北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期3月模拟数学试题(word版含答案与评分标准)

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北京市中国人民大学附属中学2025届高三上学期暑假自主复习检测数学试卷

北京市中国人民大学附属中学2025届高三上学期暑假自主复习检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．4500元．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给表单价（元/kg）∴当单价小于2.6时，由于2.6＜2.8∴供给量＜70而此时，需要量＞70故此时，供给量＜需要量而当单价等于2.6时，需求量=70∴当单价大于2.8时，∵2.8＞2.6∴供给量＞70而此时，需要量＜70故此时，供给量＞需要量综上所述，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（2.6，2.8）内故选C点评：本题考查的知识点是函数的表示方法（列表法）及函数零点的判定定理，根据零点判断定理，即连续函数f （a ）?f （b ）＜0，则函数在区间（a ，b ）上有零点，是解答本题的关键．10．B【分析】利用共线定理可知对于任意,OM ON I Îuuuu r uuu r ，线段MN 上一点D ，都有OD I Îuuu r，则集合I 为“封闭集”，结合“封闭集”定义分别对选项进行判断可得A 错误，B 正确，再举出反例CD 错误．【详解】设,m OM n ON ==uuuu r uuu r r r ，(1)(1)OD m n OM ON l l l l =+-=+-uuu r uuuu r uuu rr r ，[0l Î,1]；则,[0,1]OD ON OM ON l l -=-Îuuu r uuu ruuuu ruuur，即可得,[0,1]ND NM l l =Îuuu r uuuu r，则点D 在线段MN 上，由题意可得，若对于任意,OM ON I Îuuuu r uuu r ，线段MN 上一点D ，都有OD I Îuuu r，则集合I 为“封闭集”，对于A ，集合{|(,)A a a x y ==，3}y x ³，若对于任意的1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 满足331122,y x y x ³³，则,OP OQ A Îuuu r uuu r，函数3y x =如下图，显然线段PQ 上任意一点3(D x ,3)y ，不一定满足333y x ³，图中所示333y x <，即OD A Ïuuu r；故集合{|(,)A a a x y ==,3}y x ³不为“封闭集”，即A 错误；对于B ，若{|(,)B a a x y ==,ln }y x £，对于任意的4(G x ,4)y ，5(H x ,5)y 满足44ln y x £，55ln y x £，则,OG OH B Îuuu r uuur，函数ln y x =如下图，显然线段GH 上任意一点6(E x ,6)y ，都有66ln y x £，即OD B Îuuu r；故可得集合{|(,)B a a x y ==,ln }y x £为“封闭集”，即B 正确；对于C ，由选项A 可知集合{|(,)A a a x y ==,3}y x ³不是“封闭集”，根据对称性，如图1可知{|(,)B a a x y ==,3}y x ³-不是“封闭集”，则A B Ç表示集合为阴影部分表示的点构成的区域如图2，显然任意的,OP OQ A B ÎÇuuu r uuu r，则线段PQ 上任意一点D ，都有OD A B ÎÇuuu r,故A B Ç是“封闭集”，故C 错误，图1 图2对于D ，若A ，B 都是“封闭集”，不妨取{|(,)A a a x y ==,}y x =，{|(,)B a a x y ==,}y x =-；对于任意的11(P x ¢,1)y ¢，12(Q x ¢,2)y ¢满足11y x ¢=¢，22y x ¢=¢，则11,OP OQ A Îuuu r uuuu r，函数y x =如下图，显然线段11PQ 上任意一点13(D x ¢,3)y ¢都有33y x ¢¢=，即1OD AÎuuuu r ；故{|(,)A a a x y ==,}y x =为“封闭集”，同理可得{|(,)B a a x y ==,}y x =-也为“封闭集”；而A B U 的图象如下：显然11,OR OS A B Îuuuu r uuurU ，但线段11R S 上任意一点1T 不满足y x =，也不满足y x =-，即1OT A B ÏuuurU ，即A B U 不一定是“封闭集”，即D 错误．即()()122g x g x +>-，所以122x x +<-，解得3x >，所以不等式的解集为()3,+¥.故答案为：()3,+¥.15．③④【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出9S 的最小值判断④作答.【详解】当*N (28)k k Î££时，由11k k a a -=+得11k k a a --=，由11k k a a +=-得11k k a a +-=，于是1k k a a --与1k k a a +-仅只一个为1，即11k k k k a a a a -+--¹，因此数列{}n a 不能是等差数列，①错误；令1(18)m m m b a a m +=-££，依题意，m b 与1m b +均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1），若13571b b b b ====，则2113224335447,1,2,1a a b a a b a a b a a b =+==+³=+³=+³，6557668772,1,2a a b a a b a a b =+³=+³=+³，而16a =，914a =，因此991671212121436i i S a ==³++++++++=å，当且仅当数列为6,7,1,2,1,2,1,2,14时取等号，若24681b b b b ====，则2113224335441,2,1,2a a b a a b a a b a a b =+³=+³=+³=+³，6557668981,2,13a a b a a b a a b =+³=+³=-=，而16a =，914a =，因此9916121212131442i i S a ==³++++++++=å，当且仅当数列为6,1,2,1,2,1,2,13,14时取假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD DE ⊥，A 1D DE ⊥，CD∩A 1D=D ，∴DE ⊥平面A 1CD ，又∵A 1C⊂平面A 1CD ，∴A 1C DE ⊥又A 1C CD ⊥，CD∩DE=D ∴A 1C ⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C （0，0，0），D （﹣2，0，0），A 1（0，0，2），B （0，3，0），E （﹣2，2，0）∴，设平面A 1BE 法向量为则∴∴∴又∵M （﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小45°（3）解：设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a [0∈，3]∴，设平面A 1DP 法向量为则∴∴假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=12﹣，a=2﹣∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．18．(1)分布列见解析，期望值为30(2)举行抽奖活动后该景区暑期的门票收入减少了，举行抽奖活动后该景区暑期的总收入增加了，理由见解析【分析】（1）求出X 的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望；（2）①假设不举行抽奖活动，该景区在暑假客流量为n 人，计算出不举行活动的门票收入和举行活动时的门票收入，比较后得到结论；②计算出每位游客除门票外平均在该景区消费的期望值，从而得到不举行活动的总收入和举行活动时的总收入，比较后得到结论；【详解】（1）X 的可能取值为10,15,20,35,40,60，在③中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；故所有符合题目条件的数列的序号为③．（2）当m =3时，设数列n A 中1,2,3，出现频数依次为123,,q q q ，由题意()11,2,3i q i ³=．①假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以14q ³．同理可证：34q ³．②假设21q =，则存在唯一的{}1,2,,k n ÎL ，使得2k a =．则对,s t "，有112k s t a a a a +=+¹+（k ，s ，t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ³．综上14q ³，34q ³，22q ³，所以14223420S ³´+´+´=，故S 的最小值为20.（3）设1，2，…，2024出现频数依次为122024,,,q q q L ．同（2）的证明，可得12024220234,4,2,2q q q q ³³³³，所以2032n ³．取12024220234,2q q q q ====，1,3,4,5,,2022i q i ==L ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2021,2022,2023,2023,2024,2024,2024,2024.n B LL 下面证明n B 满足题目要求．对{},1,2,,2032i j "ÎL ，不妨令i j a a £，①如果1i j a a ==或2024i j a a ==，由于120244,4q q ==，所以符合条件；②如果1,2i j a a ==或2023,2024j i a a ==，由于120244,4q q ==，220232,2q q ==，所以也成立；③如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s i j a a a ==-；同样的，如果2023,2024i j a a <=，则可选取1,2023s i i a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且i ，j ，s ，t 两两不相等；④如果12024i j a a <£<，则可选取1,1s i i t a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上对任意i ，j ，总存在s ，t ，使得i j s t a a a a +=+，其中i ，j ，s ，t {1,2∈，…，n }且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2032．【点睛】本题是给出了数列需满足的要求。

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试地理试题含解析

【2题详解】
结合材料信息可知，2024年2月7日，我国第五个南极考察站秦岭站正式开站，此时太阳直射点位于南半球，南极出现极昼现象，无法观测到极光，A错误；此时在近日点（1月初）之后，地球公转速度较快，B错误；此时正值我国立春节气附近，C正确；此时，太阳直射点位于南半球，全球除极昼极夜范围日出东南，D错误。故选C。
【点睛】遥感技术：实时监控、收集信息。地理信息系统：分析数据、决策信息、规划预测。全球卫星导航系统：定位。
图为我国陆地部分地壳等厚度线图。读图，完成下面小题。
5.图中（）
A.甲地地壳比周围地区厚度大B.乙地的莫霍面比周围地区浅
C.地壳厚度由东向西逐渐增大D.地壳厚度由南向北逐渐增大
6.若绘制地壳厚度剖面图，其0千米为（）
下图为松嫩平原地质剖面图。读图，完成下面小题。
7.图中（）
A.铁力处的花岗岩形成年代最早B.剖面线西端的岩层为侵入岩
C.通肯河与呼兰河间有向斜构造D.林甸处可见大量三叶虫化石
8.绥化处地层形成的主要地质过程是（）
A.古生代岩浆侵入——古生代沉积——抬升侵蚀——下沉第四纪沉积
B.中生代沉积——抬升侵蚀——下沉第四纪沉积——古生代岩浆侵入
【点睛】太阳视运动轨迹变化规律也与太阳直射点有关，当太阳直射点位于北半球时，全球（除极昼极夜范围外）日出东北，日落西北，此时北半球昼长夜短；当太阳直射点位于南半球时，全球（全球除极昼极夜范围外）日出东南，日落西南，此时北半球昼短夜长。
湖啸是由岩崩、滑坡、地震甚至风暴所引发的湖水产生类似海啸的“巨浪”，破坏力极强。研究人员以某大型水库区域作为模拟案例，进行了潜在湖啸灾害的预演和分析。图为大坝和滑坡体位置。读图，完成下面小题。
A.海平面B.莫霍界面C.岩石圈顶部D.软流层

北京市海淀区中国人民大学附属中学2023~2024学年八年级上学期期中数学试题

北京市海淀区中国人民大学附属中学2023~2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．北京中轴线是指位于北京老城中心，贯穿北京老城南北，并始终决定整个北京老城城市格局的庞大建筑群体．它既是城市核心建筑群的杰出范例，也是中华文明的独特见证．下面是2021北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴线标志设计赛道”中的几件入选设计方案，其中主体图案（不包含文字内容）不是．．轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．五边形的内角和等于（）A ．180︒B ．360︒C ．540︒D ．720︒3．如图，已知图中的两个三角形全等，则α∠度数是（）A ．50︒B ．58︒C ．60︒D ．72︒4．在平面直角坐标系xOy 中，点(5,2)关于x 轴对称的点的坐标为()A ．(5,2)--B ．(5,2)C ．(5,2)-D ．(5,2)-5．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在边BC 上，满足AD AE =，下列结论不一定成立的是（）A ．ADE AED ∠=∠B ．AC CD=C ．BAE CAD ∠=∠D ．BE CD=6．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（）A ．70°B ．40°C ．70°或40°D ．70°或55°7．在等边三角形ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PCE 的周长最小时，P 点的位置在（）A ．ABC 的重心处B ．AD 的中点处C ．D 点处D ．线段AD 靠近点D 的四等分点处8．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点P ，过点P作PD BC ⊥于点D ，记ABC 的周长为p ，PD r ＝，给出下面三个结论：①135APB ∠︒＝；②CD r ＝；③·AC BC pr＝上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题10．已知三角形的两边长分别是2和5，则第三边长c的取值范围是14．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为16．如图，,75AB AD DC BAC ==∠=17．如图，150AOB ∠=︒，OP 平分∠3PD =，则OC 的长为．18．在课堂的学习中，我们知道：在平面直角坐标系轴上找一点P ，使AOP 是等腰三角形．三、计算题19．已知一个等腰三角形的两边长x ，y 满足方程组524x y x y +=⎧⎨-=⎩，求这个等腰三角形的周长．20．如图，在ABC 中，AB AC >，AD 是角平分线，AE 是高，10AE CE DAE =∠=︒，，求CAE ∠和B ∠的度数AE四、证明题21．如图，B ，C ，E ，F 在同一条直线上，AB DE ∥，A D ∠=∠，BE CF =．求证：AC DF =．五、作图题(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接AQ BQ ，，六、证明题方法一证明：过点D 分别作足分别为E ，F ．．温馨提示：只选一种方法证明即可，如两种方法都选用的，只按方法一的证明给分．24．小宇和小明一起进行数学游戏：已知90=︒，将等腰直角三角板在平面内，使点A 的内部，且两个底角顶点B ，C 分别放在边(1)如图1，小明摆放ABC ，恰好使得AB AC ON ⊥⊥，又由于三角形，AB AC ＝，从而直接．．可以判断出点MON ∠的角平分线上．请回答：小明能够直接．．作出判断的数学依据是______．(2)如图2，小宇调整了ABC 的位置，请判断平分MON ∠是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．七、作图题25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为()4,3，连接AO ，点P 为x 轴上一点，且AOP 是以AO 为底边的等腰三角形．(1)利用圆规和无刻度的直尺，作出点P ．（保留作图痕迹）(2)已知点Q 的坐标为()3,0，请判断：点P 与点Q 在位置上满足______（填序号），并证明这个判断．①点P 在点Q 左侧；②点P 在点Q 右侧；③点P 与点Q 重合．八、证明题26．已知：点A 为直线MN 上一定点，点B 为直线MN 外一定点，30BAN ∠=︒．将点B 关于直线MN 对称，得到点C ，连接BC 交直线MN 于点P ．点D 为直线MN 上一动点（不与点A 重合），以BD 为边，作等边BDE （B ，D ，E 三点按顺时针方向排列），直线CE 交直线MN 于点F ．(1)如图1，求证：AD CE =，并求BCE ∠的度数；(2)当点D 在直线MN 上运动的过程中，①下列结论：（A ）AD CE =始终成立，（B ）BCE ∠的度数不变，（C ）点F 的位置不变，（D ）CF DF EF +=始终成立．其中所有正确结论的序号是______．②若线段PE 长的最小值为2，则线段AB 的长为______．九、应用题27．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P a b ，给出如下定义：若0b ≥，则将点P 关于y 轴对称得到点Q ；若0b <，则将点P 向上平移3个单位，得到点Q ．称点Q 为点(1)点()3,1P 的对应点Q 的坐标为______；(2)已知点(),0A m ，()1,3B m -，()3,3C m +-，连接AB ，AC ，得到折线段B A C --①当12m =-时，如图1，请判断是否存在这样的点Q ，使得点Q 同时是折线段B A C --上不同的两个点1P ，2P 的对应点？若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（注：本问的求解过程或理由，只需图形＋简要思路即可）②若折线段B A C --上任意两点．1P ，2P 的对应点都不相同，直接写出m 的取值范围．十、证明题28．已知在ABC 中，=45ABC ∠︒，ACB ∠为锐角，AD 是BC 边上的高，在射线DA 上取一点E ，使DE DC =，在平面内取一点F ，使,CF CA CF CA ⊥=，且点E ，F 在直线BC 的异侧，连接EF 交BC 于点M ．(1)如图1，当45ACB ∠<︒时，补全图形，并证明．FCB CAD ∠=∠；(2)在图1中用等式表示线段AD ，AE ，CM 的数量关系，并证明；(3)设1,AD =当ACB ∠的大小变化时，若2BM DM<，直接写出线段CD 长的取值范围．。

