复合材料的基本理论

y
Gm b 2d 2 1 Vp 3V p
1 2


弥散质点的尺寸越小，体积分数越大，强化效果越好。一般Vp=0.01 ~ 0.15， dp=0.001μm ~ 0.1 μm 基体发生位错运动时，复合材料产生塑性变形，此时剪切应力τy即 为复合材料的屈服强度
（2）颗粒增强
为了提高力学性能而研制的复合材料，有三种类型： （1）弥散增强型； （2）颗粒增强型； （3）纤维增强型（连续纤维、短纤维增强）。
其中（1）、（2）两种类型的增强原理几乎是相同的，而（3） 型属于另外一种。
颗粒增强型 50x
50μm
弥散增强型 50x
50μm
纳 米 碳 管
纤
维
（1）弥散增强
主要由基体承担载荷 弥散质点（微粒）阻碍基体中的位错运动或分子链运动 阻碍能力越大，强化效果越好 条件： 质点是弥散于基体中且均匀分布的球形 d为微粒直径 Vp为体积分数 Gm为基体的切变模量 b为柏氏矢量 τy为复合材料的屈服强度
谢谢！
2) 连续同轴柱体模型
应力等 距纤维中心的距离
能用于预测内应力
假设所涉及的材料都是横向各向 同性的，那么，当体系受均匀的外加 载荷（轴向或径向）或温度变化时， 该体系内的弹性应力状态的解析解是 存在的。这些解是通过对应力和应变 加协调的边界条件，得到可用标准方 法求解的线性联立方程式组求解得出。
复 合 材 料
江民红
桂林电子工业学院信息材料科学与工程系
2 复合材料的基本理论
2.1力学性能的复合法则（第二讲，3学时）

增强原理: 弥散增强、颗粒增强、 长纤维增强、短 纤维增强
层板模型、 切变延滞模型、 连续同轴柱体模型、
有限差分与有限元模型

几种主要的力学模型：
2.2物理性能的复合法则（第三讲，1学时）
2 2 2
自变量：x、y（空间）；t（时间） 函数：φ （温度、浓度、电势、动量等） 事实上，拉普拉斯方程、泊松方程、高斯方程、 菲克方程、傅立叶方程、胡克方程、柯西-雷 曼方程、纳维-斯脱克斯方程等 都是这种形式。

要获得这种解的方法可分成有限差分法（FDM）和有限元 法（FEM）。这两种方法都需要把空间离散化，即将有关的结构 组分分成一定数目的小畴或体积元。
基体与纤维发生同样的应变ε c=ε m=ε f =ε
r
• A r/ A c ----（2）
（2 ）式两边同除以ε ， σ / ε = E
E c
= E m • f m+ E r • f r
连续纤维增强（串联模型，等应力模型）
f m f r Em f r Er 1 f r 1 Ec Em Er Em Er
对于与时间有关的问题，时间也要离散化，从而可求得经一 系列时间步幅之后的一系列顺序解。
一般来讲，FEM比FDM更适合于（稳态）应力分析问题和 复杂的几何形状的情况。
数学基础
关于应力分析，基本方程的形式为
F=Ka 式中F为“力”矢量，K为“刚度”矩阵，a 为未知矢量（通常是位移）。
采用有限元法，应力分析 的基本步骤如下：
虚线代表实验值
FEM优点：灵活有效，可研究复合材料的局部或整体变形特征。
2.2 物理性能的复合法则
对于复合材料，最引人注目的是其高比强度、 高比弹性模量等力学性能。但是其物理性能(nonstructural properties)也应该通过复合化得到提高。 按照Alberts和Halo的分类，物理性能分为: 加和（平均）特性 乘积（传递）特性 结构敏感特性
为达到强化目的，必须满足下列条件： 1)增强纤维的强度、弹性模量应远远高于基体;
2)纤维和基体之间应有一定的结合强度;
3)纤维的排列方向要和构件的受力方向一致; 4)纤维和基体之间不能发生使结合强度降低的化学反应; 5)纤维和基体的热膨胀系数应匹配; 6)纤维所占的体积分数，纤维长度L和直径d及长径比L/d 等必修满足一定要求。
注意：仅适用于长纤维，未考 虑非弹性，需满足轴向对称。
轴向 径向
周向
图中采用了Ti-35vol%SiC纤维复合材料。图中显示了当 温度下降500K时所引起的三个主应力的径向分布
这种模型也可能用来研究热与机械载荷的综合影响。 图中显示了当温度下降500K时，叠加500MPa的外加轴 向拉伸载荷后的应力状态。
颗粒增强复合材料，用金属或高分子聚合物 为粘接剂，把具有耐热性好、硬度高但不耐冲击 的金属氧化物、碳化物、氮化物粘结在一起而形 成，既具有陶瓷的高硬度及耐热性，又具有脆性 小、耐冲击等优点。颗粒增强复合主要是为了改 善材料的耐磨性或综合的力学性能。
（3）连续纤维增强
并联模型
串联模型
基体
增强体
连续纤维增强（并联模型，等应变模型）






