《微积分》中国商业出版社_课后习题答案详解二
《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习2题答案九
令 y = u. y = ux. y' = u + u'.x
x ⇒ u + u' x = u + 1 + u2
4
经计算可得 1 + 4cy − c2x2 = 0 4．求列下微分方程初值问题的特解：
（1） dx + 4dy = 0 , y(4) = 2 ; yx
4
+
6
y
⎞ ⎟
⎝ x⎠
令 y x = u, y = ux, y' = u' x + u
dy = u' x + u = 3 + 5u
dx
− 4 − 6u
3 + 5u + 4u + 6u2 1
⇒ u'=
⋅
− 4 − 6u
x
6u2 + 9u + 3 1
=
⋅
− 6u − 4 x
求出 u 与 x 的方程,再将 u = y x 代入
⇒ arcsin y = ln( x + x2 + 1) + c
4． (x + 2 y)dx + (2x − 3y)dy = 0
∵ ∂p ∂y
=2=
∂Q ∂x
取x 0
= 0, y0
=0
(x , y)
则
u( x,
y)
=
∫
(0
,
(x 0)
+
2 y )dx
+
(2x
−
3 y)dy
= 1 x2 + 4x − 3 y2 = c
《微积分》(中国商业出版社_经管类)课后习2题答案九
则 u ( x, y ) =
∫ (0 , 0) ( x + 2 y )dx + (2 x − 3 y)dy
( x , y)
1 2 3 x + 4x − y 2 = c 2 2 1 3 ∴ : x 2 + 4 xy − y 2 = c 2 2 y 3+5 3x + 5 y dy x 5． = =− y 4 x + 6 y dx 4+6 x y dy du 令 = ux.则 =u+x x dx dx = ⇒− 3 + 5u + 4u + 6u 2 du 3 2 + 3u =x ⇒ − (ln x + c) = 2 du 4 + 6u dx 2 2u + 3u + 1
2⎞ 1 解： y' +⎛ ⎜− ⎟y = 1+ ⎝ 3⎠
2y +1 ，且曲线 L 过点（1，0）.试求曲线 L 的方 x
x
令
dy ⎛ 2 ⎞ + ⎜ − ⎟ y = 0 则 ln y = −2 ln x + c dx ⎝ 3 ⎠ c x2
则y=
则设通解为 y =
c( x ) x2
1 ⎡ ⎤ 1⎞ 2 1 ⎛ y (x ) = x 2 ⎢ ⎜1 + ⎟e x dx + c ⎥ = 3 x 2 − 2 x − 1 ⎢ ⎝ ⎥ 2 x⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎝
⎠
(4) (x + 2 y )dx + (2 x − 3 y )dy = 0
̇ ⋅ y +1 2 dy 2y + x x = = dx 3 y − 2 x 3 ⋅ y − 2 x
微积分II课程5.5习题答案详解
练习5.51.(A).解 由于1)(),(lim 222)0,0(),(=+-→y x xyy x f y x ，所以当)0,0(),(→y x 时，222)(~),(y x xy y x f +-，即))(()(),(222222y x o y x xy y x f ++++=，所以在)0,0(的邻域内，当y x ,同号时，0),(>y x f ，当y x ,异号时，0),(<y x f ，所以点)0,0(不是),(y x f 的极值点.2.解 设2069),(22+-++-=y x y xy x y x f 92),('+-=y x y x f x ,62),('--=x y y x f y ,2),(''=y x f xx ,1),(''-=y x f xy ,2),(''=y x f yy .解方程⎩⎨⎧=--=+-062,092x y y x 得驻点)1,4(-,.关于驻点)1,4(-,有2)1,4(''=-xx f ,1)1,4(''-=-xy f ,2)1,4(''=-yy f ,所以20AC B ->，20A =>因此,),(y x f 在点)1,4(-取得极小值，1|)1,4(-=-Z .3.解 设2252212060),(y xy x y x y x f ---+=作拉格朗日函数 )15(52212060),,(22-++---+=y x y xy x y x y x F λλ,求F 的各一阶导数,并令其等于零得'''604201202100150x y F x y F x y F x y λλλ⎧=--+=⎪=--+=⎨⎪=+-=⎩解之得9,6,18==-=y x λ，因为其开口向下，所以其有极大值为855|)9,6(=Z4.解212144423p p Q Q C -+=+=4445147)444()5210()28(21222211212122112211-+-+-=-+--+++-=-+=p p p p p p p p p p p p p p C Q p Q p π设4445147),(2122221121-+-+-=p p p p p p p p f2121'427),(1p p p p f p +-=,1221'41014),(2p p p p f p +-=,.解方程⎩⎨⎧=+-=+-041014,04271221p p p p 得驻点)14,263(,.因为只有唯一的一个驻点,且实际问题的最大值是存在的，故驻点)14,263(也是函数的最大值点. 所以价格2631=P , 142=P 时可使利润最大. 5．解 由(,)(1)sin 0(,)cos (1)0y x y y y f x y e x f x y e x y e ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 解得,cos 1x k y k ππ==-,所以驻点为(,cos 1),0,1,2,k k k ππ-=±± 由 (1)cos ,sin ,cos (2)y y y y xx xy yy f e x f e x f e x y e =-+=-=-+，可知在驻点(,cos 1)k k ππ-处，令xy xy yy xx f f f f H -=，cos (1)y y H k e e π=+，所以当k 为基数时0H <，(,cos 1)k k ππ-不是极值点，当k 为偶数时，0H >，再 由0xx f <，可知(,cos 1)k k ππ-是极大值点.