第3章-4-风险价值度
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8.36
例
⚫
37
自相关
⚫ 如果资产组合每天的变化量是独立同分布的话，N 天的方差就等于N 倍的1天的方差.
⚫ 如果，投资组合价值每天之间变化满足一阶自相 关的话，则N 天的方差就从N 倍的1天的方差变为
σ 2[N + 2(N – 1)ρ + 2(N – 2)ρ2 + 2(N – 3)ρ3 + ... + 2ρN–1],
8.28
2.1关于预期亏损的说明
⚫ 具有相同
VaR 的两个
投资组合可
以拥有完全
不一样的
expected
1–X
shortfall :
Loss
VaR
Profit
1–X
Loss
VaR
Profit
8.29
3、一致性风险测度
⚫ 一个风险测度（需要添加到资产组合里现金量，以使其风险在可接受 范围内）如果满足以下条件，则它一致性的: ⚫ 单调性(如果在所有的不同情形下，第1个交易组合的回报均低于另 一个交易组合的回报，那么第1个交易组合的风险度量一定要比另 一个更大); ⚫ 平移不变性 (如果我们在交易组合中加入 K 数量的现金，交易组合 所对应的风险度量要减少 K 数量); ⚫ 同质性(假定一个交易组合内含资产品种和相对比例不变，但内含 资产的数量增至原数量的 λ 倍，此时新的交易组合的风险应是原风 险的 λ 倍); ⚫ 次可加性(两个交易组合相加所组成的一个新交易组合的风险度量 小于或等于最初两个交易组合的风险度量的和).
6
⚫ 当采用损失分布时，VaR等于下图所示的第X损失分位数 。
⚫ 图：由交易组合在时间T的损失概率分布来计算VaR； ⚫ 收益可看做是负的损失，置信度为X%，VaR的大小为V。 ⚫ 如：当T为5天，X=97%时，VaR对应于交易组合在5天收
益分布中第3个分位数的负数；另外的看法是，VaR对应 于交易组合在5天损失分布第97个分位数。
$11 – $2)00万. ⚫ 这违反了次可加性.
8.33
光谱型风险测度
⚫ 对损失（收益）分布中的所有分位数赋予不同权重，并由 此定义光谱型风险测度。
⚫ VaR 对于第 X 个分位数设定了100%的权重，而对于其他 分位数设定了0权重。
⚫ Expected Shortfall 对于高于X% 的分位数所有的分位数设 定了相同比重.
8.11
1.2 风险价值度产生的背景
⚫ 之前学习的风险敏感度虽然对交易员管理风 险暴露非常有帮助，但对于银行高层管理人 员管理整体风险其作用却不大。急需一个能 反映整体风险的度量。
8.12
1.3 VaR的优点
⚫ 风险价值度 (value at risk - VaR) 试图对金融 机构的资产组合提供一个单一风险度量， 而这一度量恰恰能体现金融机构的整体风 险。
8.22
1.5 VaR 和资本金
⚫ VaR被监管当局以及金融机构用来确定资 本金的持有量。
⚫ 对于市场风险，监管人员所要求的资本金 等于10天展望期的99% VaR 的至少3倍。
⚫ 在Basel II协议框架下，对信用风险和操作 风险，监管人员要求在资本金计算中要采 用1年展望期及99.9%置信度计算得出的 VaR.
8.41
边际VaR,递增VaR 及 成分VaR
⚫ 边际 VaR 是指交易组合价格变化同某个组合成分xi变化的
比率:
VaR
.
