A【解析】设()f x x α=，因为幂函数()f x 经过点()3,33，所以(3)(3)33f α==，解得3α=，所以()38f a a ==，解得2a =，故选：A3．(新教材苏教版必修第一册))若函数()21xf x a a =++是幂函数，则a =________．【答案】0或1- 【解析】由函数()21xf x a a =++是幂函数，可得211a a ++=，解得0a =或1a =-，故答案为：0或1-．4．(2021年湖南)若函数()222433mm y m m x+-=-+为幂函数，则实数m 的值为________；当此幂函数在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________．【答案】1或2 1【解析】由幂函数定义知：2331m m -+=，解得：1m =或2；当1m =时，2241m m +-=-，此时幂函数在()0,∞+单调递减；当2m =时，2244m m +-=，此时幂函数在()0,∞+单调递增；∴当幂函数在()0,∞+单调递减时，1m =.故答案为：1或2；1. 【题组二幂函数的三要素】1．(2020·浙江高一课时练习)5个幂函数：①2y x ；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x -=.其中定义域为R 的是( ) A ．只有①② B ．只有②③ C ．只有②④ D ．只有④⑤【答案】C 【解析】①2yx 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ，⑤45y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C .2．(步步高高一数学寒假作业：作业9幂函数)下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．13y x = B ．12y x -= C ．53y x = D ．23y x =【答案】D【解析】A 中，13y x =的定义域和值域均为R ；B 中，12y x-=的定义域为()0,∞+，值域为()0,∞+；C 中，53y x =的定义域和值域均为R ；D 中，23y x =的定义域为R ，值域为[)0,+∞，定义域和值域不相同故选：D3．(2021·江苏省)(多选)已知{}1,1,2,3α∈-，则使函数y x α=的值域为R ，且为奇函数的α的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3【答案】BD【解析】当1α=-时，11y x x-==，为奇函数，但值域为{}0y y ≠，不满足条件；当1α=时，y x =为奇函数，值域为R ，满足条件；当2α=时，2yx 为偶函数，值域为{}0y y ≥，不满足条件；当3α=时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选BD.4．(2021·湖南高一期末)已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是______．【答案】()12f x x =【解析】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=，所以()12f x x =.故答案为：()12f x x =.5．(2021·浙江)已知幂函数 f (x ) = x α满足 f (3) = 33，则该幂函数的定义域为___________. 【答案】(0,)+∞ 【解析】因为f (3) =33，所以333α=，即1233α-=，解得12α=-，所以12()f x x -=，所以函数的定义域为(0,)+∞，故答案为：(0,)+∞6．(2021·上海市川沙中学高一期末)幂函数12y x =的定义域为________________. 【答案】[)0,+∞【解析】解：因为12y x x ==，所以0x ≥，所以函数的定义域为[)0,+∞ 故答案为：[)0,+∞ 【题组三幂函数的性质】1(新教材人教版必修第一册))幂函数的图象过点(3， 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[-1，+∞) B ．[0，+∞) C ．(-∞，+∞) D ．(-∞，0)【答案】B【解析】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， 3)，所以f (3)=3α=3=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B2．(2021·务川仡佬族苗族自治县汇佳中学高一期末)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( ) A ．2()3f x x =B ．()f x x =C ．41()f x x =D ．3()-=f x x【答案】C【解析】幂函数的图象都经过点(1,1)，排除A ； ()f x x =与3()-=f x x 不是偶函数，排除B ，D.故选:C3．(2021·河北高一期末)已知幂函数()221()1m f x m m x +=+-在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2-或1【答案】A【解析】由于()f x 为幂函数，所以2112m m m +-=⇔=-或1m =；又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，故当2m =-时符合条件，故选：A4．(2021·宁县第二中学高一期末)已知幂函数()223()22()n nf x n n xn -=+-∈Z 在(0,)+∞上是增函数，则n的值为( ) A ．1- B ．1 C ．3- D ．1和3-【答案】C【解析】因为函数是幂函数，所以2221+-=n n 解得：3n =-或1n =当3n =-时，()18=f x x 在()0,∞+上是增函数，符合题意. 当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，不符合题意.故选：C5．(2021·四川高一期末)已知幂函数()()22222aaf x a a x+=--，满足()f x 在()0,x ∈+∞为减函数，则a 的值为( ) A ．3或1- B ．3 C ．1- D ．3-【答案】C【解析】由于幂函数()()22222aaf x a a x+=--在()0,x ∈+∞为减函数，所以，2222120a a a a ⎧--=⎨+<⎩，解得1a =-.故选：C.6．(2021·河南高一期末)已知幂函数()()()22231aa f x a a xa --=+-∈R 的图象在()0,∞+上单调递减，则实数a 的值是( )A ．1B ．2-C ．1或2-D ．512+ 【答案】A【解析】由幂函数定义得211a a +-=，解得1a =或2a =-.当1a =时，()4f x x -=在()0,∞+上单调递减；当2a =-时，()5f x x =在()0,∞+上单调递增.故选：A7．(2021·山东高一期末)已知幂函数1234,,,a b c dy x y x y x y x ==== 在第一象限的图象如图所示，则( )A ．a b c d >>>B ．>>>b c d aC ．>>>d b c aD ．>>>c b d a【答案】B【解析】由图象可知，当2x =时，2222d a c b <<<，则a d c b <<< 故选：B8(2021·辽宁高一期末)幂函数23y x =的大致图像是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】203>，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A ，C ，D ，故选：B ．9．(2021·宁波中学高一期末)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈C ．1()()2xy x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠ 【答案】B【解析】对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确；对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误. 故选：B10．(2021·河南高一期末)下列函数中，在(),1-∞-上是增函数的是( ) A ．3y x =- B ．24y x x =--C ．1x y x=+ D ．2y x =-【答案】C【解析】本题考查函数的单调性.A 项中，函数3y x =-在R 上单调递减，故A 错误；B 项中，二次函数24y x x =--的图像开口向下，对称轴方程为2x =-，故该函数在(],2-∞-上单调递增，在()2,-+∞上单调递减，故B 错误；C 项中，函数1111x y x x==-++，在(),1-∞-和()1,+∞上分别单调递增，故C 正确；D 项中，函数2y x =-在(],2-∞上单调递减，故D 错误. 故选：C11．(2021·江苏南通·高一期末)幂函数2232m m y x --=是偶函数，在()0,∞+上是减函数，则整数m 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2【答案】A【解析】因为幂函数2232m m y x --=在()0,∞+上是减函数，所以22320m m --<，解得122m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，221yxx 定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()2211x x =-，所以2y x 是偶函数，满足题意；当1m =时，331y x x-==定义域为()(),00,-∞⋃+∞，而()3311x x =--，所以3y x -=是奇函数，不满足题意，舍去；综上，0m =. 故选：A12．(2021·辽宁高一期末)使幂函数y x α=为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数的α值为( ) A ．1- B ．23-C ．12-D ．2【答案】B 【解析】A 选项，1y x=是奇函数，不符合题意. B 选项，321y x =为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，符合题意.C 选项，1y x=是非奇非偶函数，不符合题意.D 选项，2y x ，在()0,∞+上递增，不符合题意.故选：B13．(2021·山东高一期末)已知点(),8a 在幂函数()()1bf x a x =-的图象上，若()()130f m f m +-<，则实数m 的取值范围为_________．2⎝⎭【解析】因为()()1bf x a x =-为幂函数，所以11a -=，解得a =2所以()b f x x =，又(2,8)在()f x 上，代入解得3b =，所以3()f x x =，为奇函数因为()()130f m f m +-<，所以()(13)(31)f m f m f m <--=-，因为3()f x x =在R 上为单调增函数，所以31m m <-，解得12m >，故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭14．(2021·湖南师大附中高一月考)已知幂函数2()(1)m f x m m x =--的图象关于y 轴对称，则m 的值为_________. 【答案】2【解析】由于()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-.当2m =时，()2f x x =，图象关于y 轴对称，符合题意.当1m =-时，()11x xf x -==，图象关于原点对称，不符合题意. 所以m 的值为2. 故答案为：215．(2021·辽宁庄河高中高一开学考试)若幂函数()222=33mm y m xm ---+的图象不经过坐标轴，则实数m的值为___________. 【答案】1或2【解析】由题意得：2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩，解得：m=1或2，故答案为：1或2.16．(2021·全国高一期末)已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132mma a +>-的实数a 的值构成的集合为________.3⎝⎭【解析】因为函数()()2133m f x m m x +=-+为幂函数，则2331m m -+=，得1m =或2m =.若1m =，则()2f x x =为偶函数，不合乎题意；若2m =，则()3f x x =为奇函数，合乎题意.所以，2m =.所以不等式可转化为()()22132a a +>-，即231480a a -+<，解得243a <<.故答案为：2,43⎛⎫⎪⎝⎭.17．(2020·湖北高一期中)已知幂函数()2m f x x +=过点()2,8，且2(1)(24)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是_____．【答案】()3,1-【解析】由题设可得23282m +==，故1m =，所以()3f x x =，所以()f x 为R 上的奇函数且为增函数，而2(1)(24)0f k f k ++-<等价于()2(1)(24)42f k f k f k +<--=-，所以2230k k +-<，故31k -<<. 故答案为：()3,1-.【题组四幂函数的综合运用】1．(新教材苏教版必修第一册)已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)求函数()()()11202g x h x h x x ⎛⎫⎡⎫=+-∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，的值域．【答案】(1)0m =；(2)112⎛⎤⎥⎝⎦，．【解析】(1)∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数，当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；(2)由(1)可知，()h x x =，则()12g x x x =+-，102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，令12x t -=，则21122x t =-+，(]01t ∈，，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线， ∴当0t =时，函数()102f =，当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤⎥⎝⎦，．2．(2021·山西高一期末)已知函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值；(2)求函数()()12=+-g x h x x 在11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】(1)0m =；(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1)因为函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =. 即()h x x =或()6h x x =.又因为函数()h x 为奇函数，所以()h x x =，0m =. (2)()()1212g x h x x x x =+-=+-，设12t x =-，因为11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以0,3t ⎡⎤∈⎣⎦，212t x -=. 所以()22111122t y t t -=+=--+，当1t =时，max 1y =，当0t =时，min 12y =，故值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3．(2021·赤峰二中高一期末(理))已知幂函数()2()1()kf x k k x k R =--∈，且在区间(0,)+∞内函数图象是上升的．(1)求实数k 的值；(2)若存在实数a ，b 使得函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，求实数a ，b 的值．【答案】(1)2；(2)a ＝0，b ＝1．【解析】(1)()2()1()k f x k k x k R =--∈为幂函数， ∴211k k --=，解得1k =-或2k =，又()f x 在区间(0,)+∞内的函数图象是上升的，0k ∴>，∴k ＝2；(2)∵存在实数a ，b 使得函数()f x 在区间,a b 上的值域为,a b ，且2()f x x =，∴()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，即22a a b b ⎧=⎨=⎩， a b <，∴a ＝0，b ＝1．4．(2020·浙江高一课时练习)已知幂函数21322()()pp f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.(1)求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式. (2)对于(1)中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)当0p =或2p =时，32()f x x =；当1p =时，2()f x x =；(2)存在，130-. 【解析】(1)由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<. 又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意.(2)存在.理由如下：由(1)知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(,4]-∞-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在[16,)+∞上单调递增；当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在(4,0)-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在(0,16)上单调递减. 所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-. 所以存在130q =-满足题设条件. 5．(2021·上海市第二中学高一期末)已知幂函数223()mm y f x x --==(m ∈Z )在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.(1)求()y f x =的解析式； (2)讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.【答案】(1)4()y f x x -==；(2)当2a =时，为偶函数；当0a =时，为奇函数；当2a ≠且0a ≠时，为非奇非偶函数.理由见解析.【解析】(1)因为幂函数223()m m y f x x --==(m Z ∈)在(0,)+∞是严格减函数，所以2230m m --<，即()()310m m -+< ，解得：13x ，因为m Z ∈，所以0,1,2m =，当0m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；当1m =时，4()y f x x -==，此时()y f x =为偶函数，符合题意；当2m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；所以4()y f x x -==，(2)4544(2)(2)y ax a x x ax a x ---=+-⋅=+-，令()4(2)F x ax a x -=+-当0a =时，()2F x x =-，()()()22F x x x F x -=-⨯-==-，此时是奇函数，当2a =时()4422F x x x -==，()()()444222F x x xx --=-==-，此时是偶函数，当0a ≠且2a ≠时，()1(2)22F a a a =+-=-，()1(2)2F a a -=--=， ()()11F F ≠-，()()11F F -≠-，此时是非奇非偶函数函数.6．(2021·深圳市)已知幂函数()223mm y f x x --+==(其中22m -<<，m ∈Z )满足： ①在区间,0上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.求幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域.【答案】()4f x x =，值域为[]0,256【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256.。