所以函数有无穷多个极大值点，但无极小值点.6．解 I. 先求函数z(x,y)在区域D 内部，2221x y +<的可疑点，令''0x y f f ==得480220x y -=⎧⎨-=⎩解得x=2,y=1,而点(2,1)不在区域D 内部，从而z(x,y)没有极值点，最大值，最小值只能在区域D 的边界2221x y +=上达到.II. 再求z(x,y)在边界上的极值，为此，作拉格朗日函数 2222(,,)2829(21)L x y x y x y x y λλ=+--+++-令'''0x y L L L λ===，得2222334840112220,33210x x x x y y y y x y λλλλ⎧⎧==-⎪⎪⎧-+=⎪⎪⎪⎪⎪-+===-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-=⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩解得或=2=-4 所以z(x,y)在2221x y +=上的最大值为16，最小值为4，故z(x,y)在 D: 2221x y +≤上的最大值16和最小值4。
微积分第二版课后习题答案
微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。
16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。
20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。
微积分第二章习题参考答案
f ( x ) f ( x ), f ( x ) f ( x ),
即f ( x )为奇函数;
§2.3隐函数的导数(23-24)
一.1. ey sec 2 ( r ) ; 2. csc 2 ( r ) ; 2 2 y 1 sec ( r )
x 0
1 2 x
1.
二.解1.(1).
y ln( x 1 x 2 ) ln x ,
1 x
1 y (1 ) x x 1 x2 1 x2 1 . x 2 1 x 2 x(1 x 2 )
(2) 1 y 3sec (ln x ) sec(ln x )tan(ln x ) x 3 sec 3 (ln x )tan(ln x ). x
x 1 dy k 2e ,当 0时, , dx 0 y0
切线方程为 y 2e( x 1), 1 法线方程为 y ( x 1). 2e
四.
解 : s ( t ) x ( t ) 9,
2 2
ds dx s( t ) x ( t ) 0, dt dt ds 已知 160, s 5, x 4, dt dx 200, v 200 120 80. dt
(sin 2 x ) f (cos 2 x )]sin 2 x . [f 1 (3) y f ( x ); 2 1 f ( x)
(4) y f (sin x )cos x cos[ f ( x )] f ( x ).
4.解.(一) lim f ( x ) lim
1 1 2( 1)2 2( 1)2 y , y 2 2 , 3 3 ( t 2) ( t 1) ( t 2) ( t 1)
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分B2练习2+答案
练 习 卷一、选择题1、微分方程(ln )0y y dx xdy -+=的类型是( )．A ．可分离变量方程B ．一阶线性齐次方程C ．一阶线性非齐次方程D ．齐次方程 2、方程222240x y z -+=表示的曲面是（ ）． A ．单叶双曲面B ．双叶双曲面C ．椭圆抛物面D ．锥面3、函数z =sin(x 2+y )在点(0,0)处（ ）．A ．无定义B ．无极限C ．有极限，但不连续D ．连续 4、函数2222z x y x y =+-在点(1,1)处的全微分 (1,1)dz 等于（ ）． A . 0 B . dx dy + C . 22dx dy + D . 22dx dy - 5、更换积分次序12201(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰等于（ ）． A ．120(,)yy dy f x y dx -⎰⎰B ．220(,)yydy f x y dx -⎰⎰C ．12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰D ．1201(,)ydy f x y dx -⎰⎰6、设曲线L为下半圆y =22()Lx y ds +⎰＝（ ）．A ．0B ．2πC ．π-D ．π 二、填空题1、在xOy 面内过原点，且与直线215321x y z -+-==-垂直的直线方程为 ． 2、设函数(,,)()z u x y z xy =，则点(1,2,1)处的u u u xyz∂∂∂++=∂∂∂ ． 3、曲面163222=++z y x 在点)3,2,1(--处的切平面方程是 ． 4、22222(,arctan )x y xyf x y dxdy x+≤+⎰⎰化为极坐标下的二次积分为 ．5、设f 可微，L 是光滑有向闭曲线取正向，则22()()Lf x y xdx ydy ++=⎰ ．6、判别级数∑∞=⋅1!2n nnnn 的敛散性 ．三、解答题1、求微分方程2(23)0y dx xy dy -+=的通解．2、设方程2223x y z xyz ++=确定了隐函数(,)z z x y =，求,z z x y∂∂∂∂．3、求函数22(,)(2)=++x f x y e x y y 的极值．4、求二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 由曲线2y x =与直线y x =所围成．5、求曲线积分43224(4)(65)Lx xy dx x y y dy ++-⎰，其中L 为35(1)sin12x ye e π-+-=上由点(2,1)A --至点(3,0)B 的一段弧．6、验证2sin 2sin33cos3cos 2x ydx y xdy -在整个xOy 平面内是某一函数u (x , y )的全微分，并求这样的一个函数u (x , y )．7、求幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛域．