北师大版数学九年级上册第4章 图形的相似 培优检测题(含祥细答案)
2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)
第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。
北师大新版初三上第四章相似图形培优及答案附考点卡片
北师大新版初三上第四章相似图形培优一 •填空题（共10小题）_1. （2011?苏州）如图，已知△ ABC 是面积为 的等边三角形，△ ABC ADE , AB=2AD , / BAD=45 ° AC 与DE 相交于点卩，则厶AEF 的面积等于 _____________________________ （结果保留根号）.in 92. （ 2015?曲靖）若厶 ADE ACB ，且=''，DE=10，贝U BC=AC 34. （ 2015?重庆）已知△ ABC DEF ，若△ ABC 与厶DEF 的相似比为 2: 3，则厶ABC 与△ DEF 对应边上中线的比为 __________ .5. （ 2015?重庆）已知△ ABC DEF ，△ ABC 与厶DEF 的相似比为 4: 1，则厶ABC 与厶 DEF 对应边上的高之比为 ____________ .6. （ 2015?本溪）在厶 ABC 中，AB=6cm ，AC=5cm ，点 D 、E 分别在 AB 、AC 上.若△ ADE与厶ABC 相似，且S ^ADE : S 四边形BCED =1 : 8，则AD= __________ cm .7.（ 2010?湖州）如图，已知图中的每个小方格都是边长为 1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若△ ABC 与厶A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标 是 _______ .8. （ 2015秋？九江期末）如图，E （- 6, 0）, F （- 4, - 2）,以O 为位似中心按比例尺 1 : 2把厶EFO缩小到第一象限，则点 F 的对应点F'的坐标为 _____________________________ .其中AB=5， BC=6，CA=9，DE=3，那么△ DEF 的C周长是ABC DEF ，■ » Un L> L _「节-liT 丄(■_ II H S-I 4 4* 4 J I-9. （2015秋？乐至县期末）如图，△ ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作△ ABC的位似图形△ A'BC，并把△ ABC的边长放大到原来的2倍.设B的坐标是（3,- 1）,则点B的坐标是________________________ .V AO -10. （2010?津南区一模）如图，△ ABC与厶DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AD ,S A ABC =8，贝U S A DEF等于______ .二.解答题（共20小题）—2 弋11. （2012?金山区一模）已知丄'-,（1）求一的值；（2）若：,i ' 「，求x2 3 4 z值.12. （2013?谯城区校级模拟）已知」=「'=「=k，求k的值.c b a13. （2012秋？金安区校级月考）已知x= “：，求x的值.a+b b+c a+c“.K+Z y+z x+y . 十」古14. 已知------ =------ = =k ,求k值.y K z15. （2012?卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF : BF=1 : 2，点D是BC延长线上一点，BC: CD=2 : 1,连接FD与AC交于点N,求FN : ND的值.C16. （2013秋?北京校级期中） 已知：如图，△ ABC 中，DE // BC , AD + EC=9 , DB=4 , AE=5 , 求AD 的长.17. （2015秋？黄岛区期中）如图，一个矩形广场的长为 60m ,宽为40m ，广场内两条纵向 小路的宽均为1.5m ，如果设两条横向小路的宽都为 x m ,那么当x 为多少时，小路内外边 缘所围成的两个矩形相似？18. （2013春?武威校级月考）如图，四边形 ABCD 和EFGH 相似，求角 a B 的大小和EH 的长度x .19. （2016?兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边 AD 、CD 上的点,AE=ED ，DF= - DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点 G . 20. （2013?益阳）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，CE 丄 AB 于 E .求证：△ ABD s △ CBE .B C（1）求证：△ ABE DEF ;D21. （2015?常州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且22. （2015?湘潭）如图，在 Rt A ABC 中，/ C=90° △ ACD 沿AD 折叠，使得点 C 落在斜 边AB 上的点E 处.(1) 求证：△ BDEBAC ;（2）已知AC=6 , BC=8，求线段 AD 的长度.角形，其中线段 BD 交AC 于点G ,线段AE 交CD 于点F ,求证: (1 )△ ACE ◎△ BCD ;(2) I 'I .24. （2013?陕西）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD 的高度.如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段 AB ,并测得AB=1.25m ，已知李明直立时的身高为 1.75m ，求路灯的高CD 的长.（结果精确到0.1m ）.B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与厶DCE 都是等边三DB C E25. （2015?邵阳）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度.26. （2015?蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5 米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B •已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）.27. （2012?西城区模拟）如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC,小明（用线段DE表示）的影子是EF,在M处有一颗大树，它的影子是MN .（1 ）指定路灯的位置（用点P表示）；（2）在图中画出表示大树高的线段；（3 ）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树.28. （2015秋？江北区期末）如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下 2.1m 长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE=3.9m ,窗口底边离地面的距离BC=1.2m，试求窗口的高度.（即AB的值）29. （2009?杭州）如图是一个几何体的三视图.（1）写出这个几何体的名称；（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程.30. （2016春？建湖县校级月考）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体.（1）请画出这个几何体的左视图和俯视图；（用阴影表示）（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体?参考答案与试题解析一•填空题（共10小题）1. （2011?苏州）如图，已知△ ABC是面积为「的等边三角形，△ ABC s\ ADE , AB=2AD , /主视團左视图单位：厘米2第7页（共31页）BAD=45 ° AC 与DE 相交于点卩，则厶AEF 的面积等于'-忑（结果保留根号）•【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质. 【专题】计算题.【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形 ADE 的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积.【解答】 解：•••△ ABC ADE , AB=2AD ,• .=^— , SA ASC AB 2 AB =2AD, ABC =';,如图，在△ EAF 中，过点F 作FH 丄AE 交AE 于H , •••/ EAF= / BAD=45 ° / AEF=60 ° •••/ AFH=45 ° / EFH=30 ° • AH=HF ,作CM 丄AB 交AB 于M ,•••△ ABC 是面积为 二的等边三角形,•••丄X AB X CM=:,2/ BCM=30 °设 AB=2k , BM=k , CM= ■:k , • k=1 , AB=2 ,•AE= AB=1,设 AH=HF=x ,则 EH=xtan30解得x故答案为:【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点， 解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE 的面积，然后问题可解.AD 22-（ 2015?曲靖）若^ ADE 心 A CB ，且；亠「，DE =10，则 BC=4故答案为：15.【点评】本题考查的是相似三角形的性质， 掌握相似三角形的对应边的比相等并找准对应边是解题的关键.3. （ 2014?阜新）已知△ ABC DEF ，其中 AB=5 , BC=6 , CA=9 , DE=3，那么△ DEF 的 周长是 【考点】 【专12 .相似三角形的性质. 计算题.【分析】根据相似的性质得_工二=，即门「為，「然后利用比例的性质计算即可.【解答】 解：•••△ ABC s\ DEF , .△壮C 的周长=AB 囲 5+6+9=5...x + 'J x=1.AEF 」x 1 x3-~2 r【考点】 相似三角形的性质.【分析】 根据△ ADE ACB ，得到二-= AC二，代入已知数据计算即可.【解答】 解：•••△ ADE ACB ,=-卫，又丄,DE=10 ,AC BC AC 3.BC=15.C…二仁二….-，二上壬上=二，•••△ DEF 的周长=12 .故答案为：12.【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.4. （2015?重庆）已知△ ABC DEF，若△ ABC与厶DEF的相似比为2: 3,则厶ABC与△ DEF对应边上中线的比为2: 3 .【考点】相似三角形的性质.【分析】相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可.【解答】解：•••△ ABC DEF , △ ABC与厶DEF的相似比为2: 3,• △ ABC与厶DEF对应边上中线的比是2：3, 故答案为：2: 3.【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能理解相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形对应边上中线的比等于相似比.5. （2015?重庆）已知△ ABC DEF, △ ABC与厶DEF的相似比为4: 1,则厶ABC与厶DEF对应边上的高之比为4: 1 .【考点】相似三角形的性质.【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可.【解答】解：•••△ ABC DEF , △ ABC与厶DEF的相似比为4: 1,• △ ABC与厶DEF对应边上的高之比是4: 1 ,故答案为：4: 1.【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟练地运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比.6. （2015?本溪）在厶ABC 中，AB=6cm , AC=5cm，点D、E 分别在AB、AC 上.若△ ADE 与厶ABC 相似，且S^ADE: S四边形BCED=1 : 8，则AD= 2或'_cm .3【考点】相似三角形的性质.【专题】压轴题；分类讨论.【分析】由于△ ADE与厶ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论.【解答】解：T S A ADE : S四边形BCED = 1 : 8,•§△ ADE : S A ABC=1 : 9,•△ ADE与厶ABC相似比为：1: 3,①若/ AED对应/ B时,则；■/ AC=5cm ,• AD= cm;3②当/ADE对应/ B时UAB_3■/ AB=6cm ,/• AD=2cm ;【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例,比等于相似比的平方，意识到有两种情况分类讨论是解决问题的关键.7. （2010?湖州）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若△ ABC与厶A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（9, 0） .【考点】位似变换.【专题】网格型.【分析】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心.【解答】解：连接BB i, A I A，易得交点为（9, 0）.故答案为：（9, 0）.【点评】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点.相似三角形的面积& （ 2015秋?九江期末）如图，E （- 6, 0）, F （- 4, - 2）,以O为位似中心按比例尺1 : 2把厶EFO缩小到第一象限，则点F的对应点F'的坐标为（2, 1）.【考点】位似变换；坐标与图形性质.【分析】以O为位似中心，按比例尺1 : 2,把厶EFO缩小，结合图形得出，则点F的对应点F'的坐标是E （- 4，- 2）的坐标同时乘以- —计算即可.2【解答】解：根据题意可知，点F的对应点F'的坐标是F （- 4，- 2）的坐标同时乘以--，2所以点F'的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）.【点评】本题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（- kx， - ky）.9. （2015秋？乐至县期末）如图，△ ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作△ ABC的位似图形△ A'BC，并把△ ABC 的边长放大到原来的2倍.设B的坐标是（3，- 1），则点B的坐标是（-3，丄 _.【考点】位似变换；坐标与图形性质.【分析】作BD丄x轴于D，B D '丄x轴于D 根据相似三角形的性质求出CD，BD的长,得到点B的坐标.【解答】解：作BD丄x轴于D, B'D'丄x轴于D',•••点C的坐标是（-1, 0）, B的坐标是（3,- 1）,••• CD =4, B'D=1 ,由题意得，△ ABC s A B C,相似比为1: 2,.BD = CD =1…匕= =：.，• CD=2 , BD=-,•点B的坐标是「3,"故答案为：（—3,」_）.2【点评】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质, 和相似三角形的性质是解题的关键.10. （2010?津南区一模）如图，△ ABC与厶DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AD , S^ ABC =8，贝V S^ DEF 等于18.【考点】位似变换.【专题】计算题.【分析】△ ABC与厶DEF是位似图形，由OA=2AD可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方.【解答】解：•••△ ABC与厶DEF是位似图形且OA=2AD .•••两位似图形的位似比为2: 3,•••两位似图形的面积比为4: 9,又•••△ ABC的面积为8,得厶A'B'C的面积为18.故答案为18.【点评】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方.二.解答题（共20小题）11. （2012?金山区一模）已知（1）求一的值；（2）若：「'，，求x2 3 4 z值.【考点】比例的性质；二次根式的性质与化简.【专题】计算题.【分析】（1）设x=2k, y=3k , z=4k，代入后化简即可；2（2）把x=2k, y=3k, z=4k代入得出2k+3=k，求出方程的解，注意无理方程要进行检验.【解答】解由「•…一，设x=2k , y=3k , z=4k,2 3 4掌握位似的两个图形是相似形（1）『£ - 4k （2）…厂■了化为三上上2 2••• 2k+3=k，即k - 2k—3=0,••• k=3 或k= - 1,经检验，k= - 1不符合题意，• k=3，从而x=2k=6 ,即x=6 .【点评】本题考查了比例的性质，二次根式的性质，解一元二次方程等知识点的应用, 解（1）小题的方法，解（2）小题求出k的值要进行检验.12. （2013?谯城区校级模拟）已知二一=止=二^=k，求k的值.c b a【考点】比例的性质.【专题】分类讨论.【分析】分a+b+c z 0时，利用合比性质解答即可，a+b+c=0时，用c表示出a+b,计算即可得解.【解答】解：① a+b+c z 0 时,=「- = ：“" =k , c b a• k= _ _ ； ' =2；a+b+c '②a+b+c=0 时，a+b= - c, a+c= - b, b+c= - a,所以，k=——= - 1,c综上所述，k的值为2或-1.【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了合比性质，易错点在于要分情况讨论.13. （2012秋？金安区校级月考）已知x= “■，求x的值.a+b b+c a+c【考点】比例的性质.【专题】计算题.【分析】应为a、b、c的关系不明确，所以分①a+b+c z 0时，利用合比性质列式进行计算即可得解，②a+b+c=0时，分别用两个字母表示出第三个字母，进行计算即可求解.cab a+b+c 1x=a+b b+c a+c 2 (a+b+c) 2②a+b+c=0 时，a+b= - c, b+c= - a, a+c= - b,=-1,故答案为：;或-1.【点评】本题考查了比例的性质，注意要分两种情况讨论求解, 而导致出错. 注意【解答】解：①a+b+c z 0时,…x=—a+b b+c a+cx的值为l或-1综上所述,同学们容易漏掉第二种情况14•已知」=_==：" =k，求k值.y x z【考点】比例的性质.【分析】分x+y+z=O时求解，x+y+z z 0时，利用合比性质解答.【解答】解：①x+y+z=0时，x+y= - z,所以，k= - 1,...k= [ m …「=2x+jH-z所以，k值为-1或2.【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了合比性质，易错题，要注意分情况讨论.15. （2012?卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF : BF=1 : 2，点D是BC延长线上一点，BC: CD=2 : 1,连接FD与AC交于点N,求FN : ND的值.【考点】平行线分线段成比例.【专题】证明题.【分析】过点F作FE// BD，交AC于点E，求出工=丄，得出FE=_BC，根据已知推出BC 3 3CD=* BC，根据平行线分线段成比例定理推出—=—，代入化简即可.2 ND CD【解答】解：过点F作FE / BD，交AC于点E，• EF = AF…---- ，BC AB•/ AF : BF=1 : 2，即FE= BC，3•/ BC : CD=2 : 1，• CD=—BC，2•/ FE // BD，② x+y+z z 0 时,丄二=v；_=：匕丁=ky K z1-3 1=3一一一一AFABFE丽1-BC•『」=「二= =而 CD 1BC 3B L J即FN: ND=2 : 3.=：=' -r.u•••△ BCF s\ BDA ,•••!_=二=，/ BCF= / BDA ,AD BD 3• FC // AD , • △ CNFAND ,•空=匹=2【点评】 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例, 此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目.16. （2013 秋?北京校级期中） 已知：如图，△ ABC 中，DE // BC , AD + EC=9 , DB=4 , AE=5 , 求AD 的长.【考点】平行线分线段成比例. 【专题】计算题.证法二、连接 CF 、 •/ AF : BF=1 : 2, BC : CD=2 : 1 ,AD【分析】根据平行线分线段成比例定理得出厶丄二’，代入得出二= ,求出AD即可.BD EC 4 9-AD【解答】解：I DE // BC ,•匸=1 一…---- ---- ,BD EC■/ AD+EC=9, DB=4 , AE=5 ,• EC=9 - AD ,~ 9 - AD ?解得：AD=4或5,答：AD的值是4或5.【点评】本题考查了平行线分线段定理的应用，关键是得出比例式二=厂，注意：根据平DB EC行线得出的比例是对应成比例，题目比较好，难度不大.17. （2015秋？黄岛区期中）如图，一个矩形广场的长为60m,宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m,那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？【考点】相似多边形的性质.【分析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出【解答】解：•••小路内外边缘所围成的两个矩形相似，.60 = &0 - 3•、= __三，解得，x=1m,答：当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似.【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质:的关键.x的值即可.对应边的比相等是解题18. （2013春?武威校级月考）如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角a B的大小和EH 的长度x.xcm H【考点】相似多边形的性质.【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出a= / C=83 ° / F= / B=78 °再根据四边形的内角和等于360。