2021年北京朝阳区高三二模数学试卷-学生用卷

2021年北京朝阳区高三二模数学试卷-学生用卷一、单选题1、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第1题在复平面内，复数z=(1−i)2+1对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第2题下列函数是奇函数的是（）A. y=cos⁡xB. y=x2C. y=ln⁡|x|D. y=e x−e−x3、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第3题=1的一个焦点为(−2,0)，则双曲线C的一条渐近线方程为已知双曲线C:x2−y2b2（）A. x+√3y=0B. √3x+y=0C. x+√3y−1=0D. √3x+ y−1=04、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第4题已知函数f(x)=sin⁡(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的表达式为（）A. f(x)=sin⁡(2x+π6 )B. f(x)=sin⁡(2x−π6 )C. f(x)=sin⁡(x+π6 )D. f(x)=sin⁡(x+π3 )5、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第5题某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的5个面的面积中，最大的是（）A. 2B. √5C. √6D. 36、【来源】 2021~2022学年6月北京朝阳区东北师范大学附属中学朝阳学校高二下学期月考第8题设x>0，y>0，则“x+y=1”是“xy≤14”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第7题某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理.该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q 倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则q 的值至少为（）A. √2.45B. √2.55C. √2.44D. √2.548、【来源】 2021~2022学年12月北京朝阳区中国人民大学附属中学朝阳学校高三上学期月考第7题若圆O:x 2+y 2=1上存在点P ，直线l:y =k(x +2)上存在点Q ，使得OP →=QO →，则实数k 的取值范围为（）A. [−√3,√3]B. [−√33,√33]C. {−√3,√3}D. {−√33,√33}9、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第9题集合A ={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B 1,B 2,⋯,B n (n ∈N ∗).记b i 为集合B i (i =1,2,3,⋯,n)中的最大元素，则b 1+b 2+b 3+⋯+b n =（）A. 10B. 40C. 45D. 5010、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第10题已知抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为2，点P 是直线l 上的动点.若点A 在抛物线C 上，且|AF|=5，过点A 作直线PF 的垂线，垂足为H ，则|PH|⋅|PF|的最小值为（）A. 2√5B. 6C. √41D. 2√13二、填空题11、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第11题已知向量a→=(2,m)，b→=(−1,2)，且a→+2b→=0→，则m=.12、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第12题在等差数列{a n}中，已知a2=5,a5=2，则a3+a5+a7+a9=.13、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第13题已知sin⁡α=13，则sin⁡(2α+π2)=.14、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第14题“ S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“ S”，所以其图象也被称为“ S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量y(单位：个)与时间t(单位：小时)的关系近似为一个“ S”型函数y=3751+74e−0.08t .已知函数f(t)=3751+74e−0.08tt≥0.的部分图象如图所示，f′(t)为f(t)的导函数.给出下列四个结论：①对任意t1∈(0,24),t3∈(96,144)，存在t2∈(24,96)，使得f′(t2)>f′(t1)+f′(t3)2；②对任意t1∈(0,24),t3∈(96,144)，存在t2∈(24,96)，使得f′(t2)=f(t3)−f(t1)t3−t1；③对任意t2∈(24,96)，存在t1∈(0,24),t3∈(96,144)，使得f(t2)>f(t1)+f(t3)2；④对任意t2∈(24,96)，存在t1∈(0,24),t3∈(96,144)，使得f′(t2)=f(t3)−f(t1).其中所有正确结论的序号t3−t1是.三、双空题15、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第15题已知函数f(x)=3x，g(x)=|x+a|−2(a∈R).若函数y=f(g(x))是偶函数，则a=；若函数y=g(f(x))存在两个零点，则a的一个取值是.四、解答题16、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第16题bc.（1）求tan⁡A的值；（2）若3csin⁡A=√2asin⁡B，且△ABC的在△ABC中，b2+c2−a2=4√23面积S=2√2，求c的值.17、【来源】 2021~2022学年9月北京西城区北京市育才学校高三月考第18题为迎接2022年冬奥会，某地区高一､高二年级学生参加了冬奥知识竞赛.为了解知识竞赛成绩优秀不低于85分.学生的得分情况，从高一､高二这两个年级知识竞赛成绩优秀的学生中分别随机抽取容量为15､20的样本，得分情况统计如下图所示满分100分，得分均为整数.，其中高二年级学生得分按[85,90),[90,95),[95,100]分组.（1）从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，求其得分不低于90分的概率；（2）从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取3人，用频率估计概率，记X为取出的3人中得分不低于90分的人数，求X的分布列及数学期望；（3）由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生样本得分的最高分至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并说明理由.18、【来源】 2021~2022学年北京石景山区景山学校远洋分校高二上学期期中第20题如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，AB=3.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.（1）求证：AB⊥平面AA1C1C；（2）求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值.条件①：BC=5；条件②：AB⊥AA1；条件③：平面ABC⊥平面AA1C1C.19、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第19题已知函数f(x)=(x−1)e x−12ax2+1. a∈R.（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）判断函数f(x)的极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意x∈R，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.20、【来源】 2021年北京朝阳区高三二模第20题已知F为椭圆C:x 22+y2=1的左焦点，直线l:y=k(x−2)与椭圆C交于不同的两点M,N.（1）当k=−12时，求△FMN的面积；（2）设直线FM,FN分别与直线x=1交于两点P,Q，线段MN,PQ的中点分别为G,H，点A(15,0).当k变化时，证明:A,G,H三点共线.21、【来源】 2021~2022学年12月北京朝阳区中国人民大学附属中学朝阳学校高三上学期月考第21题已知各项均为整数的数列A N:a1,a2,⋯,a N N≥3,N∈N∗.满足a1a N<0，且对任意i=2,3,⋯,N，都有|a i−a i−1|≤1.记S(A N)=a1+a2+⋯+a N.（1）若a1=3，写出一个符合要求的A6；（2）证明：数列A N中存在a k使得a k=0；（3）若S(A N)是N的整数倍，证明：数列A N中存在a r使得S(A N)=N⋅a r.1 、【答案】 D;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 A;5 、【答案】 D;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 -4;12 、【答案】4;13 、【答案】7;914 、【答案】①②;15 、【答案】0;−3答案不唯一.;16 、【答案】（1）√2；（2）2√2.;417 、【答案】（1）2；（2）分布列答案见解析，数学期望：1.2；（3）99分，理由见解析.;5.;18 、【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）122519 、【答案】（1）ex−y+1−e=0；（2）答案见解析；（3）(−∞,0].;20 、【答案】（1）1；（2）证明见解析.;21 、【答案】（1）3,2,1,1,0,−1(答案不唯一)；（2）证明见解析（3）证明见解析.;。

北京中国人民大学附属中学2021届高三热身训练地理(三模)试题(含答案及解析).docx

2020-2021学年度高三年级地理学科热身练习第I 卷（选择题部分共45分）选择题（每小题只有1个正确选项符合题意，每小题3分，共45分）九九消寒图是我国民间传统文化中冬季“数九”计算日期的一种方法，图上共计九朵梅花，每朵九片花瓣，自冬至日开始，每天涂染一片花瓣，涂染完所有梅花共计81天。

下图为一位同学某日涂染的消寒图。

结合图文材料，完成下面小题。

1.该同学自冬至涂染至图中所示消寒图期间，北京（） A, 气温降至全年最低 C.白昼渐短黑夜渐长2.当整个消寒图涂染全部完成时（） A, 我国即将迎来立春节气 C.青藏地区容易遭遇寒潮【答案】1. D 2. B【解析】【分析】【1题详解】根据材料信息可知，自冬至开始，每天涂染一片花瓣，图中涂染了 8片花瓣，所以图示期间为冬至日至冬至日之后的第7天。

此时北京气温并不一定降至全年最低，A 错；太阳直射点逐渐北移，日出东南，且日出方位逐渐偏东，B 错；太阳直射点北移，北京白昼逐渐增长，黑夜逐渐变短，C 错;太阳直射点北移，北京的正午日影长度逐渐变短，D 正确，故选D 。

【2题详解】九九消寒图一共81天，约三个月（时间长度小于三个月），自冬至日开始涂染，整个消寒图涂染全部完成时，我B,日出方位逐渐偏南D,正午日影逐渐变短 B,黄河上游可能出现凌汛D.华北地区准备小麦收割国节气处于惊蛰与春分之间，已过了立春，A错；此时黄河上游处于融冰期，部分从低纬流向高纬的河段可能会出现凌汛现象，B正确；寒潮是冷空气入侵导致短时间内气温的急剧下降，青藏地区海拔高，受北方冷空气的影响相对较小，C错；华北地区种植冬小麦，秋种夏收，此时小麦并未处于收割期，D错。

故选Bo 【点睛】本题组解题的关键是明确九九消寒图与太阳直射点的移动之间的关系，从而判断日出方位、昼夜长短、正午日影等变化，其次要注意二十四节气中，每相邻两个节气之间约相差15天。

下图示意北京时间2021年5月21—22日世界上发生的三次震级较高地震的位置，下表为三次地震的相关信息。

2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模数学试卷-学生用卷

2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第1题4分集合P={3,log2a}，Q={a,b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）．A. {0,3}B. {0,2,3}C. {0,1,3}D. {0,1,2,3}2、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第2题4分2019~2020学年山西太原高三上学期期末文科第2题5分2020~2021学年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期开学考试理科第2题5分2020~2021学年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期开学考试文科第2题5分若复数z=1+√3i，则|z|=（）．A. 12B. √32C. 1D. 23、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第3题4分已知a=(13)25，b=(25)−13，c=log325，则（）．A. a<b<cB. c<b<aC. b<c<aD. c<a<b4、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第4题4分已知函数f(x)的图象沿x轴向左平移2个单位后与函数y=2x的图象关于x轴对称，若f(x0)=−1，则x0=（）．A. −2B. 2C. −log23D. log235、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第5题4分为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（）．A. 150B. 250C. 200D. 506、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第6题4分“φ=−π6”是“函数f(x)=sin⁡(2x+π3)(x∈R)与函数g(x)=cos⁡(2x+φ)(x∈R)为同一函数”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第7题4分2020~2021学年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期开学考试文科第7题5分2020~2021学年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期开学考试理科第7题5分某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）．A. 6B. 12C. 24D. 368、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第8题4分2020~2021学年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期开学考试文科第5题5分2020~2021学年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期开学考试理科第5题5分等比数列{a n }中a 1=1，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则an n (n ∈N ∗)的最小值为（）． A. 1625 B. 49 C. 12 D. 19、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第9题4分如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i =1,2,⋯,8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y =AB →⋅AP i →,i =1,2,3,⋯,8}中的元素个数（）．A. 1B. 2C. 4D. 810、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第10题4分某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线发生频移f p=2vsin⁡φλ夹角的一半，如图．若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1600nm(1nm=10−9m)，测得某时刻频移为8.0×109(1/h)，则该时刻高铁的速度v约等于（）．A. 320km/hB. 330km/hC. 340km/hD. 350km/h二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第11题5分2018~2019学年江苏扬州邗江区扬州新华中学高二上学期期中第5题5分抛物线y=x2的焦点到准线的距离为．12、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第12题5分2019~2020学年12月北京西城区北京市铁路第二中学高三上学期月考第12题5分2017年上海杨浦区高三三模2016年北京朝阳区高三一模理科第9题5分)5的展开式中含x4的项的系数是．（用数字作答）二项式(x2+1x13、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第13题5分已知关于x的不等式ax2−2x+3a<0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围为．14、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第14题5分在平面直角坐标系中，以双曲线x 2a2−y2b2=1,(a>0,b>0)右焦点为圆心，以实半轴a为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是．15、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第15题5分在一个不透明的口袋中装有大小，形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3， (9)甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球．甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球．已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半．给出下列四个结论：①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第16题14分在△ABC中，a=3，b=2√6，.求c的值．从①∠B=2∠A，②sin⁡B=sin⁡2A，③S△ABC=3√152，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第17题14分2019~2020学年重庆九龙坡区高二上学期期末第19题12分如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD//BC，∠BAD=90°，AB=AD=1，BC=3．(1) 求证：AF⊥CD．(2) 求直线BF与平面CDE所成角的正弦值．18、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第18题14分国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市在某一个月内测到的数据的平均值：(1) 从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？(2) 环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．(3) 设东部城市的AQI数值的方差为S12，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后AQI数值的方差为S22，判断S12和S22的大小．（只需写出结论）∑n i=1(x i−x)2．附：方差计算公式S2=1n19、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第19题15分已知函数f(x)=2x−me x，其中m为常数．(1) 若m=0且直线y=kx与曲线y=f(x)相切，求实数k的值．(2) 若y=f(x)在[1,2]上的最大值为2e2，求m的值．20、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第20题14分2019~2020学年11月广东广州天河区广州市第一一三中学高三上学期月考理科第20题12分椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√53，过点P(0,1)做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时|AB|=3√3．(1) 求椭圆E的方程．(2) 当k变化时，在x轴上是否存在点M(m,0)，使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．21、【来源】 2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三三模第21题14分2020~2021学年北京东城区北京市东直门中学高三下学期开学考试第21题2014年北京海淀区高三一模文科第20题在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）A(n)：A1,A2,A3,⋯,A n与B(n)：B1,B2,B3,⋯,B n，其中n⩾3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段A i A i+1⊥B i B i+1，其中i=1,2,3,⋯,n−1，则称A(n)与B(n)互为正交点列．(1) 试判断A(3)：A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)与B(3)：B1(0,2),B2(2,5),B3(5,2)是否互为正交点列，并说明理由；(2) 求证：A(4)：A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1)不存在正交点列B(4)；(3) 是否存在无正交点列B(5)的有序整数点列A(5)？并证明你的结论．1 、【答案】 C;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 D;9 、【答案】 A;10 、【答案】 A;;11 、【答案】1212 、【答案】10;);13 、【答案】(−∞,√3314 、【答案】(1,√2);15 、【答案】①②④;16 、【答案】选择①：c=5．选择②：c=5或3．选择③：c=√15或√51．;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √10．5;18 、【答案】 (1) 1．3;(2) ξ的分布列为：Eξ=2．;(3) S12>S22．;19 、【答案】 (1) 2．;(2) m=2．;20 、【答案】 (1) x29+y24=1．;(2) 存在，−512⩽m⩽512．;21 、【答案】 (1) 答案见解析;(2) 答案见解析;(3) 答案见解析;。