3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。

2021-2022年高中数学 3.3《幂函数》同步练习新人教B版必修1

2021-2022年高中数学 3.3《幂函数》同步练习新人教B 版必修1一、选择题 1、·等于A.－B.－C.D.2、已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A. B. C. D.3、在f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使［f （x 1）+f （x 2）］＜f （）成立的函数是A.f 1（x ）=xB.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log x4、若函数y(2-log 2x)的值域是(-∞,0),那么它的定义域是( ) A.(0,2) B.(2,4) C.(0,4) D.(0,1)5、下列函数中，值域为R +的是（）（A ）y=5 （B ）y=()1－x（C ）y= （D ）y= 6、下列关系中正确的是（）（A ）（）<（）<（）（B ）（）<（）<（）（C ）（）<（）<（）（D ）（）<（）<（）7、设f:x →y=2x是A →B 的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A 满足（） A.A={1，2，4，8，16} B.A={0，1，2，log 23} C.A{0,1,2,log 23} D.不存在满足条件的集合 8、已知命题p ：函数的值域为R ，命题q ：函数是减函数。

若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a <2 C ．1<a <2 D ．a ≤1或a ≥29、已知函数f(x)= x 2+ lg(x+), 若f(a)=M, 则f(-a)= ( )A 2a 2-MB M-2a 2C 2 M-a 2D a 2-2M10、若函数的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（） A ．m ≤－1 B ．－1≤m<0 C ．m ≥1 D ．0<m ≤111、方程的根的情况是（） A ．仅有一根 B ．有两个正根 C ．有一正根和一个负根 D ．有两个负根 12、若方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x有解，则a 的取值范围是（）A ．a>0或a ≤－8B ．a>0C ．D ．二、填空题：13、已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log （3－x ）］的定义域是__________.14、若函数f(x)=lg(x 2+a x －a －1)在区间［2,+∞］上单调递增,则实数a 的取值范围是_________. 15、已知=-+⋅-=≤≤++m M m M y x x x 则最小值是的最大值是函数,,7234,20221.16、设函数22)(,2)(|1||1|≥=--+x f x f x x 的x 取值范围.范围是。

