运动的合成与分解

【拓展】若已知杆长和P点的位置，求小球的速度。
❖ “杆+物”问题
【例题】如图所示，长L的杆AB，它的两端在地板和竖直墙
壁上，现拉A端由图示位置以速率v匀速向右运动，则B端坐
标y和时间的函数关系是：
。B端滑动的速度
是
。
y
B
vB sin
L
vB
【答案】
y L2 b vt 2
寻找分运动效果
微元法求解
【答案】
H v H h v0
寻找分运动效果
❖ “物+影”问题
寻找分运动效果


v0

B、D角速度相等
v0 cos v cos
Hh H
cos cos
H v H h v0
v
❖ “物+影”问题
【例题】以探照灯照在云层底面上，这底面是与地面平行 的平面，如图所示，云层底面离地面的高度为h。设探照 灯以匀角速度ω在竖直平面内转动，当光束与竖直线的夹 角为θ时，试求云层底面光点的速度。
A b
xv
vB sin v cos
v cos
vB v ctg
❖ “杆+物”问题
【例题】图中细杆AB长l，端点A、B分别被约束在x和y轴上 运动，试求：
⑴杆上与A相距al(0<a<1)的P点的运动轨迹； ⑵如果图中θ角和vA为已知，那么P点的x、y方向分运动速 度vPx、 vPy是多少?
①沿杆方向的运动； ②垂直于杆方向的旋转运动。 4.根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关键。 5.要牢记在杆上各点沿杆的方向上的速度相等。 6.此类问题还经常用到微元法求解。
❖ “杆+物”问题
【例题】如图所示，滑块B以速度vB向左运动时，触点P 的沿杆移动的速度如何？
寻找分运动效果
vB

【答案】 v vB cos
则当拉绳与水平方向成θ角时，被吊起的物体M的速度为
vM=
。
寻找分运动效果
v
vM
【答案】 vM v cos
❖ “绳+物”问题
【例题】如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A，用
细绳通过定滑轮拉动物体B在水平桌面上运动，当绳与水平
面夹角为θ时，物体B的速率为
，
B

v
寻找分运动效果
【答案】 vB=vsinθ
v2
v2 v2

v1
【方法提示】 根据运动效果认真
做好运动矢量图，是解 题的关键。
❖ 渡河问题
【例题】一船准备渡河，已知水流速度为v0=1m/s，船在静水 中的航速为v’ =2m/s，则：
①要使船能够垂直地渡过河去，那么应向何方划船？ ②要使船能在最短时间内渡河，应向何方划船？ 运动矢量分析
v v'
专题——运动的合成与分解
研究运动的合成与分解，目的在于把一些复杂的运动简 化为比较简单的直线运动。
运动合成与分解的内容：位移、速度、加速度。 运动合成与分解的方法——平行四边形法则。 运动的合成与分解的解题要点： 1.在实际解题时，经常用到矢量三角形法，应注意掌握。 2.认真分析谁是合运动、谁是分运动。 （一般说来，能够观察到（真实）的运动是合运动） 3.要注意寻求分运动效果。 4.合运动与分运动具有：等时性、独立性、等效性。 5.分析此类问题的一般方法：运动合成分解法、微元法。
运动矢量分析
【答案】 v风 5 5km / h 11.18km / h tg 2
❖ 相对运动
【例题】模型飞机以相对空气v=39km/h的速度绕一个边长 为2km的等边三角形飞行，设风速u=21km/h，方向与三角 形的AB边平行并和飞机起飞方向相同。求飞机绕三角形 一周需要多少时间?

x

v0t

y

v0t

1 2
gt
2
解题时，认真作出矢量图，注意物理量的方向。
专题——运动的合成与分解
【例题】一个倾角为θ的矩形光滑斜面，边长如图所示，今在
M点沿水平方向瞬时击出一个小球，要使小球正好滚至斜面
底部的N点，则小球的初速度v0应为多少？
M v0
L1 L2
水平方向： L2 v0t
21km/ h
21km/ h
运
动
矢
39km/ h 39km/ h
量
1200
1200
分
析
vBC
vBC
【答案】
t AB

