高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)

高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）

第一章 复数与复变函数（1）

1.计算

)(1)2;

i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655

i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551

(3).;

(1)(2)(3)(13)(3)102

i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=

-112

2

())]

a bi =+=

1

12

22

4

sin )]()(cos

sin );22i a b i θ

θ

θθ=+=++

3.

设

1z

=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解：

121cos

sin

;(cos sin );4

4266z i z i π

π

ππ

=+=+

121155[cos()sin()](cos sin );

2464621212z z i i ππππππ

=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+

11.设1

2

3

,,z z z 三点适合条件1

2

3

0z z z ++=及123

1;z z z ===试证明123

,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。

证明：1

2

30;z

z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--

122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1

为半径的圆上的三点。

即1

2

3

z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

.

17.证明：三角形内角和等于π

。

证明：有复数的性质得：

321321

3arg

;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+

0;k ∴=;αβγπ∴++=

第一章 复数与复变函数（2）

7.试解方程()4

4

00z a a +=>。

解:由题意44

z a =-,所以有()4

10z a a ⎛⎫

=-> ⎪⎝⎭;

4

cos sin i z i e

a π

ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭;所以24(0,1,2,3)k i z e k a θπ

+==; 4

1i

z ae

π=;34

2

i

z

ae

π

=;54

3

i

z

ae

π=;74

4

i

z

ae

π=.

12．下列关系表示的z 点的轨迹的图形是什么？它是不

是区域？

1212(1).()z z z z z z -=-≠

解：此图形表示一条直线，它不是区域。

(2).4;z z ≤-

≤816;2;x x ≤≤此图形为≤x 2的区域。

1

(3).

1;1z z -<+

解：

2222

11(1)(1);z z x y x y -<+-+<++；22;0;x x x -<>此图形为x>0的区域。

(4).0arg(1)2Re()3;

4

z z π

<-<

≤≤且

解：此图形表示[2,3]区间辐角在[0,]

4π

的部分。

(5).1Im 0;z z ≥>且

解：1z ≥表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区

域。

12(6).Im ;y z y <≤

解：它表示虚部大于1

y 小于等于2

y 的一个带形区域。

(7).231;z z >->且

解：此图形表示两圆的外部。

131(8).;2222i i z z -

>->且

解：211()22y +->2x ，2231()22x y +->

，它表示两相切圆半径为12

的

外部区域。

(9).Im 12;z z ><且

解：此图形表示半径为2的圆的内部，且Im 1z >的部分，它是区域。

(10).20arg ;

4

z z π

<<<

且）

解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在4π⎡⎤⎢

⎥⎣⎦0,的

部分，它是区域。

第二章 解析函数（1）

4.若函数()f z 在区域D 上解析，并满足下列的条件，证明()f z 必为常数. ()()0f z z D '=∈ 证明：因为

()f z 在区域上解析，所以,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-

∂∂∂∂。

令()()(),,f z u x y iv x y =+，即

()0u v

f z i x y ∂∂'=

+=∂∂。

由复数相等的定义得：0u v x y ∂∂==∂∂，0

u v y x ∂∂=-=∂∂。

所以，()1

,u x y C =(常数) ，()2

,v x y C =(常数)，即()1

2f z C iC =+为常数。

5 .证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。 （1）(cos sin )(cos sin ).x

x

e x y y y ie y y x y -++

证明：设()()(),,f z u x y iv x y =+=(cos sin )(cos sin ).x

x

e x y y y ie y y x y -++

则(),(cos sin )x u x y e x y y y =-，(),(cos sin )x

v x y e y y x y =+

(cos sin )cos x x u e x y y y e y

x ∂=-+∂；cos sin cos x x x v e y y ye x ye y ∂=-+∂

(sin sin cos )x u e x y y y y y ∂=-++∂； (cos sin sin )

x v e y y x y y x ∂=++∂