2025版新教材高中数学同步练习24幂函数新人教A版必修第一册

同步练习24 幂函数必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．[2024·河北沧州高一期末]下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1C ．y ＝x 3D ．y ＝2x2．[2024·辽宁鞍山高一期末]已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点(12，2)，则k ＋α＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2 3．幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d在第一象限的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )A ．a >b >c >dB ．d >b >c >aC ．d >c >b >aD ．b >c >d >a4．[2024·河北保定一中高一期末]已知反比例函数y ＝2－ax，当x <0时，y 随x 的增大而增大，则a 的值可能是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－15．[2024·辽宁大连高一期末]下列函数中，其图象如图所示的函数为( )A ．y ＝x －13 B ．y ＝x 23C ．y ＝x 13 D ．y ＝x －236．[2024·河南南阳高一期末]已知幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)的图象不过原点，则实数m 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．1或27．[2024·河南新乡高一期末]已知幂函数f (x )＝(3m 2－11)x m在(0，＋∞)上单调递减，则f (4)＝( )A ．2B ．16C ．12D ．1168．(多选)下列关于幂函数的描述正确的有( ) A ．幂函数的图象必定过定点(0，0)和(1，1) B ．幂函数的图象不行能过第四象限C ．当幂指数α＝－1，12，3时，幂函数y ＝x α是奇函数D ．当幂指数α＝12，3时，幂函数y ＝x α是增函数9．[2024·安徽合肥高一期中](多选)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．函数f (x )在其定义域内为增函数C ．当x >1时，f (x )>1D ．当0<x 1<x 2时，f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22二、填空题(每小题5分，共15分)10．[2024·河南洛阳高一期末]已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(3，3)，则f (4)＝________．11．[2024·黑龙江齐齐哈尔高一期中]若函数f (x )＝(4m ＋3)x m为幂函数，则f (x )的定义域为____________.12．[2024·安徽滁州高一期中]已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，22)，且f (m －2)>1，则实数m 的取值范围是____________．三、解答题(共20分)13．(10分)比较下列各组数的大小．(1)1.513，1.713，1；(2)(－22)－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－10723，1.1－43；(3)3.8－23，3.925，(－1.8)35.14．(10分)[2024·河南信阳高一期中]已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )－ax －3在[1，3]上不是单调函数，求实数a 的取值范围．关键实力提升练15．(5分)[2024·河南开封高一期末]已知函数y ＝(2m 2＋m )x m为幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数m ＝( )A ．12B ．－1C ．12或－1D ．－1216.(5分)若(m ＋1)3<(3－2m )3，则m 的取值范围是________________．17．(10分)[2024·陕西西安高一期中]幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，f (x )>g (x )？当x 为何值时，f (x )<g (x )?同步练习24 幂函数必备学问基础练1．答案：C解析：形如y ＝x α的函数为幂函数，则y ＝x 3为幂函数．故选C. 2．答案：A解析：因为f (x )是幂函数，所以k ＝1，又因为函数f (x )的图象过点(12，2)，所以(12)α＝2⇒2－α＝212⇒α＝－12，因此k ＋α＝12.故选A.3．答案：D解析：依据幂函数的性质，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以由图象得：b >c >d >a .故选D.4．答案：A解析：反比例函数y ＝2－ax，当x <0时，y 随x 的增大而增大，∴2－a <0，∴a >2，∴a可以取3.故选A.5．答案：A解析：由图象可知函数为奇函数，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，对于A ，y ＝x －13＝13x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝－x －13＝－f (x )，所以函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，故A 正确；对于B ，y ＝x 23＝3x 2，定义域为R ，故B 错误；对于C ，y ＝x 13＝3x ，定义域为R ，故C 错误；对于D ，y ＝x －23＝13x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝13（－x ）2＝13x 2＝f (x )，函数为偶函数，故D 错误．故选A.6．答案：A解析：∵函数y ＝(m 2－3m ＋3)是幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，y ＝x 0，图象不过原点，符合题意；当m ＝2时，y ＝x 2，图象过原点，不符合题意．故选A.7．答案：D解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－11＝1m <0，解得m ＝－2，所以f (x )＝x －2，故f (4)＝116.故选D.8．答案：BD解析：选项A ：幂函数的图象必定过定点(1，1)，不肯定过(0，0)，例y ＝x －1，故A 错误；选项B ：幂函数的图象不行能过第四象限，正确；选项C ：当幂指数α＝12时，幂函数y ＝x α不是奇函数，故C 错误；选项D ：当幂指数α＝12，3时，幂函数y ＝x α是增函数，正确．故选BD.9．答案：BCD解析：由于函数f (x )＝x α的图象经过点(4，2)，故有4α＝2，所以α＝12，故f (x )＝x .明显，函数f (x )为非奇非偶函数，故A 错误；函数f (x )在其定义域内为增函数，故B 正确；当x >1时，f (x )＝x >1，故C 正确；由于函数f (x )为上凸型函数，故有当0<x 1<x 2时，f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，故D 正确．故选BCD.10．答案：2解析：∵y ＝f (x )为幂函数，∴可设f (x )＝x α，∴f (3)＝3α＝3，解得α＝12，∴f (x )＝x 12，∴f (4)＝2.11．答案：(0，＋∞)解析：函数f (x )＝(4m ＋3)x m为幂函数，故4m ＋3＝1，m ＝－12，故f (x )＝x －12＝1x，则x ∈(0，＋∞).12．答案：(3，＋∞)解析：∵f (2)＝(2)α＝22，∴α＝3，即f (x )＝x 3，∴f (x )在R 上单调递增，又f (1)＝1，∴f (m －2)>1可化为f (m －2)>f (1)，∴m －2>1，解得m >3，即实数m 的取值范围为(3，＋∞).13．解析：(1)因为函数y ＝x 13在(0，＋∞)上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.713>1.513>113，即1.713>1.513>1.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－10723 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫710－23，1.1－43＝[(1.1)2]－23＝1.21－23.因为幂函数y ＝x －23在(0，＋∞)上单调递减，且710<22<1.21，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫710－23>⎝ ⎛⎭⎪⎫22－23>1.21－23，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－10723>⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－23>1.1－43. (3)因为0<3.8－23<1，3.925>1，(－1.8)35<0，所以3.925>3.8－23>(－1.8)35. 14．解析：(1)由m 2－5m ＋7＝1⇒m 2－5m ＋6＝0⇒m ＝2或m ＝3. 又f (x )为偶函数，则m ＝3，此时f (x )＝x 2.(2)g (x )＝f (x )－ax －3在[1，3]上不是单调函数，则g (x )的对称轴x ＝a 2满意1<a2<3⇒2<a <6，即a ∈(2，6).关键实力提升练15．答案：A解析：因为函数y ＝(2m 2＋m )x m 为幂函数，则2m 2＋m ＝1，即2m 2＋m －1＝0，解得m ＝12或－1.若m ＝－1，函数解析式为y ＝1x ，该函数在定义域上不单调，舍去；若m ＝12，函数解析式为y ＝x ，该函数在定义域[0，＋∞)上为增函数，合乎题意．综上所述，m ＝12.故选A.16．答案：(－∞，23)∪(4，＋∞)解析：函数y ＝x 23 为偶函数，且当x >0时，单调递增，则(m ＋1)23 <(3－2m )23 ，可得|m ＋1|<|3－2m |，解得m <23或m >4，即m 的取值范围是(－∞，23)∪(4，＋∞).17．解析：(1)设f (x )＝x α，则(2)α＝2，∴α＝2，∴f (x )＝x 2，设g (x )＝x β，则(－2)β＝14，即β＝－2，g (x )＝x －2(x ≠0).(2)从图象可知，当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )；当－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x ).。

人教A版(2019) 高中数学必修一3.3幂函数同步练习(含答案)

3.3幂函数同步练习一、选择题 1．已知幂函数()f x 的图象经过点22,⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()4f 的值等于（） A ．16 B ．116 C ．2 D ．122．若函数()21()22m f x m m x-=--是幂函数，则m =（） A ．3 B ．1-C ．3或1-D ．13± 3．已知幂函数12f x x （）=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（）A ．[－1，3]B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[－1，0）D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦ 4．5个幂函数：①2yx ；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x -=.其中定义域为R 的是（）A ．只有①②B ．只有②③C ．只有②④D ．只有④⑤5．2323⎛⎫ ⎪⎝⎭、2325-⎛⎫ ⎪⎝⎭、1323⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系为（） A ．212333222 533-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．212333222 335-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．122333222 335-⎛⎫⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭> D ．221333222 533-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6．幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在(0)+∞，时是减函数，则实数m 的值为（） A ．2或1- B ．1- C ．2 D ．2-或1 7．已知幂函数n y x =在第一象限内的图象如图所示．若112,2,,22n ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为（）A ．11,2,2,22-- B ．112,,2,22-- C ．112,,,222-- D ．11,2,,222-- 8．已知函数321()(1)m f x m m x -=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．无法判断 9．若2()2f x x ax =-+与()a g x x =在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是（）A ．(1,0)(0,1)-B ．(1,0)(0,1)-⋂C ．(0,1)D ．(0,1] 10．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2x g x t =-，任意[)11,6x ∈时，总存在[)21,6x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（） A ．ϕB ．28t ≥或1t ≤C ．28t >或1t <D ．128t ≤≤二、填空题11．若幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则1()4f =__________.12．已知幂函数()221()33m m f x m m x --=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 值为_____. 13．已知幂函数f （x ）的部分对应值如下表：则不等式f （|x |）≤2的解集是___________．14．已知幂函数2()m f x x +=过点(2,8)，且()26(67)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是________.15．设幂函数()f x 的图象过点12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，则：①()f x 的定义域为R ；②()f x 是奇函数；③()f x 是减函数；④当120x x <<时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）．三、解答题16．已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 17．若2233(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围．18．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,，且()()f x F x x =．（1）试求出函数()y f x =的解析式；（2）讨论函数()F x 的单调性．19．已知幂函数21322()()pp f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式. （2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.参考答案1．D2．C.3．B4．C5．A6．B7．C8．B9．D10．D11．1612．213．[–4，4]14．(3,4)15．②④16．解：2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠；当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠. 17．解：由幂函数()23f x x -==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足()()f x f x -===，所以函数()f x 为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)+∞单调递减，又由2233(1)(32)a a --+>-，则满足13210320a a a a ⎧-<-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得23<a 或4a >，所以实数a 的取值范围2(,)(4,)3-∞⋃+∞．18．解：（1）设()y f x x α==，因为图象过点(2,，所以2α=32α=，函数()y f x =的解析式为()32f x x =；（2）()()12f x F x x x===，定义域为[)0,+∞，设120x x <<，则()()12F x F x -==． ∵12x x <，∴120x x -<0>，∴()()12F x F x <， ∴()F x 是区间[)0,+∞上的单调递增函数．19．解：（1）由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<. 又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意. （2）存在.理由如下：由（1）知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(,4]-∞-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在[16,)+∞上单调递增；当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在(4,0)-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在(0,16)上单调递减.所以21162qqq-⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q=-.所以存在130q=-满足题设条件.。