AB vu

1 (h) 30
1
tBC

tCA

(h) 12
t tAB tBC tCA 12(min)
❖ 两杆交点的运动
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.一般说来，此类问题最常用微元法求解，所以根据运动情 况认真做好运动示意图，尤为重要。 2.根据解题的需要，有时也可用运动的合成与分解求解。 此时，以下步骤仍很关键。 ①准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 ②根据运动效果寻找分运动； ③根据运动效果认真做好运动矢量图。
t1 t2
2

3m / s
❖ “绳+物”问题
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.一般情况下，分运动表现在：
①沿绳方向的伸长或收缩运动； ②垂直于绳方向的旋转运动。 4.根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关键。 5.对多个用绳连接的物体系统，要牢记在绳的方向上的速度 大小相等。 6.此类问题还经常用到微元法求解。

v0
【答案】①θ=600
②垂直于河岸
v v'
v0
❖ 渡河问题
【例题】宽300米，河水流速3m/s，船在静水中的航速为
1m/s，则该船渡河的最短时间为
，渡河的最短
位移为
。
运动矢量分析
【答案】 tmin 300s smin 900m
请思考： 要使小船能够到达正对岸，小船在静水中的速度应
满足什么条件？
①沿光线方向的远离或靠近运动； ②垂直于光线方向的旋转运动。 4.根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关键。 5. 此类问题还经常用到微元法求解。
❖ “物+影”问题 【例题】高为H处有一小灯，灯下有一个身高为h的人，由灯 的正下方出发，沿直线方向在水平地面上以v0速度远离小灯。 试求t时刻此人头顶在地面投影的速度。
寻找分运动效果
【答案】
x2 a2l2

(l
y2 al
)2
1
vPx a ctg vA
vPy (1 a)vA
❖ “杆+物”问题 寻找分运动效果
vA cos
vA
vB
vB sin
x al sin y l alcos
消去θ
x2
y2
a2l 2 l al2 1
vA cos vB sin vB vActg
在水平方向上：
vPx al vB l
vPx avB a ctg vA
在竖直方向上：
vPy l al
vA
l
vPy 1 a vA
❖ “物+影”问题
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.一般情况下，分运动表现在：
A
v sin
v
❖ “绳+物”问题
【例题】如图所示，A、B两物体用细绳相连，在水平面
上运动，当α=450，β=300时，物体A的速度为2 m/s，这
时B的速度为
。
寻找分运动效果
v绳
B
vB
【答案】
2 vB 3
6m / s
A
vA
v绳
❖ “杆+物”问题
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.一般情况下，分运动表现在：
10
【答案】 vM
v 2
❖ 两杆交点的运动
【例题】两直杆交角为θ，交点为A，若二杆各以垂直于自
身的速度v1、v2沿着纸平面运动，则交点A运动速度的大小
为
。
微元法求解
【答案】 v v22 2v1v2 cos v12 sin
❖ 两杆交点的运动 微元法求解
【答案】 v v22 2v1v2 cos v12 sin
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关键。 4.解题时经常用到的矢量关系式：
v绝对 v相对 v牵连
❖ 相对运动 【例题】当自行车向正东方向以5km/h的速度行驶时，人 感觉风从正北方向吹来；当自行车的速度增加两倍时，人 感觉风从正东北方向吹来，求风对地的速度和风向。
“矢量三角形法”简介
矢量运算规律小结
F2
F
F F2
F2
F1 F
O
F1 O
F1
O
1. 两矢量A与B相加，即是两矢量的 首尾相接，合矢量即
为 A矢量的尾 指向 B矢量的首 的有向线段。
专题——运动的合成与分解
运动的合成与分解应用实例——抛体运动 1.平抛运动（常规）分解为：
①水平方向的匀速直线运动； v x v0 ②竖直方向的自由落体运动。 v y gt
2.斜抛运动（常规）分解为：

