工科化学实验报告：去离子水的制备与水质检测

推论 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数.
例2
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2
1 1 x
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
o
证 作辅助函数
源自文库
F (a ) F ( 1 )
x
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f (a ) [ F ( x ) F (a )]. F (b) F (a ) ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 () 0.
几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y f ( x)
o a
1
2 b
x
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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3. 定理的证明
• 因为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必能取到最大值 M 和最小 值 m ,考虑两种可能的情况： (1) 若 m=M,则 f(x) 在 [a,b] 上恒等于常数 M(或 m),因而在 (a,b) 内处处有 f ˊ(x)=0， 因此可取 (a,b) 内任意一点作为ξ而使得 fˊ(ξ)=0成立。
y
C
X F ( x) Y f ( x)
M N
D
B
A
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x ) 及F ( x )
(a , b ) 内可导,且F ' ( x ) 在闭区间[a , b]上连续,在开区间
o
F (a ) F ( 1 ) F ( x )
F ( 2 )F (b )
也可写成 y f ( x0 x ) x (0 1). 增量y的精确表达式 .
f (b) f (a) f ( )(b a),
( a b)
(2)
y f ( x x)x,
(0 1)
(2'')
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
例4 设函数f ( x )在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
y f ( x)
M N
D
B
A
o a
1
x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y f (a ) ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB,
且 f (0) 1, f (1) 3.
则 f ( x )在[0,1]连续,
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 , 件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0.
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
x 例3 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x 证 设 f ( x ) ln(1 x ),
例5 设函数f ( x )在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 : 至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2 [ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
2 [ f (1) f (0)] f ( ) 2 x[ f (1) f (0)] f ( x ) x 设F ( x ) x 2[ f (1) f (0)] f ( x )
0
1
x
例2
f ( x ) x , x [1,1];
y
(1) f ( x ) C[1,1]; ( 2) f ( x ) D( 1,1); ( 3) f ( 1) f (1).
不 , 使f ( ) 0.
例3 f ( x ) x , x [0,1]; (1) f ( x ) C[0,1];
至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2 [ f (1) f (0)].
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
2. 图一
y C A y=f(x) B x
O
a
ξ
b
2. 图二
y f(b) B
C
f(a)
f(b)-f(a) b-a D
A a
O
ξ
b
x
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导,那末在
微分中值定理及其应用
• 前述内容，包括函数的极限、函数 在某一点的连续性、可导性，考虑 的都是函数在某一点的局部性质， 是否可以利用已学的概念来讨论函 数的某些全局性质呢？ • 中值定理对此问题给出了肯定的回 答。
一、内容概述
• 中值定理包括从特殊到一般的三 个定理，分别称作罗尔(Rolle)中值 定理、拉格朗日(Lagrange)中值定 理和柯西(Cauchy)中值定理。
费马(fermat)引理
且
证: 设 则
0 0
存在
(或 )
y
o
x0
x
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] ( 2) ( 3) 上连续,在开区间(a , b ) 内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ) ,那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零，
(1)
f ' ( ) 0 即
例如, f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续,
f ( x ) 2( x 1),
在( 1,3)上可导,
且 f ( 1) f ( 3) 0,
f () 0.
取 1, (1 ( 1,3))
2
在端点处函数值不相等
1 ( x 1) 2 y 0
3 x [0, ] 2
3 x [0, ) 2 3 x 2
在闭区间上不连续
对以上三个函数Rolle定理结论均成立
例1 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x ) x 5 5 x 1,
1
0
1
x
y
( 2) f ( x ) D(0,1); ( 3) f (0) f (1).
不 , 使f ( ) 0.
0
1
x
（2）罗尔定理的条件之一不满足其结论仍成立 例如
y 1 (| x | 1) 2
x [2,2]
在x=0处不可导
y 1 ( x 1)
f f ' 0
例2 设 f x 在[0，1]可导，且 f 0 f 1 0 证明存在 0,1使
f f ' 0
几何解释:
在曲线弧AB上至少有 一点C ( F ( ), f ( )), 在 该点处的切线平行于 弦AB.
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x )在 在(a , b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) x (0 1).
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 () 0.
即 f ( ) f (b) f (a ) F ( ) 0, F (b) F (a )
f (b) f (a ) f ( ) . F ( b ) F ( a ) F ( )
当 F ( x ) x,
所得曲线a , b两端点的函数值相等 .
作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x ) f ( x ) [ f (a ) ( x a )]. ba
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 F () 0.
f (b) f (a ) 即 f ( ) 0 ba
x
在(a , b ) 内每一点处均不为零，那末在(a , b ) 内至少 有一点(a b ) ,使等式
f (a ) f (b) f ' ( ) ' 成立. F (a ) F (b) F ( )
y
C
X F ( x) Y f ( x)
B
A
D
F ( 2 )F (b )
(2) 若 m<M，因为 f(a)=f(b)，因此m、 M 不可能同时是两端点的函数值， 即最小值 m 和最大值 M至少有一个 在开区间(a,b)内部取得，不妨设 f(ξ)=M， ξ∈ (a,b). 由条件(2)和费马定理推知 fˊ(ξ)=0.
5. 关于罗尔定理的两点说明
• 罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理 仅从理论上指出了它的存在性，而没有 给出它的具体位置，但这并不影响定理 的应用； • 罗尔定理的条件是充分条件，只要三个 条件均满足，就充分保证结论成立。但 如果三个条件中有一个不满足，则定理 的结论就不一定成立。看如下例子：
(a , b ) 内至少有一点(a b ) ，使等式
( 2) (1)
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
则 F ( x ) 在[0,1]上满足Rolle中值定理的条件 ,
在(0,1)内至少存在一点 , 有
2 [ f (1) f (0)] f ( ) 0 即 f () 2[ f (1) f (0)].
例1 设 f x 在[0，1]可导，且 f 0 f 1 0 证明存在 0,1使
f ( x )在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
1 f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
二、Rolle 定理的条件的讨论
（1）罗尔定理的条件缺一不可.
x 0 x 1时 例1 f ( x ) x 1时 0 y (1) f ( x ) C[0,1];
( 2) f ( x ) D(0,1); ( 3) f (0) f (1).
不 , 使f ( ) 0.