高一数学幂函数同步练习题

高高高高高高高高高高高高第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分） 1. 已知幂函数f(x) =(m 2−2m −2)·x m2+m−3在(0,+∞)上单调递减，则m =( )A. 3B. −1C. −1或3D. 1或−32. 下列函数中，与函数y =x 3的值域相同的函数为( )A. y =(12)x+1B. y =ln(x +1)C. y =x+1xD. y =x +1x3. 已知m ∈N ，函数f(x)=x 3m−7关于y 轴对称且在(0,+∞)上单调递减，则m =( )A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知函数f(x)=(m 2−m −5)x m2−6是幂函数，对任意，且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，若a ，b ∈R ，且a +b >0，则f(a)+f(b)的值( )A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断5. 函数y =√x 的图象可能是( )A.B.C.D.6. 不等式的解为( )A. (−13,1) B. (−1,0) C. (0,1)D.二、多选题（本大题共3小题，共15.0分）7. 下列关于幂函数y =x a 的性质，描述正确的有( )A. 当a =−1时函数在其定义域上是减函数B. 当a =0时函数图象是一条直线C. 当a =2时函数是偶函数D. 当a =3时函数有一个零点08. 若a >b >0，0<c <1，则( )A. log c a <log c bB. c a >c bC. a c >b cD. log c (a +b )>09. 下列式子不正确的是( )A. 1.52.5>1.53.4 B. 1.70.3<0.92.3C. (15)23<(12)23D. 0.80.5<0.90.4第II 卷（非选择题）三、单空题（本大题共5小题，共25.0分）10. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(2,2√2)，则f(9)= ． 11. 已知幂函数f(x)=(m 2−3m +1)x m2−4m+1的图象不过原点，则实数m 的值为．12. 已知幂函数f(x)过定点(8,12)，且满足f(a 2+1)+f(−5)>0，则a 的范围为． 13. 若幂函数f (x )=(m 2−5m +7)x m 在R 上为增函数，则log m √27+2lg5+lg4+m log m 12= ．14. 已知幂函数f(x)=x 2m+1过点(3,27)，若f(k 2+3)+f(9−8k)<0，则实数k 的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 15. 已知幂函数f(x)=(m 2−2m +2)x 1−3m(1)求函数f(x)的解析式； (2)判断f(x)的奇偶性16. 若点(√2,2)在幂函数f(x)的图像上，点(2,12)在幂函数g(x)的图像上．(1)求f(x)和g(x)的解析式；(2)定义ℎ(x)={f(x),f(x)⩽g(x)g(x),f(x)>g(x)，求函数ℎ(x)的最大值和单调区间．17. 已知幂函数f(x)=(−2m 2+m +2)x m+1为偶函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数y =f(x)−2(a −1)x +1在区间(2,3)上为单调函数，求实数a 的取值范围．18. 已知幂函数f(x)=x −3m+5(m ∈N)为偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)+2λx −1，若g(x)<0对任意x ∈[1,2]恒成立，求实数λ的取值范围．19.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)．2(1)求此函数的解析式；(2)证明：函数f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数；(3)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是中档题．根据幂函数的定义与性质，列方程求出m 的值，再判断m 是否满足条件．【解答】解：幂函数y =(m 2−2m −2)x m 2+m−3在(0,+∞)单调递减，∴m 2−2m −2=1，解得m =3或m =−1；又m 2+m −3<0，即 ∴m =−1时满足条件，则实数m 的值为−1．故选：B ．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的值域，属基础题．首先求出y =x 3的值域，根据条件逐项判断即可，【解答】解：函数y =x 3的值域为R ，而y =(12)x+1>0；y =x+1x=1+1x ≠1；y =x +1x ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)．只有y=ln(x+1)∈R．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查幂函数的性质，突出考查函数的奇偶性与单调性．依题意，函数f(x)=x3m−7为偶函数，f(x)在(0,+∞)上单调递减，可知3m−7<0且为偶数，结合m∈N，可求得m的值．【解答】解：∵函数f(x)=x3m−7关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减，∴3m−7<0且为偶数，∴m<7，又m∈N，3∴m=0，1或2，又3m−7为偶数，∴m=1．故选：B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的性质，单调性，幂函数的定义，属于拔高题．由题意，判断出函数的单调性及奇偶性，再根据幂函数的性质求解．【解答】>0，得函数单调递增．解：对任意x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2函数f(x)=(m2−m−5)x m2−6是幂函数，则m2−m−5=1⇒m=3或m=−2．又函数单调递增，故m=3，f(x)=x3，所以f(−x)=−x3=−f(x)，a,b∈R，且a+b>0，a>−b，所以f(a)>f(−b)=−f(b)⇒f(a)+f(b)>0．故选：A．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的应用，考查了幂函数图象，属于容易题．由函数的定义域和值域排除BD，由特殊值排除C，可得结果．【解答】解：已知函数y=√x=x12，函数的定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞)，故排除B，D；当x=4时，y=2，故排除C；故选A．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了幂函数的性质，利用幂函数的单调性和奇偶性解不等式．由幂函数f(x)=x23在(0,+∞)上单调递增且为R上的偶函数，可得|x−1|>|3x+1|，从而解得．【解答】解：∵幂函数f(x)=x23在(0,+∞)上单调递增且为R上的偶函数，又∵f(x−1)>f(3x+1)，∴|x−1|>|3x+1|整理得x2+x<0，解得−1<x<0，即原不等式的解集为(−1,0)．故选B．7.【答案】CD【解析】【分析】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题。

高中数学人教A新版必修1《33_幂函数》同步练习卷(二)(有答案)

人教A 新版必修1《3.3 幂函数》同步练习卷（二）练习1. 已知幂函数f(x)＝kx α的图象过点(12,√2)，则k −α＝（） A.1B.12C.32D.22. 如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为（）A.2，12,−12，−2B.−2，−12,12，2C.2，12，−2，−12D.−12，−2，2，123. (23)23，3−23，223的大小关系是________．4. 已知幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)在(0, +∞)是单调减函数，且为偶函数．（1）求f(x)的解析式；（2）讨论F(x)＝af(x)+(a −2)x 5⋅f(x)的奇偶性，并说明理由．5. 在函数y =1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2+x ，y ＝1中，幂函数的个数是（）A.1B.0C.3D.26. 下列关系中正确的是（）A.(12)13<(12)23<(15)23B.(12)23<(15)23<(12)13C.(15)23<(12)13<(12)23D.(15)23<(12)23<(12)137. 在同一坐标系内，函数y =x a (a ≠0)和y =ax +1a 的图象可能是( ) A.B. C. D.8. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0, +∞) 上单调递减的函数是( )A.y =x −1B.y =x −2C.y =x 13D.y =x 29. 若函数f(x)=(2m +3)x m2−3是幂函数，则m 的值为________．10. 函数f(x)＝(x +3)−2的单调递增区间是________．11. 已知函数y ＝(a 2−3a +2)x a 2−5a+5（a 为常数）．问：（1）a 为何值时此函数为幂函数？（2）a 为何值时此函数为正比例函数？12. 已知(3−2m)12>(m +1)12，求实数m 的取值范围．13. 下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A.①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y =x 12，④y ＝x −1B.①y =x 13，②y ＝x 2，③y =x 12，④y ＝x −1C.①y＝x2，②y＝x3，③y=x 12，④y＝x−1D.①y=x 13，②y=x12，③y＝x2，④y＝x−114. 若幂函数y＝(m2−3m+3)x m−2的图象关于原点对称，则m的取值范围为（）A.m＝1或m＝2B.1≤m≤2C.m＝1D.m＝215. 幂函数f(x)＝x3m−5(m∈N)在(0, +∞)上是减函数，且f(−x)＝f(x)，则m等于________．16. 幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0, 1]上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）．设点A(1, 0)，B(0, 1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=________．17. 如图，幂函数y=x3m−7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴，y轴均无交点，求此函数的解析式及不等式f(x+2)<16的解集．18. 若点A(2, 12)在幂函数y＝xα的图象上，则该幂函数在下列区间上单调递减的是（）A.(0, +∞)B.(−∞, 0)C.(−∞, +∞)D.(−4, 4)19. 已知f(x)＝(a2−a−1)x a（a是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．（1）求f(x)的表达式；（2）讨论函数g(x)=f(x)+3x+1在(−√2, +∞)上的单调性，并证之．x参考答案与试题解析人教A新版必修1《3.3 幂函数》同步练习卷（二）练习1.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】幂函射空图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】利表不础式丁内两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数于图象视性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都特图像【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函较绕肠由的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】复合函表的型调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】此题暂无答案【考点】幂函射空图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都特图像指数式与表镜式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】此题暂无答案【考点】其他不三式的解州幂函都指性质幂函都特图像幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】此题暂无答案【考点】函验掌够性权性质与判断幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2021年高中数学新教材必修第一册3.3《幂函数》课时练习(含答案)-

