“计算机辅助动力学分析”第三讲——系统的动态设计技术

考虑电源频率10%的波动：
ω = 754 ± 75.4 = 679rad/s − 829rad/s
电源频率波动不会对系统工作带来影响。
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3 面向微型机电设备的系统设计(7)
(5) 悬臂梁的设计
ωn =
K eq M eq = h l12 E
ρ
或
h = l ωn
2 1
(3)建立系统传递函数
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Y (s) Ds + K H ( s) = = Ya ( s ) Ms 2 + Ds + K
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2.3 实例分析（3）
令： n = ω
K M
K ω D α = = n ，有 ζ ，= ， D 2ζ 2 MK
2 ωn s +α s +α H ( s ) = 2ζω n ⋅ 2 = ⋅ 2 2 2 s + 2ζω n s + ω n α s + 2ζω n s + ω n
ρ
E
ρ = 8 g cm 3 已知：
E = 2×1012 dyn cm 2
h 得： = 0.354cm
根据泵的实际尺寸，令： l1 = 15cm 标准钢带厚度参数：
公制(cm) 英制(in.)
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0.159 1/16
0.238 3/32
0.318 1/8
0.475 3/16
0.635 1/4
2 G ( s ) = s 2 + 2ζω n s + ω n 2 n
−1
[1 − (ω ω n ) ]2 + ( 2ζ ω ω n ) 2
2
2ζ ω ωn 1 − (ω ωn ) 2
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2.2.6 分母具有二次因子的频率特性曲线 传递函数： 幅频特性：G( jω ) = 1 [ω 相频特性： φ (ω ) = − tan
2 2 0 2
F (t ) = αN I sin ωt =
αN 2 I 02 (1 − cos 2ωt )
2
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3 面向微型机电设备的系统设计(5)
(4)系统固有频率的选择 取共振频率为F(t)的频率：
ω r = 2ω = 2 × 2π × 60 = 754rad/s
所以
ω n = ω c = × 2π × ωn ωc 1 ζ = = = 2α 4α 4
1 2 1 2 V ≈ 16.7 rad s L
进而
2 K = M ⋅ ω n ≈ 2.8 ×10 4 N m
D=
K
α
≈ 843N ⋅ s m
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3 面向微型机电设备的系统设计(1)
， ζ =
Deq 2 M eq K eq
R = H ( jω ) = 1
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[1 − (ω ω n ) ]2 + (2ζ ω ω n ) 2
2
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3 面向微型机电设备的系统设计(4)
（3）电磁力的分析
F (t ) = α ( NI ) 2 = αN 2 I 2
其中， α 为常数； 为电流；N 为线圈匝数。 I 若 I = I 0 sin ωt ，则
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3 面向微型机电设备的系统设计(8)
(5) 悬臂梁的设计 取钢带厚度标准值： 重算长度：
l1 = 14.2cm
h = 1 / 8in. = 0.318cm
因钢带的宽度标准值为1cm或1/2in.的整数 倍，令钢带的宽度为衔铁的直径，即
b = 2cm
6 从而有：K eq ≈ 11.2 ×10 dyn/cm
G1 ( s ) = as n G2 ( s ) = bs m
G ( s ) = G1 ( s )G2 ( s ) = abs n + m
幅频特性
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2.2.7 典型频率特性曲线的合成（2）
相频特性
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2.2.7 典型频率特性曲线的合成（3） 一次因子、二次因子积
M eq ≈ 18.1g
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3 面向微型机电设备的系统设计(9)
(6) 线圈的设计
a.确定需产生的磁力
K eq X max 11.2 × 106 × 0.1 X max = 2.5 ⇒ Fmax = = ≈ 4.48dyn? Fmax K eq 2.5 2.5
G(s) = s n
G ( jω ) = ω n
φ (ω ) = n × 90
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2.2.3 分子具有一次因子的频率特性曲线 传递函数： 幅频特性： 相频特性：
G ( s) = s + a
G ( jω ) = ω 2 + a 2
φ (ω ) = tan −1
ω
a
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又令：
Rα = Gα ( jω ) = ( ) 2 + 1 Rω = Gω ( jω ) = 1 [1 − (ω ω n ) ]2 + ( 2ζ ω ω n ) 2
2
ω α
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2.3 实例分析（4）
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2.3 实例分析（5）
选择标准：
(悬臂梁刚度) (b为梁的宽度； h为梁的厚度； E 为梁的弹性模量。)
3 面向微型机电设备的系统设计(3)
(2)系统传递函数及频率响应函数的建立
2 ωn X (s) H ( s) = = 2 2 F ( s ) K eq s + 2ζω n s + ω n
其中，
ωn =
幅频响应为
K eq M eq
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2.2.4 分母具有一次因子的频率特性曲线 传递函数： 幅频特性： 相频特性：
G(s) = 1 s+a 1
G ( jω ) =
φ (ω ) = − tan
ω 2 + a2 −1 ω
a
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2.2.5 分子具有二次因子的频率特性曲线 传递函数： 幅频特性： G( jω ) = ω 相频特性： φ (ω ) = tan
为提高系统稳定性，取：
ζ = 0.2
易得：
ωn =
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ωr
⎧ Rr = 2.5 ⎪ω ⎨ r = 0.959 ⎪ω n ⎩ ≈ 786rad/s