xi
⚫ 递增 VaR 是指该交易组合对VaR的递增效应，即交易组合包
含此子组合时的VaR与不包含此子组合时的VaR的差。
⚫ 交易员通常对新交易的递增VaR感兴趣。
⚫ 第i 个子交易组合的成分 VaR, Ci, 是指第i 个子交易组合对 整个交易组合 VaR 的贡献量:
5
⚫ VaR可以由交易组合在T时间内的收益概率分布得出，也 可以由损失的概率分布得出（对于前者，损失为收益的负 值；对于后者，收益为损失的负值）。
⚫ 当采用收益分布时，VaR等于第100-X收益分位数的负值 ；
⚫ 图：由交易组合在时间T的收益概率分布来计算VaR ⚫ 损失可看做是负的收益，置信度为X%，VaR的大小为V。
即：风险价值度本 V = a + x (b – a)
=–6000 + 0.99×[4000 – (–6000)]=3900. ⚫ 因此, 对于1年展望期，在 99% 置信度下的 VaR
为 $3900万。
8.18
1.6 VaR计算例子 No. 3
⚫ 损失累计分布由下图所示:
100%
99%
98%
97%
1.4 VaR计算例子 No. 2
例2：假定一个1年的项目的最终结果介于 最 大$4000万损失和 最大$6000万收益之间. 并 且在两个极端之间的任何结果具有均等的 可能. 求：置信度, X, 为 99% 的风险价值度？
8.17
1.4 VaR计算例子 No. 2（续）
解：由于项目的最终损失结果服从a = –$6000万 到 b = +$4000万的均匀分布. 故均匀分布的左侧 x%分位数, V, 等于 a + x (b – a).
8.35
正态分布假设
⚫ 这里面最简单的假设时每天的收益/损失是独立的，0均值， 的正态分布。
⚫ 在这种情况下，计算十分方便: ⚫ 可以从标准差计算出 VaR (比如99%的VaR = 2,33 σ); ⚫ N 天的 VaR 可以从1天的 VaR 得出(N 天的 VaR = 1天的VaR × N );
$10 + $1) 00万， 有0,04% (= 2% ×2%)的概率损失$20 (= $10 + $10) 00万.
,
⚫ 对于整个组合，在展望期为1年，97.5%的置信度下的VaR 为$1100万.
⚫ 单笔贷款所对应VaR的和为$ 200万. ⚫ 因此, 这个投资组合的 VaR 比贷款 VaR 的总和高$9 ( =
1.4 VaR计算例子 No. 1（续）
解： 由于–V=μ – x σ，有风险价值度（VaR）
V= –（μ – x σ）= μ – N –1(99%) σ = $2 – 2.33 ×$1000 万. =2130万
因此, 对于6个月展望期，在99%置信度下的 VaR 为2130万美元.
8.15
例
16
1.6 VaR计算例子 3 (续)
解（1）根据上图的损失累积分布图可知，对 应于99%累计概率的点为$400万。
因此，对于1年展望期，在 99%置信度下的 VaR为 $400万。
8.21
例 3之（2）
（2）由于对于置信度为 99.5%的VaR ，介 于$400万和$1000万美元之间的任何一点的 损失，均有99.5%的把握不会被超出，VaR 在这一情形下不具有唯一性。 一个合理的 选择是将 VaR 设定为这一区间的中间值。 因此, 在本例中, 在 99.5% 置信度下的 VaR 为 $7 00万。
0,20
1,00
1,55
2,62
3,79
8,62
19,35
注: 在计算中，我们假定组合每天价值变化均为正态分布，期望值为0，r为自 相关系数。
8.39
8.40
VaR中的参数选择
⚫ 置信区间. ⚫ 置信区间的选择与很多因素有关. ⚫ 对于市场风险，监管人员选择置信区间为99% 的VaR；对于信用风险和操作风险，置信区间 为99.9% 。 ⚫ 一家银行想保持自己的AA 信用评级，常常采 用99,97%的置信区间.
⚫ 考虑如下两者不同的分布函数
1–X
Loss
VaR
Profit 1–X
Loss
VaR
ห้องสมุดไป่ตู้
Profit
8.26
⚫ 假定一家银行限定的某交易员的交易组合在一定 展望期的99%VaR的额度为1000万美元，交易员 可以构造一交易组合有99.1%的可能每天的损失小 于1000万美元，但有0.9%的可能损失为5000万美 元。
其中 ρ 是相关系数.