2021年高中数学新教材必修第一册3.3《幂函数》课时练习（含答案）1、2021年新教材必修第一册3.3《幂函数》课时练习一、选择题以下函数：①y=x2＋1；②y=x－；③y=2x2；④y=x－1；⑤y=x－＋1.其中是幂函数的是( )A.①⑤B.①②③C.②④D.②③⑤设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是( )A.acbB.abcC.cabD.bca设α∈{－1，1，，3}，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的全部α值为( )A.1，3B.－1，1C.－1，3D.－1，1，3已知幂函数f(x)=(2n2－n)xn＋1，若在其定义域上为增函数，则n等于( )A.1，－B.1C.－D.－1，若幂函数y=(m2－3m＋3)xm－2的图像不过原点，则m的取值范2、围为( )A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=1如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图像，则( )A.－1n0m1B.n－1，0m1C.－1n0，m1D.n－1，m1设f(x)=，若0≤f(x0)≤1，则x0的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.[－1，1]C.(－∞，1]D.(－∞，－1]∪(1，＋∞)以下命题中正确的选项是( )A.当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称，则y=xα在定义域上是增函数D.幂函数的图象不行能在第四象限已知幂函数f(x)=x3m3、－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)=f(x)，则m 可能等于( )nA.0B.1C.2D.3设a=20.3，b=30.2，c=70.1，则a，b，c的大小关系为( )A.cabB.acbC.abcD.cba二、填空题若幂函数y=xα的图像经过点(8，4)，则函数y=xα的值域是________.已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f〔〕=________.使有意义的x 的取值范围是________.设函数f1(x)=，f2(x)=x－1，f3(x)=x2，则f1(f2(f3(2027)))=________.三、解答题若，求a的取值范围.当x∈(0，＋∞)时，幂函数y=(m2－4、m－1)x－5m－3为减函数，m取何值？已知幂函数y=f(x)=x －2m2－m＋3，其中m∈{x|－2＜x＜2，x∈Z}，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)=0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域.设α、β是方程x2+2(m+3)x+2m+4=0的两个实数根，m取何值时，(α-1)2+(β-1)2取最小值？并求此最小值.n参考答案答案为：C；答案为：A解析：∵y=在(0，＋∞)上是增函数，且，∴()()，即ac.∵y=()x在R上是减函数，且，∴()()，即bc.∴bca，应选A.答案为：A答案为：5、C答案为：D解析：由题意得解得∴m=1.答案为：B答案为：B答案为：D；解析：当α=0时，函数y=xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为两条射线，故A选项不正确；当α＜0时，函数y=xα的图象不过(0,0)点，应选项B不正确；幂函数y=x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，应选项C不正确；当x＞0，α∈R 时，y=xα＞0，则幂函数的图象都不在第四象限，应选项D正确.答案为：B；解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－50(m∈N)，则m=0或m=1，当m=0时，f(x)=x－5是奇函数，不合题意.当m=1时，f(x)=x－2是偶函数，因此m=1，应选B.答案为：A；解析：a=20.3=80.1，b=30.2=90.1，c=706、.1，由幂函数y=x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知cab.答案为：[0，＋∞)答案为：.答案为：(－3，1).解析：(3－2x－x2)－有意义，∴－x2－2x＋30，得－3x1.答案为：.解：由得a.n解：依据幂函数的定义得，m2－m－1=1，解得m=2或m=－1，∵函数在(0，＋∞)上为减函数，∴－5m－3＜0，即m＞－，故m=－1舍去，∴m=2.解：由于m∈{x|－2＜x＜2，x∈Z},所以m=－1,0,1.由于对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)=0，即f(－x)=－f(x)，所以f(x)是奇函数.当m=－1时，f(x)=x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m=1时，f(x)=x0条件(17、)、(2)都不满足.当m=0时，f(x)=x3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数.所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27].解：由△=4(m+3)2-4、(2m+4)=4(m2+4m+5)＞0得m∈R、(α-1)2+(β-1)2=(α2+β2)-2(α+β)+2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4(m+3)2-2(2m+4)+4(m+3)+2=4m2+24m+42=4(m+3)2+6，当m=-3时，(α-1)2+(β-1)取最小值6。

高数统编版第一册3.3幂函数同步测试

高数统编版第一册3.3 幂函数同步测试共 16 题一、单选题1、若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（）A.1B.C.2D.2、下列结论中，正确的是( )A.幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数D.当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数3、幂函数（是有理数）的图像过点则的一个单调递减区间是（）A. B.C. D.4、下列幂函数中过点的偶函数是( )A. B.C. D.5、已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是( )A.(3,5)B.(－1，＋∞)C.(－∞，5)D.(－1,5)6、已知幂函数f（x）=x a过点（4，2），则f（x）的解析式是（）A. B.C. D.7、下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A.①，②，③，④B.①，②，③，④C.①，②，③，④D.①，②，③，④8、关于幂函数的叙述正确的是（）A.在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数B.在(0，＋∞)上是增函数且是非奇非偶函数C.在(0，＋∞)上是增函数且是偶函数D.在(0，＋∞)上是减函数且是非奇非偶函数x−129、已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为( )A.9B.12C.27D.8110、下列选项正确的是A. B.C. D.二、填空题11、已知幂函数的图像过点，则的定义域为________12、函数是幂函数，且当时，是增函数，则 ________．13、已知幂函数的图象过点，则 ________．14、已知幂函数 ( )的图象关于轴对称,且在上是减函数,则 ________.三、解答题15、已知幂函数f（x）的图象经过点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．16、已知函数h（x）=（m2﹣5m+1）x m+1为幂函数，且为奇函数．(1)求m的值；(2)求函数g（x）=h（x）+ 在x∈[0， ]的值域．参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】设f（x）＝xα，∵f（x）的图象过点（2，），∴f（2）＝2α，则α ，则f（x），故其最大值为 .故答案为：B【分析】根据点的坐标确定幂函数的表达式，结合函数的单调性，求出函数的最大值即可.2、【答案】C【解析】【解答】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B不正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故D不正确．故答案为：C.【分析】根据题意由幂函数的性质以及图像逐一判断即可得到结论。

