双因子方差分析

２ 双因子方差分析
２．１ 双因子试验
当试验条件中涉及到两个因子时，就称为双因子试验。设 A 为一个因子，有 I 个水平：A i , i =1,L, I ； B 为另一个因子，有 J 个水平：B j , j = 1,L, J 。在设计试 验方案时，一个重要问题是如何将两个因子的水平搭配起来。首先，可以考虑每个 因子（A 或 B）的不同水平对试验结果分别会有影响。其次，两个因子不同的水平 组合会有特殊的影响（并不是两个因子水平分别影响的简单叠加）。在这种情况 下，为对各种可能的结果作全面考察，应该对两个因子所有可能的水平组合作试 验。这样的试验就是双因子交叉分组试验。交叉分组试验是最常见的一种双因子试 验。
= IJ ）。
在双因子试验的模型中，我们所关心的是：
1） A 因子的主效应是否显著。对此可以检验假设：
H0 : α1 = α 2 = L, = α I = 0 2） B 因子的主效应是否显著。对此可以检验假设：
(2.2.4)
H0 : β1 = β2 = L , = β J = 0 3） AB 因子的交互效应是否显著。这时我们检验假设：
∑ αˆi =
1 J
J
µˆij － µˆ= yi•• － y•••
j=1
(2.2.9)
类似地，固定 j，对(2.2.2)式两端关于下标 (i, k) 求和，并根据约束(2.2.3)，可以得到 B 因子的第 j 个主效应 β j 的估计为
∑ βˆj
=
1 I
I i=1
µˆij
－ µˆ=
y• j • － y•••
yijk = µ ij + eijk , k = 1,L, K; i = 1,L, I; j = 1,L, J .
(2.2.1)
其中 eijk , k = 1,L, K; i = 1,L, I; j =1,L, J 为独立的随机误差，服从相同的正态分布 N (0,σ 2 ) 。在模型(2.2.1)中，两个因子不同水平的组合对响应变量的影响的差异表 现在分布的理论均值 µij 之间的差异上。为了更清楚地看清 µij 之间差异的含义，我 们将它们作变换，重新表为
yijk
=
1 IJ
I i =1
J j =1
yij•
=
1 I
I i=1
yi••
,=
1 J
J
y• j•
j=1
它们分别是：水平组合上的样本均值 （ yij• ）、单个因子水平上的数据平均值 （ yi•• 和 y• j• ）以及数据的总平均值（ y••• ）。根据模型(2.2.1)，在同一水平组合上 的试验数据可以看成是来自同一总体的简单样本，因此 yij• 为 µij 的估计：
2.2 双因子均衡有重复试验的方差分析
设 A 为一个因子，有 I 个水平：Ai , i =1,L, I ； B 为另一个因子，有 J 个水 平：B j , j = 1,L, J 。将 A 因子的任一水平 A i 与 B 因子的任一水平 B j 搭配，则总 共有 I J 种组合：
(A i ,B j ), i =1,L, I ; j = 1,L, J . 在所有这 I J 种组合上各作 K 次试验，当 K > 1 时，就是均衡有重复试验。设在水平 组合(A i ,B j )下所得到的响应变量观测值记为
µˆij = yij• , i =1,L, I ; j = 1,L, J
(2.2.7)
利用约束(2.2.3)，对(2.2.2)式两端关于下标 (i, j, k) 求和，得到总均值 µ 的估计为
∑ ∑ µˆ= 1 IJ
I i =1
J
µˆij
j =1
= y•••
(2.2.8)
固定 i ，对(2.2.2)式两端关于下标 ( j, k) 求和，并根据约束(2.2.3)，得到 A 因子的第 i 个主效应α i 的估计为
…
yij1,yij2,…，yijK
…
yiJ1 , yiJ2 ,…， yiJK
…
…
…
…
…
…
I
yI11,yI12,…，yI1K
…
yIj1,yIj2,…， yIjK
…
yIJ1 ,yIJ2 ,…， yIJK
在双因子试验中得到的数据称为“按两种方式”（two-way）分组的数据。
对这样的数据，最一般的假定是：在同一水平组合下的数据可以看成是取自同 一总体的简单样本，相当于在一个理论均值上加上独立同分布的随机误差；而不同 水平组合下的数据的理论均值是不同的。因此可以建立如下的模型：
∑ yij• =
1 K
K k =1
yijk
,
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ yi••
=
1 IK
I i=1
K k =1
yijk
=
1 I
I i=1
yij• ,
y•
j
•
=
1 JK
J j =1
K k =1
y ijk
=
1 J
J
yij• ,
j=1
∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ y•••
=
1 IJK
I i=1
J j=1
K k =1
以解释为 A 因子主效应的总体效果。SSA 中有 I 个平方项，满足一个约束条件：
∑iαˆi = 0 ，因此 SSA 的自由度为
f SSA = I −MSSA=SSA/(I-1)。类似地，由(2.2.10), SSB = IK j βˆj2 , 其中
βˆj 为 β j 的无偏估计。因此 SSB 可以解释为 B 因子主效应的总体效果。由于
∑ j βˆj = 0 ，因此 SSB 的自由度为
f SSB = J − 1
I
∑αi = 0 ,
i=1
J
∑βj =0,
j=1
I
J
∑ ∑ γ ij = 0 , j = 1,L, J ; γ ij = 0 , i =1,L, I
i=1
j=1
(2.2.3)
这些约束的实际含义是很清楚的。以第一个约束为例，它的含义是：A 因子的 主效应有正有负，但从总体上看是正负相抵的。若某个α i 为正，则表明 A 因子的 第 i 个水平对响应变量的影响为正效应；反之，若 α i 为负，则表明 A 因子的第 i个 水平对响应变量的影响为负效应。对其它约束也有相同解释。这里需要说明：
(2.2.12)
交互效应平方和：
∑ SSAB = K γˆi2j ij
随机误差平方和：
∑ SSE = ( yijk − yij• )2 i, j,k
由上述平方和的定义不难解释它们的含义。需要指出，在计算平方和时，不要
忘记前面的系数。此系数与相应的水平或水平组合上的试验次数有关。对每个水平
组合，重复试验次数为 K ，因此在 SSAB 的定义中前面有系数 K 。对于 A 因子的每 个水平，在其上的试验次数为 JK （对应 B 因子的 J 个水平各重复 K 次），因此在 SSAB 的定义中前面有系数 JK ，等等。我们不难对上述的平方和给出解释，并计算 自由度。首先看总平方和 SST，它刻划合样本对于样本总均值 y••• 的总离散程度， 共有 N=IJK 个平方项，满足一个约束条件：
∑ ∑ ∑ i j k ( yijk − y••• ) = 0
因此，SST 的自由度，即 SST 中独立平方项的个数为
f SST = N −1 = IJK −1
(2.2.13)
∑ 对 SSA，由（2.2.9）, 有 SSA = JK iαˆi2 , 其中αˆi 为α i 的无偏估计, 从而 SSA 可
(2.2.3)的约束只有在均衡的试验中才是有效的。在(2.2.3)中共有 I + J + 2 个约束，但 是在后面的 I + J 个约束中，由任意 I + J −1 个可以推出另一个，因此实际上只有 I + J + 1个独立的约束。这样独立参数的个数仍然是 IJ 个（ (I + 1)(J + 1) − (I + J + 1)
(2.2.10)
最后，固定 (i, j) ，对(2.2.2)式两端关于下标 k 求和，并根据约束(2.2.3)，可以得到
AB 因子的第 (i, j) 交互效应 γ ij 的估计为
γˆij = µˆij － µˆ－αˆi － βˆj = yij• － yi•• － y• j • + y•••
(2.2.11)
不难验证，这些参数的估计也满足约束(2.2.3)。为表示数据的总变化、由主效 应和交互效应引起的变化、以及由随机误差引起的变化，我们定义以下的平方和：
总平方和：
∑ SST = ( yijk − y ••• )2 i , j,k
∑ A 因子主效应平方和： SSA = JK αˆi2 i
∑ B 因子主效应平方和： SSB = IK βˆj2 j
(2.2.5)
H0 : γ 11 = γ 12 = L, = γ IJ = 0
(2.2.6)
双因子方差分析主要解决对上述三个假设的检验问题。对上述假设的检验方法 与在单因子试验数据的方差分析中所采用的方法类似，就是将数据的总平方和分成 若干平方和，其中一个表示随机误差的影响，其它的平方和，有的表示主效应的影 响，有的表示交互效应的影响，然后用适当的 F 统计量进行检验。我们首先来给 出参数的估计。记
子的主效应， γ ij 表示 A 因子的第 i 水平和 B 因子的第 j 水平在主效应之外，对 y 所 产生的额外的联合效果，称为“交互效应”（intersection）。这样，利用(2.2.2)的 形式，我们可以将因子对响应变量 y 的各种影响表示得很清楚。问题是，在(2.2.2)
中的参数共有 1 + I + J + IJ = (I + 1)(J + 1) 个，已经超出原来参数 µij 的个数（ IJ ）。 为方便分析起见，我们对因子各种效应的参数施加以下约束：