8.38
自相关(续)
⚫ 下表展示了当存在一阶自相关时T天的VaR同1天 的VaR的比率
T
ρ
1
2
5
10
50
250
0,00
1,00
1,41
2,24
3,16
7,07
15,81
0,05
1,00
1,45
2,33
3,31
7,43
16,62
0,10
1,00
1,48
2,42
3,46
7,80
17,47
4
⚫ 其中Prob表示概率测度，ΔP= P(t＋dt)－P(t)表示组合在未 来持有期Δt内的损失，P（t）表示组合在当前时刻t的价值 （下文常记为P0），c为置信水平，VaR为置信水平c下组 合的在险价值。
⚫ VaR(value-at-risk)叫做风险值或在险值，意为处在风险之 中的价值。VaR定义为：在一定的持有期，一定的置信水 平下可能的最大损失。VaR要回答这样的问题：在给定的 时期，有X%的可能性，最大的损失是多少？
⚫ 这一交易员满足了银行所设定的额度，但交易员 承担了银行不可接受的风险。
8.27
2.1预期亏损的定义
⚫ 预期亏损（expected shortfall，简称ES） (有时也
被称为条件预期风险价值度（conditional VaR, 或 C-Var）或条件尾部期望（conditional tail expectation）或尾部损失（tail loss）)是在损失超 过VaR的条件下的期望值. ⚫ 具有相同 VaR 的两个投资组合可以拥有完全不一 样的 expected shortfall .
96%
95%
-$2
$0
$2
$4
$6
$8
$10
8.19
1.6 VaR计算例子 No. 3
⚫ 假定一个1年的项目有98%的概率收益为 $200万，1.5%的概率损失为$400万，0.5% 的概率损失为$1000万。
⚫ （1）求 99% 置信水平的VaR ⚫ （2）求 99.5% 置信水平的VaR
8.20
⚫ 当光谱型风险测度分配给第q个分位数的权重为q的非递减 函数时，这一光谱型风险测度一定满足一致性条件。
8.34
VaR中的参数选择
⚫ 时间展望期. ⚫ 时间展望期的选取要根据因场合而决定. ⚫ 对于市场风险，监管人员选择10天的展望期； 对于信用风险和操作风险，监管人员选择1年的 展望期。 ⚫ 养老基金通常选择1个月作为展望期.
7
1.1 什么风险价值度(VaR)?
8.8
1.1 什么风险价值度(VaR)?（续）
8.9
⚫ 这里的变量V就是交易组合的VaR。
⚫ VaR 是以下两个变量的函数: T, 时间段 , 和 X, 置信水平.
8.10
1.1 什么风险价值度(VaR)?（续）
⚫ 当使用VaR来检测风险时，我们是在陈述以 下事实：“我们有 X% 的把握，在 T 时间段， 我们的损失不会大于V。”
8.30
VaR 和 Expected Shortfall
⚫ VaR 满足前三个条件，但是不满足第 四个.
⚫ expected shortfall 满足所有四个条件. ⚫ VaR 不满足一致性，也就不是一个一
致性风险测度，然而expected shortfall 是一个一致性风险测度.
8.31
VaR计算例子 n. 5
风险价值度 (Value at Risk - VaR)
第9章
8.1
8.2
8.3
(一) VaR的定义
指市场处于正常波动的状态下，对应于给定的 置信度水平，投资组合或资产组合在未来特定 的一段时间内所遭受的最大可能损失。用数学 语言可表示为
P rob( P −V aR ) = 1 − c
(3.4.1)
8.23
8.24
2 、 VaR 和 Expected Shortfall
⚫ 使用风险价值度（VaR）遇到的问题： 通过控制 VaR 额度的方法，不能完全约束交易员 的冒险行为，可能会给银行带来额外的风险。
⚫ 考虑如下两者不同的分布函数
8.25
2. VaR 和 Expected Shortfall（续）
⚫ 假定两个独立贷款项目在1年内均有0.02的 概率损失$1000万，同时有0.98的概率损失 $100万.
⚫ 任意一个单笔贷款在展望期为1年，97.5% 的置信度下的VaR为$100万.
8.32
VaR计算例子 n. 5
⚫ 如果把两个贷款叠加产生一个资产组合，组合 有96,04% (= 98% ×98%)的概率损失$2 (= $1 + $1) 00万, 有3,92% (= 2 ×2% ×98%) 的概率损失$11 (= $1 + $10 =
⚫ 容易理解。 ⚫ 它提出了一个简单的问题：“事情能有多
坏？”
8.13
1.4 VaR计算例子 No. 1
例1. 假定一个交易组合在6个月是的收益服从正态分 布，分布均值为, μ = $200万美元，标准差 σ = $1000万美元.求置信度, X %, 等于 99%的风险价值 度（VaR）.
