高三数学高考一轮数学(理)教案：第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例含解析

第三节 平面向量的数量积与平面向量应

用举例

[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．两个向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫作向量a 与b 的夹角．

(2)范围：0°≤∠AOB ≤180°.

(3)向量垂直：∠AOB ＝90°时，a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定：零向量可与任一向量垂直．

2．平面向量的数量积 (1)射影的定义

设θ是a 与b 的夹角，则|b |cos θ叫作b 在a 方向上的射影(或投影)． (2)平面向量数量积的定义

已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b .

(3)数量积的几何意义

a 与

b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影|b |·cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．

结论

几何表示

坐标表示

模

|a |＝a ·a |a |＝

x 21＋y 2

1

数量积

a ·

b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角

cos θ＝a ·b |a ||b | cos θ＝

x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21

·x 22＋y 22

a ⊥

b 的充要条件 a ·b ＝0

x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b |

|x 1x 2＋y 1y 2|

≤

x 2

1＋y 21

·x 22＋y 2

2 (1)a·b ＝b·a (交换律)；

(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)； (3)a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (分配律)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )

(2)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.( ) (3)由a ·b ＝a ·c 及a ≠0不能推出b ＝c .( )

(4)在四边形ABC D 中，AB →＝D C →且AC →·B D →＝0，则四边形ABC D 为矩形. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×

2．(·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

A [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为

BA →·BC →＝|BA →||BC →

|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又

0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.]

3．(·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1

D ．2

C [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]

4．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的射影为________．

－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的射影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.]

5．(·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. －23 [∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即x ＋2(x ＋1)＝0，∴x ＝－2

3.]

平面向量数量积的运算

是边AB ，BC 的中点，连接D E 并延长到点F ，使得D E ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )

A ．－58 B.18 C.14 D.11

8

(2)已知正方形ABC D 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则D E →·CB →

的值为________；D E →·D C →的最大值为________.

【导学号：57962208】

(1)B (2)1 1 [(1)如图所示，AF →＝A D →＋D F →

. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，

且D E ＝2EF ，所以A D →＝12AB →，D F →＝12AC →＋14AC →＝34AC →

， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，

则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)

＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →

＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →

|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.

(2)法一：以射线AB ，A D 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D(0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则D E →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以D E →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.

因为D C →＝(1,0)，所以D E →·D C →

＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故D E →·D C →的最大值为1.

法二：由图知，无论E 点在哪个位置，D E →在CB →

方向上的射影都是CB ＝1，所以D E →·CB →＝|CB →

|·1＝1，

当E 运动到B 点时，D E →在D C →

方向上的射影最大，即为D C ＝1，

所以(D E →·D C →)ma x ＝|D C →|·1＝1.]

[规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．