2016广州中考数学试卷及答案解析

秘密★启用前
广州市2016 年初中毕业生学业考试
数学
广州爱智康中考数学教研团队本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25 小题，满分150 分．考试时间120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1 面、第3 面、第5 面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分选择题（共30 分）
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入100元记作100 元，那么80 元表示（）
A．支出20元B．收入20 元C．支出80 元D．收入80 元
【考点】正数、负数．
【分析】正数与负数可以表示相反的意义．正数表示收入，则负数应表示支出．
【解答】C．
2．如图所示，几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
【考点】三视图．
【分析】由图可知该几何体由上下两个圆锥拼接而成，再结合圆锥左视图可推出答案．
【解答】A
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3．据统计，2015 年广州地铁日均客运量约为6 590 000 人次，将6 590 000 用科学技术法表示为（）A．6.59104 B．659104 C．65.9105 D．6.59106
【考点】科学记数法．
【分析】科学记数法的表示形式为a10n，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1 时，n 是正数；当原数绝对值小于1 时，n是负数．
【解答】D
4．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0 ~ 9 这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是（）
A．1
10 B．1
9
1
3
C．
D．1
2
【考点】概率．
【分析】依题意，仅需确定最后一个数字．最后一个数字总共有0 ~ 9 的十种等可能情况，因此一次就能打开密码锁的概率为1
10 ．
【解答】A
5．下列计算正确的是（）
A．x x 1
2
（y 0 ）B．xy2 xy
2 （y
0 ）
y y2y
2
C．2 x 3 y 5 xy（x 0 ，y 0）D．(xy3 )2 x2 y6
【考点】幂的乘方，分式乘除法，二次根式的加减．
【分析】A、根据幂的乘方法则得出结果，即可作出判断；
B、根据分式乘除法法则得出结果，即可作出判断；
C、根据二次根式加减法法则得出结果，即可作出判断；
D、根据幂的乘方与积的乘方法则得出结果，即可作出判断
【解答】D
6．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 千米/小时的平均速度用了4 小时到达乙地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系式是（）
A．v 320t B．v 320 C．v 20t D．v 20
t t
【考点】反比例函数的解析式．
路程
时间【分析】根据公式：路程= 速度时间，可算得甲乙两地之间的距离为320 千米；根据公式：=
速度
，可得出答案．
【解答】B
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7．如图，已知△ABC中，AB10 ，AC8 ，BC 6 ，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD（）
C A．3
B．4 E
C．4.8
D．5 A B
D
【考点】勾股定理；中位线；垂直平分线．
【分析】∵AB10 ，AC8 ，BC 6
∴AB2 AC2 BC2 ，ACB90
∵DE是AC的垂直平分线
∴AED90，点E是AC的中点，AD DC
∴ED∥BC
∴ED是△ABC的中位线，D为AB中点
∴ 1 5
AD AB
2
∴CD AD 5
【解答】D
8．若一次函数y ax b的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（）A．ab0 B．a b0 C．a2 b0 D．a b0
【考点】一次函数图像与系数的关系．
【分析】因为该一次函数的图像经过第一、二、四象限，因此a0 ，b0 ．
【解答】A ∵a0 ，b0 ，∴ab0 ，所以A 错；
B ∵a0 ，b0 ，∴a b0 ，所以B 错；
C ∵a2 0 ，b0 ，∴a2 b0 ，所以C 对；
D ∵a0 ，b0 ，∴a b无法确定大小，所以D 错．
9．对于二次函数 1 2 4
y x x，下列说法正确的是（）
4
A．当x0 时，y随x的增大而增大B．当x 2 时，y有最大值 3
C．图像的顶点坐标为( 2，7 ) D．图像与x轴有两个交点
