高中数学数列求和专题复习-知识点-习题

数列求和例题精讲

1． 公式法求和

（1）等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2

)

1(2)(2)(111-+=+=+=

-+ （2）等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n =

1≠q 时 q

q

a a q q a S n n n --=--=11)1(11

（3）前n 个正整数的和 2

)1(321+=

++++n n n 前n 个正整数的平方和 6)

12)(1(3212222++=

++++n n n n

前n 个正整数的立方和 2

3333]2

)1([321+=++++n n n

公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值；

（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例1． 求数列13741+n ，，，， 的所有项的和

例2． 求和221-++++n x x x (0,2≠≥x n )

2．分组法求和

例3．求数列1，21+，321++，…，n ++++ 321的所有项的和。

例4．已知数列{}n a 中，⎪⎩⎪⎨⎧+=)

()2()

(15为偶数为奇数n n n a n

n ，求m S 2。

3．并项法求和

例5．数列{}n a 中， 21)1(n a n n +-=，求100S 。

例6．数列{}n a 中，，n a n n 4)1(-=，求20S 及35S 。

4．错位相减法求和

{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n {}和，可由求，其中为的公比。S qS S q b n n n n -

例7．求和12321-++++n nx x x （0≠x ）。

5．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例8．求和)

12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯n n 。

例9．求和n

n +++

+++

++

+113

212

311

21 。

［练习］ 求和：…………111211231123+

++++++++++n （…………，）a S n n n ===-

+21

1

6 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++⎫⎬⎪

⎭

⎪--121121…………相加

()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［练习］

已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫

⎭⎪=

22

11212313414

（由f x f x x x x x x x x ()+⎛⎝ ⎫

⎭⎪=

++⎛⎝ ⎫⎭

⎪+⎛⎝ ⎫

⎭

⎪=+++=1111111112

2

2

2222 ∴原式=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤

⎦⎥f f f f f f f ()()()()1212313414

=+++=12111312

）

专题训练 数列求和练习

1、数列}{n a 的通项n

a n ++++= 3211

，则数列}{n a 的前

n 项和为

( )

A ．122+n n

B ．12+n n

C ．12++n n

D ．1

2+n n

2、数列 ,16

14,813,412,211的前n 项和可能为 ( ) A ．n n n 21)2(212-++ B ．122

11)(21--++n n n

C ．n n n 21

)2(212-+- D ．)211(2)(212n n n -++

3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ，则22221n a a a ++等于

( )

A ．2)12(-n

B ．)12(31-n

C ．14-n

D ．)14(3

1

-n

4、数列}{n a 的通项公式)(1

1*N n n n a n ∈++=

,若前n 项和为10，则项数n 为

( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121

5、在数列}{n a 中，2,121==a a 且)()1(1*2N n a a n n n ∈-+=-+，则=100S ．

6、已知)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则=+2215S S ．

7、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若,0,,12

11=-+∈>+-m

m m a a a N m m 3812=-m S ，则m ＝ ．

8、已知数列}{n a 中，11=a ，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足)2

1(2

-=n n n S a S 。

（1）求n S 的表达式； （2）设1

2+=

n S b n

n ，求}{n b 的前n 项和n T ． 9、等比数列}{n a 同时满足下列条件：①3361=+a a ，②3243=a a ，③三个数432,2,4a a a 依次成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记n

n a n

b =，求数列}{n b 的前n 项和T n ．

10、等差数列}{n a 各项均为正整数，31=a ，前n 项和为n S ，在等比数列}{n b 中，11=b 且6422=S b ，公比为8。 （１）求n a 和n b ；（２）证明：

4

311121<+++n S S S 。