北京市中国人民大学附属中学2021届新高三数学暑假作业(含答案)

(D必要而不充分条件
(O充要条件
(D)既不充分也不必要条件
8.已知 Ω∈R,则 “Ω)2” 是“Ω2>‰ ”的( )
(A)充分而不必要条件
(D必要而不充分条件
(O充要条件
北京市中国人民大学附属中学
2021 届高三数学暑假作业
班级____________________ 姓名____________________
2020 年 08 月
数学暑期复习要求及作业建议
【数学暑期复习要求与建议】
1．请每天安排 1.5 小时，认真复习并完成暑假作业，开学后以班为单位收查． 2．每一章节建议做两个方面的工作：首先要梳理知识（包括看课本、笔记、整理以前的考试题与练习题），并进行单元小结，最好画出知识结构图；然后再做练习（配套做暑期作业上的相应练习）．如果是自己的薄弱章节，还要再找一些练习题加强训练． 3．做完练习后，要及时地总结方法和规律，针对自己出现的错题要搞清楚错因，搞清楚是知识性问题还是方法问题或其他问题，多问问为什么，并记录在改错本上．改错本要经常翻阅，避免再犯．有余力的同学再做北京近几年的高考题，了解北京高考的要求．
(D)‘ z丫
(A)充分而不必要条件
(O充要条件
(D必要而不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
~0为 ⒎若n9lJ忆 m)满足午
正常数 ,彳 ∈Nx λ则称忆m)为锝方比数列△
甲:数列 (Ω m)是等方比数列 ;乙 :数列 (Ω 刀)是等比数列 ,则甲是乙的( )
(A)充分而不必要条件
(A)(— 1,0,1)
(B)(— 1,0,2)
(C)(0,1,2)

云南师大附中2025届高考适应性月考卷(六)思想政治试题(含答案)

云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月月考思想政治试卷注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分100分，考试用时75分钟。

一、选择题 (本大题共 16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 2023年，全国国有及国有控股企业主要效益指标继续稳步增长，回升向好的态势进一步巩固。

十年来，全国企业国有资本权益年均增长14.6%左右。

到2023年，全国国有资本权益(含金融) 超120万亿元，国有资产总额占GDP 的比重，由2017年的45%左右上升到2023年的67%左右。

以上信息可以看出①我国公有制经济进一步巩固和壮大②公有资产在社会总资产的控制力增强③国有经济资产总额在 GDP 占比增长强势④非公有制经济占比下降，资产总额减少A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2. 菲利普斯曲线是用来表示失业与通货膨胀之间交替关系的曲线，通货膨胀率高时，失业率低；通货膨胀率低时，失业率高。

如图1所示，在其他条件不变的情况下. 若A点向 B 点移动，导致其产生这一现象的原因可能是①社会总需求不断增长，物价下降。

需求旺盛②社会总需求持续下降、产能过剩，产品积压③企业产能下降，社会总供给小于社会总需求④企业盈利空间收缩，清库存，缩小生产规模A.①③B. ①④C. ②③D. ②④3.下列对表格信息解读正确的是①中西部与东部地区收入相对差距有所缩小②中国式现代化需要解决效率与公平的先后问题③国家需要对西部地区加大转移支付的力度④中国式现代化需要解决好地区发展不平衡问题A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④4. 十三届全国人大二次会议以来，全国人大及其常委会优化与新增了部分工作：接待篇——来自36个国家和各国议会联盟的53个团组访华出行篇——65个团组访问了61个国家和地区的议会组织。

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中物理试卷(含答案)

2025届高三年级上学期期中综合练习-物理说明：本试卷18道题，共7页，共100分。

考试时长90分钟。

请考生将客观题答案填写在机读卡上，主观题答案答在答题纸上，考试结束后，需将机读卡和答题纸一并交回。

一、本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的，全部选对的得3分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。

把正确的答案填涂在答题卡上。

1.下列关于物理学史或物理认识说法正确的是（）A.牛顿的理想实验将实验事实和逻辑推理相结合得出了力不是维持物体运动的原因B.通过第谷观测，开普勒发现所有行星围绕太阳运动轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上C.牛顿对引力常量G 进行了准确测定，并于1687年发表在《自然哲学的数学原理》中D.根据平均速度的定义式，当，就可以表示物体在时刻的瞬时速度，则平均速度定义采用了比值定义法，瞬时速度在此基础上运用了极限法2.如图甲为某简谐机械横波在时刻波的图像，乙图为波的传播方向上某质点的振动图像。

下列说法正确的是（）A.该波一定沿x 轴正方向传播B.该波的波速是10C.若乙是质点Q 的振动图像，则0～0.15s 时间内，质点Q 运动的路程为1.5mD.若乙是质点P 的振动图像，则时刻，质点Q 的坐标为3.如图甲所示，一只蜗牛黏在竖直的葡萄杆上不动。

现保持葡萄杆的下端不动，将其上端沿顺时针方向缓慢转动，其简化模型如图乙所示，杆与竖直方向夹角在0~90°的转动过程中，下列分析正确的是（）A.初态葡萄杆竖直时蜗牛对葡萄杆的作用效果沿杆方向B.葡萄杆对蜗牛的作用力保持不变C.葡萄杆对蜗牛的作用力小于蜗牛对葡萄杆的作用力D.蜗牛所受重力的冲量等于零4.某实验小组在实验室中探究相互作用力的关系。

如图所示，把A 、B 两个弹簧测力计连接在一起，B 的左2121x x x v t t t -∆==∆-0t ∆→x t∆∆1t 0t =m /s0.15s t =(0.4m,0m)-端固定，用手水平向右拉测力计A 的右端；然后将B 的左端释放，用手竖直向上拉A ，使A 、B 处于静止状态。

北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2025届高三上学期11月统练(期中)数学试题(解析)

人大附中朝阳学校2024~2025学年度上学期高三年级期中试卷数学试题2024年11月1日出题人：金鑫审题人：高爽一､选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合()(){}|310M x x x =+-£，{}|2N x x =<，则M N È=（）A. (2,1]-B. [3,2)- C. (2,3]- D. [1,2)-【答案】B 【解析】【分析】分别确定集合M ，N ，根据并集的概念求M N È可得答案.【详解】因为{}[]|313,1M x x =-££=-，{}()|222,2N x x =-<<=-，所以[)3,2M N È=-.故选：B2. 下列函数既是奇函数，又在(0,)+¥上单调递增的是（）A. 1()1f x x =- B. ||()2x f x =C. ()tan f x x = D. 1()2f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性先排除AB 选项，再结合函数的单调性选择正确答案.【详解】对A ：因为函数1()1f x x =-的定义域为()(),11,¥¥-È+，定义域不关于原点对称，所以1()1f x x =-为非奇非偶函数，故A 错误；对B ：||||()22()x x f x f x --===，所以函数||()2x f x =偶函数，故B 错误；对C ：根据正切函数的性质可知，函数()tan f x x =在(0,)+¥不具有单调性，故C 错误；对D ：函数的定义域为()(),00,-¥È+¥，()11()22()f x x x f x x x æö-=--=--=-ç÷-èø，故函数为奇函为数，又()2120f x x=+>¢，所以函数在(0,+∞)上单调递增.故选：D3. 若||1,||2,()a b a b a ==-^r r r r r，则向量a r 与b r 的夹角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B 【解析】【分析】根据()a b a -^r r r ，得()0a b a -×=r r r，结合数量积的运算律求出a b ×r r ，再根据向量的夹角公式即可得解.【详解】因为()a b a -^r r r ，所以()0a b a -×=r r r ，即20a a b -×=r r r ，所以21a b a ×==r r r ，所以1cos ,2a b a b a b×==r r r rr r ，又0,180a b °££°rr ，所以向量a r与b r 的夹角为60°.故选：B.4. 设 n S 为等比数列 {}n a 的前 n 项和，已知 342322S a S a =-=-，，则公比 q =（）A. 2 B. -2C.12D. 12-【答案】A 【解析】【分析】根据数列的前n 项和与n a 的关系，两式相减，即可求解.【详解】由已知，342322S a S a =-=-，，两式相减得，32343S S a a a -==-，即342a a =，即432a q a ==.故选：A5. 下列命题中，真命题的是（）A. 若a b <，则11a b> B. 若a b >，则22a ab b >>C. 若0a b c <<<，则log log c c a b < D. 若22a b +=，则244a b +³【答案】D 【解析】【分析】举反例即可判断ABC ，根据基本不等式和指数运算即可判断D.【详解】对A ，当1,1a b =-=时，则11a b<，故A 错误；对B ，当1,2a b =-=-时，则21,2a ab ==，则2a ab <，故B 错误；对C ，当01c <<时，根据对数函数单调性知log log c c a b >，故C 错误；对D ，若22a b +=，则244a b +³==，当且仅当11,2a b ==时取等号，故D 正确.故选：D.6. 设,,a b g 是三个不同平面，且,l m a g b g ==I I ，则“//l m ”是“//a b ”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.【详解】若//a b ，,l m a g b g ==I I ，则由平面平行的性质定理：得//l m ；但当//l m ，,l m a g b g ==I I 时，可能有//a b ，也可能有,a b 相交，如l m ,是三棱柱的两条侧棱所在直线，g 是l m ,确定的平面，另两个侧面所在平面分别为,a b ，此时符合条件，而,a b 相交，所以“//l m ”是“//a b ”的必要不充分条件.故选：B7. 函数()()22cosf x x b w j =++的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（）A. π,12b w == B.π,12b w ==-C. π,1b w == D. π,1b w ==-【答案】B 【解析】【分析】先把函数解析式化成()cos y A x w j =+的形式，再结合函数的周期和值域求值.【详解】因为()()()22coscos 221f x x b x b w j w j =++=+++.由函数图象可知：10b +=Þ1b =-；又511244T =-=，所以2T =，又2π2T w =Þπ2w =.故选：B8. 已知向量a v ，b v 满足3a b +=r r ，0a b ×=v v ，若(1)()c a b l l l =+-ÎR r r r ，且c a c b ×=×r r r r ，则c v 的最大值为（）A. 3 B. 2C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】令a AM =r uuuu r ，b MB AN ==r uuur uuu r，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到AC MN ^uuu r uuuu r ，然后数形结合求c v的最大值.【详解】如图:令a AM =r uuuu r ，b MB AN ==r uuur uuu r ，则a b AM MB AB +=+=r r uuuu r uuur uuu r，故3AB =uuu r .因为0a b ×=v v ，所以AM MB ^uuuu r uuur ，记AB 的中点为O ，所以点M 在以AB 为直径的圆O 上.设c AC =r uuu r，连接MN ，因为(1)c a b l l =+-r r r ，所以点C 在直线MN 上.因为c a c b ×=×r r r r ，所以)0(c a b ×-=r r r ，即0AC NM ×=uuu r uuuu r，所以AC MN ^uuu r uuuu r .结合图形可知，当NM AB ^uuuu r uuu r 时，||AC uuu r 即c v取得最大值，且max 3||2c AO ==r uuu r .故选：D【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.9. 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD ．在底面BCE 中，若3,120BE CE BEC ==Ð=°，则该几何体的体积为（）A.272B.C. 27D. 【答案】C 【解析】【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱BCE ADF -与两个三棱锥S MAB -，S NCD -拼接而成.记直三棱柱BCD ADF -的底面BCE 的面积为S ，高为h ，所求几何体的体积为V ，则11sin1203322S BE CE =××°=´´=因为两个直三棱柱相同，故h CD BC ===，所以BCE ADF S MAB S NCDV V V V ---=++三棱柱三棱锥三棱锥111142732323Sh S h S h Sh =+×+×==.故选：C.10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0t =时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.6/s 7 B.6/s 7C. 2/s 7D.2/s 7【答案】B 【解析】【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知6m,2m AC BC v ==，结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，其在120,,t t t =时刻对应的点分别为O （坐标原点），,D E ，P 的速度为m /s,0v v >，因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====，可得22m r =，由题意可知：,AD BE 均与y 轴垂直，且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====，作BC AD ^垂足为C ，则6m,2m AC BC v ==，因为222AC BC AB +=，即236449v +=，解得v =又因为BC ∥y 轴，可知P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角即为ABC Ð，所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为6sin 7AC ABC ABÐ==.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.二､填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11. 复数2i12i+=-__________；对应的点坐标为__________；虚部是__________；模长为=__________.；共轭复数是__________.【答案】 ①. i②. ()0,1③. 1④. 1⑤. i-【解析】【分析】根据复数除法化简复数，由复数坐标定义、虚部定义、模长定义以及共轭定义求解.【详解】由复数除法可知()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 5+++===--+所以对应坐标为()0,1，所以虚部为11=，共轭复数为i -.故答案为：i ，()0,1，1，1，i -12. 已知角x 在第二象限，且 4sin 25x p æö+=-ç÷èø，则tan 2x =_____________.【答案】247-##337-【解析】【分析】先根据诱导公式得cos x ，再根据同角三角函数关系得tan x ，最后利用二倍角公式即可求解.【详解】因为4sin 25x p æö+=-ç÷èø，所以由诱导公式可得：4cos 5x =-，因为角x在第二象限，所以sin x =35=，所以sin tan cos x x x =353544æö=´-=-ç÷èø，所以22tan tan 21tan x x x =-2322447314æö´-ç÷èø==-æö--ç÷èø故答案为：247-.13. 在ABC V 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且2a c b +=，则角B 的取值范围为______．【答案】π0,3æùçúèû【解析】【分析】由余弦定理、基本不等式得出cos B 的范围即可得解.【详解】222222223326212cos 22882a c a c a cb ac ac ac ac B ac ac ac ac +æö+-ç÷+-+--èø===³=，当且仅当a c b ==，即ABC V 为等边三角形时，1cos 2B =，又0πB <<Q π0,3B æù\Îçúèû．故答案为：π0,3æùçúèû.14. 设函数(),22,2x a x f x a x +³=í-<ïî（0a >且1a ¹）．给出下列四个结论：①当2a =时，存在t ，方程()f x t =有唯一解；②当(0,1)a Î时，存在t ，方程()f x t =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ¹），()f x 的值域为[0,)+¥；④存在实数a ，使得()f x 在区间(),a +¥上单调递增；其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②④【解析】【分析】分情况，做出函数图象，数形结合，可得问题答案.【详解】当2a =时，可得函数图象如下：由220x -=Þ1x =22=，2222-=，结合图象：当(],1x Î-¥时，函数单调递减，且()[)0,2f x Î；当[)1,x ¥Î+，函数单调递增，()[)0,f x ¥Î+.所以当2t ³时，方程()f x t =有唯一解.故①正确；当01a <<时，函数图象如下：由20xa -=Þlog 20a x =<；由图象可知，当(],log 2a x ¥Î-时，函数单调递减，()[)0,f x ¥Î+；当()log 2,2a x Î时，函数单调递增，()()20,2f x a Î-；当[)2,x Î+¥时，函数单调递增，()(),f x a ¥Î+.因为()()2221a a a a --=-+-，因为01a <<，所以()()210a a -+->，即22a a ->.所以，当22a t a <<-时，方程()f x t =有三个解.故②正确；如图：由20xa -=Þlog 2a x =，再由log 22a >Þ1a <<，此时()f x 在(),2¥-上单调递减，在[)2,+¥上单调递增，且202a a <-<，所以此时函数的值域不是[0,)+¥.故③错误；由①可得，当2a =时，函数()f x 在()2,¥+上单调递增.即：存在实数a ，使得()f x 在区间(),a ¥+上单调递增.故④正确.故答案为：①②④【点睛】方法点睛：本题可以画出分段函数的草图，数形结合，可以比较轻松的解答.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,Nn n a S n +=+Î，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n a S +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -"Î³；③*21N ,2n n n n a a a ++"Î+<；④*11πN ,2cos2n n n n a a ++"Î=.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②【解析】【分析】①:先确定11,,n n a S +最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到12n n a a +³，再进一步通过放缩判断；③④求出123,,a a a ，然后举例排除.【详解】对于①：21110,1n n a S a +=+>=，则11,0n n a S +>>，则221131024n n n n n a S S S S +æö-=+-=-+>ç÷èø，即1n n a S +>，假设长度分别为11,,n n a S +的三条线段可以构成一个直角三角形，则1n a +为斜边，所以2211n n a S +=+，所以21111n n a a ++=-+，所以10n a +=或11n a +=，与11n a +>矛盾，故①错误；对于②：21122n n n n a S S a +=+³³，当且仅当1n =等号成立，。