北师大版九年级数学上册 第四章 相似三角形培优专题 (含答案)
北师大版九年级上册 第四章 相似三角形培优专题 （含答案）一、单选题1．如图，过点0(0,1)A 作y 轴的垂线交直线:3l y x =于点1A ，过点1A 作直线l 的垂线，交y 轴于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ，…，这样依次下去，得到012A A A ∆，234A A A ∆，4564A A ∆，…，其面积分别记为1S ，2 S ，3 S ，…，则100S （ ）A ．1002⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．100C ．1994D ．39522．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2A D B D=，6BC =，则线段CD 的长为（ ）A．B ．C ．D ．53．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ︒∠=，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③1412DEC S ∆=-；④1DH HC =-．则其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，若点E ，F 分别在AB,CD 上，且BE=2AE ，DF=2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．45．如图，在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC ∆的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．266．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:AD AB =，将ABD △沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BH CF=（ ）A ．2B ．3C ．2D ．327．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，BD ，AE 交于点O ，若随机向平行四边形ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．116B ．112C ．18D ．168．如图，在平面直角坐标系中，已知()()()3,2,0,-2,3,0,A B C M ---是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN MC ⊥交y 轴于点N ，若点M N 、在直线y kx b =+上，则b 的最大值是（ ）A ．78-B ．34-C ．1-D ．09．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，P 是对角线BD 上任意一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F .设BP ＝x ，EF ＝y ，则能大致表示y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ．10．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上的一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则下列结论中:①4ABM FDM S S =；②PN =；③tan ∠EAF=34；④.PMN DPE ∽正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④11．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线,AC BD 的交点，过点O 作射线分别交,OM ON 于点,E F ，且90EOF ∠︒＝，交,OC EF 于点G ．给出下列结论：COE DOF V V ①≌;OGE FGC V V ②∽C ；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；22•DF BE OG OC +④＝．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．③④12．如图，在ABC ∆中，D 在AC 边上，12AD DC ：＝：，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE EC ：＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：313．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知2)B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD PC ⊥，交x 轴于点D ．下列结论：①OA BC ==②当点D 运动到OA 的中点处时，227PC PD +=；③在运动过程中，CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．如图，在ABC △中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC △的面积为( )A ．B ．4C ．D ．8二、填空题 15．如图，在等腰Rt ABC ∆中， 90C =∠，15AC =，点E 在边CB 上， 2CE EB =，点D 在边AB 上，CD AE ⊥，垂足为F ，则AD 长为_____．16．如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6. P 为对角线BD 上一点，则PM —PN 的最大值为___.17．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(8,6)-，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE ∆∽CBO ∆，当APC ∆是等腰三角形时，P 点坐标为_____．18．如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若AB ＝5，CF ＝2，则线段EP 的长是_____．19．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是_______（写出所有正确结论的序号）．①AM BN =；②ABF DNF ∆∆≌；③180FMC FNC ︒∠+∠=；④111A C N C EM =+20．如图，正方形ABCD 中，1124AB AE AB ==，，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为_______．21．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q R 、分别与图2中的点E G 、重合，点P 在边EH 上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是_____.22．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，交BD 于点F ，且60,2ABC AB BC ∠=︒=，连接OE ．下列结论：①EO AC ⊥；②4AOD OCF S S =；③:7AC BD =；④2•FB OF DF =．其中正确的结论有__________（填写所有正确结论的序号）23．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点ADE ，则GE的长落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5为__________．参考答案1．D【解析】【分析】本题需先求出OA 1和OA 2的长，再根据题意得出OA n =2n ，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S 100．【详解】∵点0A 的坐标是(0,1)，∴01OA =，∵点1A 在直线3y x =上， ∴12OA =，013A A = ∴24OA =，∴38OA =，∴416OA =，得出2n n OA =， ∴12·3n n n A A +=∴1981982OA =，19819819923A A = ∵113(41)3322S =-⋅= ∵21200199A A A A ∥，∴012198199200∆∆∽A A A A A A ， ∴2198100133S S ⎛=， ∴396395332332S == 故选D ．【点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．2．C【解析】【分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADEABC ∆∆，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度. 【详解】解：设2AD x =，BD x =，∴3AB x =，∵//DE BC ，∴ADEABC ∆∆， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ADEACD ∆∆， ∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=， ∴6AD =，4CD=，∴26CD=故选：C.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型. 3．A【解析】【分析】①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得13412DECS∆=-；④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得31DH DEHC CG==．【详解】证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB AD=，90ABC ADC︒∠=∠=，45BAC DAC ACB ACD︒∠=∠=∠=∠=．在ABE∆和ADE∆中，AB ADBAC DACAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADE SAS∆≅∆，∴BE DE=，故①正确；②在EF上取一点G，使EG EC=，连结CG，∵ABE ADE∆≅∆，∴ABE ADE∠=∠．∴CBE CDE∠=∠，∵BC CF =，∴CBE F ∠=∠，∴CBE CDE F ∠=∠=∠．∵15CDE ︒∠=，∴15CBE ︒∠=，∴60CEG ︒∠=．∵CE GE =，∴CEG ∆是等边三角形．∴60CGE ︒∠=，CE GC =，∴45GCF ︒∠=，∴ECD GCF ∠=．在DEC ∆和FGC ∆中，CE GC ECD GCF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEC EGC SAS ∆≅∆，∴DE GF =．∵EF EG GF =+，∴EF CE ED =+，故②正确；③过D 作DM AC ⊥交于M ，根据勾股定理求出2AC =， 由面积公式得：1122AD DC AC DM ⨯=⨯， ∴22DM =，∵45DCA ︒∠=，60AED ︒∠=， ∴22CM =，66EM =， ∴2626CE CM EM =-=- ∴1132412DEC S CE DM ∆=⨯=-，故③正确； ④在Rt DEM ∆中，623DE ME ==∵ECG ∆是等边三角形， ∴262CG CE ==- ∵60DEF EGC ︒∠=∠=，∴DE CG ∥，∴DEH CGH ∆∆∽， ∴633126DH DE HC CG ===+，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，故选A ．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 4．C【解析】【分析】如图，延长FH 交AB 于点M ，由BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点，证明EG//BC ，FH//AD ，进而证明△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CAD ，进而证明四边形EHFG 为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可.【详解】如图，延长FH 交AB 于点M ，∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，AB=AE+BE ，CD=CF+DF ，∴AE ：AB=1：3，CF ：CD=1：3，又∵G 、H 分别是AC 的三等分点，∴AG ：AC=CH ：AC=1：3，∴AE ：AB=AG ：AC ，CF ：CD=CH ：CA ，∴EG//BC ，FH//AD ，∴△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CDA ，BM ：AB=CF ：CD=1：3，∠EMH=∠B ，∴EG ：BC=AE ：AB=1：3，HF ：AD=CF ：CD=1：3，∵四边形ABCD 是矩形，AB=3，BC=6，∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，∴EM=3-1-1=1，EG=FH ，∴EG //FH ，∴四边形EHFG 为平行四边形，∴S 四边形EHFG ＝2×1=2，故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.5．D【解析】【分析】利用AFH ADE ∆~∆得到2916AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以9,16,AFH ADE S x S x ∆∆==则1697x x -=，解得1x =，从而得到16ADE S ∆=，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．【详解】如图，根据题意得AFH ADE ∆~∆， ∴2239416AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设9AFH S x ∆=，则16ADE S x ∆=，∴1697x x -=，解得1x =，∴16ADE S ∆=，∴四边形DBCE 的面积421626=-=．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．6．B【解析】【分析】设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，根据矩形的性质可得△ABE 、△CDE 都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM 垂直平分AF ，BF=AB=a ，3．解直角△BGM ，求出BM ，再表示DM ，由△ADM ∽△GBM ，求出3，再证明3B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小．建立平面直角坐标系，得出B （3，3B′（3，3E （03B′E 的解析式，得到H （1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出23BH CF ==233． 【详解】如图，设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，tan∠ABD=3 ADAB=∴22AB AD+，∠ABD=60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，3，在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，∴GM=12BG=1，33，∴3∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴AD DMBG BM=3233a a-=，∴3∴3，AD=BC=6，3易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴作B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小． 如图，建立平面直角坐标系，则A （3，0），B （3，3B′（3，3E （03），易求直线B′E 的解析式为33∴H （1，0），∴22(31)(230)-+-， ∴23BH CF =23 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH 、CF 的长是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据E 为BC 的中点，可得12BO OE BE OD AO AD ===，根据边长的比值即可计算出图阴影部分的面积与平行四边形面积的比值，由此即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC//AD ，BC=AD ，∴△BOE ∽△DOA ，∴BO OE BE OD AO AD== 又∵E 为BC 的中点， ∴12BO OE BE OD AO AD ===， ∴13BO BD =， ∴BOE AOB 1S S 2=，AOB ABD 1S S 3=， ∴BOE ABD ABCD 11S S S 612==，∴米粒落在图中阴影部分的概率为112， 故选B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，几何概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.8．A【解析】【分析】当点M 在AB 上运动时，MN ⊥MC 交y 轴于点N ，此时点N 在y 轴的负半轴移动，定有△AMC ∽△NBM ；只要求出ON 的最小值，也就是BN 最大值时，就能确定点N 的坐标，而直线y=kx+b 与y 轴交于点N （0，b ），此时b 的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．【详解】解：连接AC ，则四边形ABOC 是矩形，90A ABO ︒∴∠=∠=，又MN MC ⊥，90CMN ︒∴∠=，AMC MNB ∴∠=∠，~AMC NBM ∴∆∆，AC AM MB BN∴=， 设,BN y AM x ==．则3,2MB x ON y =-=-， 23x x y∴=-， 即：21322y x x =+ ∴当33212222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，21333922228y ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭最大 直线y kx b =+与y 轴交于()0,N b当BN 最大，此时ON 最小，点()0,N b 越往上，b 的值最大，97288ON OB BN ∴=-=-=， 此时， 70,8N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ b 的最大值为78-． 故选：A ．【点睛】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．9．A【解析】【分析】根据图形先利用平行线的性质求出△BEF ∽△BAC ，再利用相似三角形的性质得出x 的取值范围和函数解析式即可解答【详解】当0≤x ≤4时，∵BO为△ABC的中线，EF∥AC，∴BP为△BEF的中线，△BEF∽△BAC，∴BP EFBO AC=，即46x y=，解得32y x=y，同理可得，当4＜x≤8时，3(8)2y x =-.故选：A.【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似10．A【解析】【分析】利用正方形的性质，得出∠DAN＝∠EDC，CD＝AD，∠C＝∠ADF即可判定△ADF≌△DCE（ASA），再证明△ABM∽△FDM，即可解答①；根据题意可知：AF＝DE＝AE5得出③；作PH⊥AN于H．利用平行线的性质求出AH＝24585453HN==，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，∵AF⊥DE，∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，∴∠DAN＝∠EDC，在△ADF与△DCE中，CAD CDCDE⎧⎪=⎨⎪⎩∠ADF=∠∠DAF=∠，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DF＝CE＝1，∵AB∥DF，∴△ABM∽△FDM，∴24S ABM ABS FDM DF∆⎛⎫==⎪∆⎝⎭，∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；根据题意可知：AF ＝DE ＝AE ∵12 ×AD ×DF ＝12×AF ×DN ， ∴DN 25 ， ∴EN ＝355，AN ＝455， ∴tan ∠EAF ＝34EN AN =，故③正确， 作PH ⊥AN 于H ．∵BE ∥AD ， ∴2PA AD PE BE==， ∴P A 25 ∵PH ∥EN ， ∴23AH PA AN AE ==， ∴AH ＝24585453HN ==， ∴2265PA AH -= ∴PN 22265PH HN +②正确， ∵PN ≠DN ，∴∠DPN ≠∠PDE ，∴△PMN 与△DPE 不相似，故④错误．故选：A ．【点睛】此题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质难度较大，解题关键在于综合掌握各性质11．