8、设函数f (t )在[0,)+∞上连续，且满足方程：222299()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰，又f (0)=1，求f (t )．、选择题：1、A ；2、D ；3、D ；4、A ；5、A ；6、D ． 、填空题：1、230x y z==； 2、32ln 2+； 3、323160+-+=x y z ；4、2cos 2202(,)d f r rdr πθπθθ-⎰⎰； 5、0； 6、收敛 ．、解答题：1、解：将方程化为223dx x dy y y-=，方程是一阶非齐次线性微分方程， 其中223(),()P y x Q y y y=-=，根据其通解公式有： 2223()dydy yy x ee dy C y---⎰⎰=+⎰2ln 2ln 23()y y e e dy C y -=+⎰=243()y dy C y =+⎰231()y C y=-+1Cy y =-． 2、解：两边分别对x , y 求偏导数， 由2233z z x zyz xy x x ∂∂+=+∂∂，得3223z yz xx z xy∂-=∂-， 由2233z z y zxz xy y y ∂∂+=+∂∂，得3223z xz y y z xy∂-=∂-． 3、解：由方程组得222(2241)0(22)0x x xyf e x y y f e y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩得驻点1(,1)2-，又由1(,1)202xx f e -=>，1(,1)0,2xy f -=1(,1)22yy f e -=，所以2240xx yy xy f f f e ⋅-=>，由判断极值的充分条件知，在点1(,1)2-处函数取得极小值，1(,1)22ef -=-．4、解：用区域D 的草图，边界2,y x y x ==与的交点(0,0),(1,1), 由2{(,)|,01}D x y x y x x =≤≤≤≤，22111222222400011[]()22xx x x Dx ydxdy x dx ydy x dx y x x x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰146571001111121()[]225723535x x dx x x =-=-=⋅=⎰． 5、解：432244,65,P x xy Q x y y =+=-212,P Qxy y x∂∂==∂∂ 曲线积分与路径无关，选取A(-2,-1)到C(3,-1)到B(3,0)，43224(4)(65)Lx xy dx x y y dy ++-⎰342421(4)(545)x x dx y y dy --=-+-⎰⎰52335021154[2][]6253x x y y --=-+-=． 6、解：在整个xOy 平面内，2sin 2sin3,3cos3cos 2,P x y Q y x ==-具有一阶连续偏导数，且6sin 2cos3,Q Px y x y∂∂==∂∂ 故所给表达式为某一函数u (x , y )的全微分，取(x 0,y 0)=(0,0)，则有(,)(0,0)(,)2sin 2sin33cos3cos20(3cos3cos2)x y xyu x y x ydx y xdy dx y x dy =-=+-⎰⎰⎰0[s i n 3c o s 2]c o s 2si n 3yy x x y =-=-． 7、解：令t =x -1, 级数变为∑∞=12n n n nt ．21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2．当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n, 收敛．因此级数∑∞=12n nnnt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3)．8、解：222339900011()()2()33t t t t f t e d f d e f d πππθρρρπρρρ=+=+⎰⎰⎰，2299()1823()31818()t t f t te f t t te tf t ππππππ'=+⋅⋅=+， 即 29()18()18t f t tf t te πππ'-=为一阶线性非齐次微分方程，222218189999()[18][18]tdttdtt t t t f t e te e dt C e te e dt C ππππππππ--⎰⎰=⋅+=⋅+⎰⎰22992[18](9)t t e tdt C e t C ππππ=+=+⎰，而由f (0)=1，得C =1，所以292()(91)t f t e t ππ=+．。
微积分课后题答案第二章习题详解
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：
(1) f(x)= ；(2) f(x)＝；
(3) f(x)= ；(4) f(x)= ；
(5) f(x)= .
解: (1)由得x=-1, x=-2
证:
,由极限的保号性知.
,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.
（7）正确，见教材§2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)= ,x→2;(2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；
(3) f(x)= ,x→0+，x→0-；(4) f(x)= -arctanx,x→+∞;
也即，所以当时，.
再证必要性：
若当时，，则，
所以＝＝.
综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是
＝０.
2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.
证：
即.
3. 证明： 若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.
解: ∵f(0)=a,
要f(x)在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.
