高中数学选修2-2课时作业11：2.1.1 合情推理

§2.1 合情推理与演绎推理

2．1.1 合情推理

一、选择题

1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )

A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”

B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”

C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋b

c (c ≠0)”

D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )

1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111

…

A ．1 111 110

B ．1 111 111

C ．1 111 112

D ．1 111 113

3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x )

D ．－g (x )

4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )

A ．6n －2

B ．8n －2

C ．6n ＋2

D ．8n ＋2

5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )

A ．a 1a 2a 3…a 9＝29

B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29

C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9

D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9

6．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝

2S

a ＋

b ＋c

，

类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

D.4V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

7．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1)

8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →

时，其离心率为5－12，此类

椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )

A.

5＋1

2

B.

5－1

2

C.5－1

D.5＋1

二、填空题

9．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________________________________________________________________________. 10．观察下列等式： 1－12＝12

， 1－12＋13－14＝13＋14

， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，

据此规律，第n 个等式可为____________________________________________________ ________________________________________________________________________. 11．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ＝n (a 1＋a n )

2，由此可类比得到各项均为正数的等比数

列{b n }的前n 项积T n ＝________(用n ，b 1，b n 表示)． 三、解答题

12．三角形与四面体有下列相似性质：

(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．

(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：

13．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有

1AD 2

＝1AB 2＋1

AC

2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由．

[答案]精析

1．C 2.B 3.D 4.C 5.D

6．C [设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为

V 四面体A －BCD ＝1

3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，

∴R ＝3V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

.]

7．B [依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对．这样前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对．注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)

2，因此第60

个整数对处于第11组的第5个位置，可得为(5,7)．故选B.]

8．A [根据“黄金椭圆”的性质是FB →⊥AB →

，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，

∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →

＝(－a ，b )，∴b 2－ac ＝0， ∴c 2－a 2＝ac .等号两边同除以a 2求得e ＝

5＋1

2

.故选A.] 9．若a ＋b ＝20，则a ＋b <210，a ，b ∈R ＋

10．1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋1

2n

[解析] 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－1

2n ；等式右边的特

征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋1

2n .

11．(b 1b n )n

2

[解析] 由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比数