B【解析】【分析】根据全等三角形的判定（ASA ）即可得到①正确；根据相似三角形的判定可得②正确；根据全等三角形的性质可得③正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.【详解】解：Q ①四边形ABCD 是正方形，,OC OD AC BD ∴⊥＝，45ODF OCE ∠∠︒＝＝，90MON ∠︒Q ＝，COM DOF ∴∠∠＝，COE DOF ASA ∴V V ≌（）， 故①正确；90EOF ECF ∠∠︒Q ②＝＝，∴点,,,O E C F 四点共圆，∴,EOG CFG OEG FCG ∠∠∠∠＝＝，∴OGE FGC V ∽，故②正确；③COE DOF QV V ≌，COE DOF S S ∴V V ＝，14OCD ABCDCEOF S S S ∴==V 正方形四边形， 故③正确； COE DOF QV V ④≌，OE OF ∴＝，又90EOF ∠︒Q ＝，EOF ∴V 是等腰直角三角形，45OEG OCE ∴∠∠︒＝＝，EOG COE ∠∠Q ＝，OEG OCE ∴V V ∽，::OE OC OG OE ∴＝，2•OG OC OE ∴＝，122OC AC OE EF Q ＝，＝， 2•OG AC EF ∴＝，,CE DF BC CD Q ＝＝，BE CF ∴＝，又Rt CEF Q V 中，222CF CE EF +＝，222BE DF EF ∴+＝，22•OG AC BE DF ∴+＝，故④错误，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定.12．B【解析】【分析】过O 作BC 的平行线交AC 与G ，由中位线的知识可得出12AD DC ：＝：，根据已知和平行线分线段成比例得出2121AD DG GC AG GC AO OF ＝＝，：＝：，：＝：，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF FC ：的比．【详解】解：如图，过O 作//OG BC ，交AC 于G ，∵O 是BD 的中点，∴G 是DC 的中点．又12AD DC ：＝：，AD DG GC ∴＝＝，2121AG GC AO OE ∴：＝：，：＝：，2AOB BOE S S ∆∆∴：＝设2BOE AOB S S S S ∆∆＝，＝，又BO OD ＝，24AOD ABD S S S S ∆∆∴＝，＝，12AD DC ：＝：，287BDC ABD CDOE S S S S S ∆∆∴四边形＝＝，＝，93AEC ABE S S S S ∆∆∴＝，＝，3193ABE AEC S BE S EC S S ∆∆∴=== 故选：B ．【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．13．D【解析】【分析】①根据矩形的性质即可得到23OA BC ==①正确；②由点D 为OA 的中点，得到132OD OA ==2222272(3)PC PD CD OC OD +==+=+=，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE a =，则2P F E F P E a=-=-，根据三角函数的定义得到33BE PE a ==，求得2333(2)CE BC BE a a =-==-，根据相似三角形的性质得到3FD =，根据三角函数的定义得到60PDC ︒∠=，故③正确； ④当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD =，解直角三角形得到3333OD OC ==， Ⅱ、OP ＝OD ，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD =，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；于是得到当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故④正确．【详解】解：①∵四边形OABC 是矩形，(23,2)B ，23OA BC ∴==①正确；②∵点D 为OA 的中点，132OD OA ∴==， 2222222237PC PD CD OC OD ∴+++＝＝＝（）＝，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥ A 于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE BC ∴⊥，四边形OFEC 是矩形，2EF OC ∴＝＝，设PE a ＝，则2PF EF PE a ＝﹣＝﹣，在Rt BEP ∆中，PE OC 3BE BC 3tan CBO ∠===， 33BE PE a ∴==，2333(2)CE BC BE a a ∴=-==-，PD PC ⊥，90CPE FPD ︒∴∠∠=，90CPE PCE ︒∠+∠=，,FPD ECP ∴∠=∠，90CEP PFD ︒∠=∠=，CEP PFD ∴∆∆∽，PE CP FD PD∴=， 3(2)a a FD -∴=FD ∴=， tan 33PC a PDC a PD∴∠===， 60PDC ︒∴∠=，故③正确； ④(23,2)B ，四边形OABC 是矩形，3,2OA AB ∴==，3tan AB AOB OA ∠== 30AOB ︒∴∠=，当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD ＝，30DOP DPO ∴∠∠＝＝， 60ODP ∴∠＝， 60ODC ∴∠＝， 3333OD ∴== Ⅱ、OP OD =75ODP OPD ∴∠∠＝＝，90COD CPD ∠∠＝＝，10590OCP ∴∠＝＞，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD ＝，30POD PDO ∴∠∠＝＝， 15090OCP ∴∠＝＞故不合题意舍去，∴当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为23⎫⎪⎪⎝⎭．故④正确，故选：D ．【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP 和PD 是解本题的关键．14．B【解析】【分析】先证CDE CBA V :V ，利用相似三角形性质得到12DC DE BC BA ==，即12DC BD DC =+，在直角三角形ABD 中易得22BD =，从而解出DC ，得到△ABC 的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可 【详解】AB AD DE AD ∴⊥⊥，90BAD ADE ∴∠=∠=o//AB DE ∴易证CDE CBA V :V12DC DE BC BA ∴== 即12DC BD DC =+ 由题得22BD =∴解得22DC =ABC △2112422422ABC S BC ∴=⨯=⨯=V 故选B【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC 的长度15．【解析】【分析】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90°由等腰直角三角形的性质可得15AC BC ==，45CAD ∠=，进而可得AH DH =，由此得CH=15-DH ，再证明~ACE DHC ∆∆，由相似三角形的对应边成比例可得DH CH AC CE=，求出CE=10，代入相关数据可求得DH=9，继而根据勾股定理即可求得AD 长.【详解】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90° 在等腰Rt ABC ∆中，90C =∠，15AC =， 15AC BC ∴==，45CAD ∠=，∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD ，AH DH ∴=，∴CH=AC-AH=15-DH ，CF AE ⊥，90DHA DFA ∴∠=∠=，又∵∠ANH=∠DNF ，HAF HDF ∴∠=∠，~ACE DHC ∴∆∆，DH CH AC CE∴=， 2CE EB =，CE+BE=BC=15，∴10CE =， ∴151510DH DH -=， 9DH ∴=，2292AD AH DH ∴=+=， 故答案为：92．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16．2.【解析】【分析】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，由此可得PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，此时即PM —PN 的值最大，由正方形的性质求出AC 的长，继而可得22ON ON '==62AN '=，再证明13CM CN BM AN '='=，可得PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，判断出△N CM '为等腰直角三角形，求得N M '长即可得答案. 【详解】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，∴PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，∴282∵O 为AC 中点，∴AO=OC=2∵N 为OA 中点，∴ON=22 ∴22ON ON '== ∴62AN '=∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2， ∴13CM CN BM AN '='=， ∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，∵∠N CM '=45°，∴△N CM '为等腰直角三角形，∴CM=N M '=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．326()55-，或(43)-， 【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，根据PBE ∆∽CBO ∆求出PE ，②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，根据PBE ∆∽CBO ∆，求出PE ，BE ，则可得到OE ，故而求出点P 点坐标.【详解】解：∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC ∆是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示：∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(8,6)-，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE ∆∽CBO ∆，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(4,3)P -；②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示：∵CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(-8,6)，∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴222208610BC BO C +=+=，∴2BP =，∵PBE ∆∽CBO ∆， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，； 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，； 故答案为：326()55-，或(43)-，．【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性质.13218【解析】【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．【详解】如图，作FH⊥PE于H．∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝2∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF2∵CE＝4AE，∴EC＝2，AE2，∴EH＝2在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（2）2+2）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F，C四点共圆，∴∠EFG ＝∠ECG ＝45°，∴∠ECF ＝∠EFP ＝135°，∵∠CEF ＝∠FEP ，∴△CEF ∽△FEP ， ∴EF EC EP EF=， ∴EF 2＝EC•EP ，∴EP 132242= 故答案为：1322． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19．①③④【解析】【分析】①根据等边三角形性质得出AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，求出BCE ACD ∠=∠，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据60ABC BCD ︒∠==∠，求出//AB CD ，可推出ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得60AFB ︒∠=，可求得120MFN ︒=，根据60BCD ︒∠=可解题； ④根据CM CN =，60MCN ︒∠=，可求得60CNM ︒∠=，可判定//MN AE ，可求得N DN CD CN AC CD CDM -==，可解题． 【详解】明：①∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，∴AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，∴ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠，即BCE ACD ∠=∠，在BCE ∆和ACD ∆中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCE ACD SAS ∆∆≌，∴AD BE =，ADC BEC ∠∠=，CAD CBE ∠=∠，在DMC ∆和ENC ∆中，60MDC NEC DC BCMCD NCE ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()DMC ENC ASA ∆∆≌，∴DM EN =，CM CN =，∴AD DM BE EN -=-，即AM BN =；②∵60ABC BCD ︒∠==∠，∴//AB CD ，∴BAF CDF ∠=∠，∵AFB DFN ∠=∠，∴ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件；③∵180AFB ABF BAF ︒∠+∠+∠=，FBC CAF ∠=∠，∴180AFB ABC BAC ︒∠+∠+∠=，∴60AFB ︒∠=，∴120MFN ︒∠=，∵60MCN ︒∠=，∴180FMC FNC ︒∠+∠=；④∵CM CN =，60MCN ︒∠=，∴MCN ∆是等边三角形，∴60MNC ︒∠=，∵60DCE ︒∠=，∴//MN AE ，∴MN DN CD CN AC CD CD-==， ∵CD CE =，MN CN =， ∴MN CE MN AC CE-=， ∴MN MN 1AC CE =-， 两边同时除MN 得111AC MN CE=-， ∴111MN AC CE=+． 故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．20．4【解析】【分析】先证明BPE CQP ∆∆∽，得到与CQ 有关的比例式，设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【详解】解：9090BEP BPE QPC BPE ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，BEP CPQ ∴∠∠＝．又90B C ∠∠︒＝＝，BPE CQP ∴∆∆∽．BE BP PC CQ∴= 设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣．912x x y ∴=-，化简得()21129y x x =--， 整理得21(6)49y x =--+，所以当6x ＝时，y 有最大值为4．故答案为4．【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．21．5【解析】【分析】如图3中，连接CE 交MN 于O ，先利用相似求出OM 、ON 的长，再利用勾股定理解决问题即可．【详解】如图3， 连结CE 交MN 于O .观察图1、图2可知， 4,8EN MN CM ===，90ENM CMN ∠=∠=︒.图3∴EON COM ∆∆∽， ∴12EN ON CN OM ==， ∴1428,3333ON MN OM MN ====. 在Rt ENO ∆中，224103OE ON EN =+= ，同理可求得103OG =， ∴2)2GF OE OG =+=，即“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是5故答案为：5【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．①③④【解析】【分析】①根据已知的条件首先证明ECB 是等边三角形，因此可得EA EB EC ==，所以可得90ACB ∠=︒，再根据O 、E 均为AC 和AB 的中点，故可得90AOE ACB ∠=∠=︒，便可证明EO AC ⊥；②首先证明OEF BCF ∽，因此可得12OE OF BC FB ==，故可得AOD S 和OCF S 的比. ③根据勾股定理可计算的AC ：BD ；④根据③分别表示FB 、OF 、DF ，代入证明即可.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,,CD AB OD OB OA OC ==∥，∴180DCB ABC ∠+∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴120DCB ∠=︒，∵EC 平分DCB ∠， ∴1602ECB DCB ∠=∠=︒， ∴60EBC BCE CEB ∠=∠=∠=︒，∴ECB 是等边三角形，∴EB BC =，∵2AB BC =，∴EA EB EC ==，∴90ACB ∠=︒，∵,OA OC EA EB ==，∴OE BC ∥，∴90AOE ACB ∠=∠=︒，∴EO AC ⊥，故①正确，∵OE BC ∥，∴OEF BCF ∽， ∴12OE OF BC FB ==， ∴13OF OB =， ∴3AOD BOC OCF S S S ==，故②错误，设BC BE EC a ===，则2AB a =，3AC a =，22372OD OB a a ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴7BD a =， ∴:37217AC BD a a ==，故③正确， ∵1736OF OB a ==， ∴73BF a =， ∴22277777,99BF a OF DF a ⎫=⋅=⋅+=⎪⎪⎝⎭， ∴2BF OF DF =⋅，故④正确，故答案为①③④．【点睛】本题是一道平行四边形的综合性题目，难度系数偏大，但是是常考点的组合，应当熟练掌握. 23．4913【解析】【分析】先根据勾股定理得出AE 的长，然后根据折叠的性质可得BF 垂直平分AG ，再根据ABM ~ADE ,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE 的长【详解】解：在正方形ABCD 中，∠BAD=∠D =090，∴∠BAM+∠FAM=090在Rt ADE中，2222+1DE2315=+=A ADE∵由折叠的性质可得ABF GBF≅∴AB=BG，∠FBA=∠FBG∴BF垂直平分AG，∴AM=MG，∠AMB=090∴∠BAM+∠ABM=090∴∠ABM=∠FAM∴ABM~ADE∴AM ABDE AE=，∴12513AM=∴AM=6013, ∴AG=12013∴GE=5-12049 1313=【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键。
北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似含答案(必刷题)