【考点】二次函数的顶点坐标、性质和图像
【分析】A 由题可知，该二次函数开口向下，对称轴为x 2 ；因此当x 2 时，y随x的增大而增大，当x 2 时，y随x的增大而减小．所以A 错；
B 因为二次函数开口向下，因此有最大值；将x 2 代入解析式可算得y 3 ．所以B 对；
C 计算可得顶点坐标为( 2， 3 )．所以C 错；
D 计算可得 3 0 ，因此该二次函数与x轴没有交点．所以D 错．
【解答】B
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10．定义新运算：a★b a(1b) ，若a，b是方程 2 1 0
x x m（m1）的两根，则b★b a★a的值
4
为（）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【考点】新定义题型；解含参一元二次方程．
1
【分析】若a，b是方程x2 x m（m1）的两根，则a b1，由定义新运算可得
4
原式．b(1b) a(1a) b b a a a b(a b) (a b)(a b1) (a b)(11) 0
2 2 2 2
【解答】A
第二部分非选择题（共120 分）
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．分解因式：2a2 ab__________．
【考点】因式分解（提公因式法）．
【分析】原式提公因式a，即可得a( 2a b) ，因此答案为a( 2a b) ，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【解答】a( 2a b)
12．代数式9 x有意义时，实数x的取值范围是__________．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，故9 x0 ，即x9 ．
【解答】x9
13．如图，△ABC中，AB AC，BC12 cm ，点D在AC上，DC 4 cm ，将线段DC沿CB方向平移7 cm 得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为__________．
A
E D
B C
F
【考点】平移的性质，等腰三角形的性质．
【分析】线段平移过后的大小和方向不变，线段DC沿CB方向平移得到线段EF，故EF DC，EF∥DC，在△ABC中AB AC，等边对等角，故B C，又EF∥DC，所以EFB DCF，EFB ABC，
等角对等边，故EB EF．
【解答】线段DC沿CB方向平移得到线段EF，故EF DC 4 cm ，EF∥DC，∴EFB DCF
又∵AB AC，∴DCF ABC，EFB ABC，EB EF 4 cm
∵BC12 cm ，FC7 cm ，∴BF BC FC 5 cm
∴△EBF的周长为EB BF EF 4 5 4 13 c m ．
4 / 14
14．方程1 2
的解是__________．
2x x 3
【考点】解分式方程
【分析】原分式方程两边同时乘以2x(x3) ，得x 3 22x，解得x1，
检验：当x1时，2x(x3) 0 ，∴x1是原分式方程的解
【解答】x 1
15．如图，以点O为圆心的两根同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB12 3 ，OP 6 则劣弧AB的长为__________（结果保留）．
O
A B
P
【考点】切线的性质，垂径定理，三角函数，弧长公式．
【分析】弦AB为小圆的切线，点P为切点，故OP AB， 1 6 3
AP BP AB，在Rt△AOP中，
2
tan AOP= 3 l．
，AOP60，OA12，则AOB120，n r120 12 8
AP
OP AB
180 180
【解答】8
16．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：
①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED
③∠DFG112.5；④BC FG 1.5
其中正确的结论是__________．
A
H D
F
E
G
B C
【考点】旋转的性质，正方形和等腰直角三角形的性质，菱形和全等三角形的性质与判定．
【分析】△DCB旋转45得到△DGH，故△DGH≌△DCB，DHG DBC45，DGH DCB90又∵DAC45，∴AF∥EG
在Rt△AED和Rt△GED中，AD GD，ED ED，Rt△AED≌Rt△GED，
∴ADE GDE．故②正确；
在△ADF与△GDF中，AD GD，ADF GDF，FD FD
5 / 14
△≌△，∴DGF DAF 45，又∵DBA 45，∴FG∥AE
ADF GDF
∴四边形AEGF是平行四边形，
又AF GF，∴四边形AEGF是菱形，故①正确；
1
，DGF 45，∴DFG 112.5，③正确；
GDF ADB22.5
2
FG AE HA HD AD BD AD 2 1，BC FG 1 2 1 2 ，故④不正确．【解答】①②③