高三数学月考试题含解析_1

中国人民大学附属中学2021届高三数学3月月考试题〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题〔本大题一一共10个小题，每一小题4分，一共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．〕 1.假设集合{}320A x R x =∈+>，{}2230B x R x x =∈-->，那么A B =〔〕A. {}1x R x ∈<-B. 213x R x ⎧⎫∈-<<-⎨⎬⎩⎭C. 233x R x ⎧⎫∈-<<⎨⎬⎩⎭D. {}3x R x ∈>【答案】D 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，然后进展交集的运算即可．【详解】2{|}3A x R x =∈-＞，B={x∈R|x＜﹣1，或者x ＞3}； ∴A∩B={x∈R|x＞3}．应选D ．【点睛】此题考察描绘法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算． 2.向量,,a b ca b λ+与c 一共线,那么实数λ=〔〕A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】由图像，根据向量的线性运算法那么，可直接用,a b 表示出c ，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=，又c = a b λ+，所以2λ=. 应选D【点睛】此题主要考察向量的线性运算，熟记向量的线性运算法那么，即可得出结果，属于根底题型.3.设曲线C 是双曲线,那么“C 的方程为2214y x -=〞是“C 的渐近线方程为2y x =±〞的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：由方程为2214y x -=的渐近线为2y x =±，且渐近线方程为2y x =±的双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，即可得结果.详解：假设C 的方程为2214y x -=，那么1,2a b ==，渐近线方程为by x a=±，即为2y x =±，充分性成立，假设渐近线方程为2y x =±，那么双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，∴“C 的方程为2214y x -=〞是“C 的渐近线方程为2y x =±〞的充分而不必要条件，应选A.点睛：此题通过圆锥曲线的方程主要考察充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接根据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否认性的命题或者比拟难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.假设冠HY获得者得分比其别人都多,且获胜场次比其别人都少,那么本次比赛的参赛人数至少为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】分析：对于四个选项里面给出的参赛人数分别进展分析，看是否满足条件，然后可得结论．详解：对于A，假设参赛人数最少为4人，那么当冠HY3次平局时，得3分，其别人至少1胜1平局时，最低得3分，所以A不正确．对于B，假设参赛人数最少为5人，当冠HY1负3平局时，得3分，其别人至少1胜1平局，最低得3分，所以B不正确．对于C，假设假设参赛人数最少为6人，当冠HY2负3平局时，得3分，其别人至少1胜1平局，最低得3分，此时不成立；当冠HY1胜4平局时，得6分，其别人至少2胜1平局，最低得5分，此时成立．综上C正确．对于D，由于7大于6，故人数不是最少．所以D不正确．应选C．点睛：此题考察推理问题，考察学生的分析问题和应用所学知识解决问题的才能．解题时要根据所给出的条件进展判断、分析，看是否得到不合题意的结果．5.假设抛物线y2＝2px〔p＞0〕上任意一点到焦点的间隔恒大于1，那么p的取值范围是〔〕A. p＜1B. p＞1C. p＜2D. p＞2【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的几何性质当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的间隔获得最小值2p，列不等式求解. 【详解】∵设P 为抛物线的任意一点，那么P 到焦点的间隔等于到准线：x 2p=-的间隔，显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的间隔获得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2．应选：D ．【点睛】此题考察抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点间隔的取值范围问题. 6.函数()()cos 2f x x φ=+〔ϕ为常数〕为奇函数，那么cos ϕ=〔〕A. 0B. 2-C.2D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数定义()00f =，代入即可求得cos ϕ的值．【详解】因为函数()()cos 2f x x ϕ=+〔ϕ为常数〕为奇函数所以()00f =，代入cos 0ϕ= 所以选A【点睛】此题考察了奇函数的应用及三角函数的求值，属于根底题． 7.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的最长棱为〔〕A. 4B. 22C. 7D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱．【详解】由三视图可得，该几何体是如下图的四棱锥11P DCC D -，底面11DCC D 是边长为2的正方形，侧面11PC D ∆是边长为2的正三角形，且侧面11PC D ⊥底面11DCC D ．根据图形可得四棱锥中的最长棱为1PC 和1PD ，结合所给数据可得1122PC PD ==，所以该四棱锥的最长棱为22 应选B ．【点睛】在由三视图复原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在复原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进展综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考察空间想象才能和计算才能．8.函数()f x =()21,01,0x x f x x -⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，假设方程()f x =x a +有且只有两个不相等的实数根，那么实数a 的取值范围是〔〕 A. 〔－∞，1〕 B. 〔－∞，1] C. 〔0，1〕 D. [0，+∞〕【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的表达，画出函数的图像，结合函数()f x 和y x a =+的图像有且只有两个交点，来求得实数a 的取值范围.【详解】当(]0,1x ∈时，(]11,0x -∈-，故()()1221xf x f x -=-=⋅-.当(]1,2x ∈时，(]10,1x -∈，故()2221xf x -=⋅-.以此类推，当(]1,x n n ∈-,n Z +∈时，()221n x f x -=⋅-.由此画出函数()f x 和y x a =+的图像如以下图所示，由图可知a 的取值范围是(),1-∞时，()f x 和y x a =+的图像有且仅有两个交点.即方程()f x =x a +有且只有两个不相等的实数根.故本小题选A.【点睛】本小题主要考察分段函数解析式的求法，考察数形结合的数学思想方法，考察方程的根和函数的零点问题，综合性较强，属于中档题.9.定义：假设存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212()()f x f x k x x -≤-成立，那么称函数()f x 在定义域D ()(1)f x x x =≥满足利普希茨条件，那么常数k 的最小值为〔〕 A. 4 B. 3C. 1D.12【答案】12【解析】试题分析：由中中利普希茨条件的定义，假设函数()(1)f x x x =≥满足利普希茨条件，所以存在常数k ，使得对定义域[1，+∞〕内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212()()f x f x k x x -≤-成立，不妨设12x x ＞，那么1212121x x k x x x x -≥=-+．而0＜121 x x +＜12，所以k 的最小值为12．应选D.考点：1.新定义问题；2.函数恒成立问题．10.在边长为1的正方体中，E ，F ，G ，H 分别为A 1B 1，C 1D 1，AB ，CD 的中点，点P 从G 出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q 从H 出发，沿折线HDAG 匀速运动，且点P 与点Q 运动的速度相等，记E ，F ，P ，Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点P 运动的路程为x ，在0≤x ≤2时，V 与x 的图象应为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分情况表示出三棱锥的体积，根据分段函数解析式断定函数图象.【详解】〔1〕当012x≤≤时，点P与点Q运动的速度相等根据以下图得出：面OEF把几何体PEFQ分割为相等的几何体，∵S△OEF111122=⨯⨯=，P到面OEF的间隔为x，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝21132⨯⨯x＝2•63x x=，23〔2〕当12＜x32≤时，P在AB上，Q在C1D1上，P到12，S△OEF111122=⨯⨯=，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝211113226⨯⨯⨯==定值．〔3〕当32＜x≤2时，S△OEF111122=⨯⨯=，P到面OEF的间隔为2﹣x，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝21132⨯⨯⨯〔2﹣x〕2133=-x，V 10321136222132332xx x x x ⎧≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，＜，＜，应选：C ．【点睛】此题考察求锥体体积，关键在于根据几何体特征准确分类讨论表示出锥体体积，结合分段函数解析式选择函数图象.二、填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分〕 11.代数式〔1﹣x 〕〔1+x 〕5的展开式中x 3的系数为_____．【答案】0 【解析】【分析】根据二项式定理写出〔1+x 〕5的展开式，即可得到x 3的系数.【详解】∵〔1﹣x 〕〔1+x 〕5＝〔1﹣x 〕〔0155C C +•x 25C +•x 235C +•x 345C +•x 455C +•x 5〕，∴〔1﹣x 〕〔1+x 〕5 展开式中x 3的系数为135C ⨯-125C ⨯=0．故答案为：0．【点睛】此题考察二项式定理，关键在于纯熟掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求得指定项的系数.12.在复平面内，复数12z i =-对应的点到原点的间隔是_______．【解析】因为复数12z i =-，所以z ==根据复数模的几何意义可知应选复数12z i =-对应的点到原点的间隔 13.函数假设42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩，a bc d ，，，是互不一样的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，那么abcd 的取值范围是_____．【答案】()24,25 【解析】【分析】画出函数y f x ＝（）的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得1ab ＝，由二次函数的性质可得10c d +＝，运用根本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围．【详解】先画出函数42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩的图象，如下图：因为a b c d ,,,互不一样，不妨设a b c d <<<，且()()()()f a f b f c f d ===，而44log log b -=，即有44log log 0a b +=，可得1ab =，那么abcd cd =，由10c d +＝，且c d <，可得2252c d cd +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，且2(10)(5)25cd c c c =-=--+，当4c =时，6d =，此时24cd =，但此时b ，c 相等，故abcd 的范围为(24,25)．故答案为2425（，）．【点睛】此题考察了利用函数图象分析解决问题的才能，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在此题中的运用．14.双曲线22221x yCa b-=：的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆2215xy+=有相等焦距，那么C的方程为_____【答案】x223y-=1【解析】【分析】根据渐近线倾斜角求出斜率得到ba=3.【详解】由椭圆的方程可得焦距为4，再由双曲线的渐近线方程可得：ba=tan60°3=a2+b2＝4，解得：a2＝1，b2＝3，所以双曲线的方程为：x223y-=1；故答案为：x223y-=1．【点睛】此题考察求双曲线的方程，根据椭圆求得焦距，根据渐近线的倾斜角得出斜率，建立等量关系求解根本量a，b，c.15.设S n为等差数列{a n}的前n项和，假设a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，那么n＝_____．【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的首项和公差表示出()2212n n n S n n -=+=，根据方程S n +2﹣S n ＝36即可得解.【详解】∵等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，那么()2212n n n S n n -=+=，22(2)n S n +=+，由S n +2﹣S n ＝36，得〔n +2〕2﹣n 2＝2〔2n +2〕＝36，解得：n ＝8．故答案为：8．【点睛】此题考察等差数列求和公式，根据求和公式建立等量关系求解未知数，关键在于熟记公式，准确计算.16.假如对于函数f 〔x 〕定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f 〔x 1〕≤f 〔x 2〕，且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f 〔y 1〕＝f 〔y 2〕，就称f 〔x 〕为定义域上的不严格的增函数．那么①()10111x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩，，＜＜，，②()1222x f x sinx x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，，＜，③()1101111x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩，，＜＜，，④()111x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩，，＜，四个函数中为不严格增函数的是_____，假设函数g 〔x 〕的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g 〔x 〕为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的g 〔x 〕有_____个．【答案】 (1). ①③ (2). 9 【解析】【分析】①③两个函数满足题意，②是严格单调递增的函数，不合题意，④当x 112=，x 2∈〔1，32〕，f 〔x 1〕＞f 〔x 2〕，不合题意；分别列举出满足条件的函数关系即可得解.【详解】由中：函数f 〔x 〕定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f 〔x 1〕≤f 〔x 2〕，且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f 〔y 1〕＝f 〔y 2〕，就称f 〔x 〕为定义域上的不严格的增函数．①()10111x x f x x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪≤-⎩，，＜＜，，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数； ②()1222x f x sinx x πππ⎧=-⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，，＜，当x 12π=-，x 2∈〔2π-，2π〕，f 〔x 1〕＞f 〔x 2〕，故不是不严格的增函数；③()1101111x f x x x ≥⎧⎪=-⎨⎪-≤-⎩，，＜＜，，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数； ④()111x x f x x x ≥⎧=⎨+⎩，，＜，当x 112=，x 2∈〔1，32〕，f 〔x 1〕＞f 〔x 2〕，故不是不严格的增函数；故的四个函数中为不严格增函数的是①③；∵函数g 〔x 〕的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g 〔x 〕为定义域A 上的不严格的增函数，那么满足条件的函数g 〔x 〕有：g 〔1〕＝g 〔2〕＝g 〔3〕＝1， g 〔1〕＝g 〔2〕＝g 〔3〕＝2， g 〔1〕＝g 〔2〕＝g 〔3〕＝3， g 〔1〕＝g 〔2〕＝1，g 〔3〕＝2， g 〔1〕＝g 〔2〕＝1，g 〔3〕＝3，g 〔1〕＝g 〔2〕＝2，g 〔3〕＝3， g 〔1〕＝1，g 〔2〕＝g 〔3〕＝2， g 〔1〕＝1，g 〔2〕＝g 〔3〕＝3， g 〔1〕＝2，g 〔2〕＝g 〔3〕＝3，故这样的函数一共有9个，故答案为：①③；9．【点睛】此题考察函数概念，涉及新定义，与单调递增比照，寻找满足条件的函数，关键在于读懂题意，根据不严格增函数的定义进展断定.三、解答题〔本大题一一共6个小题，一共80分，解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程．〕17.{}n a 是各项为正数的等差数列,n S 为其前n 项和,且24(1)n n S a =+.〔Ⅰ〕求1a ,2a 的值及{}n a 的通项公式; 〔Ⅱ〕求数列72n n S a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最小值. 