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第三章 3.3幂函数一、选择题1．下列命题中正确的是( )A．幂函数的图象不经过点(－1,1)B．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C．若幂函数f(x)＝x a是奇函数，则f(x)是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限[答案] D[解析]幂函数y＝x2经过点(－1,1)，排除A；幂函数y ＝x－1不经过点(0,0)，排除B；幂函数y＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排除C，故选D．2．函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是( )A．k＝3 B．k＝－2C．k＝3或k＝－2 D．k≠3且k≠－2[答案] C[解析] 由幂函数的定义知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，解得k＝3或k＝－2.3．(2014～2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f(x)＝kx α的图象过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，2，则k －α＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2[答案] C[解析] 由题意得k ＝1，∴f(x)＝x α，∴2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12α，∴212 ＝2－α，∴α＝－12，∴k －α＝32.4．(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m ＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－1或6[答案] B [解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －5＝12m ＋1<0，解得m ＝－1.5．函数y ＝|x|12的图象大致为( )[答案] C[解析] y ＝|x|12 ＝|x|＝⎩⎨⎧x x ≥0－x x<0，函数y ＝|x|12 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、B ，又函数y ＝|x|12 的图象向上凸，排除D ，故选C ．6．如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C2、C3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12[答案] B[解析] 根据幂函数性质，C 1、C 2在第一象限内为增函数，C 3、C 4在第一象限内为减函数，因此排除A 、C ．又C 1曲线下凸，所以C 1、C 2中n 分别为2、12，然后取特殊值，令x ＝2,2－12 >2－2，∴C 3、C 4中n 分别取－12、－2，故选B ．二、填空题7．(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝f(x)的图象过点(2,8)，则f(x)＝______________.[答案] x 3[解析] 设f(x)＝x α，∴8＝2α，∴α＝3.∴f(x)＝x 3. 8．若函数f(x)＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________．[答案] －1[解析] 由幂函数的定义可得，2m ＋3＝1，即m ＝－1. 三、解答题9．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·xm 2＋m －1，m 为何值时，f(x)是(1)正比例函数； (2)反比例函数；(3)二次函数； (4)幂函数．[解析] (1)若f(x)为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，解得m ＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1. (3)若f(x)为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m 2＋2m ＝1，解得m ＝－1± 2.10．已知函数f(x)＝x 13－x－135，g(x)＝x 13＋x－135.(1)证明f(x)是奇函数，并求函数f(x)的单调区间； (2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．[解析] (1)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴定义域关于原点对称．又∵f(－x)＝x13x－135＝－x13－x－135＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．在(0，＋∞)上任取x1，x2，且x1<x2，则x113<x213，x2－13<x1－13，从而∴在(0，＋∞)上是增函数．又∵f(x)是奇函数，∴函数f(x)在(－∞，0)上也是增函数．故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)f(4)－5f(2)g(2)＝413－4－135－5×213－2－135×213＋2－135＝0；f(9)－5f(3)g(3)＝913－9－135－5×313－3－135×313＋3－135＝0.由此可推测出一个等式f(x2)－5f(x)g(x)＝0(x≠0)．证明如下：f(x2)－5f(x)g(x)＝x 213x 2－135－5×x13－x－135×x 13＋x－135＝x23－x－235－x23－x－235＝0，故f(x2)－5f(x)g(x)＝0成立.一、选择题1．下列关系中正确的是( )A．(12)23<(15)23<(12)13B．(12)23<(12)13<(15)23 C．(15)23<(12)13<(12)23D．(15)23<(12)23<(12)13 [答案] D[解析] ∵y＝x 13在(0，＋∞)上是增函数，且125＜14＜12，∴(125)13＜(14)13＜(12)13，即(15)23＜(12)23＜(12)13.2．如图所示为幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＜1 D．n＜－1，m＞1[答案] B[解析] 由幂函数图象的性质知n＜0,0＜m＜1.3．函数y＝x3与函数y＝x 13的图象( )A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称[答案] D[解析] y＝x3与y＝x 13互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，故选D ．4．设函数y ＝ax －2－12(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞) [答案] C [解析] 函数y ＝ax －2－12(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点A(2，12)，又点A(2，12)在幂函数y ＝x α的图象上，∴12＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y ＝x －1，其单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．二、填空题5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，则m 是__________．[答案] 1或2 [解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或m ＝2.6．如果幂函数y＝x a的图象，当0<x<1时，在直线y ＝x的上方，那么a的取值范围是________．[答案] a<1[解析] 分a>1，a＝1,0<a<1，a<0分别作图观察，知a<1.三、解答题7．已知幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值，并画出它的图象．[解析] 由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；当m＝－1，或m＝3时，有y＝x0，适合题意；当m＝1时，y＝x－4，适合题意．∴所求m的值为－1,3或1.画出函数y＝x0及y＝x－4的图象，函数y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其图象是除点(0,1)外的一条直线，故取点A(－1,1)，B(1,1)，过A，B 作直线(除去(0,1)点)即为所求．如图①所示．函数y ＝x －4的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}，列出x ，y 的对应值表：8．定义函数f(x)＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．[解析] ∵f(x)＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(x)总是取x 2和x －2中最大的一个值．令x 2>x －2，得x 2>1，∴x>1或x<－1.令x 2≤x －2，得－1≤x ≤1且x ≠0，∴f(x)＝⎩⎨⎧ x 2 x>1x －21≤x<0或0<x ≤1x 2 x<－1函数f(x)的图象如图所示：由图可知，f(x)在x＝－1与x＝1时取最小值1. ∴函数f(x)的最小值为1.。

北师版新课标高中数学必修一同步练习题幂函数同步练习题

解得
α=
1，所以
2
f(x)=
-1
x 2,
f
25
=
-1
25 2
=
52
-1 2
=
5-1
=
1
.
5
【答案】 1
5
同步测试
6 . 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性 .
2
(1) y=x-2. (2) y= x 3 .
【解析】(1) y = x-2 = x12，定义域是{x|x≠0}，是偶函数 .
2
(2) y = x 3 = 3 x2，定义域是 R，是偶函数 .
再见
ab
B. f (a)＜f ( 1 )＜f b＜f a
b
C. f a＜f b＜f (1 )＜f ( 1 )
ba
D. f ( 1 )＜f a＜f ( 1)＜f b
a
b
同步测试
【解析】因为 0＜a＜b＜1，
所以 0＜a＜b＜1＜1＜ 1 ,
因为
1
f(x)=x 2
在
ba
(0，+∞) 上为增函数，
所以 f a＜f b＜f (1 )＜f ( 1 ) .
ba
【答案】C .
同步测试
4 . 已知二次函数 f(x) 是幂函数，则 f(x) 的解析式为______. 【解析】由题意得 f(x)=x2 . 【答案】 f(x)=x2
同步测试
5
.
若幂函数
y=f(x)
的图象经过点
1
(9，13
)，则
f(25)
的值是____.
【解析】设 f(x)＝xα，则 3=9α，3-1=32α，
1
1

3.3 幂函数(分层练习)-2020-2021学年高一数学新教材配套练习(人教A版必修第一册)

3.3 幂函数基础练巩固新知夯实基础1.下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数2．设a ＝⎝⎛⎭⎫1234 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 34 ，c ＝()212 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．a <b <cD ．b >c >a3．函数y ＝x 53的图象大致是图中的( )4．下列是y ＝x 23的图象的是( )5．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b ) B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )6．给出以下结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ①幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；①若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ①幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．7．函数y ＝3x α－2的图象过定点________．8．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，试求出此函数的解析式，判断奇偶性．能力练综合应用核心素养9.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >010．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)x m2＋2m －3的图象不过原点，且关于原点对称，则()A ．m ＝－2B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－111．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23n n-(n ①Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或212.已知幂函数f (x )＝x 3m －5(m ①N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．313.已知当x ①(1，＋∞)时，函数y ＝x α的图象恒在直线y ＝x 的上方，则α的取值范围是________． 14．若(a ＋1)12-＜(3－2a )12-，则a 的取值范围是________．15.已知函数f (x )＝1x2＋1.(1)判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性并证明； (2)求f (x )在区间[1,3]上的最大值和最小值．16．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ①{x |－2<x <2，x ①Z }，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数； ①对任意的x ①R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足①，①的幂函数f (x )的解析式，并求x ①[0,3]时f (x )的值域．17. 已知幂函数f (x )＝x m －3(m ①N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)3m -＜(3－2a )3m -的a 的取值范围．【参考答案】1.C [解析] 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x－1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α①R )>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误；当α>0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误．故选C.2. B [解析] 构造幂函数y ＝x 34 ，x >0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a >b ；又c ＝2 12>1，知a <c .故c >a >b .3. B [解析] ①函数y ＝x 53 是奇函数，且α＝53>1，①函数在R 上单调递增．故选B.4. B 解析 y ＝x 23＝3x 2，①x ①R ，y ≥0，f (－x )＝3－x 2＝3x 2＝f (x )，即y ＝x 23是偶函数，又①23<1，①图象上凸．5. C 解析因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，故选C.6. ① 解析当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ①R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故①不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故①不正确．①正确．7. (1,1) [解析] 依据幂函数y ＝x α性质，x ＝1时，y ＝1恒成立，所以函数y ＝3x α－2中，x ＝1时，y ＝1恒成立，即过定点(1,1)．8.[解] 设y ＝x α(α①R )，①图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，①2α＝22，α＝－12，①f (x )＝x －12 .①函数y ＝x －12 ＝1x ，定义域为(0，＋∞)，函数为非奇非偶函数．9. A [解析] 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m >2n ，所以n <m <0 10. A [解析] 根据幂函数的概念，得m 2＋3m ＋3＝1，解得m ＝－1或m ＝－2.若m ＝－1，则y ＝x －4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m ＝－2，则y ＝x －3，其图象不过原点，且关于原点对称． 11. B 解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.12. B [解析] ①f (x )在(0，＋∞)上是减函数，①3m －5<0(m ①N )，则m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数，不合题意．当m ＝1时，f (x )＝x－2是偶函数，因此m ＝1，故选B.13. (1，＋∞) [解析] 由幂函数的图象特征知α>1.14. ⎝⎛⎭⎫23，32 解析 (a ＋1)12-＜(3－2a )12-①(1a ＋1)12＜(13－2a)12，函数y ＝x 12在[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23＜a ＜32.15. 解 (1)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数．证明如下：设x 1，x 2是区间(0，＋∞)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1x 21＋1)－(1x 22＋1)＝x 1＋x 2x 2－x 1x 1x 22，①x 2>x 1>0，①x 1＋x 2>0，x 2－x 1>0，(x 1x 2)2>0，①f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上减函数．(2)由(1)知函数f (x )在区间[1,3]上是减函数，所以当x ＝1时，取最大值，最大值为f (1)＝2，当x ＝3时，取最小值，最小值为f (3)＝109.16.[解] 因为m ①{x |－2<x <2，x ①Z }，所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ①R ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件①而不满足条件①；当m ＝1时，f (x )＝x 0条件①、①都不满足．当m ＝0时，f (x )＝x 3条件①、①都满足，且在区间[0,3]上是增函数．所以x ①[0,3]时，函数f (x )的值域为[0,27]．17. 解 ①函数在(0，＋∞)上递减，①m －3＜0，解得m ＜3. ①m ①N *，①m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，①m －3是偶数，而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，①m ＝1. 而f (x )＝x 13-在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，①(a ＋1)13-＜(3－2a )13-等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a 的取值范围为{a |a ＜－1或23＜a ＜32}．。

