第6章 组合数学-2020.08.19
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组合及组合数公式(下)
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1.组合的定义:
从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.
5、n个元素进栈，共有多少种出栈顺序（公式） https://blog.csdn.net/z3881006/article/details/60887505
6、n个元素进栈，共有多少种出栈顺序？ https://www.cnblogs.com/jiayouwyhit/p/3222973.html
相关的网址的链接
3.前几项为：f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,f(4)=14,f(5)=42,......
区域①是一个凸k边形，区域②是一个凸n-k+1边形， 区域①的拆分方案总数是f(k)； 区域②的拆分方案数为f(n-k+1)； 故包含△P1PkPn的n 边形的拆分方案数为f(k)* f(n-k+1)种
当然，上面这样的递推公式太繁琐了，于是数学家们又 求出了可以快速计算的通项公式。
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)。
这个公式还可以更简单得化为h(n)=C(2n,n)/(n+1)。后 一个公式都可以通过前一个公式经过几步简单的演算得来， 大家可以拿起笔试试，一两分钟就可以搞定。
n
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1
C2nn
为了计算的方便：约定f（0）=1
卡特兰数满足以下性质：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式。h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是 说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。 h(n)=h(i)*h(n-i-1)( i>=0 && i<=n-1)
公式：
n!/(n1!*n2!*....nm!)
4、圆周排列：
从n个不同的元素中取r个沿一圆周排列，排列的方案：
Pnr /r
N个元素的圆周排列：
Pnn /n =（n-1）!
1、非重组合 2、可重复组合 3、二项式定理
组合及组合数公式(上)
https://www.bilibili.com/video/BV1nc411h7tZ?from=search&seid=19829811885282394
排列数公式:
Pn m n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) n!
( n m )!
全排列问题： n个不同的元素排成一排，排列方法有：
Pnn =n*(n-1)*(n-2)*…*2*1=n!
2、相异元素可重排列： 从n个不同元素中可以重复地选取出m个元
素的排列，
叫做相异元素可重复排列。其排列总数为nm。
Cr nr 1
典型模型： r个相同的小球，放到n个不同的盒子里，
所有的放置方法。
3、二项式定理：
Lucas定理——推导及证明 https://blog.csdn.net/zsheng_/article/details/77531350
Lucas定理详解 https://www.cnblogs.com/scx2015noip-as-php/p/lucas.html
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ß 加法原理：
ß 做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有 M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方 法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那 么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。
ß
ß 比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，
相关的网址的链接
1、卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论 组合 ) http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html https://www.cnblogs.com/jackge/archive/2013/05/19/3086519.html
3、有重复元素的排列问题：
如： n1个a，n2个b，n3个c，排成一排，有多少种排列方法。
(n1 n2 n3 )! n1 !* n2 !* n3 !
3、有重复元素的排列问题(不全相异元素的排列）：
如果在n个元素中，有n1个元素彼此相同，有n2个元素彼此 相同，．．．．．有nm个元素彼此相同，并且 n1+n2+......nm=n，则称n个元素的全排列叫不全相异的元 素的全排列，：
问题三：出栈序列
问题描述：N个不同元素按一定的顺序入栈，求不同的出栈序列数目。
【问题分析】： 设f（n）为n个元素的不同出栈序列数目。 容易得出：f（1）=1；f（2）=2。 第n个元素可以第i（1<=i<=n）个出栈，前面已出栈有i-1个元素，出栈方 法：f（i-1）；后面出栈n-i 个元素，出栈方法为：f（n-i）。所以有：
ß 1：火车3个班次
ß 2：飞机2个班次
ß 3：轮船4个班次，
ß 那么从北京-上海的方法N=3+2+4=9种
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ß 乘法原理： ß 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……， 做第n步有mn不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1m2m3…mn 种不同的方法
问题二：二叉树数目
问题描述：求n个结点能构成不同二叉数的数目。
【问题分析】： 设F(n)为n个结点组成二叉树的数目。 容易知道：f(1)=1; f(2)=2, f(3)=5
选定其中1个结点为根，左子树结点的个数为i，二叉树数目f（i）种；右 子树结点数目为n-i-1，二叉树数目f（n-i-1）种，I的可取范围[0，n-1]。 所以有：
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• 1、线排列 • 2、相异元素可重排列 • 3、不全相异元素排列 • 4、圆排列
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1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m（m<=n)个元素,按照一定的顺序排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
相关的网址的链接
5.combination(Bzoj2982) https://www.cnblogs.com/fighting-to-the-end/p/5862689.html https://blog.csdn.net/m0_38083668/article/details/81605429 https://blog.csdn.net/u012288458/article/details/48625441
ß 例如，从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城 共有3条路线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条 路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6 条路线am，at，bm，bt，cm，ct
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• 1、线排列 • 2、相异元素可重排列 • 3、不全相异元素排列 • 4、圆排列
1.通项公式： f(n)=C(n,2n)/(n+1)=(2n)!/((n!)*(n+1)!) = C(n, 2n) - C(n +1, 2n)
2.递推公式： f(n)=((4*n-2)/(n+1))*f(n-1); f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(0).
