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关于解析几何的复习建议

一、近三年高考试题的特点

知识点与题型的对照:

近几年高考解析几何试题的特点：

1. 1.题型稳定：近儿年来高考解析儿何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30

分左右，占总分值的20%左右。

2. 2.整体平衡，重点突出：《考试说明》中解析几何部分有33个知识点，一般考查16至18个，其中对直线、圆锥曲

线，极坐标的知识的考杏几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。纵观近十年高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：

(1)(1)曲线形状己定求方程（91、93、98年高考）。

(2)(2)曲线形状未定求方程（94、95年高考）

(3)(3)由方程讨论曲线的类型（99年高考）

(4)(4)与曲线有关的极值问题（90、97年高考）

(5)(5)证明曲线的对称性（98年高考）

(6)(6)探求曲线方.程中几何量及参数间的数量特征（92、2000年高考）

3、能力立意，渗透数学思想：如2000年第（22）题，以梯形为背景，将双曲线的概念、性质与坐标法、定比分

点的坐标公式、离心率等知识融为一体，有很强的综合性。一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。

4、难度下降，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题不再处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。

二、解几综合题的热点问题：

热点之一：国锥曲线的定义圆锥曲线定义是其一切儿何性质的“根”与“源”，是建立曲线方程的基础，揭示了

圆锥曲线上的点与焦点及准线间的关系，是解几综合题的重要背景。

热点之二：函救与方程的思想函数与方程的思想是贯穿于解析儿何的一条主线，很乏解儿综合题往往都是以最值问题或圆锥曲线的基本景的求解为依托，通过转化，运用函数与方程的思想加以解决。

热点之三：与圆锥曲线有关的轨迹问题解析几何的核心就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程。轨迹问题正是体现这一思想的重要形式。运用定义法、代入法、参数法、结合问题的几何特征，可以较好的求解。

三、关于解析几何复习的几点建议.

（-）复习时要重视教材的基础作用和示范作用

高考试题年年变，但命题的依据是《考试说明》这一考纲,要以此为根本，弄清高考的知识点及对基础知识与能力的要求，这中间实质性的工作就是精通课本，客观题一般直接来源于课本，往往是课本的原题或变式题，解析儿何的主观试题的生长点也是课本，所以在复习中要精通课本，贯彻“源于课本，高于课本”的原则.

例1. （1998年高考第4题）两条直线&"尻），+。|=0/2"%"。2=。垂直的充要条件是

（人认/^+饥公=°（B）A,A2-B,B2 =0

（C）山也=_] （。）鲍=1

"2 A/? （答案：A）

例2.（1993年高考）和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为

（A） 3x+4y-5=0 （B） 3x+4y+5=0

（C） -3x+4y-5=0 （D）-3x+4y+5=0 （答案：B）

（x-折（y-2）2

例3.（1997年高考）椭圆C与椭圆9 4 关于直线工+）'对称，椭圆C的方程是

©号I+苧= （答案：A）

（二）复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容.

解析几何有两个主要问题，一•是由曲线求方程;二是由方程研究曲线，复习时要突出这两个问题.

（1）要掌握求曲线方程的思路和方法.

求Illi线方程的方法有多种，但其思路的实质都是根据曲线上点适合的共同条件找出动点的流动坐标x和之间的关系式。常见的求曲线方程的类型有两种，一种是曲线形状明确且便于用标准形式表示，这时可用特定系数法求其方程; 一种是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，这时一般地可用直接法，间接代点法，参数法等求方程。

例4.（1998年高考21）如图，直线4和直线‘2相交于点M 侦2,点、N W],以A , B为端点的曲线段。上的任一点到‘2的

距离与到点N的距离相等.若A4MN为锐角三角形,1人的=而,|础| = 3,且|瓠| = 6,建立适当的坐标系, 求曲线段C的方程.

