平行线章节测试题

第4讲 平行线

〖学习目标〗

1.理解平行线概念，了解平行于同一条直线的两条直线平行．

2.掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

3.掌握利用同位角、内错角和同旁内角判定两直线平行的方法．

4.掌握平行线的性质定理，知道由两直线平行，可以得出同位角相等、内错角相等和同旁内角互补．

※考情分析

平行线是研究三角形、四边形和圆的重要概念，也是中考高频考点之一．中考试卷对这部分知识的考查重点落在平行线判定和性质的计算问题．常以填空或选择的性质出现，也可能作为解决几何综合性的重要工具，一般1道题左右，难度中等及中等以下，分值在3分左右．

〖基础知识·轻松学〗

一、平行线 1．定义要点：

（1）它们必须在同一平面内；（2）它们必须不相交；（3）它们必须都是直线． 精讲：（1）两条线段或射线平行是指这两条线段或射线所在的直线互相平行；（2）平行线的定义可用来判定两条直线是否平行．只要满足以上三点，就可以说明两直线平行． 2．两直线的位置关系

⎧⎧⎧⎪⎪⎨

⎨⎪⎩⎨⎪⎪⎩⎪⎩

垂直

相交在同一平面内斜交两直线的位置关系平行不在同一平面内：异面 二、平行线公理及其推论

1．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线． 2．如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也平行． 符号表示：已知a ∥c ，b ∥c ，那么a ∥b ．

三、利用同位角、内错角、同旁内角判定两直线平行 1．同位角相等，两直线平行．

图4-1A B

C D

F

E

G H 图4-2

1 4 3

2 A B D

C

E F

符号语言：∵∠1＝∠2（已知），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．

2．内错角相等，两直线平行．

符号语言：∵∠2＝∠3（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

3．同旁内角互补，两直线平行．

符号语言：∵∠2＋∠4＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

精讲：（1）“同位角相等，两直线平行”是“同位角相等→两直线平行”，这个顺序不能乱．（2）“同位角相等，两直线平行”和“内错角相等，两直线平行”都是由一对同位角或内错角相等得出两直线平行这一结论，从而建立起“角度相等”与“两直线平行”之间的联系．（3）“同位角相等”和“内错角相等”指的是当同位角（内错角）相等时……，不要误以为同位角（内错角）都相等．

（4）“同旁内角互补，两直线平行”不要写成“同旁内角相等，两直线平行．

4．垂直于同一条直线的两直线互相平行

符号语言：(如图4-2)∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥CD．

精讲：（1）以后已知两条直线垂直于同一条直线，则立即可得出这两直线平行，不必再经过证明同位角相等；

（2）“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”必须强调在“同一平面内”，若不在同一平面内，则该结论不一定成立；

（3）在下列结论中：①a⊥b；②a⊥c；③b∥c．已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立，即如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c；如果a⊥c，b∥c，那么a⊥b．

四、平行线的性质

1．两直线平行，同位角相等．

符号语言：（如图4-1）∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．2．两直线平行，内错角相等．

符号语言：（如图4-1）∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）3．两直线平行，同旁内角互补．

符号语言：（如图4-1）∵AB∥CD（已知），∴∠2＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

精讲：平行线的判定与性质的区别与联系

一、怎么证明平行？――尽可能选择与已知条件有联系的角

判断两直线平行目前有6种方法，方法1是利用平行的定义，但利用平行的定义只能定性的判断，不能定量的判断；方法2是利用“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，这是讨论三条直线互相平行时用到的；方法3是利用同位角相等来证明两直线平行；方法4是利用“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”来证明的，使用时必然出现两个垂直；方法5是利用内错角相等来证明两直线平行的；方法6是利用同旁内角互补来证明两直线平行的．方法1、2、4的使用都有其局限性，因此证明两直线平行常用的方法是寻找角度之间的关系.

例1：如图4-3，已知∠ADE ＝60°，DF 平分∠ADE ，∠1＝30°，求证：DF ∥BE .

1 A D F

E B

图4-3

分析：要证明DF ∥BE ，所找的同位角或者内错角要尽可能与已知条件有联系，在本题中要证明DF ∥BE ，可通过证明∠1＝∠EDF 来实现，由于∠1＝30°，所以我们只需求出∠EDF ＝30°，而这个可通过DF 是∠ADE 的平分线来实现．

证明：∵DF 平分∠ADE ，∠ADE ＝60°（已知）

∴∠EDF ＝∠ADF ＝30°（角平分线的定义）， ∴∠EDF =∠1＝30°

∴DF ∥BE （内错角相等，两直线平行）

点评：要判定两直线平行我们可以通过证明同位角相等或内错角相等来实现，至于是选用同位角还是选用内错角，要看具体的题目，要尽可能和已知条件有尽可能多的联系.

变式练习1：如图4-4，∠ABC ＝∠ADC ，BF ，DE 分别是∠ABC ，∠ADC 的角平分线，∠1＝∠2，求证DC ∥AB ．

32

1

F

E D

C

B

A

图4-4

二、两头凑――几何证明的常用思路

分析法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件能推出什么结论，一直推导出