x

v0t

y

1 2
gt 2
①水平方向的匀速直线运动；vx v0 ②竖直方向的竖直上抛运动。v y v0 gt
❖渡河问题 运动矢量分析
300m v水
【答案】 tmin 300s smin 900m
❖ 渡河问题 【例题】一人横渡40米宽的河，河水流速3 m/s，下游距下 水30米处有一拦河坝，为保证安全渡河，此人相对于水的 速度至少为多少？
运动矢量分析
40m
v水
【答案】 vmin 2.4m / s
【解析】 小船垂直河岸做匀速直线运动的速度为： v2 u2
往返距离2l的时间为：t1
2l
2l

v2 u2
v
1

u2 v2
小船沿河岸往返一次所需时间为： t2

v
l
u

v
l
u

2l
v 1

u2 v2

两式相比得： t1 t2
1

u2 v2
所以：u v
1
寻找分运动效果

v
r
【答案】
v

h cos2
❖ “物+影”问题 【例题】如图所示，点光源S距墙MN的水平距离为L，现从S 处以水平速度v0抛出一个小球P，P在墙上形成的影是P’，在 球做平抛运动的过程中，其影P’的运动速度v’是多大？
微元法求解
【答案】
v' gL 2v0
❖ 相对运动
❖ 渡河问题
【例题】小孩游泳的速度是河水流速的二分之一，河宽 d=100m，问小孩向什么方向游向对岸，才能使他被河水 冲行的距离最短？这最短的距离是多少？
运
动
100m
矢
量

分
v水
析
【答案】 600 smin 100 3 173m
❖ 渡河问题
【例题】在一条流速恒定的河中，有一艘对水恒为v=5m/s运 动的小船，先后垂直河岸和沿岸往返同样距离2l=200m所花 时间分别为t1=100s，t2=125s，则水速u多大？
❖ “绳+物”问题
【例题】如图所示，纤绳以恒定速率v沿水平方向通过定
滑轮牵引小船靠岸，当纤绳与水面夹角为θ时，船靠岸的
速度是
，若使船匀速靠岸，则纤绳的速度是
。
（填：匀速、加速、减速）
寻
找
分
v
运
动 效
v'
果
【答案】 v' v
减速
Hale Waihona Puke Baidu
cos
❖ “绳+物”问题
【例题】如图所示，汽车沿水平路面以恒定速度v前进，
vOM
寻找分运动效果

【答案】
v AB
r
v AB

x2
d2
d
x vOM
x2 d2
d
❖ 两杆交点的运动
【例题】两个相同的正方形铁丝框如图放置，并沿对角线方
向分别以速度v和2v向背运动，则两线框交点M的运动速度
为
。
微元法求解
10 【答案】 vM 2 v
❖两杆交点的运动 微元法求解

N
斜面方向：
L1

1 2
g
sin
t2
【答案】
v0

L2 2 L1
2L1 g sin
专题——运动的合成与分解
一.渡河问题 二.“绳+物”问题 三.“杆+物”问题 四.“物+影”问题 五.相对运动 六.两杆交点的运动
❖ 渡河问题
【问题综述】 v1为水流速度，v2为船相对于静水的速度，θ为v1与v2的夹 角，d为河宽。 沿水流方向：速度为v∥=v1+v2cosθ的匀速直线运动 垂直河岸方向：速度为v⊥=v2sinθ的匀速直线运动（渡河） ①欲使船垂直渡河，v∥=0 ②欲使船垂直渡河时间最短，θ=900
❖ 两杆交点的运动
【例题】如图所示，一平面内有两根细杆L1和L2，各自以 垂直于自己的速度v1和v2在该平面内运动，试求交点相对 于纸面的速度及交点相对于每根杆的速度。
微元法求解
v1
v2
【答案】
v
v v12 v22
L2
L1
❖ 两杆交点的运动
【例题】细杆OM绕O轴以匀角速度ω转动，并推动套在杆 和钢丝AB上的小球C沿AB运动。O轴与AB的距离为OD=d， 试求小球与D点距离为x时，小球沿AB滑动的速度和沿OM 滑动的速度。