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合.设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为（）A. B. C. D.2、如图，下列四个三角形中，与相似的是（）A. B. C. D.3、如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B. C.D.4、小明是我校手工社团的一员，他在做折纸手工，如图所示在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC的中点，点F是边CD上的任意一点，△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A.1B.2C.3D.45、如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（）A.5B.5C.D.6、如图，△ABC 内接于⊙ O ，AD 是△ABC 边 BC 上的高，D 为垂足.若 BD = 1，AD = 3，BC = 7，则⊙O 的半径是（）A. B. C. D.7、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝3，则CD的长是( )A. B. C. D.8、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A.1B.2C.3D.49、如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A. B. C. D.10、如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（）A. B. C. D.11、已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为（）A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm12、在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，则△DEF最短的一边是（）A.72B.18C.12D.2013、如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（）A. B.1 C.2 D.314、如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，且把三角形ABC分成面积为S1， S2， S3三部分，则S1：S2：S3=（）A.1：2：3B.1：4：9C.1：3：5D.无法确定15、已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7，且每相邻两条直线的距离相等.若直线l8分别与l1， l2， l5， l7相交于点A，B，C，D，则AB：BC：CD为________.17、在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM=________．18、已知，则的值为________.19、把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为________．20、上午某一时刻,身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米,则影长26米的旗轩高度为________米21、如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD 于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：________．22、如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm, OB=15 cm，则火焰的长度为________.23、将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作：（ 1 ）如图1，先将纸片对折，使BC和AD重合，得到折痕EF；（ 2 ）如图2，再将纸片分别沿EC，BD所在直线翻折，折痕EC和BD相交于点O.那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是________.24、如图，在直线l上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC ＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC∥HG∥DE，GN∥DC∥HF∥AB．设图中三个四边形的面积依次是S1， S2， S3，若S1+S3＝20，则S1＝________，S2＝________．25、如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程.534%－2x=0.5627、李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．28、如图，两根电线杆相距Lm，分别在高10m的A处和15m的C处用钢索将两杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH．29、如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A ＝∠BPD，△APC 与△BPD相似吗？为什么？30、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C4、D5、B6、C7、D8、D9、D10、B11、C12、B13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
北师大版九年级数学上学期期末培优训练第四章：图形的相似(含答案)
九年级数学上学期期末培优训练：图形的相似1．如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：△AEF∽△BFC．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．矩形DEFG的顶点D、G分别在边AC、BC上，EF在边AB上．（1）点C到AB的距离为．（2）如图①，若DE＝DG，求矩形DEFG的周长．（3）如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为．3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点H．（1）求证：BD2＝DH•DA；（2）过点C作CF∥AB交BE的延长线于点F．求证：HB2＝HE•HF．4．在平行四边形ABCD中，AD＝BD，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD 于G．（1）如图1，若DF＝DG＝2，AB＝8，求EF的长；（2）如图2，∠ADB＝90°，点P为平行四边形ABCD外部一点，且AP＝AD，连接BP、DP、EP，DP交EF于点Q，若BP⊥DP，EF⊥EP，求证：DQ＝PQ．5．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．（1）求▱DEFG对角线DF的长；（2）求▱DEFG周长的最小值；（3）当▱DEFG为矩形时，连接BG，交EF，CD于点P，Q，求BP：QG的值．6．如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO＝BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE＝∠ACB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求证：．7．如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．（1）求证：EF⊥BD．（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．（3）求OF的长度．8．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM 边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．（1）如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE＝CF；②求证：DP垂直平分EF；（2）当AE＝1时，求PQ的长．9．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF 交AD于点G．（1）求证：AD2＝AB•AE；（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？11．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BF•DE＝AB•AD．12．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA 边向点A以1厘米/秒的速度移动．：点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？13．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．猜想：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为．探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，求的值．应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝．14．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．15．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．参考答案1．（1）∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中＝，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠C＝∠E、在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BFC．2．解：（1）过C作CM⊥AB于M，交DG于点N，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，由勾股定理得：BC＝＝4，＝，∵由三角形的面积公式得：S△ACB∴3×4＝5CM，解得：CM＝，故答案为：；（2）如图，∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥AB．∴MN＝DE，CN⊥DG，∴△CDG∽△CAB，∴＝，设DE＝DG＝x，则＝，解得：x＝，∴矩形DEFG的周长为4×＝；（3）∵矩形DEFG的周长是DE长的8倍，∴设DE＝MN＝x，则DG＝EF＝×（（8x﹣x﹣x）＝3x，∵由（2）知：＝，∴＝，解得：x＝，即DE＝，∵矩形DEFG的周长是DE长的8倍，∴矩形DEFG的周长是8×＝，故答案为：．3．解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∴∠ADB＝90°∵BE⊥AC于点E∴∠HEA＝90°又∵∠AHE＝∠BHD∴∠CAD＝∠DBH∴∠BAD＝∠DBH∴△BAD∽△DBH∴＝∴BD2＝DH•DA；（2）证明：连接HC，如图，∵AD⊥BC，AD是边BC上的中线∴AD垂直平分BC∴HB＝HC∴∠HBC＝∠HCB∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB∵∠BEC＝90°∴∠HBC+∠ACB＝90°∴∠HCB+∠ABC＝90°∵CF∥AB∴∠ABC+∠∠HCB+∠HCF＝180°∴∠HCF＝90°∵∠HCF＝∠HEC＝90°，∠FHC＝∠CHE ∴△FHC∽△CHE∴＝∴＝∴HB2＝HE•HF．4．解：（1）如图1中，∵DA ＝DB ，AE ＝EB ， ∴DE ⊥AB ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ， ∴DE ⊥CD ， ∵DF ∥EB ，∴＝，∴＝，∴BG ＝4，在Rt △DEB 中，∵∠DEB ＝90°，EB ＝4，DB ＝6，∴DE ＝＝2，在Rt △DEF 中，则有EF ＝＝2．（2）如图2中，设AB 交PD 于点O ．∵EF ⊥PE ，∴∠PEF ＝∠DEB ＝90°， ∴∠DEQ ＝∠BEP ， ∵DP ⊥PB ，∴∠DEO＝∠OPB＝90°，∵∠DOE＝∠BOP，∴∠EDQ＝∠EBP，∵△ADB是等腰直角三角形，AE＝EB，∴DE＝AE＝EB，∴△DEQ≌△BEP（ASA），∴EQ＝EP，DQ＝PB，∵∠PEQ＝90°，∴PQ＝PE，∵△ADE∽△ABD，可得AD2＝AE•AB，∵AD＝AP，∴AP2＝AE•AB，∴＝，∵∠EAP＝∠BAP，∴△EAP∽△P AB，∴＝＝＝，∴PB＝PE，∴DQ＝PE，∴DQ＝PQ．5．解：（1）如图1所示：连接DF，∵四边形ABCD是矩形，∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，∵AB＝3；∴DC＝3，在Rt△DCF中，由勾股定理得，∴DF＝＝＝；故▱DEFG对角线DF的长．（2）如图2所示：作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，∴ME+DE＞MD，②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，∴ME+DE＝MD由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，∵MB＝BF，∴MB＝1，∴MC＝3，又∵DC＝3，∴△MCD是等腰直角三角形，∴MD＝＝＝3，∴NF+DN＝MD＝3，∴l▱DEFG＝2（NF+DF）＝6；（3）设AE＝x，则BE＝3﹣x，∵▱DEFG为矩形，∴∠DEF＝90°，∵∠AED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠AED＝∠BFE，又∵∠A＝∠EBF＝90°，∴△DAE∽△EBF（AA）∴，∴，解得：x＝1，或x＝2①当AE＝1，BE＝2时，过点B作BH⊥EF，如图3（甲）所示：∵▱DEFG为矩形，∴∠A＝∠ABF＝90°，又∵BF＝1，AD＝2，∴在△ADE和△BEF中有，，∴△ADE≌△BEF中（SAS），∴DE＝EF，∴矩形DEFG是正方形；在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF＝＝＝，∴BH＝＝，又∵△BEF～△FHB，∴，HF＝，在△BPH和△GPF中有：，∴△BPH∽△GPF（AA），∴∴PF＝，又∵EP+PF＝EF，∴EP＝﹣＝，又∵AB∥BC，EF∥DG，∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），∴．②当AE＝2，BE＝1时，过点G作GH⊥DC，如图3（乙）所示：∵▱DEFG为矩形，∴∠A＝∠EBF＝90°，∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：∴ED＝＝＝2，EF＝＝＝，∴∠ADE＝45°，又∵四边形DEFG是矩形，∴DG＝，∠HDG＝45°，∴△DHG是等腰直角三角形，∴DH＝HG＝1，在△HGQ和△BCQ中有，∴△HGQ∽△BCQ（AA），∴，∵HC＝HQ+CQ＝2，∴HQ＝，又∵DQ＝DH+HQ，∴DQ＝1+＝，∵AB∥DC，EF∥DG，∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），∴＝，综合所述，BP：QG的值为或．6．解：（1）证明∵AD∥BC，∴，∵DO＝BO，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AC，∵∠DCE＝∠ACB，∴∠ACB+∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∠ADC＝90°，∵AD∥BC，∴，∴∴，∵∠ADC＝∠ACF＝90°，∴，∴．7．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵EF∥AC，∴EF⊥BD；（2）证明：∵EF∥AC，∴＝，＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CP，OA＝OC，∴＝，即＝，∴AO∥DP，∵AD∥CP，∴四边形ACPD为平行四边形；（3）解：由勾股定理得：AC＝BD＝＝，∵四边形ACPD为平行四边形，∴CP＝AD＝BC，∴＝，∵AD∥BP，∴＝＝，∴DE＝BD＝，OE＝OD﹣DE＝﹣＝，∵DO＝BD＝，∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，∴∠DFE＝45°，∴EF＝DE＝，在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF＝＝＝．8．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，∴∠ADC＝∠MDN＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDE（ASA），∴AE＝CF．②∵△ADE≌△CDE（ASA），∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DAC＝45°，∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，∴△AQD∽△EQP，∴＝，∴＝，∵∠AQE＝∠PQD，∴△AQE∽△DQP，∴∠QDP＝∠QAE＝45°，∴∠DPE＝90°，∴DP⊥EF，∵DE＝DF，∴PE＝PF，∴DP垂直平分线段EF．（2）解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．在Rt△ADE中，DE＝＝，∵∠QAH＝∠QAG＝45°，∴HQ＝QG＝A H＝AG，设QH＝x，∵×4×x+×1×x＝×1×4，∵x＝，∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，∵△AQD∽△EQP，∴AQ•PQ＝DQ•EQ，∴PQ＝＝．②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．在Rt△ADE中，DE＝＝，∵∠QAH＝∠QAG＝45°，∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，∵×4×x﹣×1×x＝×1×4，∵x＝，∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，∵△AQD∽△EQP，∴AQ•PQ＝DQ•EQ，∴PQ＝＝．综上所述，PQ的长为或．9．（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠DAE＝∠DAC，∴△DAE∽△CAD，∴＝，∴AD2＝AC•AE，∵AC＝AB，∴AD2＝AB•AE．（2）解：如图，连接DF．∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，∴DF＝AB＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴DF∥AC，∴＝＝＝，∴＝．10．解：（1）当∠AEF＝∠BFC时，要使△AEF∽△BFC，需＝，即＝，解得AF＝1或3；当∠AEF＝∠B CF时，要使△AEF∽△BCF，需＝，即＝，解得AF＝1；综上所述AF＝1或3．（2）延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1；连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m＝3时，有2个；当m＝4时，有2个；当m＞4时，有1个．11．证明：（1）∵AD2＝DE•DF，∴，∵∠ADF＝∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴∠F＝∠DAE，又∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ADB+∠ADF＝∠CDE+∠ADF，即∠BDF＝∠CDA，∴△BFD∽△CAD；（2）∵△BFD∽△CAD，∴，∵，∴，∵△BFD∽△CAD，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴，∴BF•DE＝AB•AD．12．解：①若△POQ∽△AOB时，＝，即＝，整理得：12﹣2t＝t，解得：t＝4．②若△POQ∽△BOA时，＝，即＝，整理得：6﹣t＝2t，解得：t＝2．∵0≤t≤6，∴t＝4和t＝2均符合题意，∴当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．13．解：猜想：如图①∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝＝1，∵BD：BC＝2：3，∴BD：AF＝2：3，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴＝＝；探究：过点A作作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图②，设DC＝k，则BC＝2k，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝1，即AF ＝BC ＝2k ，∵A F ∥BD ，∴△APF ∽△DPB ，∴＝＝＝；应用：CE ＝AC ＝3，BC ＝2CD ＝4，在Rt △BCE 中，BE ＝＝5，∴BF ＝2BE ＝10，∵AF ∥BD ，∴△APF ∽△DPB ，∴＝＝，∴BP ＝BF ＝×10＝6．故答案为，6．14．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠B +∠C ＝180°，∠ADF ＝∠DEC ，∵∠AFD +∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ，∴∠AFD ＝∠C ，∴△ADF ∽△DEC ；（2）∵AE ⊥BC ，AD ＝3，AE ＝3，∴在Rt △DAE 中，DE ＝＝＝6，由（1）知△ADF ∽△DEC ，得＝，∴AF ＝＝＝2． 15．（1）证明：∵PQ ⊥AQ ，∴∠AQP ＝90°＝∠ABC ，在△APQ 与△ABC 中，∵∠AQP ＝90°＝∠ABC ，∠A ＝∠A ，∴△AQP ∽△ABC ．（2）解：在Rt △ABC 中， AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得：AC ＝5． ∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，①当点P 在线段AB 上时，如题图1所示．∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ ，由（1）可知，△AQP ∽△ABC ，∴＝，即＝，解得：PB ＝，∴AP ＝AB ﹣PB ＝3﹣＝；（II ）当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图2所示．∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ ．∵BP ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P ，∵∠BQP +∠AQB ＝90°，∠A +∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ，∴AB ＝BP ，点B 为线段AP 中点，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6．综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为或6．。
