菱形练习题(含答案)

、

特殊的平行四边形——菱形

一．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

二．菱形的性质：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：

1.菱形的四条边相等。

2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。

3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。

三．菱形的判定办法：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四条边都

相等的四边形是菱形；

3.对角线垂直的平行四边形是菱形；

4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 四．菱形的面积：等于两条对角线乘积的一半.（有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.），周长=边长的4倍

复习：

1.如图，在ABC △中，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF DC =，连接CF ．

（1）求证：D 是BC 的中点；（2）若AB AC =，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明．

解答：（1）证明：AF BC ∥，AFE DBE ∴∠=∠．∵E 是AD 的中点，AE DE ∴=．

又AEF DEB ∠=∠，AEF DEB ∴△≌△．AF DB ∴=．∵AF DC =，DB DC ∴=．

（2）解：四边形ADCF 是矩形，证明：∵AF DC ∥，AF DC =，∴四边形ADCF 是平

行四边形．∵AB AC =，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．即90ADC ∠=．∴四边形ADCF

是矩形．

菱形例题讲解：

。

1.已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE∥AC 交AB 于E ，DF∥AB 交AC 于F ．若AD 平分∠BAC，试判

断四边形AEDF 的形状，并说明理由．

解答：四边形AEDF 是菱形，∵DE ∥AC ，∠ADE=∠DAF ，同理∠DAE=∠FDA ，∵AD=DA ，

∴△ADE ≌△DAF ，∴AE=DF ；

∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA ．∴AF=DF ．∴平行四边

形AEDF 为菱形．

2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，BC=CD ，AD⊥BD，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE

是菱形．

证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是Rt△∵E 是AB 的中点，∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，

∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，

∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC，

，

∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE ．（四边相等的四边形是菱形）

3.如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF∥AB，

（1）求证：四边形EFCD 是菱形；（2）设CD=4，求D 、F 两点间的距离．

解答：（1）证明：∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形，∴ED=CD =CE ．∵EF∥AB

∴∠EFC =∠ACB =∠FEC =60°, ∴EF=FC=EC ∴四边形EFCD 是菱形．

（2）解：连接DF ，与CE 相交于点G ，由CD=4，可知CG=2， ∴ ∴．

4.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形． ？

证明：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO ，∴△AOE≌△COF．

∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC 是EF 的垂直平分线． O D C

A

第5题 ∵EF 是AC 的垂直平分线．∴四边形AFCE 为菱形 5.在 ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．

（1）求证：ADE CBF △≌△．

（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形请证明你的结论．

解:（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ．∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点

∴AE =CF , (SAS)AED CFB ∴△≌△．

（2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形． 证明：AD BD ⊥，ABD ∴△是Rt △，

*

90ADB ∠=）,E 是AB 的中点，1

2DE AB BE ∴==．由题意可

且AB 是斜边（或EB DF ∥且EB DF =，

∴四边形BFDE 是平行四边形，∴四边

形BFDE 是菱形．

实战演练

1.一菱形周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这菱形的面积是（ B ）

2.如图，已知长方形ABCD ，AB =3cm ，AD =4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_____7

8cm __________.

分析：连EB,∵EF 垂直平分BD,∴ED=EB,设AE=x,则DE=EB=（4-x ）,AE ²+AB ²=BE ²,即：x ²+3²=（4-x ）²,解得：x= 7/8

》

3.如图,在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH⊥AB，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ 12/5 ．

4.如图，菱形ABCD 的连长是2㎝，E 是AB 中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD 的面积为___23______㎝2．

5.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE⊥AB，若

∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为 65°

6.如图，已知四边形ABCD 是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示

的四个等腰三角形，那

么∠1+∠2+∠3= 90 度．

）

7.在菱形ABCD 中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD 的面积为 96

8.菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是 58° ．

9.已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AB = 6，∠BDC = 30，则菱形的面积为 183 ．

10.在四边形ABCD 中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC 平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD 是菱形，你认为这三个条件是 ①③④或②③④ ．（写四个条件的不给分，只填序号）

11.如图，已知在□ABCD 中，AD=2AB ，E 、F 在直线AB 上，CE 与AD 交与点M ， DF 与CB 交与点N ，且AE=AB=BF ， 求证:CE ⊥DF.

证明：连接MN,∵□ABCD, ∴AB=DC, 又∵AB=AE, ∴AE=DC ∴∆AEM ≅∆CDM,

∴M 为AD 的中点. 又∵AD=2AB, ∴CD=DM ∴CDMN 是棱形, 所以CE ⊥DF.

第4题

B

A D C E < 第2题第3题