三、解答题（本大题共9 小题，满分102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（本题满分9 分）
解不等式组2x 5
，并在数轴上表示解
集．
3 x 2 x 4
【考点】解一元一次不等式组
【分析】首先解出每一个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集
【解答】解：
2x 5
3 x 2 x
4 ①②
解①得： 5
x
2
解②得：x 1
则不等式的解集是：1x 5 2
在数轴上表示为：
–2–10 1 2 3
5
2
18．（本题满分9 分）
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB AO，求∠ABD的度数．
A D
O
B C
【考点】矩形的性质、等边三角形性质
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOB是等边三角形，再由等边三角形的性质得出答案【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO BO
∵AB AO，∴AO BO AB，
∴△ABO是等边三角形，∴ABO BOA OAB60，即ABD60
6 / 14
19．（本题满分10 分）
某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录．甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：
小组研究报告小组展示答辩
甲91 80 78
乙81 74 85
丙79 83 90
（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；
（2）如果按照研究报告占40% ，小组展示占30% ，答辩占30% ，计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？
【考点】数据的统计与分析
【分析】（1）本题是一个统计问题，根据平均数的公式即可得到结果；
（2）根据加权平均数的算法即可得到结果
【解答】解：（1）甲组：9180 78 83
3
乙组：8174 85 80
3
丙组：79 8390 84
3
84 83 80
第一名：丙组，第二名：甲组，第三名：乙组
答：甲组平均分是83分，甲组平均分是80 分，甲组平均分是84 分
（2）甲组：9140% 8030% 7830% 83.8
乙组：8140% 7430% 8530% 80.1
丙组：7940% 8330% 9030% 83.5
83.8 83.5 80.1
答：甲组平均分是83.8 分，甲组平均分是80.1分，甲组平均分是83.5 分，甲组的成绩最高
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20．（本题满分10 分）
已知A (a b ) 4ab
2
ab(a b)2
（a，b 0 且a b）．
（1）化简A；
（2）若点P( a，b) 在反比例函数y 5
的图象上，求A的值．
x
【考点】（1）因式分解；（2）反比例函数．
【分析】（1）分子利用完全平方公式(a b ) a 2 2ab b2 化简后可得(a b)2 ，再分子分母进行约分可得1
A ；
ab
（2）因为点P( a，b) 在反比例函数y 5 的图象上，所以把点P( a，b) 代入解析式，可得b 5
， 5 的图象上，所以把点P( a，b) 代入解析式，可得b
5
x a 再把b 5 代入（1）式化简结果A 1 ，即可得到： 1
A ．
a a
b 5
【解答】（1）解：
(a b ) 4ab a 2ab b 4ab a 2ab b(a b) 1
2 2 2 2 2 2
A
ab(a b) ab(a b) ab(a b) ab(a b) ab
2 2 2 2
（2）因为点P( a，b) 在反比例函数y 5
的图象上，所以把点P( a，b) 代入解析式，x
可得b 5 ，再把b 5 代入（1）式化简结果A 1 ，即可得到： 1
A ．
a a a
b 5
21．（本题满分12 分）
如图，利用尺规作图，在△ABC的边AC上方作∠CAE ∠ACB，在射线AE上截取AD BC，连接CD，并证明：CD∥AB．
（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
A C
B
【考点】尺规作图，全等三角形的判定，平行线的判定．
【分析】尺规作图步骤：①分别以A、C为圆心，以一定长度为半径作弧，分别交AC边于点P、M，交CB 边于点N；②以P为圆心，MN长度为半径作弧，交弧于点E，作射线AE；③以A为圆心，BC长
度为半径作弧交射线AE于点D，连接CD，即为所求．
通过作图，可以得到∠CAE ∠ACB，AD BC，在结合公共边AC CA，可得△ACD≌△CAB
（SAS），则∠ACD ∠CAB，所以CD∥AB．