组合数公式:
C nm
Pn m Pm m
n ( n 1 )( n 2 ) ( n m 1 ) m!
n!
m ! ( n m )!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序 无关的为组合问题.
2、重复元素的组合问题：
从n种不同的元素中取r个的元素的组合，允 许有重复元素的组合，其组合数记为H(n,r)：
例2 2^k进制数（NOIP2006提高） http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1649
https://www.cnblogs.com/gaojunonly1/p/10519836.html
相关的网址的链接
例3 组合 http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1650
相关的网址的链接
2.方程的解(equation) https://www.luogu.org/problemnew/show/P1771
3.车的放置(place) https://www.luogu.org/problemnew/show/P1350
相关的网址的链接
2.方程的解(equation) https://www.luogu.org/problemnew/show/P1771
2、卡特兰数 https://www.cnblogs.com/AcIsFun/p/5351123.html
3、卡特兰数的初步学习 https://www.cnblogs.com/code-painter/p/4417354.html
4、Catalan数——卡特兰数 https://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7450250 https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/78161211
例1 计算系数（NOIP2011提高） http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1648
https://blog.csdn.net/nanhan27/article/details/53162043 https://blog.csdn.net/sin_Yang/article/details/80954224 https://www.cnblogs.com/gaojunonly1/p/10519777.html
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Catalan数
问题一：凸n边形的三角形剖分 在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若 干三角形，不同的拆分数目用f(n)表之，f(n)即为Catalan数。例如五边形 有如下五种拆分方案，故f(3)=5。求对于一个任意的凸n边形相应的f(n)。
3.车的放置(place) https://www.luogu.org/problemnew/show/P1350
4.数三角形(Bzoj3505) https://blog.csdn.net/a1799342217/article/details/82972878 https://www.cnblogs.com/ZYBGMZL/p/7284430.html https://www.cnblogs.com/liu-runda/p/5993244.html https://blog.csdn.net/m0_38083668/article/details/81605309? utm_source=blogxgwz5 http://hzwer.com/3021.html https://blog.csdn.net/zhb1997/article/details/38474795 https://blog.csdn.net/u012288458/article/details/48624859
例4 古代猪文(Bzoj1951) https://www.cnblogs.com/scx2015noip-asphp/p/bzoj1951.html https://www.cnblogs.com/jxcakak/p/7731636.html http://hzwer.com/4407.html
1.牡牛和牝牛(Bzoj3398) https://blog.csdn.net/m0_38083668/article/details/81605255 https://blog.csdn.net/Mys_C_K/article/details/76597236?utm_ source=blogxgwz2 https://www.bbsmax.com/A/LPdoV7qj53/
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1.组合的定义:
从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.
5、n个元素进栈，共有多少种出栈顺序（公式） https://blog.csdn.net/z3881006/article/details/60887505
6、n个元素进栈，共有多少种出栈顺序？ https://www.cnblogs.com/jiayouwyhit/p/3222973.html
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3.前几项为：f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,f(4)=14,f(5)=42,......
区域①是一个凸k边形，区域②是一个凸n-k+1边形， 区域①的拆分方案总数是f(k)； 区域②的拆分方案数为f(n-k+1)； 故包含△P1PkPn的n 边形的拆分方案数为f(k)* f(n-k+1)种
当然，上面这样的递推公式太繁琐了，于是数学家们又 求出了可以快速计算的通项公式。
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)。
这个公式还可以更简单得化为h(n)=C(2n,n)/(n+1)。后 一个公式都可以通过前一个公式经过几步简单的演算得来， 大家可以拿起笔试试，一两分钟就可以搞定。
n
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1
C2nn
为了计算的方便：约定f（0）=1
卡特兰数满足以下性质：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式。h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是 说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。 h(n)=h(i)*h(n-i-1)( i>=0 && i<=n-1)
公式：
n!/(n1!*n2!*....nm!)
4、圆周排列：
从n个不同的元素中取r个沿一圆周排列，排列的方案：
Pnr /r
N个元素的圆周排列：
Pnn /n =（n-1）!
1、非重组合 2、可重复组合 3、二项式定理
组合及组合数公式(上)
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排列数公式:
Pn m n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) n!
( n m )!
全排列问题： n个不同的元素排成一排，排列方法有：
Pnn =n*(n-1)*(n-2)*…*2*1=n!
2、相异元素可重排列： 从n个不同元素中可以重复地选取出m个元
素的排列，
叫做相异元素可重复排列。其排列总数为nm。
Cr nr 1
典型模型： r个相同的小球，放到n个不同的盒子里，
所有的放置方法。
3、二项式定理：
Lucas定理——推导及证明 https://blog.csdn.net/zsheng_/article/details/77531350
Lucas定理详解 https://www.cnblogs.com/scx2015noip-as-php/p/lucas.html
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ß 加法原理：
ß 做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有 M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方 法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那 么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。
ß
ß 比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，
相关的网址的链接
1、卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论 组合 ) http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html https://www.cnblogs.com/jackge/archive/2013/05/19/3086519.html
3、有重复元素的排列问题：
如： n1个a，n2个b，n3个c，排成一排，有多少种排列方法。
(n1 n2 n3 )! n1 !* n2 !* n3 !
