用对偶单纯形法求解线性规划问题

例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题.

Min z =5x1+3x

2

≥6

s.t.-2 x1 + 3x

2

≥4

3 x1 - 6 x

2

Xj≥0（j=1,2）

解：将问题转化为

Max z = -5 x1 - 3 x

2

+ x3 = -6

s.t. 2 x1 - 3x

2

-3 x1 + 6 x

+ x4≥-4

2

Xj≥0（j=1,2，3,4）

其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.

在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解.

注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.

若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.

在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.

3.对偶问题的最优解

由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.

(1)设原问题(p)为

Min z=CX

s.t. ⎩⎨

⎧≥=0

X b

AX

则标准型(LP)为

Max z=CX

s.t. ⎩

⎨⎧≥=0X b

AX

其对偶线性规划（D ）为

Max z=b T Y s.t. ⎩

⎨

⎧≥=0X b

AX

用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0

从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有

（σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)

于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m ）T 。可见，在（LP ）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。

同时，在最优单纯形表T （B ）中，由于剩余变量对应的系数 所以

B -1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m ）

例4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。 Min z =6x 1+8x 2 s.t. x 1 + 2x 2≥20

3 x 1 + 2x 2≥50

Xj ≥0（j=1,2）

解： 将问题转化为

Max z =-6x 1-8x 2

s.t. -x 1 — 2x 2 + x 3=20

-3 x 1 - 2x 2+ x 4 =50

Xj ≥0（j=1,2，3,4）

用对偶单纯形法求解如表

表4-18 例4-8单纯形表

在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。

对于有些线性规划模型，如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正，最好还是采用单纯形法求解。因为，这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。从这个意义上看，可以说，对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。除此之外，在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法，可以简化计算。

例4-9：求解线性规划问题：

Min f = 2x1 + 3x2 + 4x3

S.t. x1 + 2x2 + x3 ≥3

2x1 - x2 + x3 ≥4

x1 , x2 , x3 ≥0

标准化：Max z = - 2x1 - 3x2 - 4x3

s.t. -x1-2x2-x3+x4= -3

-2x1+x2-3x3+x5= -4

x1,x2,x3,x4,x5 ≥0