平行四边形的判定定理

课题
§8．1．2 平行四边形(二)
教学目标
(一)教学知识点
1．推理论证能力的培养．
2．能够用综合法证明平行四边形的判定定理．
(二)能力训练要求
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．
2．能够用综合法证明平行四边形的判定定理．
3．体会在证明过程中所运用的类比、转化、归纳等数学思想方法．
(三)情感与价值观要求
1．通过猜想、证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
2．体会在解决问题的过程中，如何与他人合作交流．
教学重点
平行四边形的判定定理．
教学难点
探索、寻找判定定理．
教学方法
探索、归纳法．
教学过程
I．探索、寻找平行四边形的判定定理
Ⅱ．解决问题：
[师]上节课我们研究了平行四边形的性质定理．下面我们来做一练习以复习上节课的知识．
如上图；
(1)若四边形ABCD是平行四边形，则∠A＝，∠B ；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则AB= ，BC＝；
(3)若四边形ABCD是平行四边形，则AB CD；
(4)若平行ABCD的对角线AC、BD交于点O，则OA＝，OB= .
[生]若四边形ABCD是平行四边形，则∠A＝∠C，∠B＝∠D；AB＝CD，BC＝AD；AB CD；OA＝OC，OB＝OD；
[师]任何一个命题都有逆命题，那大家来想一想：对于上述四个性质，你想到了什么? [生甲]若∠A＝∠C，∠B＝∠D，则四边形ABCD是平行四边形．
[生乙]若AB＝CD，BC＝AD，则四边形ABCD是平行四边形．
[生丙]若AB CD，则四边形ABCD是平行四边形．
[生丁]若四边形的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形．
[师]由此我们得出平行四边形可能的判别条件，这些判别条件成立吗?
这节课我们就来研究平行四边形的判定定理．
[师]刚才我们得出四个猜想，它们对不对呢?能不能用它们来判定平行四边形呢?如果能判定，你能证明吗?如果不能判定，那请你举出反例．下面我们分组来讨论．
[生甲]因为任意一个四边形都可以由一条对角线把它分成两个三角形，而一个三角形的内角和为180°，所以由此可知，四边形的内角和为360°．即∠A+∠B+∠C+∠D＝360°．因为∠A=∠C，∠B＝∠D，所以就可得∠A+∠B＝180°，∠B+∠C＝180°．利用平行线的判定定理可知：AD//BC，AB//CD．再利用平行四边形的定义可以得到：四边形ABCD是平行四边形．
[生乙]因为研究平行四边形的主要辅助线是对角线，所以我连结AC．因为AB＝CD，BC=AD，所以根据全等三角形的判定定理：“三边对应相等的两个三角形全等”得△ABC≌△CDA，因为全等三角形的对应角相等，所以∠DAC＝∠ACB，∠BAC＝∠ACD．利用平行线的判定定理可以得到：AB//CD，BC//AD．根据平行四边形的定义得到：四边形ABCD是平行四边形．
[生丙]证明第3个命题时，我同样连接了对角线．如下图，连结AC，因为AB//CD，所以∠1＝∠2，又因为AB＝CD，CA＝AC，所以△ABC≌△CDA，所以∠3＝∠4，所以得AD//BC，因此，四边形ABCD是平行四边形．
[生丁]老师，我们已经证明了第2个命题是正确的命题，就可以把它作为定理直接应用，所以，我们组在证明第3个命题时，也证明三角形全等，只是最后利用了：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来证明四边形ABCD是平行四边形，即△ABC≌△CDA．∴BC＝DA．
∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
[生戊]对于第4个命题我们也通过证三角形全等，得证了四边形ABCD是平行四边形．即
如图，∵OA＝OC，∠1＝∠2，OB＝OD，
∴△AOB≌△COD，
∴AB＝CD．
同理可以证明：BC＝AD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
[师]很好，通过同学们的讨论、证明、说明平行四边形的性质定理的逆命题都是正确的．这时我们把它们叫做平行四边形的判定定理．
定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
[师]刚才我们通过口述证明了以上四个命题是正确的，大多数同学是应用了平行四边形的定义来证明的；也有少部分同学先用平行四边形的定义证明一个命题是正确的，然后利用它来证明其他命题，这很好，这也就开阔了你的思路．下面大家来书写一下证明过程．……