【解答】（1）如图所示，为所求图形．D （2）又（1）可得∠CAE ∠ACB，AD BC，
在△ADC和△CBA中，
E AD BC
A
∠CAE∠ACB
AC CA P
M
C
N
B
∴△ACD≌△CAB（SAS），∴∠ACD ∠CAB，则：CD∥AB
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22．（本题满分12 分）
如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人飞机A上看目标B，D的俯角分别为30，60，此时无人机的飞行高度AC为60 m ．随后无人机从A处继续水平飞行30 3 m 到达A处．
（1）求A，B之间的距离；
（2）求从无人机A上看目标D的俯角的正切值．
30°60°A
A'
B D C
【考点】勾股定理，锐角三角函数．
【分析】（1）因为从无人飞机A上看目标B的俯角分别为30，且AA∥BC，可得∠B 30．在Rt△ABC中，AC 60 m ，可得AB 2AC 260 120 m ．
（2）过A作A E AA交BC的延长线于点E，可得四边形AA EC为矩形，A E AC 60 m ，CE AA ．由题可得∠ADC 60，因为AC 60 m ，可求得
30 3 m
DC AC 60
tan ADC tan 60
∠
．从无人机A上看目标D的俯角∠AA D ∠A DE，
在
20 3 m
Rt△A DE中，tan 60 2 3
A E
∠，则从无人机A上看目标D的俯角的正
A DE
DE20 3 30 3
5
切值为2 3
．
5
【解答】（1）因为从无人飞机A上看目标B的俯角分别为30，且AA∥BC，可得∠B 30．
在Rt△ABC中，AC 60 m ，可得AB 2AC 260 120 m ．
30°60°A
A'
B
E
D C
（2）过A作A E AA交BC的延长线于点E，可得四边形AA EC为矩形，∴A E AC 60 m ，CE AA 30 3 m ．由题可得∠ADC 60，因为AC 60 m ，
可求得DC
AC 60
tan ADC tan 60
∠
20 3 m ．
．从无人机A上看目标D的俯角∠AA D ∠A DE，在Rt△A DE中，
∠，则从无人机A上看目标D的俯角的正切值为2 3
A E60 2
tan A DE 3
DE20 3 30 3 5 5
9/ 14
23．（本题满分12 分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x 3 与x轴交于点C，与直线AD交于点( 4 5 )
A，，点D的
3 3
坐标为D( 0，1)．
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
y
A
D
x
O C
【考点】一次函数（待定系数法求解析式），相似（相似的性质——对应边成比例）、等面积法
【分析】（1）求一次函数解析式利用待定系数法，把两点A、D的坐标代入解出方程组即可；
（2）三角形相似，注意对应关系不同，则有不同情况，多个答案．本题易漏解，需要分类讨论，不是直角，所以只需分①△BOD∽△BCE或②△BOD∽△BEC两种即可，同时第二种情况求
出BE、CE长度，还需要过E做垂直于x轴的高，用面积法求出点E的纵坐标，代入一次函数
解析式求出横坐标
【解答】（1）依题意设直线AD的解析式为y kx b，
又点( 4 5 )
A，，D( 0，1)
3 3
代入可得
4 5
k b
3 3
b 1
解得： 1
k
2
b 1
即直线AD的解析式为
1
y x 1
2
y
1
y x 1，
2
（2）有（1）可知直线AD为
令y 0 ，解得x 2 ，即交点B ( 2，0 ) 同理，亦可求点C( 3，0 )
又CBE不是直角，B
D
O
A
E
1
C
x
①当△BOD∽△BCE时，
如图，过点C作E C x于交直线AD于E，
1 1
有B O OD
，
则
CE
1
BC OD 5 1 5
BC CE
1
BO 2 2
∴
5
E( 3，)
1
2
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②当△BOD∽△BEC时
如图，过点C作C E AD于点
2 E，并过点E作E H x轴于点H，2 2 2
有
BO OD BD
，BE E C BC
2 2
则BE
2
BC BO 5 2
2
5 ，
BD 5
E C
2
OD BC 1 5
5 ，
BD 5
在R t△BE C中，
2
1 1
S BC E H BE CE
△
BE2C 2 2 2
2 2
BE CE
则E H 2 2
2 2 ，
BC
令y 2 ，代入直线AD： 1 1
y x 可得x 2
2
即点E，
2 ( 2 2 )
综上，当△BOD与△BCE相似时，点( 3 5 )
E，或E( 2，2 )
2
y
A
E2
D
B
x
O H C
24．（本题满分14 分）
已知抛物线y mx 2 (12m)x 13m与x轴相交于不同的两点A，B．（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当1
4