8.14
例
⚫
37
自相关
⚫ 如果资产组合每天的变化量是独立同分布的话，N 天的方差就等于N 倍的1天的方差.
⚫ 如果，投资组合价值每天之间变化满足一阶自相 关的话，则N 天的方差就从N 倍的1天的方差变为
σ 2[N + 2(N – 1)ρ + 2(N – 2)ρ2 + 2(N – 3)ρ3 + ... + 2ρN–1],
8.28
2.1关于预期亏损的说明
⚫ 具有相同
VaR 的两个
投资组合可
以拥有完全
不一样的
expected
1–X
shortfall :
Loss
VaR
Profit
1–X
Loss
VaR
Profit
8.29
3、一致性风险测度
⚫ 一个风险测度（需要添加到资产组合里现金量，以使其风险在可接受 范围内）如果满足以下条件，则它一致性的: ⚫ 单调性(如果在所有的不同情形下，第1个交易组合的回报均低于另 一个交易组合的回报，那么第1个交易组合的风险度量一定要比另 一个更大); ⚫ 平移不变性 (如果我们在交易组合中加入 K 数量的现金，交易组合 所对应的风险度量要减少 K 数量); ⚫ 同质性(假定一个交易组合内含资产品种和相对比例不变，但内含 资产的数量增至原数量的 λ 倍，此时新的交易组合的风险应是原风 险的 λ 倍); ⚫ 次可加性(两个交易组合相加所组成的一个新交易组合的风险度量 小于或等于最初两个交易组合的风险度量的和).
6
⚫ 当采用损失分布时，VaR等于下图所示的第X损失分位数 。
⚫ 图：由交易组合在时间T的损失概率分布来计算VaR； ⚫ 收益可看做是负的损失，置信度为X%，VaR的大小为V。 ⚫ 如：当T为5天，X=97%时，VaR对应于交易组合在5天收
益分布中第3个分位数的负数；另外的看法是，VaR对应 于交易组合在5天损失分布第97个分位数。
$11 – $2)00万. ⚫ 这违反了次可加性.
8.33
光谱型风险测度
⚫ 对损失（收益）分布中的所有分位数赋予不同权重，并由 此定义光谱型风险测度。
⚫ VaR 对于第 X 个分位数设定了100%的权重，而对于其他 分位数设定了0权重。
⚫ Expected Shortfall 对于高于X% 的分位数所有的分位数设 定了相同比重.
8.11
1.2 风险价值度产生的背景
⚫ 之前学习的风险敏感度虽然对交易员管理风 险暴露非常有帮助，但对于银行高层管理人 员管理整体风险其作用却不大。急需一个能 反映整体风险的度量。
8.12
1.3 VaR的优点
⚫ 风险价值度 (value at risk - VaR) 试图对金融 机构的资产组合提供一个单一风险度量， 而这一度量恰恰能体现金融机构的整体风 险。
8.22
1.5 VaR 和资本金
⚫ VaR被监管当局以及金融机构用来确定资 本金的持有量。
⚫ 对于市场风险，监管人员所要求的资本金 等于10天展望期的99% VaR 的至少3倍。
⚫ 在Basel II协议框架下，对信用风险和操作 风险，监管人员要求在资本金计算中要采 用1年展望期及99.9%置信度计算得出的 VaR.
8.41
边际VaR,递增VaR 及 成分VaR
⚫ 边际 VaR 是指交易组合价格变化同某个组合成分xi变化的
比率:
VaR
.