* F
lc * fF 1 V f m 1 V f 2l

式中σfF为纤维的平均拉伸应力，σm*为与纤维的屈服 应变同时发生的基体应力。
l/lc越大，拉伸强度越大; lc/2l <<1时，上式变为连 续纤维的强度公式; 当l=lc时，短纤维增强的 效果仅有连续纤维的 50%; l=10lc时，短纤维增强的 效果可达到连续纤维的 95%; 所以为了提高复合材料 的强度，应尽量使用长 纤维。

加和特性


传递特性
结构敏感特性
2.复合材料的基本理论
材料的微观组织 形状、分散程度 体积分数 几何学特征 原材料的性能 力学性能 物理性能 界面的状态
复合材料的 基本理论
复合材料的 整体性能
复合材料理论与组织、性能之间的关系
2.1 力学性能的复合法则
2.1.1 增强原理
图为切变模型基础的示意图。（a）无应力体系；（b） 平行于纤维加拉伸载荷时的轴向位移u；（c）基体的切应力 和切应变随径向位置的变化。
nz i E I 3c 1 cosh sec hns r 0
nz n 3c i E I sinh sec hns r 2 0
β为图中lc/2线段上的面积与σf,max乘以lc/2积之比值。
l lc
当基体为理想塑性材料时，纤维上的拉应力从末端为零线形增大，则β=1/2，因此
l0 f ,max 1 2l

短纤维增强
若基体屈服强度为τmy，则纤维临界尺寸比为
当基体为弹性材料时

f ,max lc df 2 my
复合材料的载荷=基体载荷+纤维载荷 Pc=Pm+Pr
因P=σ • A，所以σ c • A c= σ m • A m+ σ r • A r ----（1） A c= A m+ A r A m / A c= f m A r / A c= f r (面积分数=体积分数)
（1）式两边同除以A c ， σ c • A c/ A c= σ m • A m/ A c+ σ 即σ c = σ m • f m + σ r • f r
Ef
并联模型
Em
串联模型
体积分数fr
4)短纤维增强
短纤维（不连续纤维）增强复合材料受力时， 力学特性与长纤维不同。该类材料受力基体变形 时，短纤维上应力的分布载荷是基体通过界面传 递给纤维的。在一定的界面强度下，纤维端部的 切应力最大，中部最小。而作用在纤维上的拉应 力是切应力由端部向中部积累的结果。所以拉应 力端部最小，中部最大。
（1）采用有限元法进行应力分析；
（2）确定（含有某些应力函数的） 偏微分方程；
（3）空间离散化（例如三角形或四 边形）。应力函数在节点上或单元内； （4） 计算各体积单元的“力”矢量 与“刚度”矩阵，这是核心； （5） 用各个体积单元的“力”与 “刚度”建立联立方程组； （6） 解该联立方程组，获得未知矢 量a； （7） 建立网格。
3)切变延滞模型
最广泛地应用于描述加载对顺向排列短纤维复合材料影 响的模型。 这一模型最早由Cox提出来，后来由其他许多人进一步 发展了这个模型。
这一模型的中心点在于认为拉伸应力由基体到纤维是通 过界面切应力来传递的。
应力是通过界面由基 体传递给纤维 适用于定向排列短纤 维 外加载荷平行于纤维 轴向 通过考虑基体内和界 面上切应力的径向变 化而建立的。
1 sin 1 t anh Al / d f f ,max Al / d f