高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.3幂函数同步训练新人教B版必修1

3.3 幂函数5分钟训练1.下列函数中是幂函数的是（） A.y=(x+2)2B.y=x2 C.y=21x D.y=3x答案：C解析：根据幂函数的定义判断. 2.下列函数图象中，表示y=31-x的是（）答案：C 解析：因为31-<0,所以A 、D 错误.又因为函数是奇函数，所以B 错误. 3.幂函数y=x a的图象一定经过（0，0），（1，1），（-1，1），（-1，-1）中的( ) A.一点 B.两点 C.三点 D.四点答案：A解析：所有幂函数的图象都过点（1，1）.4.已知幂函数y=f(x)的图象经过点（2，2），那么这个幂函数的解析式为_____________. 答案：y=21x10分钟训练1.下列命题中，不正确的是（）A.幂函数y=x -1是奇函数B.幂函数y=x 2是偶函数C.幂函数y=x 既是奇函数又是偶函数D.幂函数y=21x 既不是奇函数也不是偶函数答案：C解析：函数y=x 是奇函数，不是偶函数. 2.幂函数的图象过点（2，41），则它的单调递增区间是（） A.（0，+∞） B.［0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0) 答案：D解析：设f(x)=x α.由2α=41,得α=-2,故f(x)=x -2,其单调增区间是（-∞,0）. 3.函数y=11+x 的图象是（）答案：D 解析：y=11+x 的图象是由函数y=x1的图象向左平移1个单位得到的. 4.当x>1时，函数y=x a的图象恒在直线y=x 的下方，则a 的取值范围是（）A.0<a<1B.a<0C.a<1D.a>1 答案：C解析：观察幂函数的图象.5.若幂函数y=x n对于给定的有理数n ，其定义域和值域相同，则此幂函数（） A.一定是奇函数 B.一定是偶函数 C.一定不是奇函数 D.一定不是偶函数答案：D解析：可使用排除法，如y=21x 满足题意，但既不是奇函数，又不是偶函数，所以A 、B 均不对.y=x 3满足题意，它是奇函数，所以C 不对. 6.已知x 2>21x ，求x 的取值范围.解：在同一坐标系中，作出函数y=x 2与y=21x 的图象，如图.通过图象可以看出，当且仅当x>1时，x 2>21x ,∴所求x 的取值范围是x>1.30分钟训练1.下列命题中正确的是（）A.当α=0时函数y=x α的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C.若幂函数y=x α是奇函数，则y=x α是定义域上的增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限答案：D解析：对于A，当α=0时，函数y=xα是y=1(x≠0),它不是直线；当幂指数α<0时图象不经过原点，所以B错；由y=x-1,可知C错.2.已知幂函数y=1n x，y=2n x，y=3n x，y=4n x在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是( )A.n1>n2>1，n3<n4<0B.n1>n2>1，n4<n3<0C.n1>1>n2>0>n4>n3D.n1>1>n2>0>n3>n4答案：D解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过（1，1）点作垂直于x轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小.3.下列不等式中错误的是( )A.0.50.3＜0.70.3B.5131)34()43(<C.43328.08.0--> D.2log3log4222>答案：C解析：利用幂、指、对函数的单调性进行判断.4.(创新题)函数①y=|x|;②y=xx||;③y=||2xx-;④y=||xxx+中，在（-∞,0）上是增函数的有（）A.①②B.②③C.③④D.①④答案：C解析：①y=|x|=⎩⎨⎧<-≥,,0,xxxx在（-∞,0）上是减函数，排除A、D；②y=⎩⎨⎧<->=,1,0,1||xxxx在（-∞,0）上为常数函数，排除B.5.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--,0,,0,1221xxxx若f(x0)>1,则x0的取值范围是（）A.（-1，1）B.（-1，+∞）C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案：D解析：由⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤>--,0,1,0,112xxxx得所以x<-1.又由⎩⎨⎧>>⎪⎩⎪⎨⎧>>,0,1,0,121xxxx得所以x>1.所以x0的取值范围是（-∞,-1）∪(1,+∞).6.幂函数y=x-1,直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示)，那么幂函数y=23-x的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A.ⅣⅦB.ⅣⅧC.ⅢⅧD.ⅢⅦ答案：D解析：y=3231xx=-，其图象为第一象限的一条双曲线，与y=x-1交叉出现.由23-<-1,可知它经过Ⅲ、Ⅶ“卦限”.7.3131)22()1(-<+aa,则实数a的取值范围是__________________.答案：a>3解析：y=31x在R上是增函数，所以有a+1<2a-2.解得a>3.8.已知函数f(x)=xx+1.(1)画出f(x)的草图；（2）指数f(x)的单调区间；（3）设a,b,c>0,a+b>c,证明f(a)+f(b)>f(c).解：(1)f(x)=111+-x.函数f(x)是由y=x1-向左平移1个单位后，再向上平移1个单位形成的，图象如图.（2）由图象可以看出，函数f(x)有2个单调递增区间:（-∞,-1）,(-1,+∞).(3)f(a)=a a +1,f(b)=bb +1. ∵a,b>0,∴ba bb b b a a a a ++>+++>+11,11. ∴f(a)+f(b)>ba ba +++1=f(a+b).∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，a+b>c>0, ∴f(a+b)>f(c).∴f(a)+f(b)>f(c). 9.(探究题)已知函数f(x)=xx 1-,求证：（1）f(x)在其定义域上是增函数；（2）方程f(x)=1最多有一个实根.答案：(1)证明:f(x)的定义域为（0，+∞）. 设x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=221111x x x x +--)11)((11212121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=-++-=-+-=. ∵0<x 1<x 2,∴f(x 1)-f(x 2)<0,f(x 1)<f(x 2).∴f(x)为增函数.（2）证明：f(x)的值域为R .假设存在x 1,x 2>0,使f(x 1)=f(x 2)=1.不妨设x 1<x 2. ∵f(x)是（0，+∞）上的增函数， ∴f(x 1)<f(x 2)与假设相矛盾.∴假设不成立，即f(x)=1的根只有一个. 10.已知幂函数f （x ）=322--m m x（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称且与x 轴、y 轴无交点.（1）试求函数f （x ）的解析式，并画出它的图象；（2）讨论函数g （x ）=)()(x xf bx f a-的奇偶性（a 、b ∈R ）. 解：（1）由幂函数的图象与x 、y 轴无公共点， ∴m 2-2m-3<0，即-1<m<3. 又m ∈Z ，得m=0，1，2.∵幂函数的图象关于y 轴对称，∴它是偶函数.把m=0，1，2分别代入得f （x ）=x -3，f （x ）=x -4，f （x ）=x -3，只有f （x ）=x -4符合条件，故m 只能取1.精品教育资料∴f （x ）=x -4.其图象如图所示.（2）把f （x ）=x -4代入g （x ）的解析式，得 g （x ）=3244bx xax x b x a -=•---（x ≠0）， g （-x ）=3232)()(bx xa xb x a +=---. ∴当a ≠0，b ≠0时，g （x ）为非奇非偶函数；当a=0，b ≠0时，g （x ）为奇函数；当a ≠0，b=0时，g （x ）为偶函数；当a=b=0时，g （x ）既为奇函数又为偶函数.。