3、有重复元素的排列问题(不全相异元素的排列）：
如果在n个元素中，有n1个元素彼此相同，有n2个元素彼此 相同，．．．．．有nm个元素彼此相同，并且 n1+n2+......nm=n，则称n个元素的全排列叫不全相异的元 素的全排列，：
问题三：出栈序列
问题描述：N个不同元素按一定的顺序入栈，求不同的出栈序列数目。
【问题分析】： 设f（n）为n个元素的不同出栈序列数目。 容易得出：f（1）=1；f（2）=2。 第n个元素可以第i（1<=i<=n）个出栈，前面已出栈有i-1个元素，出栈方 法：f（i-1）；后面出栈n-i 个元素，出栈方法为：f（n-i）。所以有：
ß 1：火车3个班次
ß 2：飞机2个班次
ß 3：轮船4个班次，
ß 那么从北京-上海的方法N=3+2+4=9种
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ß 乘法原理： ß 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……， 做第n步有mn不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1m2m3…mn 种不同的方法
问题二：二叉树数目
问题描述：求n个结点能构成不同二叉数的数目。
【问题分析】： 设F(n)为n个结点组成二叉树的数目。 容易知道：f(1)=1; f(2)=2, f(3)=5
选定其中1个结点为根，左子树结点的个数为i，二叉树数目f（i）种；右 子树结点数目为n-i-1，二叉树数目f（n-i-1）种，I的可取范围[0，n-1]。 所以有：
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• 1、线排列 • 2、相异元素可重排列 • 3、不全相异元素排列 • 4、圆排列
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1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m（m<=n)个元素,按照一定的顺序排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
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5.combination(Bzoj2982) https://www.cnblogs.com/fighting-to-the-end/p/5862689.html https://blog.csdn.net/m0_38083668/article/details/81605429 https://blog.csdn.net/u012288458/article/details/48625441
ß 例如，从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城 共有3条路线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条 路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6 条路线am，at，bm，bt，cm，ct
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• 1、线排列 • 2、相异元素可重排列 • 3、不全相异元素排列 • 4、圆排列
1.通项公式： f(n)=C(n,2n)/(n+1)=(2n)!/((n!)*(n+1)!) = C(n, 2n) - C(n +1, 2n)
2.递推公式： f(n)=((4*n-2)/(n+1))*f(n-1); f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(0).
组合数公式:
C nm
Pn m Pm m
n ( n 1 )( n 2 ) ( n m 1 ) m!
n!
m ! ( n m )!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序 无关的为组合问题.
2、重复元素的组合问题：
从n种不同的元素中取r个的元素的组合，允 许有重复元素的组合，其组合数记为H(n,r)：
例2 2^k进制数（NOIP2006提高） http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1649
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例3 组合 http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1650
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3.车的放置(place) https://www.luogu.org/problemnew/show/P1350
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2.方程的解(equation) https://www.luogu.org/problemnew/show/P1771
2、卡特兰数 https://www.cnblogs.com/AcIsFun/p/5351123.html
3、卡特兰数的初步学习 https://www.cnblogs.com/code-painter/p/4417354.html
4、Catalan数——卡特兰数 https://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7450250 https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/78161211
例1 计算系数（NOIP2011提高） http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1648
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Catalan数
问题一：凸n边形的三角形剖分 在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若 干三角形，不同的拆分数目用f(n)表之，f(n)即为Catalan数。例如五边形 有如下五种拆分方案，故f(3)=5。求对于一个任意的凸n边形相应的f(n)。
3.车的放置(place) https://www.luogu.org/problemnew/show/P1350
4.数三角形(Bzoj3505) https://blog.csdn.net/a1799342217/article/details/82972878 https://www.cnblogs.com/ZYBGMZL/p/7284430.html https://www.cnblogs.com/liu-runda/p/5993244.html https://blog.csdn.net/m0_38083668/article/details/81605309? utm_source=blogxgwz5 http://hzwer.com/3021.html https://blog.csdn.net/zhb1997/article/details/38474795 https://blog.csdn.net/u012288458/article/details/48624859
例4 古代猪文(Bzoj1951) https://www.cnblogs.com/scx2015noip-asphp/p/bzoj1951.html https://www.cnblogs.com/jxcakak/p/7731636.html http://hzwer.com/4407.html
1.牡牛和牝牛(Bzoj3398) https://blog.csdn.net/m0_38083668/article/details/81605255 https://blog.csdn.net/Mys_C_K/article/details/76597236?utm_ source=blogxgwz2 https://www.bbsmax.com/A/LPdoV7qj53/