微积分II课后答案详解
2 4 4 4 = + + = )1,1,1( | z u + y u + x u ∴ 3 3 2 1
3
z + y + x +1 = zu z3
2 2
3
z + y + x +1 = yu y2
2
3
z + y + x +1 = x u �解 1
2
z
u + y u + x u求处� � 1 � 11 �点在 ,) 3 z + 2 y + x + 1(nl = u 设�3
z2
) yx (nl y 2 yx 2 y∂ = x. . 2 ]) yx (nl[ = 1 1 1− 1 z∂ ) yx (nl x 2 yx 2 x∂ = y . . 2 ]) yx (nl[ = �解 1 1 1− 1 z∂ y∂ x∂ , 求 , ) yx (nl = z ② z∂ z∂
2
yx 3 − 3 x =
�y + x � )y + x ( 2 )y + x ( y + x � x∂ y∂ y∂x∂ 2 � y∂ + + = = + = y x = ) ( n l ) ( y x−0 z∂ ∂ z2 ∂ 1 � x � ∂
)y + x ( 2 )y + x ( y + x x∂ y +x x∂ x∂ x∂ 2 = + =) + ) y + x (nl( = ) ( = 2 y2 + x x−y +x x ∂ z∂ ∂ z2 ∂ 1 y +x x∂ .x + ) y + x (nl = �解 z∂ 1 y∂x∂ 2 x∂ 求 ,) y + x (nl x = z ③ , ∂ z2 ∂
微积分第二版习题答案
微积分第二版习题答案
微积分第二版习题答案：探索数学世界的奥秘
微积分是数学中的一门重要学科，它的应用范围非常广泛，涉及到物理、工程、经济学等多个领域。
微积分的基本概念包括极限、导数、积分等，这些概念在
解决实际问题时起着至关重要的作用。
在微积分第二版习题答案中，我们可以看到许多有趣的问题和解答。
这些问题
涉及到函数的极限、导数和积分的计算，以及它们在实际问题中的应用。
通过
解答这些问题，我们可以更好地理解微积分的概念和原理，从而更好地应用微
积分解决实际问题。
微积分的应用非常广泛，比如在物理学中，微积分可以用来描述物体的运动和
变化；在工程学中，微积分可以用来解决各种设计和优化问题；在经济学中，
微积分可以用来分析市场和预测趋势。
因此，学好微积分对于我们理解和应用
数学知识是非常重要的。
通过学习微积分，我们可以更好地理解数学世界的奥秘，探索数学中的规律和
原理。
微积分第二版习题答案为我们提供了一个很好的学习工具，通过解答其
中的问题，我们可以更好地掌握微积分的知识和技巧。
总之，微积分是一门非常重要的学科，它的应用范围非常广泛。
通过学习微积分，我们可以更好地理解数学世界的奥秘，探索数学中的规律和原理。
希望大
家能够认真学习微积分，掌握其中的知识和技巧，为将来的学习和应用打下坚
实的基础。
微积分II课后答案详解
2�计算下列各式的近似值�分析运用公式
f (x0 + ∆x1 y0 + ∆y) ≈ f (x0, y0 ) + f x′ ∆x + f ′y∆y � �1� (10.1)2.03 解�令 f (x, y) = x y , x0 = 10, ∆x = 0.1, y0 = 2, ∆y = 0.03
(10.1)2.03 = f (x0 + ∆x1 y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + f x′ ∆x + f ′y∆y = 102 + yx y−1 (10,2) ⋅ 0.1 + x y ln x (10,2) ⋅ 0.01 = 100 + 2 + 3ln10 ≈ 108.9
f (x, y) = x − kx = 1 − k ≠ 1(k ≠ 0) x + kx 1 + k
综合①②可知函数极限不存在。
练习 5.2
1.求下列函数的偏导数
① z = x3 y − xy3,求 ∂z , ∂z
∂x ∂y
解� ∂z = 3x 2 y − y 3 , ∂z = x3 − 3xy 2
x+ y
x→0
分析�由二元函数极限定义�我们只须找到沿不同路径 p → p0(0,0) 时�所得极限值不同即可。
证明� ① p(x, y) x ( x ≠ 0, y = 0)
f (x, y) = f (x,0) = 1, lim f (x, y) = 1 x →0 y→0
p0 (0, 0)
②当 p(x, y)沿直线y = kx(x ≠ 0)趋于�0�0�时�
练习 5.1
1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状?