高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.3幂函数同步测控

3.3 幂函数同步测控我夯基,我达标1.下列命题中,正确的是( )A.当α=0时，函数y=x α的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点C.若幂函数y=x α的图象关于原点对称，则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限解析：当α=0时，函数y=x α定义域为{x|x≠0,x∈R }，其图象为两条射线，故A 不正确；当α<0时，函数y=x α的图象不过（0，0）点，故B 不正确；幂函数y=x -1的图象关于原点对称，但在其定义域内不是增函数，故C 不正确；幂函数的图象都不在第四象限，故D 正确. 答案：D2.下列函数中，定义域为(0，＋∞)的函数为( ) A.y=x32- B.y=x23-C.y=x 23 D.y=x 3解析：先把指数式化为根式，再求定义域. 答案：B3.下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是( )A.y=x 31 B.y=x2 C.y=x3 D.y=x -2解析：由幂函数的性质,可知y=x 2在(-∞,0)上为减函数. 答案：B4.下列函数中不是幂函数的是( )A.y=xB.y=x 3C.y=2xD.y=x -1解析：根据幂函数的定义：形如y=x α的函数称为幂函数，可知C 不是幂函数. 答案：C5.已知函数f(x)＝(a-1)·12-+a a x,当a ＝__________时，f(x)为正比例函数；当a ＝__________时，f(x)为反比例函数；当a ＝__________时，f(x)为二次函数；当a ＝__________时，f(x)为幂函数.解析：当f(x)为正比例函数时，⎩⎨⎧≠-=-+,01,112a a a 即a ＝-2；当f(x)为反比例函数时，⎩⎨⎧≠--=-+,01,112a a a 即a ＝0或a ＝-1；当f(x)为二次函数时，⎩⎨⎧≠-=-+,01,212a a a 即a ＝2131±-；当f(x)为幂函数时，a-1＝1，即a ＝2. 答案：-2 0或-12131±- 2 6.求下列函数的定义域： (1)y=(3x-2)21+(2-3x)31-;(2)y=(21+-x )21-.分析:注意开方次数的奇偶和分式是否出现.解：(1),323232032,023>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≥⇒⎩⎨⎧≠-≥-x x x x x 由此得,函数y=(3x-2) 21+(2-3x) 31-的定义域为(32,+∞). (2)21+-x >0⇒x+1<0⇒x<-1,由此得,函数y=(21+-x )21-的定义域为(-∞,-1).7.幂函数y=f(x)的图象过点(4,21)，求f(8)的值. 分析:本题要想求得f(8)的值，必须要先求得幂函数的解析式. 解：设f(x)=x a,则21=4a ，a=21-. ∴f(x)=x 21-. ∴f(8)=821-=42221=. 8.求满足a 21>a 31的字母a 的取值范围.分析:根据已知条件可知a 21，a 31分别对应幂函数y=x 21,y=x 31的函数值.要想求满足条件的a 的范围,只要判断出x 为何值时曲线y=x 21在曲线y=x 31上方即可.解：在同一坐标中，分别作出y 1=x 21，y 2=x 31的图象(如图所示),由图象可知要使y 1>y 2，只需x>1.∴当a>1时,a 21>a 31不等式恒成立.我综合,我发展9.函数y=x 21的图象是( )图3-3-4解析：函数y=x 21的定义域为(0,+∞)，且过（0，0）、（1，1）点. 答案：C10.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-,0,,0,121x x x x 若f(a)>a,则实数a 的取值范围是___________.解析：根据题意,得⎪⎩⎪⎨⎧≥>-0,0121a a 或⎩⎨⎧>>-,0,a a a 解得a<0.答案：(-∞,0)11.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x 4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=____________.解析：当x∈(0,+∞)时,-x<0,f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x 4=f(x).答案：-x-x 412.讨论函数y=x 52的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图. 分析:按幂函数的性质求解.解：（1）要使y ＝x 52＝52x 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R . （2）∵x∈R ，∴x 2≥0.∴y≥0.故函数值域为［0,+∞).（3）f （-x ）＝52)(x -＝52x ＝f （x ），∴函数y ＝x 52是偶函数.（4）∵n＝52＞0，∴幂函数y ＝x 52在［0，+∞）上单调递增.由于幂函数y=x 52是偶函数，∴幂函数y ＝x 52在（-∞，0）上单调递减. （5）其图象如图所示:13.若(a ＋1)31-＜(3-2a)31-，试求a 的取值范围.分析:根据幂函数的性质求解,分成三种情况讨论.解：有三种可能情况：⎪⎩⎪⎨⎧>+>>+2a -31a 0,2a -30,1a 或⎩⎨⎧><+02a -30,1a 或⎪⎩⎪⎨⎧>+<<+2a,-31a 0,2a -30,1a解得a∈(-∞，-1)∪(32，23). 14.已知y=20052006200512005--+-x x 的值. 分析:根据二次根式的定义，被开方数必须非负，我们可以求出x 和y 的值，然后把所求x 和y 的值代入所要求解的代数式.解：要使12005-x 有意义，必须2 005x-1≥0，即x≥20051. 要使x 20051-有意义，必须1-2 005x≥0，即x≤20051. 综合上述，必须x=20051，这时y=20052006-. ∴(x+y)2 006=(2005200620051-)2006=(-1)2006=1. 我创新,我超越15.已知幂函数f(x)=(t 3-t+1)x 51(7+3t-2t 2)(t∈Z )是偶函数且在(0,+∞)上为增函数，求实数t 的值.分析:关于幂函数y=x n(n∈Q ,n≠0)的奇偶性问题，设q p (|p|,|q|互质),当q 为偶数时，p 必为奇数,y=q p 是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y=qp 的奇偶性与p 的奇偶性对应.解：∵f(x)是幂函数,∴t 3-t+1=1. ∴t=-1,1或0.当t=0时,f(x)=x 57是奇函数; 当t=-1时,f(x)=x 52是偶函数; 当t=1时,f(x)=x 85是偶函数. 又52，85都大于0，在(0,+∞)上为增函数, 故t=1或t=-1.16.已知函数f （x ）=nn nn x x x x --+-，x∈(0,+∞)，n 为非零有理数，判断f （x ）在(0,+∞)上是增函数还是减函数,并证明你的结论.分析:本题通过函数单调性定义来判断时,应注意确定x 1n -x 2n的正负，需要对非零有理数n 进行讨论,而不能误解为n>0或n 为正整数. 解：设x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f （x 1）-f （x 2）=))((2222112121nnnnn n n n x x x x x x x x ----++-=))(())((22211212121nnnnnnnnnnx x x x x x x x x x ----+++-.∵x 1,x 2∈(0,+∞)，∴x 1-n x 2-n >0,x 1n +x 1-n >0,x 2n +x 2-n >0,x 2n +x 1n>0.于是))(()(222112121n n n n nn n n x x x x x x x x ----+++>0.又∵0<x 1<x 2，为确定x 1n-x 2n的正负，需要对非零有理数n 进行讨论：①当n>0时,x 1n -x 2n<0, ∴f（x 1）-f （x 2）＜0. ∴f（x 1）＜f （x 2）.②当n<0时,x 1n -x 2n>0， ∴f（x 1）-f （x 2）＞0. ∴f（x 1）＞f （x 2）.综上讨论，可知当n>0时,f （x ）=nn nn xx x x --+-在(0,+∞)上是增函数;当n<0时,在(0,+∞)上是减函数.。

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青海省海北藏族自治州数学高数统编版第一册3.3 幂函数同步训练
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）已知m∈N，函数f（x）=x3m﹣7关于y轴对称且在（0，+∞）上单调递减，则m=（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
2. （2分）下列函数中，既是奇函数又增函数的为（）
A . y=x+1
B . y=﹣x2
C . y=﹣
D . y=x|x|
3. （2分）若上述函数是幂函数的个数是（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
4. （2分）已知实数x，y满足x＞y，则下列关系式恒成立的是（）
A . x3＞y3
B . x2＞y2
C . ln（x2+1）＞ln（y2+1）
D . ＞
5. （2分） (2019高一上·昆明月考) 如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取
，l，，2四个值，则与曲线、、、相应的依次为（）
A . 2，1，，
B . 2，，1，
C . ，1，2，
D . ，1，2，
6. （2分） (2016高一上·晋中期中) 已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则函数g（x）=（x﹣2）f（x）在区间上的最小值是（）
A . ﹣1
B . ﹣2
C . ﹣3
D . ﹣4
7. （2分） (2019高一上·广州期末) 已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为（）
A .
B . 3
C . 或3
D . 1或
8. （2分）已知幂函数f(x)过点，则函数f(x)的表达式为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x2m﹣3是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=（）
A . 2
B . -1
C . 2或﹣1
D . 5
10. （2分）幂函数在上为增函数，则实数的值为（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 1或2
二、填空题 (共4题；共4分)
11. （1分）已知关于的函数是幂函数，则 ________．
12. （1分）已知函数的图象过点，则 ________ ．
13. （1分） (2018高一上·包头期中) 若幂函数在上是减函数，则实数m的取值范围是________．
14. （1分） (2017高一下·会宁期中) 若幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）•x 的图象不过原点，则m的值为________．
三、解答题 (共2题；共15分)
15. （5分） (2016高一上·吉林期中) 已知函数f（x）= ．
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．
16. （10分）幂函数f（x）=xn（n∈Z）具有性质f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，判断函数f （x）的奇偶性．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、解答题 (共2题；共15分)
15-1、15-2、16-1、。