A
1 3G f / Gm 2G f / Gm V f2 / 3 1 V f1 1
短纤维增强复合材料的拉伸强度为
24G f / E f 1 V f / Vm E f / Em
2
3 1
横向（方向2）刚度 ：
fm 1 fm 1 E2c Em EI
这里只能给出粗糙近似值，这种等应力的方法常称作 “Reuss模型”。
泊松收缩(泊松比、泊桑比）： 层板模型也可以预测某些泊松收缩。泊松比ν 在i方向加力时，j方向上产生的收缩 。
ij ：
2
3 1
23c
E2c f I 1 f m E 3c E 2c 3K c
2.2 几种主要的力学模型
1) 层 板 模 型
1)层板模型 轴向（ 方向3 ）刚度：
E 3c = E m • f m + E I •（1- f m ）
M代表基体，I代表掺入物（纤维）
这一著名的“混合定律”表明：复合 材料的刚度就是两组分的模量的加权平均 （取决于增强体的体积分数）。只要纤维 足够长，等应变的假设成立，上式在较高 的精确度范围内都是有效的。 等应变这种方法常称作“Voigt模 型”。


颗粒的尺寸较大(>1 μm) 基体承担主要的载荷 颗粒也承担载荷 颗粒约束基体的变形 σy 为复合材料的屈服强度
Gp为颗粒的切变模量 C为常数
颗粒的尺寸越小，体积分数越大，强化效果越好。一般在颗粒增强复合材料中， 颗粒直径为 1 ~ 50 μm，颗粒间距为1 ~ 25 μm，颗粒的体积分数为0.05 ~ 0.5。
1
ห้องสมุดไป่ตู้
21c 1 23c
式中
f 1 f Kc KI Km E 2c K 31 2
预测的泊桑比与SiC纤维在钛中的体积分数间的函数关系
概括地说，基于层板模型可用于预测长纤 维复合材料的弹性常数，但一般不能用于预测 内应力。这一点加上它不能用于非连续增强复 合材料，决定了它在MMC方面的应用是非常 有限的。
短纤维增强
σ σ
f lc为纤维中点的最大拉应力恰等于纤维的断裂强度时纤维的长度（临界长度） f max
l<lc

l=lc
lc /2
l l>lc
作用在短纤维上的平均拉应力为:
1 l lc f dl f ,max 1 1 l 0 l
2.2.1 加和特性(mean properties)
主要由原材料的组合形状和体积分数决定复合材料 的性能。相当于力学性能中的弹性模量、线膨胀率等结 构不敏感特性。复合法则为
Pc ( Pi ) Vi
n i 1
N
式中Pc为复合材料的特性，Pi为构成复合材料的原材料的 特性，Vi为构成复合材料的原材料的体积分数，n由实验 确定，其范围为 -1n1。热传导、电导、透磁率等都属 于此类，称为移动现象。其稳态过程可以按静电场、静 磁场的方法处理。
2EM n E I 1 M ln1 / f
n 是无量纲常数
1 2
4)有限差分与有限元模型
材料科学中的大多数问题都是要寻求一个普遍的二维二阶 方程的特定解：
a 2 b 2 c d e f g h 0 xy x y t x y
2.2.1 加和特性(mean properties)
为了将此类问题统一处理，现考虑标量场势，流束Ji以及由 Xi = ə / əxi定义的梯度场。矢量Ji与Xi的关系为 式中Lij为二维矩阵，相当于热传导、电导等物理常数。
诱电率、透磁率、电导系数、热导率、扩散系数等稳态过程的相似性