北师大版九年级数学上册 第4章 图形的相似 综合测试卷(包含答案)
北师版九年级数学上册 第四章 图形的相似综合测试卷题号 一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．下列四组线段中，成比例线段的是( ) A ．3，4，5，6 B ．4，8，3，5 C ．5，15，2，6 D ．8，4，1，32．已知x y ＝32，那么下列等式中，不一定正确的是( ) A.x ＋2y ＋2＝32 B ．2x ＝3y C.x ＋y y ＝52 D.x x ＋y ＝353．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1 C ．2∶ 3 D ．1∶34．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列命题：①若AB ＝ A 1B 1，AC ＝ A 1C 1，∠B ＝∠B 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1； ②若∠A ＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1；③若AC ∶A 1C 1＝CB ∶B 1C 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1. 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线．若AD ＝5，CD ＝3，DE ＝4，则BF 的长为( ) A.323 B.163 C.103 D.836．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )7. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE.下列结论：①OE OB ＝OD OC ；②DE BC ＝12；③S △DOE S △BOC ＝12；④S △DOE S △DBE ＝13.其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．宽与长的比是5－12(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( ) A ．矩形ABFE B ．矩形EFCD C ．矩形EFGH D ．矩形DCGH9．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2)10．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD.下列结论错误的是( ) A ．∠C ＝2∠A B ．BD 平分∠ABC C ．S △BCD ＝S △BODD ．点D 为线段AC 的黄金分割点第Ⅰ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE AC ＝13，DE ＝2 cm ，则BC 的长是_______.12. 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝_______.13．若a 5＝b 7＝c8，且3a －2b ＋c ＝3，则2a ＋4b －3c ＝_______.14. 如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME 交AD 的延长线于点E ，且ME ⊥AM.若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为_______.15. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC ＝4，则EF＝________.16．给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中一定相似的有__________(填序号)．17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点．若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝_____________________.18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE ∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．20. (6分) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；(2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.21. (6分) 如图，在△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE·BA.求证：ED·AB＝AD·BD.22．(6分) 如图，矩形ABCD为台球桌面．AD＝260 cm，AB＝130 cm.球目前在E点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准了BC边上的点F将球打进去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．23．(6分)如图，在矩形ABCD中，CD＝23，CF⊥BD分别交BD，AD于点E，F，连接BF.(1)求证：△DEC∽△FDC；(2)当F为AD的中点时，求BC的长度．24．(8分) 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，AB＝8，BD＝12，CD＝18.(1)求证：△ABD∽△BDC；(2)若△ABD的面积为40，求四边形ABCD的面积．25．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．参考答案 1-5 CACBB 6-10BBDBC 11．6 cm 12. 2 13. 143 14.109515. 2316. ①②④⑤ 17.154或30718. 65或319. 解：在△ABD 和△ACB 中，∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝ADAB ，∵AB ＝6，AD ＝4，∴AC ＝AB 2AD ＝364＝9，则CD ＝AC －AD ＝9－4＝5 20. 解：如图所示：21. 证明：∵AD 是中线，∴BD ＝CD ， 又CD 2＝BE·BA ，∴BD 2＝BE·BA ， 即BE BD ＝BD AB， 又∠B ＝∠B ，∴△BED ∽△BDA ， ∴ED AD ＝BD AB， ∴ED·AB ＝AD·BD22. (1)证明：∵FG ⊥BC ，∠EFG ＝∠DFG ，∴∠BFE ＝∠CFD ， 又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF (2)解：设CF ＝x ，则BF ＝260－x ，∵AB ＝130，AE ＝60，BE ＝70， 由(1)得，△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BFCF， 即70130＝260－x x， ∴x ＝169，即CF ＝169 cm23. 解：(1)∵∠DEC ＝∠FDC ＝90°，∠DCE ＝∠FCD ，∴△DEC ∽△FDC (2)∵F 为AD 的中点，AD ∥BC ，∴FE ∶EC ＝FD ∶BC ＝1∶2， ∴FE ∶FC ＝1∶3，设EF ＝x ，则FC ＝3x ， ∵△DEC ∽△FDC ，∴CE CD ＝CDCF ，可得6x 2＝12，解得x ＝2，则CF ＝32，在Rt △CFD 中， DF ＝FC 2－CD 2＝6，∴BC ＝2DF ＝26 24. 解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠BDC.∵AB ＝8，BD ＝12，CD ＝18，∴AB BD ＝BD DC ＝23，∴△ABD ∽△BDC(2)∵△ABD ∽△BDC ，AB BD ＝23，∴S △ABD S △BDC ＝(23)2＝49.又∵△ABD 的面积为40，∴S △BDC ＝90，∴四边形ABCD 的面积为40＋90＝130 25. 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC. ∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ， ∴∠AFD ＝∠C ，∴△ADF ∽△DEC(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝8. 由(1)知△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AFCD， ∴DE ＝AD·CD AF ＝63×843＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE 2－AD 2＝122－（63）2＝6。
北师大版九上数学第四章图形的相似单元检测卷(解析版).docx
第四章《图形的相似》单元测试一•选择题：（每小题3分，共36分）如果4a = 5b （“#））,那么下列比例式变形正确的是（如图,在厶ABC 中，D 、E 分别是43、AC 上的点，且DE 〃BC ，如果AD=2cr?h DB=\cm.AE=\.Scm,则 EC=()①所有等腰直角三角形都相似；②所有等边三角形都相似; ③所冇正方形都相似；④所冇菱形都相似. 其中真命题有（）6.如图在4x4的方格纸（每小方格的血积为1）上有一个格点三角形ABC （图甲），请在图 乙、图丙、图丁中画出与三角形ABC 相似（不全等）的格点三角形.班级:姓名: 得分:1. 2. 3. A- 0.9cmB. 在下列四个命题屮:\cmD. 0.2cm4. 5. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D.如图，已知AB//CD//EF,那么下列结论屮，正确的是A.如=竺B.竺=竺C.竺=匹 DF CE CE ADEF BE如图，无法保证厶ADE 与△ABC 相似的条件是（）A. Z1=ZCB. ZA=ZCC. Z2=ZBD.D.CE AD ~EF~~AFAD^AEAC^AB（第2题）（第4题）似比畤把△伽缩小，则点A 的对应点的坐标是（10・下面四组线段屮不能成比例线段的是（11.如图，在口ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O 过点O 与AD 1.的一点E 作直线OE,交84的延长线于点F.若AD=4, DC=3, AF=2,D-i 12.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，作3E 的中垂线GH,垂足为M,则GMx MH的值为（）8.9. 若厶ABCs 'DEF, 'ABC 与△DEF 旳相似比为2： A. 2：B. 4： 9C ・ V2： V3在△ABC 屮，两条屮线BE 、CD 相交于点O,3,则 S MBC ： S^DEF 为D. 3： 2则 S 辺OE : ^ACOB在平面直角坐标系中，已知点A （・4, 2）, B （-2),以原点O 为位似中心，相A. ( - 2, 1)B. (-8, 4)C.(・ 8, 4)或(8, -4)D. (-2, 1)或(2, - 1)A- 3、6、2、4 B. 4、 6、 5、 10 C. 1、忑、V6> V3D. 2晶、V15> 2忑、4则AE 的长是（）A ，I7. 如图, 3D. 1： 2（第11题）（第12题）C. 1： 3A. 4： 1B- 3： 1 C. 3： 2D- 5： 2二•填空题：（每小题3分，共12分）13•如果线段AB=\O,点C 是AB 上靠近点3的黄金分割点，则AC 的值约是 如图，在△ABC 中，DE//BC, AD ： DB=1： 2, DE=2,则 BC 的长是△ADC 相似.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y = -x 的图象上，从左向右第3个正方形屮的一个顶点A 的坐标为（27, 9）, 阴影三角形部分的面积从左向右依次记为Si 、S2、S3 .......... S 〃，则第4个正方形的边长三•解答题：（共52分）17. （6 分）如图，£> 是 AC 上一点，DE//AB. ZB 二ZDAE.求证：/\ABC^/\DAE.14.15.如图，已知：ZACB=ZADC=90Q, AD=2, CD=2,当 AB 的长为 时，ZXACB 与16. （第15题） 是 ___ ! S3的值为20. （7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F.已BE 2知 --- =—，S BEl ； = 3 ,求△CDF 的血积・AB 3 曲18- “分）已呻2x + 2y + z 3y-z19. (8 分) 如图，在RAABC 中, ZACB=90Q, CD 是边43上的高.（1）求证:AABC^ACBD ； (2)如果 AC = 4，BC=3, 求BD 的长.C21.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AF丄DE于点F.(1)求证：DF・CD二AF・CE.(2)若AF=4DF, CD=12,求CE 的长.22.（8 分）如图，在△ABC 中，ZABC=90°, BC=6, D 为AC 延长线上一点，AO3CD,过点D作DH//AB,交BC的延长线于点H.（1）求的长；（2）若AB=\2，试判断ZCBD与ZA的数量关系，请说明理由.23. （9 分）如图，在Rt/XABC中，ZACB二90。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似培优测试卷(含解析)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似培优测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.下列各组线段中，能成比例的是（）A. 1 cm，3 cm，4 cm，6 cmB. 2 cm，1 cm，4 cm，1.5 cmC. 0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cmD. 3 cm，4 cm，6 cm，8 cm2.已知两数x ，y ，且3x＝2y ，则下列结论一定正确的是（）A. x＝2，y＝3B. x3＝y2C. x+yy＝53D. x+2y+3＝233.如图，直线a //b //c，AB＝45BC，若DF＝9，则EF的长度为( )A. 9B. 5C. 4D. 34.如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm25.如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.8米的小明同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m, BC=8m,则旗杆的高度是( )A. 6.4mB. 7mC. 8m.D. 9m6.已知△ABC∽△DEF ，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）A. 60B. 70C. 80D. 907.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A. （－2，3）B. （2，－3）C. （3，－2）或（－2，3）D. （－2，3）或（2，－3）8.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ， 点G 在线段AD 上，GE//BD ， 且交AB 于点E ， GF//AC ， 且交CD 于点F ， 则下列结论一定正确的是（ ）A. AB AE =AG ADB. DF CF =DG ADC. FG AC =EG BDD. AE BE =CF DF 9.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， AB =6 ， BC =8 ，过点 O 作 OE ⊥AC ，交 AD 于点 E ，过点 E 作 EF ⊥BD ，垂足为 F ，则 OE +EF 的值为（ ）A. 485B. 325C. 245D. 12510.在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，把△ABE 沿直线AE 折叠，B 点落在点B ′处，B ′B 与AE 交于点F ，连接AB ′，DB ′，FC.下列结论：①AB ′=AD ；②△FCB ′为等腰直角三角形；③∠CB ′D=135°；④BB ′=BC ；⑤ AB 2=AE ⋅AF .其中正确的个数为（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（共8题；共24分）11.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE 不行于BC ，添加一条件能使△ABC ∽△ADE 的是________.12.如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为________．13.若x∶y∶z=2∶3∶4，则2x+3y−z的值为________.x−y+2z14.如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB=3：1，则AO：OH=________.15.如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，则电线杆AB的高为________米．16.如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是________．17.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2，点E和点F分别为AD,CD上的点，将△DEF沿EF翻折，使点D落在BC上的点M处，过点E作EH//AB交BC于点H，过点F作FG//BC交AB于点G .若四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等，则CF的长为________.18.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M ，N ．已知AB=4，BC=6，则MN的长为________．三、解答题（共8题；共66分）19.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD ，CD⊥BD ，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD ．20.为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.21.图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点为格点，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法．（1）在图①中画出△ABC边BC上的中线AD，则S△ABD=________．（2）在图②中画出△BEF，点E、F分别在边AB、BC上，满足△BEF~△BAC，且S△BEF:S△BAC= 1:4；（3）在图③中画出△BMN，点MN分别在边AB、BC上，使得△BMN与△BAC是位似图形，且（保留作图痕迹）点B为位似中心，位似比为1322.如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD ，∠CBD＝∠A ，过D作DH∥AB ，交BC的延长线于点H ．（1）求证：△HCD∽△HDB ．（2）求DH长度．23.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C 移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t．（1）根据题意知：CQ=________，CP=________；（用含t 的代数式表示）；（2）t为何值时，△CPQ 的面积等于1？（3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？24.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD⋅OC=AB⋅OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G.（1）求证：CE⊥AB．（2）求证：AF⋅DE=AG⋅BC .25.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD+CD．图1 图2（1）过点A作AE//DC交BD于点E，求证：AE=BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′．①求证：BD′//CD；②若AD′//BC，求证：CD2=2OD⋅BD．26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB 于点Q，过点P、Q分别平行于BC、BA的直线相交于点R．设点P运动的时间为t秒，△PQR与△ABC 重叠部分的面积为S．（1）直接写出线段PQ的长．（用含t的代数式表示）（2）当点R落在边AC上时，求t的值．（3）当△PQR与△ABC重叠部分图形为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）直接写出AQ或PC平分△PQR面积时t的值．答案一、选择题1.解：A、1×6≠3×4，故不符合题意；B、1×4≠2×1.5，故不符合题意；C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故不符合题意；D、3×8=4×6，故符合题意．故答案为：D．2.解：A、当x=2时，y=3，但不是x一定等于2，y一定等于3，故A不符合题意；B、3x=2y，则x3=y2，故B不符合题意；C、由3x=2y，得xy =23，则x+yy=53，故C符合题意；D、由3x=2y，得xy =23，不能得到x+2y+3=23，故D不符合题意.故答案为：C.3.解：∵l1//l2//l3，根据平行线分线段成比例可知，AB BC =DEEF=45，设DE=4t，EF=5t，又∵DF=9，其中DF=DE+EF=9t=9，解得：t=1，∴EF=5t=5，故答案为：B.4.解：设留下矩形的宽为xcm，∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，∴x4=48，解得x=2则留下矩形的面积为2×4=8(cm2) . 故答案为：C.5.解：设旗杆高度为h，由题意得 1.8h =22+8，解得：h=9米．故答案为：D．6.解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90，故答案为：D ．7.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。