【答案】〔1〕21n a n =-〔2〕172【解析】【试题分析】〔１〕借助题设条件运用等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组求解；〔２〕先确定目的函数解析式，再运用二次函数的图像与性质分析求解：〔Ⅰ〕因为()241n n S a =+，所以，当1n =时，()21141a a =+，解得11a =，所以，当2n =时，()()222411a a +=+，解得21a =-或者23a =，因为{}n a 是各项为正数的等差数列，所以23a =，所以{}n a 的公差212d a a =-=，所以{}n a 的通项公式()1121n a a n d n =+-=-.〔Ⅱ〕因为()241n n S a =+，所以()222114n n S n -+==，所以()2772122n n S a n n -=-- 2772n n =-+273524n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以，当3n =或者4n =时，72n n S a -获得最小值172- 18.如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB ＝90°，BE ＝BC ，F 为CE 的中点，〔1〕求证：AE ∥平面BDF ；〔2〕求证：平面BDF ⊥平面ACE ；〔3〕2AE ＝EB ，在线段AE 上找一点P ，使得二面角P ﹣DB ﹣F 的余弦值为1010，求P 的位置．【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析〔3〕P 在E 处．【解析】【分析】〔1〕通过证明FG ∥AE 即可证明；〔2〕通过证明BF ⊥平面ACE ，即可证得面面垂直；〔3〕建立空间直角坐标系，利用两个半平面法向量关系求解. 【详解】证明：〔1〕设AC ∩BD ＝G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵F 是EC 中点． ∴在△ACE 中，FG ∥AE ， ∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴AE ∥平面BFD ．〔2〕∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ， ∴BC ⊥AE ，又∵AE ⊥BE ，BC ∩BE ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE ，即AE ⊥BF ，在△BCE 中，BE ＝CB ，F 为CE 的中点， ∴BF ⊥CE ，AE ∩CE ＝E ， ∴BF ⊥平面ACE ，又BF ⊂平面BDF ， ∴平面BDF ⊥平面ACE ．〔3〕如图建立坐标系，设AE ＝1，那么B 〔2，0，0〕，D 〔0，1，2〕，C 〔2，0，2〕，F 〔1，0，1〕，设P 〔0，a ，0〕，()212BD =-，，，()101BF =-，，，()20PB a =-，，设平面BDF 的法向量为1n ，且()1111n x y z =，，，那么由1n ⊥BD 得﹣2x 1+y 1+2z 1＝0，由1n ⊥BF 得﹣x 1+z 1＝0，令z 1＝1得x 1＝1，y 1＝0，从而()1101n =，，设平面BDP 的法向量为2n ，且()2222n x y z =，，，那么由2n ⊥BD 得﹣2x 2+y 2+2z 2＝0，由2n ⊥PB 得2x 2﹣ay 2＝0，令y 2＝2得x 2＝a ，z 2＝a ﹣1，从而()221n a a =-，，， ()12221211010241n n a a cos n n a a θ⋅+-===⋅⋅++-，解得a ＝0或者a ＝1〔舍〕即P 在E 处．【点睛】此题考察证明线面平行和面面垂直，关键在于纯熟掌握断定定理，建立空间直角坐标系利用法向量求解二面角的大小，方法通俗易懂，注意计算不能出错.19.某旅游管理部门为提升该26个旅游景点的效劳质量，对该26个旅游景点的交通、平安、环保、卫生、管理五项指标进展评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与平安得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图请根据图中所提供的信息，完成以下问题：〔1〕假设从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其平安得分大于90分的概率；〔2〕假设从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记平安得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；〔3〕记该26个景点的交通平均得分为1x ，平安平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？〔只写出结果〕【答案】〔1〕35〔2〕见解析，1．〔3〕12x x ＞．【解析】【分析】〔1〕根据图象平安得分大于90分的景点有3个，即可求得概率；〔2〕ξ的可能取值为0，1，2，依次求得概率，即可得到分布列；〔3〕根据图象中的点所在位置即可断定平均分的大小关系.【详解】〔1〕由图象可知交通得分排名前5名的景点中，平安得分大于90分的景点有3个， ∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其平安得分大于90分的概率为35．〔2〕结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，平安得分不大于90分的景点有2个， ξ的可能取值为0，1，2．P 〔ξ＝0〕343615C C ==，P 〔ξ＝1〕21423635C C C ⋅==，P 〔ξ＝2〕12423615C C C ⋅==， ∴ξ的分布列为：∴E 〔ξ〕＝015⨯+135⨯+215⨯=1．〔3〕由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，平安得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而12x x ＞．【点睛】此题考察根据散点图求古典概型，分布列和数学期望，关键在于准确求出概率，根据图象中散点图特征断定平均值的大小关系. 20.函数f 〔x 〕1x=-x +alnx ．〔1〕求f 〔x 〕在〔1，f 〔1〕〕处的切线方程〔用含a 的式子表示〕〔2〕讨论f 〔x 〕的单调性；〔3〕假设f 〔x 〕存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122f x f x a x x ---＜．【答案】〔1〕y ＝〔﹣2+a 〕x +2﹣a ．〔2〕见解析〔3〕见解析【解析】【分析】〔1〕求出切点坐标，根据导函数求出切线斜率，即可得到切线方程；〔2〕求出导函数，对g 〔x 〕＝﹣x 2+ax ﹣1，进展分类讨论即可得到原函数单调性；〔3〕结合〔2〕将问题转为证明1212lnx lnx x x --＜1，根据韦达定理转化为考虑h 〔x 〕＝2lnx ﹣x 1x+的单调性比拟大小即可得证. 【详解】〔1〕∵f 〔x 〕1x=-x +alnx 〔x ＞0〕 ∴f ′〔x 〕221x ax x-+-=〔x ＞0〕 ∴当x ＝1时，f 〔1〕＝0，f ′〔1〕＝﹣2+a ，设切线方程为y ＝〔﹣2+a 〕x +b ，代入〔1，0〕，得b ＝2﹣a ， ∴f 〔x 〕在〔1，f 〔1〕〕处的切线方程为y ＝〔﹣2+a 〕x +2﹣a ．〔2〕函数的定义域为〔0，+∞〕，函数的导数f ′〔x 〕221x ax x-+-=，设g 〔x 〕＝﹣x 2+ax ﹣1，注意到g 〔0〕＝﹣1，①当a ≤0时，g 〔x 〕＜0恒成立，即f ′〔x 〕＜0恒成立，此时函数f 〔x 〕在〔0，+∞〕上是减函数； ②当a ＞0时，判别式△＝a 2﹣4，〔i 〕当0＜a ≤2时，△≤0，即g 〔x 〕≤0，即f ′〔x 〕≤0恒成立，此时函数f 〔x 〕在〔0，+∞〕上是减函数；〔ii 〕当a ＞2时，令f ′〔x 〕＞0x 令f ′〔x 〕＜0，得：0＜x 2a ＜或者x 2a +＞；∴当a ＞2时，f 〔x 〕在区间〔2a -，2a +〕单调递增，在〔0，2a -〕，〔2a +，+∞〕单调递减；综上所述，综受骗a ≤2时，f 〔x 〕在〔0，+∞〕上是减函数，当a ＞2时，在〔0，2a -〕，〔2a ，+∞〕上是减函数，在区间〔2a -，2a +〕上是增函数．〔3〕由〔2〕知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2＝1，那么f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕11x =-x 1+alnx 1﹣[21x -x 2+alnx 2] ＝〔x 2﹣x 1〕〔1121x x +〕+a 〔lnx 1﹣lnx 2〕＝2〔x 2﹣x 1〕+a 〔lnx 1﹣lnx 2〕，那么()()1212f x f x x x -=--21212()a lnx lnx x x -+-，那么问题转为证明1212lnx lnx x x --＜1即可，即证明lnx 1﹣lnx 2＞x 1﹣x 2，那么lnx 1﹣ln 11x ＞x 111x -，即lnx 1+lnx 1＞x 111x -，即证2lnx 1＞x 111x -在〔0，1〕上恒成立，设h 〔x 〕＝2lnx ﹣x 1x+，〔0＜x ＜1〕，其中h 〔1〕＝0，求导得h ′〔x 〕2x =-1()222221121x x x x x x--+-=-=-＜0，那么h 〔x 〕在〔0，1〕上单调递减，∴h 〔x 〕＞h 〔1〕，即2lnx ﹣x 1x +＞0，故2lnx ＞x 1x-，那么()()1212f x f x x x ＜--a ﹣2成立．【点睛】此题考察导函数的应用，根据几何意义求切线斜率，讨论函数的单调性，证明不等式，解决双变量问题，综合性强.21.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切.〔Ⅰ〕求椭圆方程；〔Ⅱ〕设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点〔异于S 〕，直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点. 求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值.【答案】〔Ⅰ〕22143x y +=；〔Ⅱ〕详见解析. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕求出,,a b c 后可得椭圆方程.〔Ⅱ〕当直线l 的斜率不存在，计算可得A B ，两点的纵坐标之积为9-.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，那么212121212()142()4A B x x x x y y k x x x x -++=-++，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简A B y y 后可得定值.【详解】解：〔Ⅰ〕因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切，所以半径b 等于原点到直线的间隔 d，b d ==，即b =由离心率12e =，可知12c a =，且222a b c =+，得2a =. 故椭圆C 的方程为22143x y +=. 〔Ⅱ〕由椭圆C 的方程可知(20)S ,.假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 方程为1x =，所以331122P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,, ,. 那么直线PS 的方程为3260x y +-=，直线QS 的方程为3260x y --=.令4x =，得(43)A ,-，(43)B ,. 所以,A B 两点的纵坐标之积为9-.假设直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=，依题意0∆≥恒成立.设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，那么2212122284123434k k x x x x k k-+==++,. 设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意,,P S A 三点一共线可知11422A y y x =--，所以点A 的纵坐标为1122A y y x =-.同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-. 所以12122222A B y y y y x x =⋅--212121212()142()4x x x x k x x x x -++=-++ 22222224128434412284(43)k k k k k k k --++=--⨯++22944k k -=⨯9=- 综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值.【点睛】求椭圆的HY 方程，关键是根本量确实定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组，消元后得到关于x 或者y 的一元二次方程，再把要求解的目的代数式化为关于两个的交点横坐标或者纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或者1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为假设干变量的方程〔或者函数〕，从而可求定点、定值、最值等问题.22.给定一个n 项的实数列()*12n a a a n N ∈，，，，任意选取一个实数c ，变换T 〔c 〕将数列a 1，a 2，…，a n 变换为数列|a 1﹣c |，|a 2﹣c |，…，|a n ﹣c |，再将得到的数列继续施行这样的变换，这样的变换可以连续进展屡次，并且每次所选择的实数c 可以不一样，第k 〔k ∈N *〕次变换记为T k 〔c k 〕，其中c k 为第k 次变换时选择的实数．假如通过k 次变换后，数列中的各项均为0，那么称T 1〔c 1〕，T 2〔c 2〕，…，T k 〔c k 〕为“k 次归零变换〞．〔1〕对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换〞，其中k ≤4；〔2〕证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换〞；〔3〕对于数列1，22，33，…，n n，是否存在“n ﹣1次归零变换〞？请说明理由．【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析〔3〕不存在，见解析【解析】【分析】〔1〕根据定义取恰当的值进展变换得解；〔2〕结合〔1〕进展归零变换的过程，可以考虑构造数列，经过k 次变换后，数列记为()()()12k k k na a a ，，，，k ＝1，2，…，进展变换T k 〔c k 〕时，()()()11112k k k k k c a a --+=+，依次变换即可得证；〔3〕利用数学归纳法证明该数列不存在“n ﹣1次归零变换〞.【详解】〔1〕方法1：T 1〔4〕：3，1，1，3；T 2〔2〕：1，1，1，1；T 3〔1〕：0，0，0，0．方法2：T 1〔2〕：1，1，3，5；T 2〔2〕：1，1，1，3；T 3〔2〕：1，1，1，1；T 4〔1〕：0，0，0，0．．…〔2〕经过k 次变换后，数列记为()()()12k k k na a a ，，，，k ＝1，2，…．取()11212c a a =+，那么()()11121212a a a a ==-，即经T 1〔c 1〕后，前两项相等；取()()()1122312c a a =+，那么()()()()()222111233212a a a a a ===-，即经T 2〔c 2〕后，前3项相等； …设进展变换T k 〔c k 〕时，其中()()()11112k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为()()()()()()12312k k k k k k k k n a a a a a a ++，，，，，，，，那么()()()()1231k k k k k a a a a +====；那么，进展第k +1次变换时，取()()()11212k k k k k c a a +++=+，那么变换后数列变为()()()()()()()1111111123123k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++，，，，，，，，，显然有()()()()()1111112312k k k k k k k a a a a a +++++++=====； …经过n ﹣1次变换后，显然有()()()()()111111231n n n n n n na a a a a ------=====；最后，取()1n n n c a -=，经过变换T n 〔c n 〕后，数列各项均为0．所以对任意数列，都存在“n 次归零变换〞．〔3〕不存在“n ﹣1次归零变换〞．证明：首先，“归零变换〞过程中，假设在其中进展某一次变换T j 〔c j 〕时，c j ＜min {a 1，a 2，…，a n }，那么此变换次数便不是最少．这是因为，这次变换并不是最后的一次变换〔因它并未使数列化为全零〕，设先进展T j 〔c j 〕后，再进展T j +1〔c j +1〕，由||a i ﹣c j |﹣c j +1|＝|a i ﹣〔c j +c j +1〕|，即等价于一次变换T j〔c j +c j +1〕，同理，进展某一步T j 〔c j 〕时，c j ＞max {a 1，a 2，…，a n }；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，假如某一数列经最少的次数的“归零变换〞，每一步所取的c i 满足min {a 1，a 2，…，a n }≤c i ≤max {a 1，a 2，…，a n }．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n ﹣1次归零变换〞．〔1〕当n ＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换〞，结论成立．〔由〔2〕可知，存在“两次归零变换〞变换：125322T T ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，〕〔2〕假设n ＝k 时成立，即1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换〞．当n ＝k +1时，假设1，22，33，…，k k ，〔k +1〕k +1存在“k 次归零变换〞．此时，对1，22，33，…，k k 也显然是“k 次归零变换〞，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换〞，那么k 是最少的变换次数，每一次变换c i 一定满足1k i c k ≤≤，i ＝1，2，…，k ．因为()111212|(1)|(1)k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++≥〔k +1〕k +1﹣k •k k ＞0 所以，〔k +1〕k +1绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当n ＝k +1时不存在“k 次归零变换〞．由〔1〕〔2〕命题得证．【点睛】此题考察数列新定义问题，关键在于读懂题目所给新定义，根据定义进展构造，分析证明，涉及与正整数有关的命题可以考虑利用数学归纳法进展证明.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