xi
⚫ 递增 VaR 是指该交易组合对VaR的递增效应，即交易组合包
含此子组合时的VaR与不包含此子组合时的VaR的差。
⚫ 交易员通常对新交易的递增VaR感兴趣。
⚫ 第i 个子交易组合的成分 VaR, Ci, 是指第i 个子交易组合对 整个交易组合 VaR 的贡献量:
5
⚫ VaR可以由交易组合在T时间内的收益概率分布得出，也 可以由损失的概率分布得出（对于前者，损失为收益的负 值；对于后者，收益为损失的负值）。
⚫ 当采用收益分布时，VaR等于第100-X收益分位数的负值 ；
⚫ 图：由交易组合在时间T的收益概率分布来计算VaR ⚫ 损失可看做是负的收益，置信度为X%，VaR的大小为V。
即：风险价值度本 V = a + x (b – a)
=–6000 + 0.99×[4000 – (–6000)]=3900. ⚫ 因此, 对于1年展望期，在 99% 置信度下的 VaR
为 $3900万。
8.18
1.6 VaR计算例子 No. 3
⚫ 损失累计分布由下图所示:
100%
99%
98%
97%
1.4 VaR计算例子 No. 2
例2：假定一个1年的项目的最终结果介于 最 大$4000万损失和 最大$6000万收益之间. 并 且在两个极端之间的任何结果具有均等的 可能. 求：置信度, X, 为 99% 的风险价值度？
8.17
1.4 VaR计算例子 No. 2（续）
解：由于项目的最终损失结果服从a = –$6000万 到 b = +$4000万的均匀分布. 故均匀分布的左侧 x%分位数, V, 等于 a + x (b – a).
8.35
正态分布假设
⚫ 这里面最简单的假设时每天的收益/损失是独立的，0均值， 的正态分布。
⚫ 在这种情况下，计算十分方便: ⚫ 可以从标准差计算出 VaR (比如99%的VaR = 2,33 σ); ⚫ N 天的 VaR 可以从1天的 VaR 得出(N 天的 VaR = 1天的VaR × N );
$10 + $1) 00万， 有0,04% (= 2% ×2%)的概率损失$20 (= $10 + $10) 00万.
,
⚫ 对于整个组合，在展望期为1年，97.5%的置信度下的VaR 为$1100万.
⚫ 单笔贷款所对应VaR的和为$ 200万. ⚫ 因此, 这个投资组合的 VaR 比贷款 VaR 的总和高$9 ( =
1.4 VaR计算例子 No. 1（续）
解： 由于–V=μ – x σ，有风险价值度（VaR）
V= –（μ – x σ）= μ – N –1(99%) σ = $2 – 2.33 ×$1000 万. =2130万
因此, 对于6个月展望期，在99%置信度下的 VaR 为2130万美元.
8.15
例
16
1.6 VaR计算例子 3 (续)
解（1）根据上图的损失累积分布图可知，对 应于99%累计概率的点为$400万。
因此，对于1年展望期，在 99%置信度下的 VaR为 $400万。
8.21
例 3之（2）
（2）由于对于置信度为 99.5%的VaR ，介 于$400万和$1000万美元之间的任何一点的 损失，均有99.5%的把握不会被超出，VaR 在这一情形下不具有唯一性。 一个合理的 选择是将 VaR 设定为这一区间的中间值。 因此, 在本例中, 在 99.5% 置信度下的 VaR 为 $7 00万。
0,20
1,00
1,55
2,62
3,79
8,62
19,35
注: 在计算中，我们假定组合每天价值变化均为正态分布，期望值为0，r为自 相关系数。
8.39
8.40
VaR中的参数选择
⚫ 置信区间. ⚫ 置信区间的选择与很多因素有关. ⚫ 对于市场风险，监管人员选择置信区间为99% 的VaR；对于信用风险和操作风险，置信区间 为99.9% 。 ⚫ 一家银行想保持自己的AA 信用评级，常常采 用99,97%的置信区间.
⚫ 考虑如下两者不同的分布函数
1–X
Loss
VaR
Profit 1–X
Loss
VaR
ห้องสมุดไป่ตู้
Profit
8.26
⚫ 假定一家银行限定的某交易员的交易组合在一定 展望期的99%VaR的额度为1000万美元，交易员 可以构造一交易组合有99.1%的可能每天的损失小 于1000万美元，但有0.9%的可能损失为5000万美 元。
其中 ρ 是相关系数.