微积分2习题答案
微积分2习题答案⼀、填空题 1.2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门⼆6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X7Tlim (arcsin(vx 2+x ⼀ x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t3. lim 1 ⼀ — .V —4. x )设lim ⼀ "" ⼀ * + 4= A ,则有"=5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d -----X X ? 3.1L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3*函数v = ⼀上］⼀的间断点是(x-l)(x + 2)为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3设函数y = ^-x )xK则 lim f (x)=X->X%⼯°在兀=0处连续，则参数K =x = 0 x + ae x +\⼆、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“=x>0④<03. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2③ €+1: ④』+ly =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2)①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T④ co ⼚i)u(_l,+oo)函数『⼆⼆2X-l .Y+1 ①2个②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与⽆穷⼩量x 相⽐是髙阶⽆穷⼩咼的是. 价⽆穷⼩量的是 ______________ ① l-cosxx + X 25. ④4个以上④ sin 2x__ ■⽦有①，②=24.7. 8. 9. 当x->0-时，sin 仮与Ixl 相⽐是_ ①髙阶⽆穷⼩咼③同阶但不等价的⽆穷⼩量当XT O 时，l —cos2x 与/相⽐是①髙阶⽆穷⼩量③低阶⽆穷⼩量(sin 3x 设 f(x) = ] x x = 0 ②⼀3 ②低阶⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量②同阶但不等价的⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量为连续函数，则k = ①1 10?函数/(x)在点勺处有⽴义是f(x)当x ->⼼时极限存在的. ①充分但⾮必要条件③充分必要条件 11?当JVT 0时，① x + sinx12.当XT0时， ?x + sin — x 13?当XT 8时，①x + sin 丄 x ②必要但⾮充分条件④既⾮充分⼜⾮必要条件下列函数中⽐x 髙阶的⽆穷⼩量是 ________ ② x-siiix ③ ln(l + x)下列函数中为⽆穷⼩量的是 ________②x ?sin 丄③丄+ sinx X X 下列函数中为⽆穷⼩量的是 _____ _ ② x-sin — ③—+ sinxX X14. 15. 16. ②④ hi(l-x)②④—?sin x x ③④—-siiix x 设在某个极限过程中函数/(X )与g(x)均是⽆穷⼤量，则下列函数中哪⼀个也必是⽆穷⼤量___________ ③④爲设/(x (J = c lim f(x) = b t lim f(x) = c ,则函数/(x)在点⼈)处连续的充分必要 .v —>.rj XfY ：① /(Q+g(x) ② /(x)-g(x) ③/(Q ?g ⑴②a = c v 2 -1 4------ C E X-l 0 ④a=b=c②跳跃间断点①连续点三、求下列极限 lim (Jx 2 +1 - x) = lim ________ ⼀⼀⼛？ + 1lim (Jx 2 +1 - x) = +xlini (J+ 2x + 2 - J③可去间断点④⽆穷间断点1.2. 3. =lim ，( ?— = = lim ⼀ y/x 2+2x + 2 + J ，—2x + 2 —1 lim arctanx-arcsin — =0 x)L r (x + l)2 +(2x + l)2 +(3x + l)2 + …+ (10x + l)2 z 7、 5. lim -- ----------- ------------- ---------------------------- -- (=—) — (10x-l)(lLv-l) 2 n n 、tr +n ［解］记⽿=G+t+…+⽃ ir +1 ir +2 n +ne .. n n n n n n 因为——+ —— + …+ —n +n ir +n n +n n ir即—< x /2 < 1,由于lim — = 1,所以由夹逼定理，得lim 兀=1 n +1〃―30n +1“a7?设辄⼚2叽求〃由于极限存在，故a = {3 — \°—=2006p = —, a : P 2006四、分析题1 .讨论极限lim " "［解］因为lim 1!巴丄1 = 1, Um ⼔巴⼝ = ⼀1,故原极限不存在。
微积分II课程微积分2答案
I 10.令 x = asect第四章 不定积分答案2 24. I = sin x sinxdx = - 1-cosxdcosx 、填空题 2.F x |亠 C 3.1 二-cosx — \ 3 1 31 3 cos x J ■ C cos x-cosx C3 3x C 5.4. -C In 2 」x 335.一丄Cxxe (e x ) +1dx 二一de _2 二 arctang XC ’1+(e x ) 6. 6e x C 7.-3sin x C I 二 t 2—1 t 2tdt =2 t 4 -t 2 dt8. 3x x arcta n x C 39.x r 2 C1-In 3x + 2x +C 2 1 2 10. In 2x C 2 -cos2x C 12. le 7x C7114. 丄 In 1+2x+C 2 13. 7. 令 t = 6x11.15.1—2x C 1 316. 「cosx cos x C 3 8. 17. e" 1 x C 18. 6"dt t 123t 2—6t +6ln t +1 +C1 13x^ -6x® +6 In x令 x= si nt3I =1 - sin 2t 2costdt - I i cost dt二、 单项选择题 1 . C 2 . A 3 . D 4 7 . D 8 . D 9 . 