北京市海淀区中国人民大学附属中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题(解析版)

为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况小明同学随机抽取了部分学生进行调查规定每人必须并且只能选择其中一个课程并把调查结果绘制成如图所示的统计图根据这个统计图可以估计七年级500名学生中选择做豆腐课程的学生约为名
2021-2022学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷
一.选择题：（每小题3分，共30分）
7.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（1）），然后拼成一个平行四边形（如图（2）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）
A a2﹣b2＝（a﹣b）2B. （a+b）2＝a2+2ab+b2
C. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D.a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】100
【解析】
【分析】用整体1减去篮球、硬笔书法、戏剧赏析、剪纸所占的百分比，求出做豆腐课程所占的百分比，再用该学校500名学生乘以做豆腐课程所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，估计该学校500名学生中选择做豆腐课程的学生约为500×（1-30%-20%-14%-16%）=100（名），
14.为了贯彻和落实“双减政策”，某学校七年级在课后辅导中开设剪纸、做豆腐、硬笔书法、篮球、戏剧赏析五个课程．为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况，小明同学随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计七年级500名学生中选择做豆腐课程的学生约为___名．
【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线之间的距离，理解平行线之间距离的定义和点到直线的距离垂线段最短是解题关键．
18.若x+y＝5，xy＝6，则x2y﹣xy2的值为___．

北京市中国人民大学附属中学分校2025届高三10月质量检测练习数学试卷

北京市中国人民大学附属中学分校2025届高三10月质量检测练习数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =--<=∈Z ，则A B =I （）A ．()2,4-B ．[)0,4C ．[]0,1D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（）A ．()1f x x=B ．()cos f x x =C ．()13f x x =-D ．()e e x xf x -=-3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（）A ．bB C ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（） A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π35．已知函数()9lg 1f x x x =-+，则()0f x >的解集为（） A ．()0,10B ．()1,10C ．()()0,110,∞⋃+D ．()(),110,-∞+∞U6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x -是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（） A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G GL L D =，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg 20.3010=）A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b>”是“2256a b ab +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=-≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中 x 表示不超过x 的最大整数.若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫⎪⎝⎭.则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（）A ．12±B．C． D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线y =f x 相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx -在 0,+∞ 上的极大值点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．函数()f x = 12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为．13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωϕω⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=．14．已知函数()()ln 1f x x k =+-有两个零点,()a b a b <，则()21a b ++的取值范围为． 15．已知函数()12(0)f x x ax a =++->定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论：①()M a 的最小值为1； ②()M a 的最大值为3； ③()f x 在(),1∞--上单调递减；④a 只有唯一值使得y =f x 的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论的是：．三、解答题16．已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ． (1)求{}n a 的通项公式：(2)若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ． 17．已知函数π()sin cos cos sin (0,||)2f x x x ωϕωϕωϕ=-><．(1)若(0)f =，求ϕ的值； (2)已知()f x 在π2π[,]63上单调递减，2π()13f =-，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值． ①5(π,0)12是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π1()32f -=；③()f x 在π[0,]6上单调递增；18．已知函数()32243f x x x x a =+-+ (1)若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4-的切线方程； (2)求函数的单调递增区间；(3)若函数在[]1,2-上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）(1)根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；(2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．20．已知函数()()2e xf x x x =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a yg x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =-． (1)求()1g x 的解析式；(2)当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由； (3)若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a->-成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．已知集合(){}{}12Ω,,...,,0,1,1,2,...,n n i X X x x x x i n ==∈=，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1或连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()11n k Y k n -∈Ω≤≤-；进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N “10月变换”的结果上再进行1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．(1)若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到4Y ∈Ω，2Z ∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．(2)对于()1000,0,...,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,...,0,1Y =∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．(3)证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。

北京市中国人民大学附属中学2025届高三年级10月质量检测练习物理试卷+答案

人大附中2025届高三年级10月质量检测练习-物理参考答案2024-10-811．（1）CD （2）1.76 -0.468 0.465 （3）D12.（1）C （2）D （3）B （4）如下图所示：（5） 9.86 （6）C13．（8分）（1）（2分）如图1所示；-------------------------【2分】（2）（3分）将拉力F 分别沿水平和竖直方向进行分解，根据牛顿运动定律，可得:cos F f ma θ-=------------------------ ----【1分】sin 0N F mg θ+-=---------------------------【1分】物体所受滑动摩擦力大小为f N μ=联立上述三式，可得()2cossin 6m /s F a g m θμθμ=+-=-----------------【1分】（3）（3分）根据运动学公式，可得2112m 2x at ==----------------------------【3分】14. （8分）（1）（3分）水从管口沿水平方向喷出做平抛运动，设水喷出时速度为0v ，落地时间为t 。

【1分】水平方向：tv h 010= ----------------------------------【1分】【1分】θ F mg f 图1 图13 T 2/s 2L/m 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 3.05.0（2）（2分）时间t ∆内喷出的水的质量0m v t S ρ∆=⋅⋅∆⋅，联立以上各式解得：0m ρ= ----------------------------【2分】（3）（3分）设地面与水面的距离为H ，则时间t ∆内水泵输出功201()2W m g H h m v =∆⋅++∆⋅ -----------------------------------【1分】输出功率P =Wt ∆---------------------------------------------【1分】解得：26)P H h ρ=+=150ρ【1分】15.（8分）（1）（2分）由牛顿第二定律可得 mgsin θ =ma代入数据可得 a = 6m/s 2由匀加速直线运动公式v 2 = 2aL代入数据可得/B v s = -------------------------------------------------------------【1分】所以重力做功的功率sin 6000.6B P mg v θ=⋅=⨯⨯=-------------------------------------------【1分】（2）（3分）从A 到B ，根据动能定理mgL sin θ+W f =2102mv - ---------------------【2分】解得 W f =-9000J --------------------------------------------------------【1分】（3）（3分）设CD 间距离为，根据平抛运动的规律-------------------------------------------------------【1分】'21sin 2L gt θ=--------------------------------------------【1分】联立解得 --------------------------------------【1分】16.（9分）（1）a.（2分）不变量分别是第一段：拉力、加速度，第二段：功率----------------------------【2分】 b. （3分）由图象可知，第一时间段内重物所受拉力F 1＝6.0N ------------------------------------【1分】设重物质量为m ，重物加速mG F a -1=，第三个时间段内重物所受拉力F 2=mg =5.0N 联立解得 a =2.0m/s 2-----------------------------【1分】在第二段时间内，拉力的功率12W P Fv ==--------------------------------------------------------------【1分】L '3cos =L θv t '=192m L '（2）（2分）第一时间段内拉力大小恒定，则拉力的平均功率为0026622v P F v F W W ++=⋅=⋅=⨯=--------------------------------------【2分】（3）（2分）设第一段时间为t 1，重物在这段时间内的位移为x 1，则12.0s 1.0s 2.0B v t a ===， x 1=12at 12=1.0m ；设第二段时间为t 2，t 2=t -t 1=0.50s ；重物在t 2这段时间内的位移为x 2，根据动能定理有22221122C B Pt Gx mv mv -=-，解得 x 2=1.112m -------------------------------【1分】所以被提升重物在第一时间段内和第二时间段内通过的总路程：12 2.112x x x m =+=------------------------------【1分】17.（10分）（1）（2分）证明：由212v GMmm R R =⋅可知：1v =【2分】（2）a （2分）:错误原因：将上升过程的加速度当成不变的-------------------------------------【2分】 b （3分）:设物体上升的最大高度为h ，由能量守恒可知：21102GMm GMmmv R R h-+=-++ 地面上质量为0m 的物体受到地球引力等于其重力，即02GMm m g R = 联立解得：h R =------------------------------------------------------------------------------------------------------------【3分】（3）（3分）当物体距离高度h 时的重力加速度为h g ，则2()h GMmmg R h =+，h 增大，h g 将减小。

北京中央民族大学附属中学2023届高三下学期3月零模数学试题(含答案解析)