[师]同学们来交流一下你的证明思路．
(也可以把学生的证明过程用幻灯片来演示，一来发现错误，以及时纠正；二来开阔同学们的思路)
[师]我们有了这四个定理后，在做题时要根据题目条件从中灵活选用方法来解题．下面我们来做一做．
证明：如图中的四边形MNOP是平行四边形．
[生甲]从图中可知，△MON是直角三角形，而每边长又用数或代数式表示．要证四边形MNOP是平行四边形，需要知道这个四边形的四条边长，由此想到在Rt△MON中利用勾股定理列出方程，即可求出边长，结论自然就明白了．
[生乙]顺着甲同学的思路，解答如下：
解：在Rt△MON中，OM2+ON2＝MN2．
即42+(x-5)2＝(x-3)2．
整理，得 4x＝32，
解得 x=8．
从而可得：ON=3，MN＝5，PM＝3．
所以MN＝PO，PM＝ON．
因此，四边形MNOP是平行四边形．
[师]很好，这是一个综合运用勾股定理、方程、平行四边形的判定定理进行推理的问题，由此我们也看到了代数与几何的联系，同学们能想到用代数的方法来解决几何问题，我很高兴，为你们感到自豪．
接下来，我们通过做练习进一步巩固平行四边形的判定定理．
例2．如下图，已知在平行四边形 ABCD中，BF＝DE．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：在 ABCD中，AB＝CD,AB//CD．
∵BF＝DE，
∴AF＝CE．
∴四边形AFCE是平行四边形．
(也可以证：AE＝CF，CE＝AF；或证：AE//CF；或证明对角相等)
Ⅲ．课堂练习
然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要探讨并证明了平行四边形的判定定理、课本以“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”和“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这两个定理为主，以其他两个为辅，但我们都要掌握，并且在解题过程中应灵活应用．
Ⅴ．课后作业
，大多数同学是应用了平行四边形的定义来证明的；也有少部分同学先用平行四边形的定义证明一个命题是正确的，然后利用它来证明其他命题，这很好，这也就开阔了你的思路．下面大家来书写一下证明过程．
……
[师]同学们来交流一下你的证明思路．
(也可以把学生的证明过程用幻灯片来演示，一来发现错误，以及时纠正；二来开阔同学们的思路)
[师]我们有了这四个定理后，在做题时要根据题目条件从中灵活选用方法来解题．下面我们来做一做．
证明：如图中的四边形MNOP是平行四边形．
[生甲]从图中可知，△MON是直角三角形，而每边长又用数或代数式表示．要证四边形MNOP是平行四边形，需要知道这个四边形的四条边长，由此想到在Rt△MON中利用勾股定理列出方程，即可求出边长，结论自然就明白了．
[生乙]顺着甲同学的思路，解答如下：
解：在Rt△MON中，OM2+ON2＝MN2．
即42+(x-5)2＝(x-3)2．
整理，得 4x＝32，
解得 x=8．
从而可得：ON=3，MN＝5，PM＝3．
所以MN＝PO，PM＝ON．
因此，四边形MNOP是平行四边形．
[师]很好，这是一个综合运用勾股定理、方程、平行四边形的判定定理进行推理的问题，由此我们也看到了代数与几何的联系，同学们能想到用代数的方法来解决几何问题，我很高兴，为你们感到自豪．
接下来，我们通过做练习进一步巩固平行四边形的判定定理．
例2．如下图，已知在平行四边形 ABCD中，BF＝DE．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：在 ABCD中，AB＝CD,AB//CD．
∵BF＝DE，
∴AF＝CE．
∴四边形AFCE是平行四边形．
(也可以证：AE＝CF，CE＝AF；或证：AE//CF；
或证明对角相等)
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P
78
(二)看课本P
～然后小结．
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Ⅳ．课时小结
本节课我们主要探讨并证明了平行四边形的判定定理、课本以“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”和“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这两个定理为主，以其他两个为辅，但我们都要掌握，并且在解题过程中应灵活应用．
Ⅴ．课后作业
(一)课本P
87。