机械优化设计试题及答案

计算题

1．试用牛顿法求()221285f X x x =+的最优解，设()[]01010T

X =。

初始点为()[]01010T

X =，则初始点处的函数值和梯度分别为

()()0120

121700164200410140f X x x f X x x =+⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦

，沿梯度方向进行一维搜索，有

()010000010200102001014010140X X f X αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件

()

()[]

()()()(){

}

()

αϕαααααα

αα

min 14010514010200104200108min min 2

0002

00

01=-⨯+-⨯-⨯+-⨯=∇-=X f X f X f

()001060000596000ϕαα'=-=， 从而算出一维搜索最佳步长 059600

0.05622641060000

α=

=

则第一次迭代设计点位置和函数值01010200 1.245283010140 2.1283019X αα--⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦

⎣⎦ ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可

求得最优解。

2、试用黄金分割法求函数()20

f ααα

=+

的极小点和极小值，设搜索区间

[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）

解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式 ()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--= ()2()0.20.61810.20.6944a b a αλ=+-=+⨯-=

计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。

因为()()12f f αα>。所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α， 即[][][]1,,0.5056,1b a b α==。 第一次迭代：

插入点10.6944α=， 20.50560.618(10.5056)0.8111α=+-=

相应插入点的函数值()()1229.4962,25.4690f f αα==，

由于()()12f f αα>，故消去所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α，

则形成新的搜索区间[][][]1,6944.0,,1==b a b α。至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。

3．用牛顿法求目标函数()22

121625f X x x =++5的极小点，设()[]022T

X =。

解：由 ()

[]022T X =，则()11022326450100f x x f X x f x ∂⎢⎥

⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤

⎢⎥∇===⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦

()222

1

122022221

2320050f f x x x f X f f x x x ⎢⎥

∂∂⎢⎥∂∂∂⎡⎤

⎢⎥∇==⎢⎥

⎢⎥∂∂⎣⎦⎢

⎥∂∂∂⎣⎦

，其逆矩阵为

()1

2010321050f X -⎡⎤⎢⎥⎡⎤∇=⎢⎥⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

因此可得：()()1102001

02640322110000

50X X f X f X -⎡⎤

⎢⎥

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇∇=-=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

()15f X =，从而经过一次迭代即求得极小点[]00T

X *=，()5f X *=

4.下表是用黄金分割法求目标函数 ()20

f ααα=+的极小值的计算过程，请完成

下表。

5、 求二元函数f(x 1,x 2)=x 12+x 22-4x 1-2x 2+5在x 0=[0 0]T 处函数变化率最大的方向和数值？ 解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P 表示函数变化率最大和数值是梯度的模II )(0x f ∇II 。求f(x 1,x 2)在0x 点处的梯度方向和数值，计算如下：

)(0x f ∇=0

21x x f x f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=0224221

x x x ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--24 II )(0x f ∇II =22

21)()(

x f

x f ∂∂+∂∂=52)2()4(22=-+- P=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣

⎡-

-=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡--=∇∇51525224)()(00x f x f 在21x x -平面上画出函数等值线和0x （0,0）点处的梯度方向P ，如图2-1所示。从图中可以看出，在0x 点函数变化率最大的方向P 即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。

6、 用共轭梯度法求二次函数f(x 1,x 2)=x 12+2x 22-4x 1-2 x 1x 2 的极小点及极小值？ 解： 取初始点 x 0 []T

11=

则 g 0=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢

⎣

⎡---=∇2424422)(012210

x x x x x x f

取 d 0=-g 0=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-24 沿d 0方向进行一维搜索，得

x 1=x 0+

αd 0=

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡00021412411ααα 其中的0α为最佳步长，可通过f （x 1）=0)(),(min 01

1='αϕαϕα

求得 0α=

4

1

则 x 1 = ⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡00

021412411ααα=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡212 为建立第二个共轭方向d 1，需计算 x 1 点处的梯度及系数0β值，得

g 1=∇f （x 1）=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢

⎣

⎡---212442211221x x x x x

4

1

2052

210==

=

g g β 从而求得第二个共轭方向

d 1=-g 1+0βd 0=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2322441

21

再沿d 1进行一维搜索，得

x 2=x 1+1αd 1=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡111232122232212ααα