12.B 三、 计算题 1 .A10.A.B11.Bx二 sec 2 tdt 二 tant CCTT79 .令 x =ta ntseC tdt (1+tan 2t j2 .■sec 4-dt二 costdt sec t2 -.2 -x 2d 2 -x2 -x 2 C2. 1 x 2 = l n 1 x 2 C-exd ;1 111 cos2t dt t —sin2t C2 2 4 11 1x t sintcost C arctanx 2 C 2 2 21 x 23.1-e" C.a2 sect -1 asectantdt =a tarn tdtasec=a lise^t -1 dt =a tant -t Cf'-2—2 、x -a aarccos a x4C=Jx2 217. a-a -aarccos Cx2x 2 _xI = - x de = x e_ 2xe*dx-x2e» -2 xde^-x2e» -2xe" 2 e^dx_x2 _2x_2 e」C11. I =dx2、厂1_ 1 sect tant3 ta nt22令x^sect secttantdt 18.=1J322Jsec t -1dt^1sectdt31=Tn sect +tant 3 C = 】ln33x站4219.12.1 d 3x-1 _J(3X-12+6 3=]| n j9x2-6x+7+3x-1+C13. 2 2I =xln 1 X - xdln 1 x2 =xln 1 x2 =xln 1 x -x^dx；_2x 2arctanx C20.14.xde x = xe x - e x dx =xe x-e x C15.I = x arccosx - xd arccosxx arccosx dx1-x21「1 ,2 .= xarccosx-—J ；2d(1-x )21.16.x arccosx - 1 - x2 CI = lnxdl 」一hx ^dx — Sx」C x x x x x4 4二(ln x)2d£4(ln x)2-4 41 3x ln xdx = — (ln x)21 4| 1x ln x8 81 4 1 4--x ln x x C8 324x 2(ln x)44=—(ln x)24x4 (ln x)4=sin xde xx41(2ln x)—dx44 x4、4 1 .x dxx=e x sin x - e x cosxdx=e x sin x - cosxde xX ・x x .=e sin x -e cosx e dcosx= e x(sin x-cosx) - ' e x sin xdxe x sin xdx = - e x(sin x -cosx) C2I = sec x secxdx = secxd tan x=secxtanx- 'tanx tanx secxdx=secxtanx- '(sec x-1)secxdx=secxtan x- sef xdx亠i secxdx3=secxtanx- Jsec xdx + In secx +31[sec xdx = —(secxtanx + ln secx +2x-8 ln xdx4tanxtanx C令t=, xI二.eStdt = 2 tdd =2td -2 ddt= 2td -2& C =2 =e x-2e x C22. l=Jlnlnxdlnx =（lnlnx）nx —J Inxd（lnlnx） 21.=lnlnx lnx- lnx —-dxlnx x =lnlnx lnx-lnx C 23.24.F b —F a1e --e22.5ln623.d cos2x = 4 xcos2x sin2xC4 825.1 26. JI227. e-2 28.4 29. 2,3-2arctan f 3 - arctan f 124. l = ln xd3 1 3x lnx x ——■C3 9第五章定积分及其应用答案32.5633.e 34. _135.<36. 1 37. 38. 12 2 3兀 139. 一2 _2二单项选择题30.0 31.0、填空题[f （x pxb a4.2.03.5.负6.正7. l1>l28. 1. A 2 . D 3 . B 4 . C 5 . A 6 . C7. C 8 . B9 . A 10.C 11.C 12.D 13.C 14.C 15.B 16.C17.A 18.B 19.B 20.A 21.B22.C 23.B 24.A 25.C 26.A三、证明题1冃2 9. l1>l2 证：令u=a， b-a,则10.- 11. 12. baf x dx du 二b-a dx,所以13. 2xe x14. sin xb - a ] I f || a b - a x dx =1 1f u du = 0 f x dx-x sin3fi x 16.10,1 2x1 cos2 x215.2.证：令u)]17.1 18.fx3f （x2=x2,则du = 2xdx ,所以1 a2.d^=- 0 uf udu=? 0 1 a220xf x dx19. f 12f0=03 20. 3.证：令u -二-x,则du - -dx,则IT- -2：xf sinxdx 二：】灵-u f sin u du 二負「x f sinx dx 23x2sin 1 x3 31 u 2所以 o xf sinx dx 二 o 2xf sinx dx - xf sin0 0 5fnxdx 飞2x -3-2x x-1x-2 e ， x 二 = 二 02xf sinx ck 02 二-x f sinxck v 02得fin^dx 一1：： 0, f 2 二 e* 0, e JI 4.证：x 4令，有。
微积分二第六章课外练习题参考答案
《微积分二》第六章课外综合练习题（一）参考答案单项选择题：1．设2()()2x xF x f t dt x =-⎰，其中()f x 是连续函数，则2lim ()x F x →=（ C ）。
A .0B .(2)fC .2(2)fD .不存在提示：22222()()()lim ()limlim21xxx x x x f t dtf t dt xf x F x x →→→+==-⎰⎰22()2(2)2(2)f t dt f f =+=⎰。
2．设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，则10()f x dx ⎰=（ B ）。
A.2π B. 3π C. π D. 4π提示：111320001()[()]1f x dx x f x dx dx x =++⎰⎰⎰111320001()1dx f x dx x dx x=+⋅+⎰⎰⎰ =11001arctan ()4x f x dx +⎰101()44f x dx π=+⎰所以10()3f x dx π=⎰3．设()(),()xaf x f t dt '⎰为连续函数则 为（ C ）。
