必修2-直线与方程知识点归纳总结

第三章 直线与方程

直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。 ②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1

21

2x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行

对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直

如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-g

注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程

1、直线方程的几种形式

注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；

（2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式

若两点),(),,(222111y x P y x P ，

且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

+=+=222121y y y x x x 3. 过定点的直线系

①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；

②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中.

三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点

设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点

坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++00

222

111C y B x A C y B x A 的解，

若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离

平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式2

1221221)()(y y x x P P -+-=

特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP += （2）点到直线的距离

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2

2

00B

A C By Ax d +++=

（3）两条平行线间的距离

两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2

2

12B

A C C d +-=

（注意：

① 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）

3. 两条直线位置关系的判定：

已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：

（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l

（2）;0,0-//1221122121≠-=⇔C A C A B A B A l l （3）;0,0-1221122121=-=⇔C A C A B A B A l l 重合与

（4）1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A 4. 有关对称问题 常见的对称问题： （1）中心对称

①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得⎩

⎨⎧-=-=11

22y b y x a x

②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//l l ，由点斜式得到所求直线方程。 （2）轴对称 ①点关于直线的对称

若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧-=-•--=++++1

)(0)2()2(1

212212

1B A x x y y C y y B x x A 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x （其中21,0x x A ≠≠）

7. 直线过定点问题：

① 含有一个未知参数，

12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=⇒x x a y （1） 令202-=⇒=+x x ，将3)1(2=-=y x 式，得代入，从而该直线过定点)3,2(-

② 含有两个未知参数

0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++⇒y x n y x m

令⎩⎨⎧-+-=+1203y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-=⇒73

71y x

从而该直线必过定点)73

,71(-

8. 点到几种特殊直线的距离

（1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =。 （2）点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.

（3）点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-。 （4）点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-. 9. 与已知直线平行的直线系有：

（1）平行于直线)(00//C C C By Ax C By Ax ≠=++=++的直线可表示为 （2）平行于直线)(//b b b kx y b kx y ≠+=+=的所有直线为