m 8 时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值，若有，求出最值
及相对应的m值；若没有，请说明理由．
【考点】二次函数与代数结合，考察学生对于参数的理解，可类比一次函数恒过定点来解决．第3 小问考查
求面积最值问题，涉及坐标来表示线段，通过配方求函数最值．
【分析】由于函数与x轴交于不同两点，故只需二次函数判别式来判定即可．关于函数过定点问题需要理解过定点的意义即为当x为某个值时，y与m无关,另外还需注意P 不在坐标轴上．第3 问中函数与轴
有两个交点，两交点的线段距离公式即为AB，或利用韦达定理来表示AB长度，当AB最
a
大时，面积即为最大．
11/ 14
【解答】（1）当m 0 时，函数为一次函数，与x轴只有一个交点，不符合条件，舍去
当m 0时，若函数与x轴交于不同两点，即方程mx 2 (12m)x 13m 0 有两个不相等实数
解，
∴(12m)2 4m (13m ) 18m 16m 2 (14m)2 0
∴14m 0 ，∴ 1
m
4
综上，m的取值范围为：m 0且
1
m ．
4
（2）y mx 2 (12m)x 13m，分离参数m得：
y m x x x ，抛物线过定点说明在这一点y与m无关( 2 3) 1
2
显然当x 2 2x 3 0 时，y与m无关，解得此时
x ，1 3 x 2 1
当x 时，y 4 ，定点坐标( 3，4 )
1 3
当x 时，y 0 ，定点坐标为( 1，
0 )
2 1
由于P不在坐标轴上，故P( 3，4 )
（3）
（）-4
1 2 (1 3 ) 1 4 4 4 12
m m m m m2 m m2
2
AB x x
A B
2
a m m
18m 16m (14m) 14m 1
2 2
m m m m
2 2
4
∵1 8 ，∴1 1 ＜4 ，∴31 1 4 0
1 31
m ＜，∴0＜ 4
4 8 m8 m m8
∴AB最大时，
1 31 8
4 ，解得，m 8 或m （舍
去）
m8 63
∴当m 8 时，AB有最大值
31
8
，此时S A BP最大；没有最小值．
则面积最大为： 1 1 31 4 31
S AB y
△ABP p
2 2 8 4
12/ 14
25．（本题满分14 分）
如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在弧BAD上，且不与点B，D重合），ACB ABD 45．
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连接CD，求证：2AC BC CD；
（3）若△ABC关于直线AB对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2 ，AM2 ，BM2 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
A
B D
C
【考点】圆的综合，旋转
【分析】（1）根据在同圆中，相等的圆周角对应的弦相等，得到△ABD是等腰直角三角形，即可得到BD是该圆的直径；
（2）在等腰直角三角形中会存在 2 的关系，所以需要构造出以AC为直角边，BC CD总长度为
斜边的等腰直角三角形．所以过A点作AE垂直AC且，AE AC，连接BE，只要证明E、B、C共
线且EB CD即可求证．
（3）在直角三角形中，由勾股定理得到直角三角形三边的平方关系，所以构造与AM、DM、BM相
关的直角三角形．△AMC、△ABD是等腰三角形，可以顺时针旋转△AMD使得AD与AB重合，
得到△ABM ，连接MM，得到AM AM，且MAM 90，所以AMM AM M
45，得到BMM 90，在Rt△BMM中即可得到DM 2 2AM 2 BM2 ．
【解答】解：（1）在外接圆中，∵ACB ABD 45，∴AB AD ，ADB ABD 45
∴BAD 90，则：BD是该外接圆的直径
（2）过A点作AE AC且AE AC，连接EB，如图所示
AE AC且AB AD，BAC是公共角，∴EAB DAC
A
在△AEB和△ACD中
E
AB AD
BAE DAC
AE AC
D
B
△AEB≌△ACD（SAS）
C
∴EB CD，ABE ADC，∵ABC ADC 180，∴ABC ABE 180
∴E、B、C三点共线
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∴EC BC EB BC CD，
在Rt△AEC中，2AC EC，则有：2AC BC CD
（3）把△AMD绕点A顺时针旋转90使得AD与AB重合，连接MM，得到△ABM 则AM AM，BM DM且MAM 90
M'在等腰直角△AMM 中，MM 2AM
M
∴M M 2 2AM2
∴AMM AM M 45
由对称图形性质可知：
A AM
B ACB 45
∴BMM 90
在Rt△BMM中
∵M B 2 M M 2 BM2B D ∴DM 2 2AM 2 BM2 ．
C
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