分析：由题意知:曲线段C是以点N为焦点，以，2为准线的抛物线的一段故可用待定系数法，如图，建立坐标系,

设Illi 线c的方程为= 2px（p > 0）（x4 < X < A-fi, y > 0）其中P = MM 所以"（一亍0）, ”（亍。），由铲5 = 17 jp =

4 ]p = 2

AM I =而,I AN| = 3得[（勺-铲+ g = 9，解这个方程组得1叫=1或1叫=2（舍去），

得曲线段c的方程为）"=8x（1 0）o

本题也可采用直接法，分别以为X。'轴，以归为坐标原点.设点P（x。'）是曲线段C上任一点，.作PK ll2,ADLl2,BF A.l^AEA.1,?垂足分别为K,D,F,E，连PN ,由题意，知P属于集合{p\PN\ = \PK[x A（）}f将坐标代入化简即可.

/I 例5. （91年高考）某双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，又过它的右焦点且斜率为V5的直线交它

于P 、Q 两点,若尸。上。0网| = 4

,求该双曲线的方程。

2

9

三-匕=1

解题策略：因木题曲线的形状已定，固可采用待定系数法求之。设双曲线的方程为0， b 2

'则问题转化为 求待定系数

a 、

b 的值。欲求两个未知数，必须寻找两个条件，构造两个方程方可解决。这由PQi°Q ，|PQ| = 4, 可得两个方程，从而解题途

径打通了。 例6. （93年高考）在面积为1的八PMN

中，t anM= 2 ,tanN= -2,建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点 且过P

的椭圆方程。 解题策略:曲线的形状已定，但不同的是，例5

中的曲线是在给定的坐标系下研究的，而且方•程为标准式。这里 的坐标系需要考生自己建立。因此，首先要建立适当的坐标系，以使求方程的过程简单以及方程的形式简单为原则。 故木题建立坐标系，成以MN 所在直线为]轴，线段肱N

的垂直平分线为），轴。这样，所求椭圆的方程可设为标准 y X , , = I

j 式:疽b

2 从而设法构造两个方程，来确定的值。但由题设的两个条件 tanM=a ，tanM=-2,构造的两个方程与无直接关系,即与一 ¥一 f .怎么办？注意到脆〃 T ,可得 c = V3

2 ,从而点P 已定。构造关于。，人方程的两个条件便是：点P 在椭圆上与不变式：。2=淀+。2,或椭圆的定 义与不变

式：a 2 =b 2+c 2从而求出。力。问题得解。

三+工

X +- 1

-- I -- — I 8 。 P 是/上一点，射线。F 交椭圆于点R,又点Q 在

例7 （95年高考）已知椭圆24 16

,直线12

OP 上且满足四E = 1°同，当点p 在/上移动时,

解题策略 若按照常规思维方式。设动点。（兀）'），

2

求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么iiii 线。 然后寻找一个等量关系式:

\OQ^OP\ = \OR\ ,故只要用动点坐标（乙）「）去表达这个等式，化简后即得。但这里点R 、户的坐标未知，因此，需 引入参

数。设R （xqR ）、F （xp,）‘p ）,问题转化为如何用点Q 的坐标分别去表达点/?、P 的坐标。由题设条件可 得

48/

48 v 2

2疽+ 3产心一 2J7W

于是由㈣E = 0邮得

—I -

2

I ~9 3 I ~9 ~ 17 7

7 V

+y-^x~+y- =^[x~+y~） f 即 2

3 （其中 x 、y

不同时为零） 显见，上述求解过程较繁，能否在稍简单些呢？若从Q 、P 、R 向尤轴做投影，0、&'、P'的横坐标分别为X 、

XR 、E 由= 『可得"心| =好。由此推导下去，可得轨迹方程。 （2）要强化解析几何的基本思想和方法

解析几何的基本思想是在平面直角坐标系中,把点与实数对，曲线与方程，区域与不等式统一起来，用代数方法研究 平面上的几何问题.其中最重点的内容是用方程研究曲线，其次是用不等式研究区域问题.研究这一基木思想的实质是 等价转化的思想。 例8 （99年高考）给出定点（。,0） （«>0）和直线Z ： x=-l, B 是直线/上的动点，ZBOA

得角平分线交AB 与 点C,

求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的|11|

线类型与。值的关系。 解题策略 欲求轨迹方程，须引入辅助参数，设B （.l,b ）,由0C 平分Z AOB,可建构出方程（1-a ）