高考数学复习 专题10 不等式选讲易错点

不等式选讲易错点 主标题：不等式选讲易错点 副标题：从考点分析不等式选讲易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。 关键词：绝对值不等式，含参数不等式，不等式证明，易错点 难度：3 重要程度：5 内容： 【易错点】 利用算术—几何平均不等式求最值

【典例】 已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．

[审题视点] (1)a 2＋b 2＋c 2，1a ＋1b ＋1c

分别用算术—几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术—几何平均不等式的条件．

解 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得

a 2＋

b 2＋

c 2≥3(abc )23

①

1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13

， 所以⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23

≥227＝63，③ 所以原不等式成立．

当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．

当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23

时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314

时，原式等号成立． [反思感悟] (1)利用算术—几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的

一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件．

(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误；二是求解等号成立的a，b，c的值时计算出错．