北京中央民族大学附属中学2023届高三下学期3月零模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|12}A x x =-<≤，{}2,1,0,2,4B =--，则()R A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}1,2-C ．{}2,4-D ．{}2,1,4--2．已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（）A ．2i--B ．2i-+C ．2i+D ．2i-3．下列函数，既是奇函数，又是其定义域内增函数的是（）A ．66x x y -=-B ．tan y x =C ．3y x =-D ．31y x =+4．直线34120x y ++=与圆()()22119-++=x y 的位置关系是（）A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心5．双曲线为2214y x -=，则它的焦点到渐近线的距离为()A ．2B C ．1D6．药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度()C t （单位：g /ml μ）随时间t （单位：h ）的变化规律可近似表示为0()=ektC t C -⋅，其中0C 表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k 表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数0.5k =（单位：1h -），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为4.5g /ml μ，当患者清醒时测得其血药浓度为0.9g /ml μ，则该患者的麻醉时间约为(ln5 1.609)≈（）A ．3.5hB ．3.2hC ．2.2hD ．0.8h7．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，281112a a a ++=，则13S =（）A ．32B ．42C ．52D ．628．若非零向量a ，b 满足3a b = ，()23a b b +⊥ ，则a 与b 的夹角为（）A ．23πB ．3πC ．56πD ．6π9．已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知集合A 满足：①N A ⊆，②,,x y A x y ∀∈≠，必有2x y -≥，③集合A 中所有元素之和为100，则集合A 中元素个数最多为（）A ．11B ．10C ．9D ．8二、填空题11．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.12．已知抛物线C ：24y x =，C 的焦点为F ，点M 在C 上，且6FM =，则点M 的横坐标是______．13．在()()5611x x ++-展开式中，含4x 的项的系数是__________．14．如图所示，有边长为2的正方体1111ABCD A B C D P -，为正方体表面的一个动点．若三棱锥A PBC -的体积为12，则1PD 的取值范围是____________．15．已知函数()+12f x x ax =+-，函数()f x 的最小值记为()M a ，给出下面四个结论：①()M a 的最小值为0；②()M a 的最大值为3；③若()f x 在(,1)-∞-上单调递减，则a 的取值范围为(,2][0,)-∞-⋃+∞；④若存在R t ∈，对于任意的x ∈R ，()()f t x f t x +=-，则a 的可能值共有4个；则全部正确命题的序号为__________.三、解答题16．函数())2sin cos 02f x x x x ωωωω=⋅+>的部分图象如图所示.（1）求ω的值；（2）求()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值及对应的x 的值.17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PB AM ⊥；（2）求平面PAM 与平面PDC 所成的角的余弦值．18．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3,4)，[4,5)，[5,6)，[6,7)，[7,8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数；(2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为1D ，2D ，试比较1D 与2D 的大小.（只需写出结论）19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别1A ，2A ，上顶点为B ，12A A B△的面积为3，C 的短轴长为2.(1)求C 的方程；(2)斜率不为0的直线l 交C 于P ，Q 两点（异于点1A ），D 为PQ 的中点，且1A D PD =，证明：直线l 恒过定点.20．已知函数()(2)x f x e a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21．已知有限数列{an }，从数列{an }中选取第i 1项、第i 2项、……、第im 项（i 1＜i 2＜…＜im ），顺次排列构成数列{ak }，其中bk ＝ak ，1≤k ≤m ，则称新数列{bk }为{an }的长度为m 的子列．规定：数列{an }的任意一项都是{an }的长度为1的子列．若数列{an }的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{an }为完全数列．设数列{an }满足an ＝n ，1≤n ≤25，n ∈N *．（Ⅰ）判断下面数列{an }的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列（1）：3，5，7，9，11；数列（2）：2，4，8，16．（Ⅱ）数列{an }的子列{ak }长度为m ，且{bk }为完全数列，证明：m 的最大值为6；（Ⅲ）数列{an }的子列{ak }长度m ＝5，且{bk }为完全数列，求1234511111b b b b b ++++的最大值．参考答案：1．D【分析】利用补集定义求出R A ð，利用交集定义能求出()A B R ð．【详解】解：集合{|12}A x x =-<≤，{}2,1,0,2,4B =--，则R {|1A x x =≤-ð或2}x >，(){}R 2,1,4A B ∴⋂=--ð．故选：D 2．D【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】因为i 12i z ⋅=+，所以()()()12i i 12i 2i i i i z +-+===-⨯-.故选：D.3．A【分析】根据解析式分别判断每个选项的奇偶性和单调性即可.【详解】对A ，令()66x x f x -=-，则()f x 定义域为R ，且()()66x xf x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，因为6x y =和6xy -=-都是增函数，所以66x x y -=-为增函数，故A 正确；对B ，tan y x =在每个单调区间内单调递增，但不在定义域内递增，故B 错误；对C ，3y x =-在定义域R 内单调递减，故C 错误；对D ，31y x =+不是奇函数，故D 错误.故选：A.4．D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为()11-，，半径3r =，圆心到直线34120x y ++=的距离115d r =<，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．故选:D5．A【分析】求出双曲线的焦点和渐近线，利用点到直线距离的距离公式即可求解.【详解】设焦点在x 轴上的双曲线标准方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则焦点(),0c 到渐近线0bx ay -=的距离为：d b ==.故本题答案为b ＝2.故选：A.6．B【分析】依据题意列出关于t 的方程即可求得该患者的麻醉时间.【详解】由题意得，0.50.9 4.5e t -=，即0.515e t-=，则0.5ln5t =，解得2ln5 3.2t =≈.故选：B 7．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果.【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a =()1131371313134522a a S a +∴===⨯=故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；（2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.8．A【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】由()()22232302302cos 30a b b a b b a b b a b a b b +⊥⇒+⋅=⇒⋅+=⇒⋅⋅〈⋅〉+= ，因为3a b = ，所以26cos 30b b a b b ⋅⋅〈⋅〉+= ，因为b 不是零向量，所以12cos 23a b a b π〈⋅〉=-⇒〈⋅〉= ，故选：A 9．A【分析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解.【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈，由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈¿，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集.10．B【分析】根据集合A 满足的条件①②可知要使得集合A 中元素尽可能多，则相邻的两个自然数最少差为2，故先考虑集合中元素是由公差为2的等差数列构成，判断集合元素的个数的最多情况，再对部分元素进行调整即可得答案.【详解】对于条件①N A ⊆，②,,x y A x y ∀∈≠，必有2x y -≥，若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如{}0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，集合中有11个元素，又02468101214161820110100,02468101214161890100++++++++++=>+++++++++=<则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合A 中元素个数最多不能超过10个，故若要集合A 满足：①N A ⊆，②,,x y A x y ∀∈≠，必有2x y -≥，③集合A 中所有元素之和为100，最多有10个元素，例如{}0,2,4,6,8,10,12,15,18,25A =.故选：B.11．【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin22ABC S ac B ∆==⨯=【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．12．5【分析】利用焦半径公式即可求解.【详解】抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -，设点M 的横坐标为0x ，则有016x +=，所以05x =．故答案为：513．20【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.【详解】()51x +的展开式中4x 的系数为45C 5=，()61x -的展开式中4x 的系数为46C 15=，故在()()5611x x ++-展开式中，含4x 的项的系数为20．故答案为：2014．5,44⎡⎢⎣⎦【分析】根据三棱锥A PBC -的体积求出点P 到平面ABC 的距离h ，由此确定点P 的轨迹，结合图形即可得出答案.【详解】设点P 到平面ABC 的距离为h ，则121332P ABC ABC V S h h -=⋅== ，所以34h =，如图在1AA 上取点E ，使得34AE =，过点E 作平面EFGH ∕∕平面ABCD ，,,F G H 分别在111,,BB CC DD 上，故点P 在四边形EFGH 的边上，则当点P 在点H 的位置时，1PD 最小，为54，当点P 在点F 的位置时，1PD4=，所以1PD的取值范围是54⎡⎢⎣⎦.故答案为：5,44⎡⎢⎣⎦.15．①②④【分析】把给定函数按a 的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出()M a 的表达式并判断AB ；由在(,1)-∞-上单调性确定a 值判断C ；由函数图象具有对称性求出a 值判断D 作答.【详解】当0a =时，1,1()+123,1x x f x x x x -+≤-⎧=+=⎨+>-⎩，函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，()(1)2M a f =-=；当0a >时，(1)1,12()(1)3,12(1)1,a x x f x a x x a a x x a ⎧⎪-++≤-⎪⎪=--+-<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，若01a <<，函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，()(1)2M a f a =-=+，若1a =，函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在[2,)+∞上递增，当12x -≤≤时，()3M a =，若1a >，函数()f x 在2(,]a -∞上递减，在2[,)a+∞上递增，22()()1M a f a a ==+；当20a -<<时，2(1)3,2()(1)1,1(1)3,1a x x a f x a x x a a x x ⎧--≤⎪⎪⎪=-++<<-⎨⎪--+≥-⎪⎪⎩，若10a -<<，函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，()(1)2M a f a =-=+，若1a =-，函数()f x 在(,2]-∞-上递减，在[1,)-+∞上递增，当21x -≤≤-时，()1M a =，若21a -<<-，函数()f x 在2(,a -∞上递减，在2[,)a +∞上递增，22()(1M a f a a ==--；当2a =-时，33,1()3+133,1x x f x x x x --≤-⎧==⎨+>-⎩，函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，()(1)0M a f =-=；当2a <-时，(1)3,12()(1)3,12(1)3,a x x f x a x x a a x x a ⎧⎪--≤-⎪⎪=++-<<⎨⎪⎪--+≥⎪⎩，函数()f x 在2(,a -∞上递减，在2[,)a+∞上递增，22()(1M a f a a ==+，因此21,(,2)(1,)2()1,[2,1)2,[1,1]a a M a a a a a ∞∞⎧+∈--⋃+⎪⎪⎪=--∈--⎨⎪+∈-⎪⎪⎩，于是()[0,3]M a ∈，即()M a 的最小值为0，最大值为3，①②正确；显然当10a -<<时，函数()f x 在(,1]-∞-上也递减，③错误；当0a =或2a =-时，函数()y f x =的图象关于直线=1x -对称，当0a >时，当且仅当10a -=，即1a =时，函数21,1()3,1221,1x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩的图象关于直线12x =对称，当20a -<<时，当且仅当10a +=，即1a =-时，函数23,2()1,2123,1x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩的图象关于直线32x =-对称，当2a <-时，不存在直线x t =，使得函数()y f x =的图象关于直线x t =对称，则当31{,1,}22t ∈--时，对于任意的x ∈R ，()()f t x f t x +=-成立，此时{2,1,0,1}a ∈--，④正确，所以正确命题的序号为①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑16．（1）1ω=；（2）()max 1f x =，此时12x π=；()min f x =，此时3x π=-；【分析】（1）首先利用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆应用将函数化为()()sin 22sin 20223x f x x x ωπωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，根据三角函数的图像可得5263T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，利用周期公式22T πω=即可求解.（2）由（1）可得函数()()sin 203f x x πω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由())2sin cos 0f x x x x ωωωω=⋅>，则()()12sin cos 1cos 2222f x x x x ωωω=⋅--+()sin 2cos 2sin 20223x x x ωπωωω⎛⎫=+=+> ⎝⎭，由三角函数的图像可知5263T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以()202T ππωω==>，解得1ω=.（2）由（1）可得()()sin 203f x x πω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，因为33x ππ-≤≤，所以233x πππ-≤+≤，当232x ππ+=即12x π=时，函数()max 1f x =；当233x ππ+=-即3x π=-时，函数()2min f x =-.【点睛】本题考查了三角恒等变换、根据三角函数图像求解析式、三角函数的性质，属于基础题.17．（1）证明见解析；（2【分析】（1）以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出0PB AM ⋅= ，利用数量积即可证明.（2）求出两平面PAM 与平面PDC 的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．【详解】解：（1）依题意，棱DA ，DC ，DP 两两互相垂直.以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，如图，建立空间直角坐标系.则B ，(0,0,1)P，A，M ⎫⎪⎪⎝⎭.可得1)PB =-，AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.所以1002PB AM ⎛⎫⋅=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以PB AM⊥（2）由（1）得到A，,1,02M ⎫⎪⎪⎝⎭，因此可得,1,02AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(AP = .设平面PAM 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，则由110,0,n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,20,x y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令z =，解得1n = .同理，可求平面PDC 的一个法向量2(1,0,0)n = .所以，平面PAM 与平面PDC 所成的锐二面角θ满足：1212cos n n n n θ⋅== 即平面PAM 与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为7.18．(1)480(2)分布列见解析；1(3)12D D <【分析】（1）根据甲班频率分布直方图求出学生每天学习时间达到5小时以上的频率，由此估计全校的情况作答.（2）求出甲、乙两个班级学生每天学习时间不足4小时的人数，再求出X 的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（3）利用频率分布直方图求出甲乙两班学生学习时间的平均数、方差作答.【详解】（1）由甲班的统计数据知：甲班学生每天学习时间在5小时以上的频率为0.50.250.050.8++=，由此估计高三年级学生每天学习时间达到5小时以上的频率为0.8，人数为6000.8480⨯=人，所以估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数480.（2）依题意，甲班自主学习时长不足4小时的人数为：400.052⨯=人，乙班自主学习时长不足4小时的人数为：400.14⨯=人，X 的可能值为：0,1,2，3436C 1(0)5C P x ===，122436C C 3(1)C 5P x ===，212436C C 1(2)C 5P x ===，所以X 的分布列为：X012P 153515X 的数学期望为131()0121555E x =⨯+⨯+⨯=.（3）甲班学生每天学习时间的平均数为10.05 3.50.15 4.50.5 5.50.25 6.50.057.5 5.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲班学生每天学习时间的方差为2222210.05 2.10.151.10.50.10.250.90.051.90.815D =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，乙班学生每天学习时间的平均数为20.13.50.15 4.50.3 5.50.25 6.50.27.5 5.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲班学生每天学习时间的方差为2222210.1 2.30.151.30.30.30.250.70.21.7 1.505D =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以12D D <.19．(1)2219x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标与基本量的关系求解即可；（2）由题意设直线l 的方程为x my t =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆的方程，结合1A D PD QD ==可得110A P A Q ⋅= ，再代入韦达定理化简求解即可【详解】（1）由题意得221232b a b =⎧⎪⎨⨯⨯=⎪⎩，解得3a =，1b =，故C 的方程为2219x y +=.（2）证明：由题意设直线l 的方程为x my t =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2219x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2229290m y mty t +++-=，所以()()222244990m t m t ∆=-+->，即229t m <+，12229mt y y m +=-+，212299t y y m -=+，因为1A D PD QD ==，所以11A P A Q ⊥，所以110A P A Q ⋅= ，即()()1212330x x y y +++=，则()()1212330my t my t y y +++++=，整理得()()2212121(3)(3)0m y y m t y y t ++++++=，所以()22222921(3)(3)990t mt m m t t m m -⎛⎫+++-++ ⎪++⎝=⎭，即()()()()()()222231933302m m t t t m t t +--+++++=整理得()()35120t t ++=，解得125t =-或3t =-，当3t =-时，直线l 的方程为3x my =-，恒过点()3,0-，舍去；当125t =-时，直线l 的方程为125x my =-，恒过点12,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意，即直线l 恒过定点12,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞.【分析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2x e a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a =时，()(2)x f x e x =-+，'()1x f x e =-，令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >，所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0x e a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得<2x -或2<<1x --，所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，且当<2x -时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e +∞.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线x y e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线x y e =的切线斜率，结合图形求得结果.21．（Ⅰ）数列（1）不是{an }的完全数列；数列（2）是{an }的完全数列；理由见解析（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3116．【解析】（Ⅰ）直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果．（Ⅱ）根据定义的应用求出子列的长度．假设长度为m ≥7，不妨设m ＝7，得出矛盾，再说明长度为6时满足条件.（Ⅲ）利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值．【详解】（Ⅰ）数列（1）不是{an }的完全数列；数列（2）是{an }的完全数列．理由如下：数列（1）：3，5，7，9，11中，因为3+9＝5+7＝12，所以数列（1）不是{an }的完全数列；数列（2）：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列（2）是{an }的完全数列．（Ⅱ）假设数列{bk }长度为m ≥7，不妨设m ＝7，各项为b 1＜b 2＜b 3＜…＜b 7．考虑数列{bk }的长度为2，3，…7的所有子列，一共有27﹣1﹣7＝120个．记数列{bk }的长度为2，3，…7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a ，最大值为A ．所以a ＝b 1+b 2，A ＝b 1+b 2+25+24+23+22+21＝b 1+b 2+115．所以其中必有两个子列的所有项之和相同．所以假设不成立．再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意．所以子列{bk }的最大长度为6．（Ⅲ）数列{an }的子列{bk }长度m ＝5，且{bk }为完全数列，且各项为b 1＜b 2＜b 3＜…＜b 5．所以，由题意得，这5项中任意i （1≤i ≤5）项之和不小于2i ﹣1．即对于任意的1≤i ≤5，有，即11231242-++++≥++++ i i b b b b ．对于任意的1≤i ≤5，112(1)(2(2)0--+-++-≥ i i b b b ，设12-=-i i i c b （i ＝1，2，3，4，5），则数列{c i }的前j 项和Dj ≥0（j ＝1，2，3，4，5）．下面证明：123451111111112416b b b b b ++++≤+++．因为（11112416+++）﹣（1234511111b b b b b ++++）12345111111111124816b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭351241234541612824816b b b b b b b b b b -----=++++，3243541211234524816D D D D D D D D D b b b b b ----=++++，123451223344551111111112244881616b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D D D D D 0．所以1234511111111311241616b b b b b ++++≤+++，当且仅当12-=i i b （i ＝1，2，3，4，5）时，等号成立．所以求1234511111b b b b b ++++的最大值为3116．【点睛】本题考查数列的新定义，考查反证法的应用，考查关系式的恒等变换的应用，属于难题.。

中国人民大学附属中学 2021-2022学年度第二学期校历

中国人民大学附属中学 2021—2022 学年度第二学期校历
星期
一二三四五六日
周次
说明
第 01 周第 02 周第 03 周第 04 周第 05 周第 06 周第 07 周第 08 周第 09 周第 10 周第 11 周第 12 周第 13 周第 14 周第 15 周第 16 周第 17 周第 18 周第 19 周第 20 周
21/2 28 7 14 21
28 4 清明 11
18 25 期中 2 五一 9 16 23
30
6
13
20 27 中考 4
22 1/3 8 15 22
29 5 清明 12
19 26 期中 3 五一 10 17 24
31 7 高考 14
21
28
5
23
24
25
26
2
3
4
5
*9 *10 *11 12
*16 *17 *18 19
*23 *24 *25 26 2
*30 *31 *1/4 上班
6
*7
*8
9
*13 *14 *15 16
20
21
22
23
27 28
期中 4 *5
五一 *11 *12
30 *29
五一 *7 *6 上班 *13 14
*18 *19 *20 21
*25 *26 *27 28
*1/6
8 高考
*2
9
等级考
3 端午
10
等级考
4 端午
11
15 *16 *17 18
24 25
22
23
中考中考