北师版九年级数学上册 第4章 图形的相似 综合测试卷(含答案)
北师版九年级数学上册 第四章 图形的相似综合测试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．下面不是相似图形的是( )A B C D2．如图，五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，点O 为位似中心，若OD ＝12OD′，则A′B′∶AB 为( )A ．2∶3B ．3∶2C ．1∶2D ．2∶13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝35，则S △ADE S 梯形DBCE 的值是( ) A.35 B.916 C.53 D.16254．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，则下列结论中正确的是( ) A.AE AC ＝12B.DE BC ＝12C.△ADE 的周长△ABC 的周长＝13D.△ADE 的面积△ABC 的面积＝135．点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC>BC.下列说法中正确的有( ) ①AC ＝5－12AB ；②AC ＝3－52AB ；③AB ∶AC ＝AC ∶BC ；④AC≈0.618AB. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．在平面直角坐标系中，点P(m ，n)是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为( ) A ．(2m ，2n)B ．(2m ，2n)或(－2m ，－2n)C ．(12m ，12n)D ．(12m ，12n)或(－12m ，－12n)7．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在边BC ，AD 上，且AD 为∠BAC 的平分线．若∠ABE ＝∠C ，AE ∶ED ＝2∶1，则△BDE 与△ABC 的面积比为( ) A ．1∶6 B ．1∶9 C ．2∶13 D ．2∶159．如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若AF DF ＝2，则HFBG 的值为( ) A.23 B.712 C.12 D.51210．(2018·达州)如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC.连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则S △ADGS △BGH 的值为( ) A.12 B.23 C.34 D ．1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在△ABC 中，AB ＝12 cm ，BC ＝18 cm ，AC ＝24 cm ，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18 cm ，则△A′B′C′各边长分别为________cm ，________cm ，________cm. 12. 如图，已知AB ∥CD ，若AB CD ＝14，则OAOC＝________.13．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，已知S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝________.14．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若AB ＝1.5，则DE ＝________.15．如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED ＝1，BD ＝4，那么AB ＝________.16．如图，阳光通过窗口AB 照到室内，在地面上留下一个亮区ED ，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE ＝2.7 m ，窗高AB ＝0.8 m ，窗口底边离地面的高度BC ＝1 m ，则亮区宽度ED ＝________.17．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BE ∥AD ，且BE 交CD 于点E ，∠AEB ＝∠C.如果AB ＝3，CD ＝8，那么AD 的长是________.18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝________.三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DF CG .(1)求证：△ADF ∽△ACG ；(2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．20. (6分) 如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．21. (6分) 如图，在△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE·BA.求证：ED·AB＝AD·BD.22．(6分) ) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD.(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．23．(6分) 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是20个平方单位．24．(8分) 如图，为测量山峰AB的高度，在相距50 m的D处和F处分别竖立高均为2 m的标杆DC 和FE，且AB，CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后2 m到G处可以看到山峰A和标杆顶点C 在同一直线上，从标杆FE退后4 m到H处可以看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上，求山峰AB 的高度及山峰与标杆CD之间的水平距离BD的长．25．(8分) 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD ＝∠B ＝∠BAE. (1)求证：AD BC ＝DEAC；(2)当点E 为CD 的中点时，求证：AE 2CE 2＝ABCD.参考答案1-5 ADBCC 6-10 BBDBC 11. 4，6 ，8 12. 1413. 2∶3 14. 4.5 15. 4 16. 1.2m 17. 15 18. 319. 解：(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠DAE ，∴∠ADF ＝∠C. 又∵AD AC ＝DFCG ，∴△ADF ∽△ACG(2)∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC ＝AFAG .又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AF FG＝120. 解：在△ABD 和△ACB 中，∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝AD AB ，∵AB ＝6，AD ＝4，∴AC ＝AB 2AD ＝364＝9，则CD ＝AC －AD ＝9－4＝521. 证明：∵AD 是中线，∴BD ＝CD ， 又CD 2＝BE·BA ，∴BD 2＝BE·BA ， 即BE BD ＝BDAB， 又∠B ＝∠B ，∴△BED ∽△BDA ， ∴ED AD ＝BDAB，∴ED·AB ＝AD·BD 22. 解：(1)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∠B ＝∠C ， ∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠ADC ，∴△BDE ∽△CAD (2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ADB 中，AD ＝AB 2－BD 2＝12， ∵12AD·BD ＝12AB·DE ，∴DE ＝601323. 解：(1)如图所示，线段A 1B 1即为所求(2)如图所示，线段A 2B 1即为所求(3)由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形，∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42)2＝(20)2＝20 24. 解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ， ∴CD AB ＝DG DG ＋BD ，EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD. 又∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝50 m ，FH ＝ 4 m ， ∴2AB ＝22＋BD ，2AB ＝450＋4＋BD ， ∴22＋BD ＝44＋50＋BD， 解得BD ＝50 m ， ∴2AB ＝22＋50， 解得AB ＝52 m25. 证明：(1)∵∠ACD ＝∠B ＝∠BAE ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠CAE ，∠AED ＝∠ACD ＋∠CAE ， ∴∠AED ＝△BAC.又∵∠DAE ＝∠B ， ∴△AED ∽△BAC ，∴AD BC ＝DEAC(2)∵∠ADE ＝∠CDA ，∠DAE ＝∠ACD ，∴△DAE ∽△DCA ，∴AE AC ＝DEAD .又∵DE ＝EC ，∴AE CE ＝AC AD ，∴AE 2CE 2＝AC 2AD 2.又∵∠DAC ＝∠BAC ，∠ACD ＝∠B ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴AC 2＝AD·AB ， ∴AE 2CE 2＝AD·AB AD 2＝ABAD。
北师版九年级数学上册 第4章 图形的相似 综合测试卷(包含答案)
北师版九年级数学上册 第四章 图形的相似综合测试卷题号 一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( ) A ．1，2，3，4 B ．1，2，2，4 C ．3，5，9，13 D ．1，2，2，32．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，已知AE ＝6，AD AB ＝37，则EC 的长是( ) A ．4.5 B ．8 C ．10.5 D ．143．如果a ＋2b b ＝52，那么ab 的值是( ) A.12 B ．2 C.15 D ．54．如图，l 1∥l 2∥l 3，已知AB ＝6 cm ，BC ＝3 cm ，A 1B 1＝4 cm ，则线段B 1C 1的长为( ) A ．6 cm B ．4 cm C ．3 cm D ．2 cm5．如图，点B ，C 分别在△ADE 的边AD ，AE 上，且AC·AE ＝AB·AD ，已知AC ＝6，AB ＝5，BCC．4 D．36．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()A．12.36 cm B．13.64 cmC．32.36 cm D．7.64 cm7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 2 cm 的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，将△PQC 沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设点Q运动的时间为t s，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为() A. 2 B．2C．2 2 D．38．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于M，N 两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )A.22 B.32C．1 D.6 29. 如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于点E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连接AF，CF，CF与AB交于点G.有以下结论：①AE＝BC；②AF＝CF；③BF2＝FG·FC；④EG·AE ＝BG·AB. 其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第Ⅰ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，l1∥l2，AF ∶FB ＝3∶5，BC ∶CD ＝3∶2，则AE ∶EC ＝__________.12．若a ＋23＝b 4＝c ＋56，且2a －b ＋3c ＝21，则4a －3b ＋c ＝_______.13．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m ．在图纸上，这条边的长为5 cm ，其他两条边的长都为4 cm ，则其他两边的实际长度都是________m.14．若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为__________. 15．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，则△BEF 与△DCB 的面积比为_______.16. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，∠A ＝2∠BDC ，BD 交AC 边于点E ，且AE ＝4，则BE·DE ＝_______.17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF ＝_____.18．如图，数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为___________米．(结果保留根号)三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，求PE的长.20. (6分) 一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．21. (6分) 如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，且∠ABD ＝∠ACD.求证： (1)EB EC ＝EA ED ； (2)∠DAC ＝∠CBD.22．(6分) 如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，点A ，B ，A′，B′，O 共线，点O 为位似中心． (1)AC 与A′C′平行吗？为什么？(2)若AB ＝2A′B′，OC′＝5，求CC′的长．23．(6分)已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－5，－4)，C(－1，－5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．24．(8分)如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.(1)求AB的长；(2)当AD＝4，BE＝1时，求CF的长25．(8分) 将一副三角尺如图①摆放(在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°；在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°)，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C. (1)求∠ADE 的度数；(2)如图②，将△DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC 于点M ，DF′交BC 于点N ，试判断PM CN 的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PM CN 的值；反之，请说明理由．参考答案 1-5 BBADA 6-10 ABCCC 11. 3∶2 12. -1 13. 20 14. 5∶4 15.16 16. 20 17.12518. (7＋3)19. 解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝10，当PD ＝DA ＝8时，BP ＝BD －PD ＝2， ∵△PBE ∽△DBC ，∴BP BD ＝PECD ，即210＝PE 6，解得PE ＝65， 当P′D ＝P′A 时，点P′为BD 的中点， ∴P′E′＝12CD ＝3.20. 解：有两种截法：①30厘米与60厘米的两根钢筋为对应边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有1020＝2550＝3060＝12，从而两个三角形相似；②30厘米与50厘米的两根钢筋为对应边，把50厘米的钢筋截出12厘米和36厘米两部分， 则有2012＝5030＝6036＝53，从而两个三角形相似.21. 证明：(1)∵∠ABD ＝∠ACD ，∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE ，∴EB EC ＝EAED(2)∵EB EC ＝EA ED ，∴BE AE ＝CE DE. 又∵∠AED ＝∠BEC ，∴△ADE ∽△BCE ，∴∠DAC ＝∠CBD∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形，∴△ABC ∽△A′B′C′. ∴∠A ＝∠C′A′B′.∴AC ∥A′C′ (2)∵△ABC ∽△A′B′C′，∴AB A′B′＝ACA′C′. ∵AB ＝2A′B′，∴AC A′C′＝21.又∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形，∴OC OC′＝AC A′C′＝21.∵OC′＝5，∴OC ＝10，CC′＝OC －OC′＝10－5＝5 23. 解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求 (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求； B 2(10，8)24. 解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3， EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24， ∴EF DF ＝BC AC ＝58， ∴BC 24＝58， ∴BC ＝15，∴AB ＝AC －BC ＝24－15＝9 (2)∵l 1∥l 2∥l 3， ∴BE AD ＝OB OA ＝14，∴OB OB ＋9＝14， ∴OB ＝3，∴OC ＝BC －OB ＝15－3＝12， ∴OB OC ＝BE CF ＝312，∴1CF ＝14，∴CF ＝4 25. 解：(1)由题意知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，∴AD ＝BD ＝CD ， ∵在△BCD 中，BD ＝CD 且∠B ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴∠ADE ＝180°－∠BDC －∠EDF ＝180°－60°－90°＝30° (2)PM CN 的值不会随着α的变化而变化，理由如下：∵△APD 的外角∠MPD ＝∠A ＋∠ADE ＝30°＋30°＝60°，∴∠MPD ＝∠BCD ＝60°， ∵在△MPD 和△NCD 中，∠MPD ＝∠NCD ＝60°，∠PDM ＝∠CDN ＝α，∵∠ACB＝90°，∠BCD＝60°，∴∠PCD＝30°.在Rt△PCD中，∠PCD＝30°，∴PDCD＝13＝33，∴PMCN＝PDCD＝33。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 综合题练习(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 综合题练习1、如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，过D 的直线交AC 于E ，交AB 的延长线于F.求证：AEEC ＝AF BF.2、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DFCF＝BC AC.3、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F.(1)求证：∠DCP ＝∠DAP ；(2)如果PE ＝3，EF ＝5，求线段PC 的长．4、如图，在△ABC 中，D 在AC 上，且AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F.求证：BF ∶FC ＝1∶3.5、已知，如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的中线，AE ⊥AD ，AE 交CB 的延长线于点E.(1)求证：△BAE ∽△ACE ；(2)AF ⊥BD ，垂足为F ，且BE ·CE ＝9，求EF ·DE 的值．6、如图，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点．