8.38
自相关(续)
⚫ 下表展示了当存在一阶自相关时T天的VaR同1天 的VaR的比率
T
ρ
1
2
5
10
50
250
0,00
1,00
1,41
2,24
3,16
7,07
15,81
0,05
1,00
1,45
2,33
3,31
7,43
16,62
0,10
1,00
1,48
2,42
3,46
7,80
17,47
4
⚫ 其中Prob表示概率测度，ΔP= P(t＋dt)－P(t)表示组合在未 来持有期Δt内的损失，P（t）表示组合在当前时刻t的价值 （下文常记为P0），c为置信水平，VaR为置信水平c下组 合的在险价值。
⚫ VaR(value-at-risk)叫做风险值或在险值，意为处在风险之 中的价值。VaR定义为：在一定的持有期，一定的置信水 平下可能的最大损失。VaR要回答这样的问题：在给定的 时期，有X%的可能性，最大的损失是多少？
⚫ 这一交易员满足了银行所设定的额度，但交易员 承担了银行不可接受的风险。
8.27
2.1预期亏损的定义
⚫ 预期亏损（expected shortfall，简称ES） (有时也
被称为条件预期风险价值度（conditional VaR, 或 C-Var）或条件尾部期望（conditional tail expectation）或尾部损失（tail loss）)是在损失超 过VaR的条件下的期望值. ⚫ 具有相同 VaR 的两个投资组合可以拥有完全不一 样的 expected shortfall .
96%
95%
-$2
$0
$2
$4
$6
$8
$10
8.19
1.6 VaR计算例子 No. 3
⚫ 假定一个1年的项目有98%的概率收益为 $200万，1.5%的概率损失为$400万，0.5% 的概率损失为$1000万。
⚫ （1）求 99% 置信水平的VaR ⚫ （2）求 99.5% 置信水平的VaR
8.20
⚫ 当光谱型风险测度分配给第q个分位数的权重为q的非递减 函数时，这一光谱型风险测度一定满足一致性条件。
8.34
VaR中的参数选择
⚫ 时间展望期. ⚫ 时间展望期的选取要根据因场合而决定. ⚫ 对于市场风险，监管人员选择10天的展望期； 对于信用风险和操作风险，监管人员选择1年的 展望期。 ⚫ 养老基金通常选择1个月作为展望期.
7
1.1 什么风险价值度(VaR)?
8.8
1.1 什么风险价值度(VaR)?（续）
8.9
⚫ 这里的变量V就是交易组合的VaR。
⚫ VaR 是以下两个变量的函数: T, 时间段 , 和 X, 置信水平.
8.10
1.1 什么风险价值度(VaR)?（续）
⚫ 当使用VaR来检测风险时，我们是在陈述以 下事实：“我们有 X% 的把握，在 T 时间段， 我们的损失不会大于V。”
8.30
VaR 和 Expected Shortfall
⚫ VaR 满足前三个条件，但是不满足第 四个.
⚫ expected shortfall 满足所有四个条件. ⚫ VaR 不满足一致性，也就不是一个一
致性风险测度，然而expected shortfall 是一个一致性风险测度.
8.31
VaR计算例子 n. 5
风险价值度 (Value at Risk - VaR)
第9章
8.1
8.2
8.3
(一) VaR的定义
指市场处于正常波动的状态下，对应于给定的 置信度水平，投资组合或资产组合在未来特定 的一段时间内所遭受的最大可能损失。用数学 语言可表示为
P rob( P −V aR ) = 1 − c
(3.4.1)
8.23
8.24
2 、 VaR 和 Expected Shortfall
⚫ 使用风险价值度（VaR）遇到的问题： 通过控制 VaR 额度的方法，不能完全约束交易员 的冒险行为，可能会给银行带来额外的风险。
⚫ 考虑如下两者不同的分布函数
8.25
2. VaR 和 Expected Shortfall（续）
⚫ 假定两个独立贷款项目在1年内均有0.02的 概率损失$1000万，同时有0.98的概率损失 $100万.
⚫ 任意一个单笔贷款在展望期为1年，97.5% 的置信度下的VaR为$100万.
8.32
VaR计算例子 n. 5
⚫ 如果把两个贷款叠加产生一个资产组合，组合 有96,04% (= 98% ×98%)的概率损失$2 (= $1 + $1) 00万, 有3,92% (= 2 ×2% ×98%) 的概率损失$11 (= $1 + $10 =
⚫ 容易理解。 ⚫ 它提出了一个简单的问题：“事情能有多
坏？”
8.13
1.4 VaR计算例子 No. 1
例1. 假定一个交易组合在6个月是的收益服从正态分 布，分布均值为, μ = $200万美元，标准差 σ = $1000万美元.求置信度, X %, 等于 99%的风险价值 度（VaR）.
8.14