A ．)(t fB ．)()(a f t f -C ．)(x fD ．)()(a f x f - 提示：利用积分上限的函数的性质。
4．设)(x f 为连续函数，则()()b baaf x dx f a b x dx -+-⎰⎰等于（ A ）A ．0B ．1C ．b a +D ．()b af x dx ⎰提示：()()()()t a b xba b babaaf a b x dx f t dt f t dt f x dx =+-+-=-==⎰⎰⎰⎰。
5．下列定积分中，其值为零的是（ D ）A ．22sin x xdx -⎰ B ．2cos x xdx ⎰ C ．22()x e x dx -+⎰ D ．22(sin )x x dx -+⎰提示：因为sin x x +是奇函数。
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案六
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案习 题 六 （A ）1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性 （1）0d cos 20=⎰x x π（2）x xx x d )1(2d )1(22222+=+⎰⎰-（3）0d 311=⎰-x x （3）x x dx x d 42111⎰⎰==解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确． （2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在) 2 , 2(-范围内对称，所以是正确的．（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确． （4）原式dx x ⎰-=112等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在1) , 1(-范围内关于轴对称，所以等式两边相等．2．不计算积分，比较下列积分值的大小 （1）x x d 210⎰与x x d 31⎰（2）x x d 231⎰与x x d 331⎰（2）x x d ln 43⎰与x x d )(ln 243⎰ （4）x x d sin 2⎰π与x x d 2⎰π解：（1）由定积分的比较性可知在1) , 0(范围内32x x >，所以前者大于后者． （2）由定积分的比较性可知在3) , 1(范围内32x x <，所以前者小于后者． （3）由定积分的比较性可知在4) , 3(范围内2)(ln ln x x <，所以前者小于后者．1=a （4）由定积分的比较性可知在）2, 0(π范围x x <sin ，所以前者小于后者．3．用定积分性质估计下列积分值 （1）x d e2x -1⎰ （2）x x d )sin 1(2454+⎰ππ（3）x xx d 151+⎰（4）x xxd sin 2⎰π解：（1）因为2x e -在]1 , 0[范围内的最大值为1，最小值为1-e 所以由定积分的估值定理可知：dx dx e dx e x l 12111⎰⎰⎰≤≤--1211≤≤⇒--⎰dx e e x（2）因为x 2sin 1+在22]45, 4[ππ的最大值为2，最小值为1。
微积分中国商业出版社_课后习题答案详解二
解：1） lim (x + h)3 − h3 = lim x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 − x3 = lim (3x2 + 3xh + h2) = 3x2
h→0
h
h→0
h
h→0
2) lim xn −1 = n
x→1 x −1
3）
⎛ xl→im+∞⎜⎜⎜ arctan
x
+
1
2x
⎞ ⎟ ⎟⎟
（7） lim
2x +1 − 3 ;
x→4 x − 2 − 2
（2） lim xn −1 ;
x→1 x −1
（4）
⎛ xli→m1⎜⎜⎝
x
x −1
−
1 x2 −
x
⎞ ⎟⎟ ; ⎠
（6） lim
1− x −3 ;
x→∞ 2 + 3 x
（8） lim ( x2 + x + 1 − x2 − x − 3) .
n→∞ 5 + 9( 3)n
=
1 5
5
9．下列数列{xn} ，当 n → ∞ 时是否是无穷小量？
（1）
xn
=
1050 3n
;
[ ] （2） xn = 1+ (−1)n 1 ; n
（3） xn = n n .
解：1)是无穷小量 因为 lim xn = 0
n→∞
2)是,因为 lim xn = 0 ( n 为奇数或者偶数)
x → −1+
（4） lim 10x = 0 .
x → −∞
解：1)对于任意给定的 ξ ,要使 δψξ 成立,只要使 4 n > 1 即
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n→∞ 5n − 4 81n8 + 2
n→∞ 5
2
− 4 81 +
n
n8
16．设 x → a 时 f (x) → ∞ ， g(x) → ∞ ，则下列各式中成立的是（D）.
= 0.
⎧3
2)因为
xn
=
xn
=
⎪ ⎨1
⎪⎩ 3
n为偶数 n为奇数
所以 xn 是发散的;
3)发散的.因为当
n
→
∞
时,
1 n
→
0
;所以
xn
= 1g
1 n
→
−∞
;
4)因为
xn
=
⎧1 ⎨ ⎩− 1
n为偶数 n为奇数
所以 xn 是发散的;
5)收敛的.因为当 n → ∞ 时,
1 n
→ 0 ;所以 xn
= 3 + (−1)n
3)由于 f (x) − 0 = x +1 所以对于任意给定的 ξ > 0 ,存在 δ = ξ 2 当 0 < x + 1 < δ 时
恒有 f (x) − 0 < ξ 成立
故 lim x +1 = 0
x → −1+
4)对于任意给定的正数 ξ 要使 10x − 0 < ξ 成立即 x > 1gξ 成立
,要使
5 − n2 1 +
3n2 + 1 3
<ξ
成立即 lim
x → xo
1 f (x)
=
+∞
n>
16 − 3ξ 成立
9ξ 2
所以对于正数 ξ ,存在 N =
16 - 3ξ 成立
9ξ 2
当n
>
N 时恒有
5 − n2 + 1 3n2 +1 3
<ξ
成立
所以 lim
5 − n2
1 =−
x→∞ 3n2 + 1 3
xx
解：1)是无穷小,因为 lim y = 0
x→0
2)是无穷大量,因为 lim y = +∞
x→0
3)是无穷小量,因为 lim y = 0
x→0
4)是无穷大量,因为 lim y = +∞
x→0
5)是无穷大量,因为 lim y = +∞
x→0
6)非大非小
11．已知 lim f (x) 存在，而 lim g(x) = 0 ，证明 lim f (x) = 0.