北京市中国人民大学附属中学2021届高三数学开学复习质量检测试题(含解析).doc

北京市中国人民大学附属中学2021届高三数学开学复习质量检测试题（含解析）一、选择题1.设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（）．A. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 2.已知全集U =R ，若集合{}2|0=-<A x x x ，则UA（）．A. {|0x x ≤或}1x ≥B. {|0x x <或}1x >C. {}1|0x x <<D. {}|1x x ≥【答案】A 【解析】分析：先解一元二次不等式得集合A ，再根据补集定义得结果. 详解：∵集合{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<，∴{|0Ux A x =≤或1}x ≥，故选A ．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3.命题p ：∀x>0，1x e >，则p ⌝是 A. ∃00x ≤，01x e ≤ B. ∃00x >，01x e ≤ C. ∀0x >，1x e ≤ D. ∀0x ≤，1x e ≤【答案】A【解析】试题分析：p ⌝是00,1xx e ∃>≤考点：本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论4.若a ， b 是两个非零的平面向量，则“||a b =”是“()()0a b a b +⋅-=”的（）． A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()220a b a b ab +⋅-=-=，得a b =，所以是充要条件，故选C.5.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】【分析】结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可【详解】1ln 02a =<，11sin sin ,262b π=<=10,2b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，121222c -==>=，1,12c ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故a b c <<，故选：A【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小，熟记基本函数的图象特点是关键，属于基础题6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A. 最长棱的棱长为6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形【答案】C 【解析】【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图S ABCD -（如图所示）：由图可知，2SA AD ==，1AB BC ==，SA ⊥面ABCD ，AD ⊥面SAB ，AD BC ∥，所以Rt SAB ，Rt SAD ，Rt SBC △中，5SB =6SC =，22SD =2CD =，所以222SC CD SD +=，所以SCD 是直角三角形，所以最长的棱长是2，侧面都是直角三角形．本题选择C 选项.点睛：1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． 2．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．7.已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.8.已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ∠=，则实数m 的取值范围是（）A. (4,8)B. (4,)+∞C. (0,4)D. (8,)+∞【答案】B 【解析】试题分析：设200(,)4y Q y ，由90OQP ∠=得0OQ PQ ⋅=，即222000()044y y m y -⋅+=，显然00y ≠，因此2044y m =-，所以40m ->，即4m >．选B ．考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题．二、填空题9.双曲线22:14x C y -=的离心率是；渐近线方程是．512y x =± 【解析】试题分析：222224,15a b c a b ==∴=+=，所以离心率e=5c a =，渐近线方程为12b y x x a =±=±, 考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c 求出离心率，渐近线方程 10.若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q ，则35a a +=_____.【答案】20. 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【详解】223513()2520a a q a a +=+=⨯=，故答案为：20．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．11.在△ABC 中，3a =，13b =，60B =，则c = ；△ABC 的面积为_______．【答案】，【解析】由余弦定理，得，解得；由三角形的面积公式，得.考点：余弦定理、三角形的面积公式.12.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.【答案】22111()()339x y ++-= 【解析】试题分析：设圆心坐标为（a,2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以a=-(2a+1),13a ∴=-，所以圆心为11(,)33-，半径13，所以圆的标准方程为22111()()339x y ++-=,考点：本题考查圆的标准方程点评：圆心在直线上，设圆心坐标为一个未知数，又因为圆与两坐标轴相切，所以圆心互为相反数，半径为圆心坐标的绝对值13.已知函数()sin a x x f x =-的一条对称轴为6x π=-，()()120f x fx +=，且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，则12x x +的最小值为______. 【答案】23π 【解析】【分析】分析式子特点可知，当6x π=-时，函数应该取到最值，将6x π=-代入()sin a x x f x =-再结合辅助角公式可先求得a ，结合()()120f x f x +=分析可知，()()2112,,,x y y x 两点关于对称中心对称，求出12x x +的通式，即可求解【详解】()()sin ,tan f aa x x x x ϕϕ=-=+=-，由题可知 sin 666f a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪ ⎪⎝=⎝-⎭⎭⎝⎭，化简可得2a =，则 ()4sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()120,f x f x +=且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，()()1122,,,x y x y ∴关于对称中心对称，故有1233,2x x k k Z πππ-+-=∈，解得1222,3x x k k Z ππ+=+∈，当0k =时，12x x +的最小值为23π，故答案：23π【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数，三角函数对称轴与对称中心的应用，属于中档题14.函数()x xf ae e x b -=+（,a R b R ++∈∈），已知()f x 的最小值为4，则点(),a b 到直线20x y +-=距离的最小值为______.【解析】分析】可采用基本不等式求得ab，再结合点到直线距离公式即可求解【详解】由题知,a Rb R++∈∈，则()4x xae bef x-=≥=+，当且仅当x xae be-=时取到，则4ab=，点(),a b到直线20x y+=距离d=≥===，mind∴=【点睛】本题考查基本不等式、点到直线距离公式的应用，数学中的转化思想，属于中档题三、解答题15.设函数()()()()22sin cosf x x x xωωω=⋅-+0>ω）的图象上相邻最高（1）求函数()f x的周期及ω的值；（2）求函数()f x的单调递增区间. 【答案】（1）12,2Tπω==；（2）52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先将表达式结合降幂公式化简，即可求得周期和最值，结合相邻最高点与最低点的距离ω及周期；（2）结合整体法和三角函数图像的性质即可求得；【详解】（1）()()()()22sin cosf x x xxωωω=⋅-=sin222sin23x x xπωωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则2A=，22Tππωω==，图象上相邻最高点与最=12,2Tπω==；（2）()2sin22sin33f xx xππω⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭，令2,2,322x k k k Zπππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，由三角函数的性质求参数，求复合型三角函数的单调区间，属于中档题16.某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史地政其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政，现采用分层抽样的方法从中抽出6人，调查他们每天完成作业的时间.（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？（2）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）3；2；1（2）分布列见详解；EX=2【解析】【分析】（1）按照分层抽样按比例分配的原则进行计算即可；（2）可明确X的取值有1，2，3，再结合超几何分布求出对应的概率，列出分布列，再求解数学期望即可；【详解】（1）由题知，选择史地政的人数为：4824168--=人，故选择理化生、理化历、史地政的人数比为：3:2:1，故从这三个组合中应抽取理化生的人数为：3636⨯=人；抽取理化历的人数为：2626⨯=人；抽取理化历的人数为：1616⨯=人；（2）由题可知X的取值有1，2，3，()124236115C CP XC===；()214236325CC P X C ===；()304236135C C P X C ===；故随机变量X 的分布列为：X 1 2 3P15 35 151311232555EX =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查分层抽样的求法，超几何公式的运用，离散型随机变量的分布列与期望的求法，属于中档题17.在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥，M 为PD 的中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N.23DC =，2DA PD ==，1AB =，120PDC ∠=.（1）求证：N 为PC 中点；（2）求证：AD ⊥平面PCD ；（3）T 为PB 中点，求二面角T AC B --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45° 【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质可得AB MN ∥，又由M 为PD 的中点，即可求证N 为PC 中点；（2）利用面面垂直的性质，可过点D 作DH DC ⊥,可证DH AD ⊥，再结合线面垂直的判定定理即可求证；（3）采用建系法以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角T AC B --的大小【详解】（1）//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，由线面平行的性质可得，//AB MN ，又//AB CD ，//MN CD ∴，M 为PD 的中点，N ∴为PC 的中点；（2）过点D 作DH DC ⊥交PC 与点H ，又平面ABCD ⊥平面PCD ，交线为CD ，故DH ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，DH AD ∴⊥，又AD PC ⊥，PCDH H =，∴AD ⊥平面PCD ；（3）由（2）可知AD ⊥平面PCD ，AD CD ∴⊥，故以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：求得(()()()0,3,2,0,0,0,23,0,2,1,0P A C B -，T 为PB 的中点，故3T ⎛ ⎝⎭，3AT ⎛=- ⎝⎭，()223,0AC =-，，可设平面ABC 的法向量为()10,0,1n =，平面TAC 的法向量为()2,,n x y z =，故有222230302n AC x y n AT x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =得1,2y z ==，则()23,1,2n =，故1212122cos ,2122n n n n n n ⋅===⨯⋅，故二面角T AC B --的大小为45° 【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解二面角的大小，属于中档题 18.已知函数()3215132f x x x a x =-+-．（Ⅰ）当6a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的单调区间；（Ⅱ）求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．【答案】（1）单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出导函数()2'56f x x x =-+，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当0a <时，对x 分类讨论，结合极值概念，即可得到结果. 【详解】（1）当6,0a x =>时，()32156132f x x x x =-+- 所以()()()2'5623f x x x x x =-+=--，令()'0,f x =得2x =，或3x =.当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,+∞上的单调递增区间是()0,2，()3,+∞，单调递减区间是()2,3. (2)当0a <时，若0x <，则()3215132f x x x ax =---，所以()()2'55f x x x a x x a =--=--因为0,0x a <<，所以()'0f x > 若0x >，则()3215132f x x x ax =-+-，所以()2'5f x x x a =-+ 令()'0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x <不妨设20x >，所以当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．19.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任一点，若直线PA 与PB 的斜率之积为34-，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 点不在坐标轴上，直线PA ，PB 交y 轴于M ，N 两点，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切.切点为T ，问切线长OT 是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为3 【解析】【分析】（1）由斜率之积可求得a ，b 的关系，将31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入可再得a ，b 的关系，解出a ，b 的值，即可求出椭圆的方程；（2）由（1）得A ，B 的坐标，设(,)P m n ，满足椭圆的方程，得直线AP ，BP ，求出M ，N 的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．【详解】（1）设(,)P x y ，由题意得(,0)A a -，(,0)B a ，222AP BPy y y k k x a x a x a ∴⋅=⋅=+--， ∴22234y x a =--而22221x y a b+=得：2234b a =①，又过22319(1,)124a b∴+=②，所以由①②得：24a =，23b =；所以椭圆C 的方程：22143x y +=；（2）由（1）得：(2,0)A -，(2,0)B 设(,)P m n ，22143m n +=，则直线的方程:(2)2n PA y x m =++，令0x =，则22n y m =+，所以M 的坐标2(0,)2nm +，直线PB 的方程：(2)2n y x m =--，令0x =，2n y m -=-，所以坐标2(0,)2nN m --，OT ON OTN OMT OM OT ∆∆∴=∽（圆的切割线定理），再联立22143m n +=，2224||||||34n OT ON OM m ∴===-【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明，可当作结论作为记忆：两对称点为()()1111,,,,A x y B x y --椭圆上一点为(),P x y ，则有22PA PBb k k a⋅=-；也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明，合理的转化，利用几何关系转化至关重要，属于难题20.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯{1，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈ 【解析】【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，对x ，y 分类讨论即可得出．（3）存在“减1集” A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集” 同理，*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集” （3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈，以及A 的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯ 【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考英语试题

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考英语试题一、完形填空I was up before the others, before the birds, before the sun. I drank a cup of coffee, wolfed down a piece of toast, put on my shorts and sweatshirt, and 1 my green running shoes. Then slipped quietly out the back door.I moved quicker down the road. My breath formed rounded, frosty puffs, swirling into the fog. I enjoyed that first physical awakening, that brilliant moment before the mind is fully clear, when the limbs and joints first begin to 2 and the material body starts to melt away. Solid to liquid.Faster, I told myself. Faster. There were no cars, no people, no signs of life. I was all 3 , the world to myself and my thoughts.On paper, I thought, I’m a(n) 4 , graduating from University of Oregon, earning a master’s from Stanford and surviving a year long hitch in the U. S. Army. My résumé said I was a learned, accomplished soldier, a twenty-four-year-old man in full... But why, I wondered, do I still feel like a kid? Worse, like the same shy, pale, rail-thin kid I’d always been.Like all my friends I wanted to be successful. Unlike my friends I didn’t know what that meant. Money? Wife? Kids? House? Sure, if I was 5 . These were the goals I was taught to aspire to, and part of me did aspire to them instinctively. But deep down I was searching for something else, something more. I had a(n) 6 sense that our time is short, shorter than we ever know, short as a morning run, and I wanted mine to be meaningful. And purposeful. And creative. And important. Above all... different.I wanted to leave a 7 on the world.I wanted to win.No, that’s not right. I simply didn’t want to 8 .And then it happened. As my young heart began to pound faster, as my pink lungs 9 like the wings of a bird, as the trees turned to greenish blurs, I saw it all before me, exactly what I wanted my life to be. Play.Yes, I thought, that’s it. That’s the word. The secret of happiness, I’d always suspected, the essence of beauty or truth, lay somewhere in that moment when the ball is in midair, when both boxers sense the 10 of the bell, when the runners near the finish line and the crowd rises as one. There’s a kind of exuberant (兴高采烈的) clarity in that pulsing half second winning and losing are decided. I wanted that, whatever that was, to be my life, my daily life.1．A．took up B．picked up C．put up D．laced up 2．A．loosen B．straighten C．tighten D．strengthen 3．A．empty B．alone C．slow D．early 4．A．student B．adolescent C．adult D．minor 5．A．smart B．able C．rich D．lucky 6．A．sharp B．emotional C．aching D．impulsive 7．A．path B．mark C．fortune D．print8．A．lose B．abandon C．sink D．die9．A．grew B．expanded C．welled D．breathed 10．A．approach B．sound C．ringing D．beginning二、语法填空阅读下面短文，根据短文内容填空。

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人大附中2020-2021学年度高三3月统一练习
数学2021年3月31日
本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
1．集合{}|ln(1)0M x x =+≥，{}
|24x N x =<，则M N 等于（）
A ．()0,2
B ．(),2-∞
C ．[)0,2
D ．(],2-∞
2．若3230123(21)x a a x a x a x -=+++，则2a =（） A ．6
B ．6-
C ．12
D ．12-
3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若218a =，580S =，则数列{}n a 的通项公式n a =（） A ．222n +
B ．222n -
C ．20n -
D ．()21n n -
4．已知向量(1,2)=a ，(1,0)=b ，(3,4)=c ．若()λ+a b c ，则实数λ=（）
A ．2
B ．1
C ．
1
2
D ．
14
5．欧拉恒等式：i πe 10+=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数1和0完美地结合在一起，它可由欧拉公式i e cos isin ()θθθθ=+∈R 令πθ=得到．根据欧拉公式，2i e 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
6．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 为
双曲线C 右支上一点，直线1PF 与y 轴相交于点Q ，若2PQF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A 2
B 3
C ．2
D 5
7．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的轮廓都是直角梯形，俯视图为正方形，则该几何体的体积是（） A ．
4
3
B ．83
C ．4
D ．8
8．在非直角ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知函数()()
21e e x x f x x a -=-++有唯一的零点，则a 的值为（） A ．12
-
B ．
12
C ．13
D ．13
-
10．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲，乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间（单位：h ）如下：
原料A 原料B 原料C 上漆 9 16 10 描绘花纹
15
8
14
则完成这三件原料的描金工作最少需要（） A ．43h
B ．46h
C ．47h
D ．49h
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案全部填写在答题卡上． 11．在某项技能测试中，甲乙两人的成绩(单位：分)记录在如图所示的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a 代替．已知甲乙成绩的中位数相等，那么a 的值为___________． 12．在ABC △中，若sin cos()6
b A a B
π
，则B __________，sin sin A C +的最大值
为___________．
13．若存在0(0,)x ∈+∞，使得00(1)()0f x f x ++=成立，写出一个满足上述条件的函数 ()f x =___________．
14．在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为___________．
15．若函数()y f x =对定义域D 内的每一个1x ，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=成立，则称()f x 为“自倒函数”．给出下列命题：
①自倒函数()f x 的值域可能是R ；
②存在实数a ，使得函数sin y x a =+是自倒函数； ③若()f x 是D 内的自倒函数，则1
()
y f x =
也是D 内的自倒函数； ④若()f x ，()g x 都是D 内的自倒函数，则()()y f x g x =⋅也是D 内的自倒函数．。