立体几何之空间角

1、ABC中，AB 4,AC 4.2, BAC 45 ,以AC的中线BD为折痕，将ABD沿BD折起,

构成二面角A BD C.在面BCD内作CE CD ,且CE , 2 .

A

(I) 求证：CE //平面ABD ；

(II) 如果二面角A BD C的大小为90.,求二面角

B A

C E的余弦值.

E

B C

2、如图，四边形ABCD为正方形，PD

平面ABCD , PD//QA ,

1

QA AB - PD .

2

B

(1)证明：平面PQC 平面DCQ ;

⑵求二面角Q CP D的余弦值.

3、如图，在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD,

AB AD, AC CD, ABC 60°,PA AB BC

E是PC的中点.

(1)证明CD AE ;

⑵证明PD 平面ABE ;

D

(3)求二面角 A PD C的正切值

4、如图，三棱锥P-ABC中，/ ACB=90 ,PA丄底面ABC.

(I) 求证：平面PACL平面PBC;

(II) 若AC=BC=PA,M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切

值

5、已知四棱锥P ABCD , PA 底面ABCD, AD//BC, AB

O,又PA 3, AD 2,AB 2 3,BC 6,

解:⑴由AB 4,AC 4 2, BAC 45 得BC

三角形，由D为AC的中点得BD AC,以AC的中线BD为折痕

翻折后仍有BD CD ,因为CE CD ,所以CE // BD ,又CE 平面

ABD , BD 平面ABD ,所以CE // 平面ABD .

⑵如果二面角A BD C的大小为90 ,由AD BD 得AD 平面

BDC ,因此AD CE ,又CE CD ,所以

CE 平面ACD ,从而CE AC .由题意

BD n )求二面角0PB A的余弦值

(I ) 求证平面PAC ;(

参考答案

AD,AC与BD 交于点

cm⑷遴)

4 ,所以ABC为等腰直角

E

AD DC 2 2,所以Rt ADC 中，AC 4.设BC 中点为F ,因为AB BC 4,所以

角.cos OMQ —

6

3、【答案】 解答:（I ）证明：在四棱锥P ABCD 中，因PA 底面ABCD , CD 平面

ABCD ,故 PA CD .

•/ AC CD , PA AC A , A CD 平面 PAC .

而 AE 平面 PAC , A CD AE .

（n ）证明：由 PA AB BC , ABC 60° 可得 AC PA .

v E 是PC 的中点，A AE PC .

由（I ）知，AE CD ,且 PC 「|CD C ,所以 AE 平面 PCD . 而 PD 平面 PCD , A AE PD .

v PA 底面ABCD , PD 在底面ABCD 内的射影是 AD , AB AD , A AB PD . 又v ABAE A ,

综上得PD 平面ABE .

（川）解法一：过点A 作AM PD ,垂足为 M ,连结EM .则（n ）知，AE 平面

PCD , AM 在平面PCD 内的射影是EM ,贝U EM PD . 因此 AME 是二面角A PD C 的平面角. 由已知，得 CAD 30°设AC a ,

BF AC ,且 BF 2 3,设 AE 中点为 G ,则 FG // CE ,由 CE AC 得 FG AC ,所以

BFG 为二面角B AC E 的平面角,连结BG , 在 BCE 中，因为

BC 4,CE .2, BCE 135

BE .26

在 Rt

DCE 中 DE ,(2 2)2 (2)2

.10 ,于是在Rt

ADE 中,AE

.(2 2)2 (J0)2

3. 2.在

ABE

BG 2

- AB

2 2 2

BE 2

-

AE 2

4

33 ~2

在 BFG

12 中，cos BFG

1 33

2 ~2

2 3

2

2

.因此二面角

3

AC E 的余弦值为 一6 3

2、

PD

【答案】 面ABCD,PD CD,又CD

面DAQP, CD PQ,又 PQ DQ 面

CDQ,PQ 面 PCQ

AD

CD (1)

PQ

面 PQC 面

DCQ.

⑵过Q 作QO PQ 交于点O,过O 作

OM PC 交于点M.则 OMQ 是二面角的平面

4

可得

PA a

，AD ^a

，PD

f a

，AE 尹.

在 Rt △ ADP 中，•/

AM

PD , ••• AM -PD PA AD ,

则AM

PA-AD PD

2*3

a •- a .21 a

3

在 Rt △ AEM 中，sin

AME

AE AM

所以二面角A

PD C 的正切值为■. 7 .

解法二：由题设 为AD . 过点C 作CF

M ,连结CM 由已知，可得 PA 底面 ABCD ,PA 平面PAD ,则平面PAD 平面

可得PA a,

AD ,垂足为F ,故CF ,故CM PD .因此 CAD 30° ,设 AC

平面PAD .过点F 作FM CMP 是二面角A a , PD C 的平面角 AD

2-

3

a , PD

3

•••△ FMD PAD ,二型 PA FD

PD

曰FM

FD-PA PD

a°a 6_ /21

a 3

丄

14

CF 在 Rt △ CMF 中，tanCMF

—— FM

1 a

2

5.

7 a

14

所以二面角A PD C 的正切值是

ACD ，交线

PD ,垂足为

P