=
lim (arctan
x → +∞
x
+ 1)
=
π 2
+1
⎝
⎠
4)
lim(
x →1
x x −1
−
1 x2 −
) x
=
lim
x →1
(x −1)(x + 1) x(x −1)
=
lim
x→1
x +1 x
5) lim
x→0 1 −
x2
x2(1 + 1 + x2 )
= lim 1+ x2 x→0
− x2
= − lim(1 +
lim
n→∞
1
+ 3+ 5 +⋯ 2+4+6+
+ (2n − ⋯ + 2n
1)
;
（8） lim
1+
1 2
+⋯
+
1 2n −1
.
n→∞ 1 +
1 22
+⋯+
1 22(n−1)
解：1）收敛.因为当 n → ∞
时, an
→ ∞(a
> 1) ; 所以 xn
→ 0 ; 所以 lim xn
x→∞
=
lim
x→∞
1 an
（7） lim
2x +1 − 3 ;
x→4 x − 2 − 2
（2） lim xn −1 ;
x→1 x −1
（4）
⎛ xli→m1⎜⎜⎝
x
x −1
−
1 x2 −
x
⎞ ⎟⎟ ; ⎠
（6） lim
1− x −3 ;
x→∞ 2 + 3 x
（8） lim ( x2 + x + 1 − x2 − x − 3) .
1 n
→ 3 ;即 lim
x→∞
xn
=3;
6)收敛的.当 n → ∞ 时,
1 n
→ 0 ; sec 1
n
→ 1 ;即 lim
x→∞
xn
= 1;
n(1 + 2n −1)
7)因为
1 + 3 + 5⋯ + (2n 2 + 4+ 6+⋯+
− 1) 2n
=
2 n(2 + 2n)
=n;
1+ n
2
所以 lim n = 1 ;
= lim
x→4 x − 2 − 2 x→4 ( x − 2 − 2 )( 2x + 1 + 3)
= lim
2(x − 4)
x→4 ( x − 2 − 2 )( 2x + 1 + 3)
2( x − 2 + 2 ) = lim
x→4 ( 2x + 1 + 3)
22 =
3
8) lim ( x2 + x +1 − x2 − x − 3)
x→x0 g(x)
x → x0
x → x0
解：因为 lim 2arctan x = lim 2x = 2 ,
x→0 5x
x→0 5x 5
lim f (x)
lim f (x) = x→x0
存在
x→x0 g( x) lim g (x)
x → x0
而 lim g(x) = 0
x → x0
所以 lim f (x) = 0 ;
14．当 x → 0 时，下列变量中与 3x2 + x4 相比为同阶无穷小的是（B）.
A． x
B． x2
C． x3
解：B．
因为 lim
x2
11
= lim
=
x→0 3x2 + x4 x→0 3 + x2 3
15．求 lim 3 n − 9n2 .
n→∞ 5n − 4 81n8 + 2
D． x4
1
解： lim 3 n − 9n2 = lim 3 n5 − 9 = 3
n→∞ 5 + 9( 3)n
=
1 5
5
9．下列数列{xn} ，当 n → ∞ 时是否是无穷小量？
（1）
xn
=
1050 3n
;
[ ] （2） xn = 1+ (−1)n 1 ; n
（3） xn = n n .
解：1)是无穷小量 因为 lim xn = 0
n→∞
2)是,因为 lim xn = 0 ( n 为奇数或者偶数)
解：数列为1, 1 , 1 ,…, 1 ;
2 22
2n -1
所以通项为 an
=
1 2n −1
; 所以 lim
x→∞
an
=
0;
3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：
（1） lim xµ (µ > 0) ;
x→0
（2） lim xµ (µ < 0) ;
x→∞
（3） lim ax (a > 0 , ≠ 1) ;
x → −1+
（4） lim 10x = 0 .
x → −∞
解：1)对于任意给定的 ξ ,要使 δψξ 成立,只要使 4 n > 1 即
ξ
n
>
1 ξ4
成立
所以对于任意给定的 ξ
,存在 N =
1 ξ4
当 n > N 时恒有
1 4n
−0
< ξ 成立,故 lim 1
x→∞ 4 n
=0
2)对于任意给定的 ξ
所以存在 X = 1gξ . 当 x > X 时恒有 x > 1gξ 成立 即 lim 10x = 0 .
x→∞
7．求下列极限：
（1） lim (x + h)3 − x3 ;
h→0
h
1
（3） lim (arctan x + 2 x ) ;
x → +∞
（5） lim x2 ;
x→0 1 − 1 + x2
n→∞
3)不是.
10．当 x → 0 时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？
（1） y = 100x3 ;
（3） y = log 2(1 + x) ; （5） y = sec⎜⎛ π − x⎟⎞ ;
⎝2 ⎠
（2） y = 1 ;
10100 x2
（4） y = cot 4x ;
（6） y = 1 sin 1 .
x → −1
6) lim arccos x = π 所以 cosπ = −1;
x → −1
7) lim arctan x = π .
x → −1
4
8) lim cos x 的极限不存在
x→∞
4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：
（1） f (x) = x , x = 0 ;