(1)求证：△ABD ∽△AEB ；(2)当AB BC ＝43时，求BDBE 的值；7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G.(1)求证：AD 2＝DG ·BD ；(2)连接CG ，求证：∠ECB ＝∠DCG.8、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，作DE ⊥AC 于点E ，F 是AB 中点，连接EF 交AD 于点G.(1)求证：AD 2＝AB ·AE ；(2)若AB ＝3，AE ＝2，则ADAG的值为_______．9、如图，点P 是线段BD 上一个动点，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BD ＝a.(1)当∠APC ＝90°，a ＝14时，求BP 的长度；(2)若∠APC ＝90°时，有两个符合要求的点P 1，P 2，且P 1P 2＝2，求a 的值．10、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.11、如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G.求证：(1)∠DHO ＝12∠BCD ；(2)HG ·AE ＝2DE ·CG.12、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，过点A 作AG ⊥BD 分别交BD ，BC 于点G ，E.(1)求证：BE 2＝EG ·EA ；(2)连接CG ，若BE ＝CE ，求证：∠ECG ＝∠EAC.13、已知：如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，连接AD ，使得∠CAD ＝∠B ，DC ＝3且S △ACD ∶S △ADB ＝1∶2.(1)求AC 的值；(2)若将△ADC 沿着直线AD 翻折，使点C 落在点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB ∥DE ，求S △EFD S △ADC的值．14、如图，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC ＝5，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ，Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP ＝y ，PE ＝x.(1)当x ＝14EF 时，求S △DPE ∶S △DBC 的值；(2)当CQ ＝13CE 时，求y 与x 之间的函数关系式．15、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.点P 从点A 出发，沿AB 边以2 cm/s 的速度向点B 匀速移动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以1 cm/s 的速度向点C 匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t s.(1)当PQ ∥AC 时，求t 的值；(2)当t 为何值时，△PBQ 的面积等于245cm 2.答案1、证明：过B作EF的平行线交AC于点G，则AF∶BF＝AE∶EG，BD∶DC＝GE∶EC.∵BD＝DC，∴GE＝EC.∴AE∶EC＝AF∶BF.2、证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴△ABC∽△CBD.∴BCBD＝ACCD，即BCAC＝BDCD.又∵E为AC中点，∴AE＝CE＝ED.∴∠A＝∠EDA.∵∠EDA＝∠BDF，∴∠FCD＝∠BDF. 又∵∠F为公共角，∴△FDB∽△FCD.∴DFCF＝BDCD.∴DFCF＝BCAC.3、解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，CD∥AB.又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)．∴AP＝PC，∠DCP＝∠DAP.(2)∵CD ∥AB ，∴∠DCP ＝∠F. ∵∠DCP ＝∠DAP ，∴∠DAP ＝∠F. 又∵∠APE ＝∠FPA ， ∴△APE ∽△FPA. ∴AP PF ＝PE AP .∴AP 3＋5＝3AP . ∴AP ＝2 6.∴PC ＝2 6. 4、证明：∵AD ∶DC ＝1∶2， ∴AD ∶AC ＝1∶3.作DG ∥AF 交BC 于点G ，则AD AC ＝FG FC ＝13，BE ED ＝BFFG .又∵E 是BD 的中点， ∴BE ＝ED. ∴BF ＝FG.∴BF FC ＝13，即BF ∶FC ＝1∶3.5、解：(1)证明：∵AD 是Rt △ABC 斜边上的中线， ∴AD ＝BD ＝CD. ∴∠C ＝∠DAC.∵AE ⊥AD ，∴∠EAD ＝90°＝∠BAC. ∴∠EAB ＝∠DAC.∴∠EAB ＝∠C. 又∵∠E ＝∠E ， ∴△BAE ∽△ACE.(2)∵△BAE ∽△ACE ，∴AE EC ＝BEAE.∴AE 2＝BE ·CE ＝9.∵∠AFE ＝∠DAE ＝90°，∠E ＝∠E ， ∴△EAF ∽△EDA. ∴AE DE ＝EF AE . ∴EF ·DE ＝AE 2＝9.6、解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ＝90°， ∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE. ∵∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点． ∴BC ＝CD ＝CE.∴∠E ＝∠CBE. ∴∠ABD ＝∠E.又∵∠BAD ＝∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB. (2)∵AB BC ＝43，∴设AB ＝4k ，BC ＝3k.∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5k. ∵BC ＝CD ＝3k ，∴AD ＝AC －CD ＝5k －3k ＝2k. 由(1)可知△ABD ∽△AEB ， ∴BD BE ＝AD AB ＝2k 4k ＝12，即BD BE 的值为12. 7、证明：(1)∵AB ＝AC ，D ，E 分别是AC ，AB 的中点， ∴AD ＝12AC ，AE ＝12AB.∴AD ＝AE.在△BAD 和△CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE(SAS)． ∴∠ABD ＝∠ACE.∵DF ⊥AC ，AD ＝CD ，∴AF ＝CF. ∴∠GAD ＝∠ACE.∴∠GAD ＝∠ABD. ∵∠GDA ＝∠ADB ，∴△GDA ∽△ADB. ∴AD BD ＝DG DA.∴AD 2＝DG ·BD. (2)连接CG ，∵AD DB ＝DG AD ，AD ＝CD ，∴CD DB ＝DGCD .∵∠CDG ＝∠BDC ，∴△DCG ∽△DBC. ∴∠DBC ＝∠DCG.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. 又∵∠ABD ＝∠ACE.∴∠ECB ＝∠DBC.∴∠ECB ＝∠DCG.8、证明：∵AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ， ∴∠ADC ＝∠AED ＝90°. ∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD. ∴AD CA ＝AEAD . ∴AD 2＝AC ·AE.∵AC ＝AB ，∴AD 2＝AB ·AE.9、解：(1)∵∠B ＝∠D ＝90°，∠APC ＝90°， ∴∠B ＝∠APC ＝90°，∠A ＋∠B ＝∠APC ＋∠CPD. ∴∠A ＝∠CPD. ∴△ABP ∽△PDC.∴BP CD ＝AB PD ，即BP 4＝614－BP. 解得BP ＝2或12.(2)设BP ＝x ，则PD ＝a －x.∵△ABP ∽△PDC ，∴AB PD ＝BP CD ，即6a －x ＝x 4. ∴x 2－ax ＋24＝0，设方程的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝24，∵P 1P 2＝2，∴|x 1－x 2|＝2.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，∴a 2－4×24＝4，解得a ＝±10(负值舍去)．∴a ＝10.10、证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF.∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF. ∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF.∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.11、11、证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝2∠BAO ，∠AOB ＝90°，OB ＝OD.∵DH ⊥AB ，∴∠BHD ＝90°.∴OH ＝OD ，∴∠DHO ＝∠BDH.在Rt △BHD 中，∠BDH ＋∠ABO ＝90°，∵∠BAO ＋∠ABO ＝90°，∴∠BDH ＝∠BAO.∴∠DHO ＝∠BAO.∴∠BCD ＝2∠DHO.∴∠DHO ＝12∠BCD. (2)∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴OA ＝OC ，∠DAO ＝∠BAO.∵∠DHO ＝∠BAO ，∴∠DHO ＝∠DAO.∵∠AED ＝∠HEO ，∴∠AOH ＝∠ADE.∵∠AOH ＝∠COG ，∴∠ADH ＝∠COG.∵∠DAE ＝∠OCG ，∴△ADE ∽△COG.∴AE CG ＝DE OG. ∴AE ·OG ＝DE ·CG.在△AOH 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOH ＝∠COG ，AO ＝CO ，∠OAH ＝∠OCG ，∴△AOH ≌△COG(SAS)．∴OH ＝OG ，∴OG ＝12HG. ∴AE ·12HG ＝DE ·CG. ∴HG ·AE ＝2DE ·CG.12、证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AE⊥BD，∴∠ABC＝∠BGE＝90°. ∵∠AEB＝∠BEG，∴△ABE∽△BGE.∴AEBE＝BEEG.∴BE2＝EG·EA.(2)由(1)得BE2＝EG·EA. ∵BE＝CE，∴CE2＝EG·EA.∴CEEG＝AECE.∵∠CEG＝∠AEC，∴△CEG∽△AEC.∴∠ECG＝∠EAC.13、解：(1)∵S△ACD∶S△ADB＝1∶2，∴BD＝2CD.∵DC＝3，∴BD＝6.∴BC＝BD＋DC＝9. ∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC，即AC3＝9AC，解得AC＝3 3.(2)由折叠的性质，得∠E＝∠C，DE＝CD＝3. ∵AB∥DE，∴∠B＝∠EDF.∵∠CAD＝∠B，∴∠EDF＝∠CAD.∴△EFD∽△CDA.∴S△EFDS△ADC＝(DEAC)2＝(333)2＝13.14、解：(1)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，PE ＝x ＝14EF ， ∴EF ∥BC ，EF ＝12BC.∴△EDP ∽△CDB.∴EP BC ＝18. ∴S △DPE ∶S △DBC ＝1∶64.(2)延长BQ 交EF 的延长线于点H.∵EF ∥BC ，∴△QEH ∽△QCB.∴BC EH ＝CQ QE. ∵CQ ＝13CE ，∴CQ QE ＝12. 又∵BC ＝5，∴EH ＝2BC ＝10.∵△QEH ∽△QCB ，∴∠PHQ ＝∠CBQ.又∵BQ 平分∠CBP ，∴∠CBQ ＝∠PBQ.∴∠PHB ＝∠PBH.∴PB ＝PH.∴EH ＝PE ＋PH ＝PE ＋PB ＝x ＋y ＝2BC ＝10.∴y ＝－x ＋10(0＜x ＜10)．15、解：(1)由题意，得BQ ＝t cm ，AP ＝2t cm. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ， AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10(cm)．∴BP ＝(10－2t)cm.∵PQ ∥AC ，∴BP BA ＝BQ BC ，即10－2t 10＝t 6. 解得 t ＝3011. (2)过点Q 作QE ⊥AB 于点E ，则∠QEB ＝∠C ＝90°.∵∠B ＝∠B ，∴△BQE ∽△BAC.∴BQ BA ＝QE AC ，即t 10＝QE 8.解得 QE ＝45t. ∴S △PBQ ＝12BP ·QE ＝245. 即12·(10－2t)·45t ＝245. 解得t 1＝2，t 2＝3.∵0＜t ＜5，∴当t 的值为2或3时，△PBQ 的面积等于245cm 2.。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似练习题
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似练习题选择题已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题解析：A、两边都除以2y，得，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选A．选择题如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A. 2：3B.C. 4：9D. 8：27【答案】C【解析】试题分析：两个相似三角形面积的比是=4：9．故选C．选择题下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．解：根据勾股定理,AB=,BC=，所以,夹直角的两边的比为，计算各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似。
故选：B.选择题如图，在△ABC中，DE∥BC，，BC=12，则DE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B．【解析】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵BC=12，∴DE=BC=4．故选B．选择题如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是16：25，则OB′：OB为（）A. 2：3B. 3：2C. 4：5D. 4：9【答案】A【解析】根据位似变换的概念得到△A′B′C′∽△ABC，根据相似三角形的性质计算．∵△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，∴△A′B′C′∽△ABC，∵△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是16：25，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为4：5，即OB′：OB=4：5，故选C．选择题如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1 B．P2 C．P3 D．P4【答案】C．【解析】试题∵∠BAC=∠PED=90°，，∴当=时，△ABC ∽△EPD时．∵DE=4，∴EP=6．∴点P落在P3处．故选C．填空题已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若，AD=10，则AO=_____．【答案】4【解析】∵AB∥CD，解得，AO=4，故答案是：4．填空题如图，在中，，分别为边、AC上的点，，,点为边上一点，添加一个条件:___________，可以使得与相似.（只需写出一个）【答案】∠A=∠BDF答案不唯一【解析】因为，, ，所以,欲使与相似，只需要与相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF，或者∠C=∠BDF,等等，答案不唯一.填空题如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是______米．【答案】18．【解析】试题解析：∵BE⊥AC，CD⊥AC，∴△ABE∽△ACD，解得：故答案为：18.填空题如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则=_____．【答案】【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴，∴．故答案为：．解答题如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED.【答案】见解析【解析】根据：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似.可证明三角形相似.证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，∴＝＝1.2，＝＝1.2，∴＝.又∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.解答题如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）画出△ABC关于x对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，28．【解析】试题分析：（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；（2）连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；试题解析：解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形；（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形．如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10），∴=8×10﹣×6×2﹣×4×8﹣×6×10=28．解答题如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F 为BE上一点，且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5，AB＝8，AE∶AD＝4∶5，求AF的长．【答案】（1）见解析；（2）2.【解析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE，由AE∶AD＝4∶5，求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC.(2)∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°.∵AD＝5，AE∶AD＝4∶5，∴AE＝AD×＝5×＝4，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE＝＝＝4.在▱ABCD中，BC＝AD＝5.由(1)得△ABF∽△BEC，∴＝，即＝，∴AF＝2.。
2020年秋北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似培优测试卷(含解析)