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0.959
3 面向微型机电设备的系统设计(6)
(4)系统固有频率的选择 半功率谐振带宽检验：
⎧ω b1 = 0.727ω n ≈ 571rad/s ζ = 0.2 ⇒ ⎨ ⎩ ω b 2 = 1.14ω n ≈ 896rad/s
例：谐振式微泵
如图所示为一个简易的谐 振式微泵，已知参数如图 所示，要求从节能的角度 设计微泵其他物理参数。 供电为频率60Hz、电流为 0.3A（峰值）的交流电。
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3 面向微型机电设备的系统设计(2)
解：(1)系统的集总模型的建立
因为受力点在衔铁的中心位置，所以 在衔铁的中心位置建立集总元件。
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2.1 系统频率响应的乘积表示方法（2）
线性时不变集总系统传递函数的乘积表示方法
H ( s) = c0 s p ( s + c1 ) ( s + e1 ) ( s + c f )( s 2 + d1s + d 2 )
p + f + s 2 < fm + sm 2
典型频率特性曲线的合成
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2.2.1 常数因子的频率特性曲线 传递函数： 幅频特性： 相频特性：
G ( jω )
C
G ( s) = C
G ( jω ) = C
φ (ω ) = 0
φ (ω )
0
ω
ω
O
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2.2.2 指数因子的频率特性曲线 传递函数： 幅频特性： 相频特性：
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2 面向频率响应的系统设计
系统频率响应的乘积表示方法 系统频率响应的图示法 实例分析
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2.2 系统频率响应的图示法
典型的频率响应曲线
常数因子的频率特性曲线 指数因子的频率特性曲线 分子具有一次因子的频率特性曲线 分母具有一次因子的频率特性曲线 分子具有二次因子的频率特性曲线 分母具有二次因子的频率特性曲线
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2.3 实例分析（1）
例 摩托车减振悬挂系统。一辆摩托 车在颠簸的路面上行进。假设路面 为正弦波形状起伏；摩托车前后悬 挂系统相互独立，且有一半的质量 分别落在前后轮上。现有如下已知 条件，欲设计摩托车前轮悬挂系统 使摩托车垂直方向的颠簸只有路面 颠簸幅度的1/4。已知： (1) M = 100kg ； (2) Vwenku.baidu.com= 20 m s ； L = 3.75m
K eq =
l +l Deq = Da ( 1 2 ) （ Da 为皮囊的进气单向阀等引起的阻尼。） l1 1 M eq ≈ M ( M eq 仅考虑悬臂梁等效质量。 M 为悬臂梁质量。) 4 M = ρl1bh ( ρ 为悬臂梁的密度。)
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3EI l13 bh 3 I= 12
幅频特性
G1 ( s ) = 1 s + 10 1 G2 ( s ) = s + 200
G ( s ) = G1 ( s )G2 ( s )
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2.2.7 典型频率特性曲线的合成（4）
相频特性
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2 面向频率响应的系统设计
系统频率响应的乘积表示方法 系统频率响应的图示法 实例分析
( s 2 + d s1s + d s 2 )
( s + e fm )( s 2 + f1s + f 2 )
( s 2 + f sm1s + f sm 2 )
乘积项共有以下几种形式：
常数项： c0 指数项： s p 一次项： s + ci , s + e j , (i = 1,2,..., f ; j = 1,2,..., fm) 二次项： s 2 + d i s + d i +1 , s 2 + f j s + f j +1 , (i = 1,2,..., s1; j = 1,2,..., sm1)
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2 面向频率响应的系统设计
系统频率响应的乘积表示方法 系统频率响应的图示法 实例分析
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2.1 系统频率响应的乘积表示方法（1）
线性时不变集总系统的一种数学模型
微分方程
d nx d n −1 x + a1 n −1 + n dt dt
传递函数
dx + an −1 + an x = f (t ) dt
X (s) 1 H (s) = = n F ( s ) s + a1s n −1 + + an −1s + an
推广的线性时不变集总系统传递函数为
X ( s ) b0 s m + b1s m −1 + + bm −1s + bm H (s) = = n ,m ≤ n n −1 F (s) s + a1s + + an −1s + an
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2.3 实例分析（2）
解：(1)建立系统的集总模型，如右 图； (2)建立数学模型： 或
My + D ( y − ya ) + K ( y − ya ) = 0 My + Dy + Ky = Dya + Kya
V ya = h sin( 2π t ) L
其中：
“计算机辅助动力学分析”第三讲
——系统的动态设计技术
主讲：沈润杰 （shenrunjie88@zju.edu.cn） 2009年冬季 现代制造工程研究所
内容提要
系统设计方法 面向频率响应的系统设计 面向微型机电设备的系统设计
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1 系统设计方法
决定系统的组成形式（依据技术指标） 决定系统的组织参数（依据技术指标） 所用材料、元件的选择（规范化） 进行必要的校验（依据技术指标）
2 G ( s ) = 1 ( s 2 + 2ζω n s + ω n ) 2 n
⋅ [1 − (ω ω n ) ]2 + ( 2ζ ω ω n ) 2 ]
2
−1
2ζ ω ω n 1 − (ω ω n ) 2
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2.2.7 典型频率特性曲线的合成（1） 常数因子、指数因子积
（1）ω c 尽可能地在斜率为-2 段上，提高其减振性能；(ω c 为 幅频特性衰减到零频时1/4的频 率点。) （2）α 尽可能地小，即 ζ 尽 可能地大，以提高系统瞬态过程 的稳定性。
由此确定：
ωc = α
而由图可见：
ω c = 2ω n
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2.3 实例分析（6）