碰撞

§4.5 碰 撞

引入课题

一、 碰撞

1、定义：两个或两个以上做相对运动的物体在相互靠近时无论是否接触只要在极短的时间内相互作用使得它们的运动张态发生明显的变化相互交换了动量和能量，这一过程就称为碰撞

2、特点：（1）碰撞的短暂时间内相互作用很强，（2）碰撞前后状态变化突然且明显

根据碰撞的特点碰撞过程中动量守恒，可以应用动量守恒定律讨论碰撞问题 3、碰撞的分类：

对心碰撞：碰撞前后速度矢量均沿两球的连心线

非对心碰撞：碰撞前后速度矢量均不沿两球的连心线

对心碰撞是碰撞的理想化模型实际中不存在绝对的对心碰撞。既然这样为什么还要研究对心碰撞呢？原因为：

（1）对心碰撞可以将碰撞问题简化 （2）实际中的许多碰撞可以抽象为对心碰撞（3）由对心碰撞得出的规律有一些也使用于非对心碰撞 二、对心碰撞 1、碰撞过程

以两球的对心碰撞为例分析对心碰撞的过程，对心碰撞过程可以分为四个阶段：

设质量为m 1、 m 2 的两小球，速度分别10v 和20v

,均沿两球的连心线且v 10>v 20 (1) 接触阶段：v 10>v 20

（2）挤压阶段：v 10>v 20

（3）挤压最甚：v 1=v 2

(4) 恢复阶段：v 1

实验发现不同材料的小球碰撞时恢复阶段的情况不同，有的能完全恢复，有的则完全不能恢复，有的部分恢复

2、对心碰撞基本公式

用质量为m 1 、 m 2的两滑块在气垫导轨上做对心碰撞实验碰撞前的速度分别为10v 和20v ，测得碰撞后的速度 分别21v 和v

.根据碰撞的特点碰撞过程中相互作用的内力远大于外力,可以忽略外界影响认为碰撞过程中动量守恒，应用动量守恒定律得：

2021012211v m v m v m v m

+=+ (1) 与速度矢量平行建x 坐标轴上式的投影方程为：

2021012211v m v m v m v m +=+ (2)

改变碰前两球的速度发现碰后两球的速度也随着改变，经过多次实验对得到的实验数据进行分析发现： 对于一定材料的小球，碰撞后两球分开的相对速度 与碰撞前两球接近的相对速度成正比，比例常数用e 表示，则 20

1012v v v v e --=

(3)

e 叫做恢复系数

说明：恢复系数由两球材料的弹性决定可用碰撞实验测得，实验发现： ≤0e 1≤ (4)

(1)、(2)式是对心碰撞得两个基本公式，因为研究碰撞问题无非就是已知碰前速度求碰后速度或已知碰后速度求碰前速度再或者求碰撞前后动能的损失，这些问题由（1）、（2）两式都可以解决。例如已知v 10和v 20由 (1)、(2)解得：

))(1(20102

12101v v e m m m v v -++-

= (5)

))(1(20102

11202v v e m m m v v -+++

= (6)

2

20102

12122

2

22112

2022

101)()

1(2

12

12

12

12

1v v m m m m e v m v m v m v m E K -+-=

-

-

+

=

∆ (7)

由（7）式发现由于恢复系数不同，碰撞过程中损失的能量也不同，于是可根据恢复系数的不同将对心碰撞分为三类

e=

完全弹性碰撞

e=0 完全非弹性碰撞 0

1、完全弹性碰撞 e=1 （1）特点：

a 、201012v v v v -=-

b 、0=∆K E

将e=1代入（5）、（6）式得： 202

12102

12112v m m m v m m m m v ++

+-=

(8)

202

112102

1122v m m m m v m m m v +-+

+=

(9)

（2）讨论：

A 、 21m m =时 v 1=v 20, v 2=v 10

说明质量相同的两球经完全弹性碰撞交换了速度 若进一步令 v 20=0 则v 1=0 v 2=v 10

这一现象非常直观的说明完全弹性碰撞没有动能的损失。 B 、m 1<

说明当用一个质量很小的球去撞一个 质量很大的球时，质量小的球几乎以原速率被弹回，而质量大的球几乎不动。如乒乓球与静止的铅球相撞

C 、m 1>>m 2 且v 20=0时 V 1≈v 10, v 2≈2v 10

说明当用一个质量很大的球去撞一个 质量很小的球时，质量大的球速度几乎不变，而质量小的球以二倍于大球的速率运动

2、完全非弹性碰撞 e=0 （1）特点：

a 、碰撞后两球不再分开以同一速度运动

v 1=v 2=

2

1101m m v m +

b 、由（7）式可以判断完全非弹性碰撞能量损失最大 下面将e=0代入（7）式求完全非弹性碰撞损失的动能 220102

121)(21v v m m m m E K -+=

∆

讨论v 20=0这种特殊情况动能的损失，因为打桩、击球、锻打工件等常见的完全非弹性碰撞均属这种情况，所以讨论这种情况具有一定的实际意义

当v 20=0时

2102

12121v m m m m E K +=

∆

)2

1(2101212

v m m m m +=

令2

10

102

1v m E k =

有02

11

1k k E m m E +=∆ (10)

由（10）式发现，对于020=v 的完全非弹性碰撞动能的损失与两物体的质量比有关。m 1与m 2的比值越大动能损失越小。

当m 1>> m 2时，k E ∆≈0 动能损失很小

当m 1<< m 2时，k E ∆≈k E ∆0 动能几乎完全损失掉了。