2020年秋北师大版九年级数学上册第四章图形的相似培优测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.下列各组线段中，能成比例的是（）A. 1 cm，3 cm，4 cm，6 cmB. 2 cm，1 cm，4 cm，1.5 cmC. 0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cmD. 3 cm，4 cm，6 cm，8 cm2.已知两数x ，y ，且3x＝2y ，则下列结论一定正确的是（）A. x＝2，y＝3B. x3＝y2C. x+yy＝53D. x+2y+3＝233.如图，直线a //b //c，AB＝45BC，若DF＝9，则EF的长度为( )A. 9B. 5C. 4D. 34.如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm25.如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.8米的小明同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m, BC=8m,则旗杆的高度是( )A. 6.4mB. 7mC. 8m.D. 9m6.已知△ABC∽△DEF ，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）A. 60B. 70C. 80D. 907.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A. （－2，3）B. （2，－3）C. （3，－2）或（－2，3）D. （－2，3）或（2，－3）8.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ， 点G 在线段AD 上，GE//BD ， 且交AB 于点E ， GF//AC ， 且交CD 于点F ， 则下列结论一定正确的是（ ）A. AB AE =AG ADB. DF CF =DG ADC. FG AC =EG BDD. AE BE =CF DF 9.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， AB =6 ， BC =8 ，过点 O 作 OE ⊥AC ，交 AD 于点 E ，过点 E 作 EF ⊥BD ，垂足为 F ，则 OE +EF 的值为（ ）A. 485B. 325C. 245D. 12510.在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，把△ABE 沿直线AE 折叠，B 点落在点B ′处，B ′B 与AE 交于点F ，连接AB ′，DB ′，FC.下列结论：①AB ′=AD ；②△FCB ′为等腰直角三角形；③∠CB ′D=135°；④BB ′=BC ；⑤ AB 2=AE ⋅AF .其中正确的个数为（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（共8题；共24分）11.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE 不行于BC ，添加一条件能使△ABC ∽△ADE 的是________.12.如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为________．13.若x∶y∶z=2∶3∶4，则2x+3y−z的值为________.x−y+2z14.如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB=3：1，则AO：OH=________.15.如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，则电线杆AB的高为________米．16.如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是________．17.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2，点E和点F分别为AD,CD上的点，将△DEF沿EF 翻折，使点D落在BC上的点M处，过点E作EH//AB交BC于点H，过点F作FG//BC交AB于点G .若四边形ABHE与四边形BCFG的面积相等，则CF的长为________.18.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M ，N ．已知AB=4，BC=6，则MN的长为________．三、解答题（共8题；共66分）19.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD ，CD⊥BD ，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD ．20.为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.21.图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点为格点，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法．（1）在图①中画出△ABC边BC上的中线AD，则S△ABD=________．（2）在图②中画出△BEF，点E、F分别在边AB、BC上，满足△BEF~△BAC，且S△BEF:S△BAC=1:4；（3）在图③中画出△BMN，点MN分别在边AB、BC上，使得△BMN与△BAC是位似图形，且（保留作图痕迹）点B为位似中心，位似比为1322.如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD ，∠CBD＝∠A ，过D作DH∥AB ，交BC的延长线于点H ．（1）求证：△HCD∽△HDB ．（2）求DH长度．23.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C 移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t．（1）根据题意知：CQ=________，CP=________；（用含t 的代数式表示）；（2）t为何值时，△CPQ 的面积等于1？（3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？24.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD⋅OC= AB⋅OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G.（1）求证：CE⊥AB．（2）求证：AF⋅DE=AG⋅BC .25.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD+CD．图1 图2（1）过点A作AE//DC交BD于点E，求证：AE=BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′．①求证：BD′//CD；②若AD′//BC，求证：CD2=2OD⋅BD．26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB 于点Q，过点P、Q分别平行于BC、BA的直线相交于点R．设点P运动的时间为t秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S．（1）直接写出线段PQ的长．（用含t的代数式表示）（2）当点R落在边AC上时，求t的值．（3）当△PQR与△ABC重叠部分图形为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）直接写出AQ或PC平分△PQR面积时t的值．答案一、选择题1.解：A、1×6≠3×4，故不符合题意；B、1×4≠2×1.5，故不符合题意；C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故不符合题意；D、3×8=4×6，故符合题意．故答案为：D．2.解：A、当x=2时，y=3，但不是x一定等于2，y一定等于3，故A不符合题意；B、3x=2y，则x3=y2，故B不符合题意；C、由3x=2y，得xy =23，则x+yy=53，故C符合题意；D、由3x=2y，得xy =23，不能得到x+2y+3=23，故D不符合题意.故答案为：C.3.解：∵l1//l2//l3，根据平行线分线段成比例可知，AB BC =DEEF=45，设DE=4t，EF=5t，又∵DF=9，其中DF=DE+EF=9t=9，解得：t=1，∴EF=5t=5，故答案为：B.4.解：设留下矩形的宽为xcm，∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，∴x4=48，解得x=2则留下矩形的面积为2×4=8(cm2) . 故答案为：C.5.解：设旗杆高度为h，由题意得 1.8h =22+8，解得：h=9米．故答案为：D．6.解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90，故答案为：D ．7.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。
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《图形的相似》培优检测题一．选择题1．若△ABC∽△DEF，相似比为4：3，则对应面积的比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：162．若，则的值是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：14．如图，△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则与△ADE相似的三角形的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：136．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上一点，DE：EC＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F．若S△DEF ＝2，则S△ABE＝（）A ．15.5B ．16.5C ．17.5D ．18.57．如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，CE 交BD 于点F ，若EF ＝FC ，则＝（ ）A ．B ．2C ．D ．38．D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 的中点，△ABC 、△ADE 的面积分别为S 、S 1，则下列结论中，错误的是（ ）A ．DE ∥BCB ．DE ＝BC C ．S 1＝D ．S 1＝9．如图，在△ABC 中，点E 是线段AC 上一点，AE ：CE ＝1：2，过点C 作CD ∥AB 交BE 的延长线于点D ，若△ABE 的面积等于4，则△BCD 的面积等于（ ）A ．8B ．16C ．24D ．3210．如图，△ABC 是面积为27cm 2的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．9cm 2B ．8cm 2C ．6cm 2D ．12 cm 2二．填空题11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，＝2，△ADE 的面积为8，则四边形DBCE 的面积为 ．12．如图，平行四边形ABCD 中，若S △BEF ：S △BCF ＝1：2，则S △BEF ：S △DCF ＝ ．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，射线AE 交DC 的延长线于点F ，已知BE ＝3CE ，△ABE 的周长为9，则△ADF 的周长为 ．14．如图所示，正方形ABCD 中，AB ＝8，BE ＝DF ＝1，M 是射线AD 上的动点，点A 关于直线EM 的对称点为A ′，当△A ′FC 为以FC 为直角边的直角三角形时，对应的MA 的长为 ．15．如图是小孔成像原理的示意图，点O 与物体AB 的距离为45厘米，与像CD 的距离是30厘米，AB ∥CD ．若物体AB 的高度为27厘米，那么像CD 的高度是 厘米．16．如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，S四边形AFOE ：S△COD＝．17．如图，线段AB＝4，点C为线段AB上任意一点（与端点不重合），分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBGF，分别连接BF、EG交于点M，连接CM，设AC＝x，S四边形ACME＝y，则y与x的函数表达式为y＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ为直角三角形，则t的值为．三．解答题19．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE 、BC 的延长线相交丁点F ，且＝．（1）求证：△ADE ～△ACB ；（2）当AB ＝12，AC ＝9，AE ＝8时，求BD 的长．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，1），B （﹣1，4），C （﹣3，3）．（1）画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到的△A 1BC 1．（2）以原点O 为位似中心，位似比为2：1，在y 轴的左侧，画出将△ABC 放大后的△A 2B 2C 2，并写出A 2点的坐标 ．21．在平行四边形ABCD中，BC的垂直平分线交AC于F，连线AE、BF．（1）如图1，若BF⊥AC，AE＝3，AD＝6，求AF的长；（2）如图2，若AE，BF交于点G，且∠ACD＝∠BGE，求证：AF+2FG＝FC．22．随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m．请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB的高度．23．如图，在△ABC中，点PQ分别在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N．AD⊥BC于点D，交PQ于点E，且AD＝BC．（1）求AE：PQ的值；（2）请探究BM，CN．QN之间的等量关系，并说明理由；（3）连接MQ，若△ABC的面积等于8，求MQ的最小值．24．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点G．（1）求证：△ADF≌△DCE；（2）求∠AGD的度数；（3）若BG＝BC，求的值．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为4：3，∴它们的面积的比为16：9．故选：C．2．解：∵，∴设a＝11x，b＝5x，故＝＝．故选：B．3．解：由题意可知：DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，故选：A．4．解：∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∵∠1＝∠3，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴图中与△ADE相似的三角形有2个．故选：C．5．解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，∴＝，AC∥DF，∴＝＝，∴＝．故选：B．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC＝2：3，∴DE：AB＝2：5，DF：FB＝2：5，∵S△DEF＝2，∴S△ABF ＝，S△BEF＝5，∴S△ABE＝+5＝，故选： C．7．解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝＝，∴＝，∴＝2，故选：B．8．解：∵D、E是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵DE∥BC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，即S1＝S，∴D错误，故选：D．9．解：如图所示：∵CD∥AB，∴∠BAE＝∠DEC，又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴，又∵，S△AEB＝4，∴S△CED＝16，故选：B．10．解：∵△ABC是面积为27cm2的等边三角形，∴S△ABC＝27cm2，∵矩形平行于BC，∴EH∥FG∥BC，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∵AB被截成三等分，∴AF＝2AE，AB＝3AE，∴S△AEH ：S△AFG：S△ABC＝1：4：9，∴S△AEH ：S四边形EFGH：S四边形FBCG＝1：3：5，∴图中阴影部分的面积S四边形EFGH＝×27cm2＝9cm2，故选：A．二．填空题11．解：∵DE ∥BC ，＝2，∴△ADE ∽△ABC ，＝，∴＝（）2＝，∵△ADE 的面积为8，∴S △ABC ＝18．S 四边形DBCE ＝S △ABC ﹣S △ADE ＝18﹣8＝10，故答案为：10．12．解：∵S △BEF ：S △BCF ＝1：2，∴＝，在平行四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴△BEF ∽△DCF ，∴S △BEF ：S △DCF ＝（）2＝，故答案为：．13．解：如图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，CD ＝AB ；∴△ABE ∽△FCE ，∴＝＝＝3，∴CF ＝AB ，CE ＝BE ，EF ＝AE ，∴AF ＝AE +EF ＝AE +AE ，AD ＝BC ＝BE +BE ，DF ＝DC +CF ＝AB +AB ． ∵△ABE 的周长为9，∴AB +AE +BE ＝9，∴AF +AD +DF ＝AE +AE +BE +BE +AB +AB ＝（AB +AE +BE ）＝×9＝12． 故答案是：12．14．解：如图，若∠FCA'＝90°，即点A'在BC上，过点M作MN⊥BC于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝8，∠D＝∠C＝90°，且MN⊥BC∴四边形MNCD是矩形∴MN＝CD＝8∵AB＝8，BE＝DF＝1，∴AE＝CF＝7∵点A关于直线EM的对称点为A′，∴AE＝A'E＝7，AM＝A'M，∠A＝∠EA'M＝90°∴A'B＝＝4∵∠BA'E+∠MA'N＝90°，∠BA'E+∠A'EB＝90°，∴∠BEA'＝∠MA'N，且∠B＝∠MNA'＝90°∴△A'BE∽△MNA'，∴∴∴A'M＝＝MA如图，若∠A'FC＝90°，过点A'作HG⊥AD，过点E作EN⊥HG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝8，∠D＝∠C＝90°，且HG⊥AD∴四边形HGCD是矩形∴HG＝CD＝8，同理可得NG＝BE＝1，DF＝A'H＝1，AE＝HN∵AB＝8，BE＝DF＝1，∴AE＝CF＝7∵点A关于直线EM的对称点为A′，∴AE＝A'E＝7＝HN，AM＝A'M，∠A＝∠EA'M＝90°∴A'N＝HN﹣A'H＝6∴EN＝＝∵∵∠NA'E+∠MA'H＝90°，∠NA'E+∠A'EN＝90°，∴∠NEA'＝∠MA'H，且∠ENA'＝∠MHA'＝90°∴△A'NE∽△MHA'，∴∴∴A'M＝＝MA故答案为：或15．解：∵AB∥CD∴△ABO∽△CDO∴＝又∵AB＝27∴CD＝18．故答案为：18．16．解：∵CE 是AB 的垂直平分线，∴EA ＝EB ，CA ＝CB ，AO ＝AB ＝CD ，∵OA ∥CD ，∴△EAO ∽△EDC ，△AFO ∽△CFD ，∴＝＝，＝＝，∴EA ＝AD ，＝，＝，在Rt △ECD 中，EA ＝AD ，∴CA ＝AE ，∴CA ＝AE ＝EB ＝BC ，∴四边形ACBE 为菱形，∴S △AOC ＝S △AOE ，∴S 四边形AFOE ：S △COD ＝2：3，故答案为：2：3．17．解：连接CE ，BE ，如图，∵四边形ACDE 和四边形BCFG 为正方形，∴∠ACE ＝∠CBF ＝45°，∴CE ∥BF ，∴S △CEB ＝S △CEM ，∴y ＝S △ACE +S △CEM ＝S △ACE +S △CEB ＝S △ABE ＝×AE ×AB ＝•x •4＝2x （0＜x ＜4）． 故答案为y ＝2x （0＜x ＜4）．18．解：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝9，∴∠B ＝60°，AB ＝2BC ＝18，①当∠BQP＝90°时，如图1所示：则AC∥PQ，∴∠BPQ＝30°，BP＝2BQ，∵BP＝18﹣3t，BQ＝t，∴18﹣3t＝2t，解得：t＝；②当∠QPB＝90°时，如图2所示：∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，若0＜t＜6时，则t＝2（18﹣3t），解得：t＝，若6＜t≤9时，则t＝2（3t﹣18），解得：t＝；故答案为：或或．三．解答题19．（1）证明：∵＝，且∠EFC＝∠BFD ∴△FEC∽△FBD，∴∠FEC ＝∠B ，又∵∠AED ＝∠FEC ，∴∠AED ＝∠B ，又∵∠EAD ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ACB ；（2）解：∵△ADE ∽△ACB∴＝，即＝，∴AD ＝6，∴DB ＝AB ﹣AD ＝12﹣6＝6．20．解：（1）如图所示，△A 1BC 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2，即为所求，A 2（﹣4，2）；故答案是：（﹣4，2）．21．解：（1）如图，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，∵四边形ABCD是平行四边形∴BC＝AD＝6，∵BC的垂直平分线交AC于F，∴BF＝CF，且∠BFC＝90°，BC＝6∴BF＝CF＝6，EF＝BE＝EC＝3，∵EF＝CE，EG⊥AC∴GE＝FC＝3在Rt△AEG中，AG＝＝6，∴AF＝AG﹣FG＝6﹣3＝3（2）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA，∵BF＝CF∴∠FBC＝∠ACB∴∠DAC＝∠FBC，且∠ACD＝∠BGE∴△DAC∽△BGE∴∵BC的垂直平分线交AC于F，∴BE＝EC＝BC＝AD，BF＝FC∴AC＝2BG∵AF+2FG＝AF+2（BF﹣BG）＝AF+2BF﹣2BG＝AF+2FC﹣AC＝FC 22．解：∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°，∵OD＝1m，OE＝1m，∴∠DEB＝45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，设AB＝EB＝xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴＝，＝，解得：x＝10．经检验：x＝10是原方程的解．答：AB的高度是10m．23．解：（1）∵PQ∥BC，AD⊥BC，∴AE⊥PQ，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴＝，∴AE：PQ＝AD：BC，∵AD＝BC，∴AE：PQ＝AD：BC＝1；（2）QN＝BM+CN，理由是：∵PM⊥BC，QN⊥BC，∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，∴四边形PMNQ是矩形，∴PQ＝MN，PM＝ED，∵AE＝PQ，AD＝BC，∴AE+ED＝BM+MN+CN，∴MN+QN＝BM+MN+CN，∴QN＝BM+CN；（3）∵△ABC的面积等于8，∴BC•AD＝8，∵AD＝BC，∴BC2＝8，∴BC＝4，AD＝4，设MN＝x，则BM+CN＝4﹣x，PM＝QN＝4﹣x，∵MQ＝＝＝，∴当x＝2时，MQ有最小值是2．24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADF＝∠DCE＝90°，∵CE＝DF，∴△ADF≌△DCE（SAS）．（2）解：∵△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE，∵∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠AFD+∠CDE＝90°，∴∠DGF＝90°，∴∠AGD＝90°．（3）解：∵BA＝BG＝BC，∴∠BAG＝∠BGA，∠BGC＝∠BCG，∵∠ABC＝90°，2∠AGB+2∠GBC＝270°，∴∠AGB+∠CGB＝135°，∴∠CGF＝45°，∴∠CGB＝∠FGC＝45°，∵∠ECF+∠EGF＝90°，∴E，C，F，G四点共圆，∴∠CEF＝∠CGF，∠CF E＝∠CGE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DF＝EC，∴FC＝DF，∴DF＝CD＝AD，∵tan∠DAG＝＝＝．。