《微积分》中国商业出版社_课后习题答案详解二

n→∞ 5n − 4 81n8 + 2
n→∞ 5
2
− 4 81 +
n
n8
16．设 x → a 时 f (x) → ∞ ， g(x) → ∞ ，则下列各式中成立的是（D）.
（7） lim
2x +1 − 3 ;
x→4 x − 2 − 2
（2） lim xn −1 ;
x→1 x −1
（4）
⎛ xli→m1⎜⎜⎝
x
x −1
−
1 x2 −
x
⎞ ⎟⎟ ; ⎠
（6） lim
1− x −3 ;
x→∞ 2 + 3 x
（8） lim ( x2 + x + 1 − x2 − x − 3) .
x → x0
12．设 lim x2 + ax + b = 3 ，求 a ， b .
x→1 x −1
解：因为 lim x2 + ax + b = lim x + y = 3
x→1 x −1
x →1
所以 x2 + ax + b = (x −1)(x − 2)
x −1
x −1
所以 a = 1 , b = −2
,要使
5 − n2 1 +
3n2 + 1 3
<ξ
成立即 lim
x → xo
1 f (x)
=
+∞
n>
16 − 3ξ 成立
9ξ 2
所以对于正数 ξ ,存在 N =
16 - 3ξ 成立
9ξ 2
当n
>
N 时恒有
5 − n2 + 1 3n2 +1 3
<ξ
成立
所以 lim
5 − n2
1 =−
x→∞ 3n2 + 1 3
n→∞ 5 + 9( 3)n
=
1 5
5
9．下列数列{xn} ，当 n → ∞ 时是否是无穷小量？
（1）
xn
=
1050 3n
;
[ ] （2） xn = 1+ (−1)n 1 ; n
（3） xn = n n .
解：1)是无穷小量 因为 lim xn = 0
n→∞
2)是,因为 lim xn = 0 ( n 为奇数或者偶数)
x→∞
2x + 4
= lim (
)
x→∞ x2 + x +1 + x2 − x − 3
4 2+
= lim (
x
) =1
x→∞
11
13
1+ + + 1− −
x x2
xx
8．求 lim 5n − 4n−1 .
n→∞ 5n+1 + 3n+2
解：
lim
n→∞
5n − 4n−1 5n+1 + 3n+2
1− 1 (4)n = lim 4 5
14．当 x → 0 时，下列变量中与 3x2 + x4 相比为同阶无穷小的是（B）.
A． x
B． x2
C． x3
解：B．
因为 lim
x2
11
= lim
=
x→0 3x2 + x4 x→0 3 + x2 3
15．求 lim 3 n − 9n2 .
n→∞ 5n − 4 81n8 + 2
D． x4
1
解： lim 3 n − 9n2 = lim 3 n5 − 9 = 3
13．设
⎛ xl→im∞⎜⎜⎝
x2 +1 x +1
−
ax
−
⎞ b ⎟⎟⎠
=
0
，求
a
，
b
.
解：
x2 +1
lim (
− ax − b) =
lim
x2
+1 − ax2
− ax − bx − b
=0
x→∞ x +1
x→∞
x +1
所以即 x2 + 1 − ax2 − ax − bx − b 为一常数 所以 a = 1 b = -1
3)由于 f (x) − 0 = x +1 所以对于任意给定的 ξ > 0 ,存在 δ = ξ 2 当 0 < x + 1 < δ 时
恒有 f (x) − 0 < ξ 成立
故 lim x +1 = 0
x → −1+
4)对于任意给定的正数 ξ 要使 10x − 0 < ξ 成立即 x > 1gξ 成立
1 n
→ 3 ;即 lim
x→∞
xn
=3;
6)收敛的.当 n → ∞ 时,
1 n
→ 0 ; sec 1
n
→ 1 ;即 lim
x→∞
xn
= 1;
n(1 + 2n −1)
7)因为
1 + 3 + 5⋯ + (2n 2 + 4+ 6+⋯+
− 1) 2n
=
2 n(2 + 2n)
=n;
1+ n
2
所以 lim n = 1 ;
xx
解：1)是无穷小,因为 lim y = 0
x→0
2)是无穷大量,因为 lim y = +∞
x→0
3)是无穷小量,因为 lim y = 0
x→0
4)是无穷大量,因为 lim y = +∞
x→0
5)是无穷大量,因为 lim y = +∞
x→0
6)非大非小
11．已知 lim f (x) 存在，而 lim g(x) = 0 ，证明 lim f (x) = 0.
x →1−
1g2 x→1+
5．用 ε − δ 或 ε − N 的方法陈述下列极限： （1） lim f (x) = A ;
x→a+
（3） lim f (x) = A ;
x → +∞
（2） lim f (x) = A ;
x→a−
（4） lim f (x) = A .
x → −∞
解：1)当 0 < x − a < δ 时 2)当 0 < a - x < δ 时 3)当 x > M 时 4)当 x < -M 时
n→∞
3)不是.
10．当 x → 0 时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？
（1） y = 100x3 ;
（3） y = log 2(1 + x) ; （5） y = sec⎜⎛ π − x⎟⎞ ;
⎝2 ⎠
（2） y = 1 ;
10100 x2
（4） y = cot 4x ;
（6） y = 1 sin 1 .
x→0
1 + x2 ) = −2
6) lim
x → −∞
1− x −3
1− x−9
2 + 3 x = (2 + 3 x )( 1 − x + 3)
(2 + 3 x )(3 x2 − 23 x + 4) =
(2 + 3 x )( 1 − x + 3)
= −2
7) lim
2x +1 − 3
( 2x + 1 − 3)( 2x + 1 + 3)
x → −1
6) lim arccos x = π 所以 cosπ = −1;
x → −1
7) lim arctan x = π .
x → −1
4
8) lim cos x 的极限不存在
x→∞
4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：
（1） f (x) = x , x = 0 ;
= lim
x→4 x − 2 − 2 x→4 ( x − 2 − 2 )( 2x + 1 + 3)
= lim
2(x − 4)
x→4 ( x − 2 − 2 )( 2x + 1 + 3)
2( x − 2 + 2 ) = lim
x→4 ( 2x + 1 + 3)
22 =
3
8) lim ( x2 + x +1 − x2 − x − 3)
所以存在 X = 1gξ . 当 x > X 时恒有 x > 1gξ 成立 即 lim 10x = 0 .
x→∞
7．求下列极限：
（1） lim (x + h)3 − x3 ;
h→0
h
1
（3） lim (arctan x + 2 x ) ;
x → +∞
（5） lim x2 ;
x→0 1 − 1 + x2
f (x) − A < ξ f (x) − A < ξ f (x) − A < ξ f (x) − A < ξ
6．用极限的严格定义（即 ε −δ 或 ε − N 的方法）证明下列极限：
（1） lim 1 = 0 ;
n→∞ 4 n
（2）
lim
n→∞
5− 3n2
n2 +1
=
−
1 3
;
（3） lim x +1 = 0 ;
x→∞
2） lim xu (u < 0) = lim 1 (u < 0) = 0 ;
x→∞
x→∞ x−u
3） lim ax (a > 0 , a ≠ 1) = 1
x→∞
4）
0
a < 1;
lim
x→∞
a x (a
>
0, a
≠ 1)
=
⎧0 ⎩⎨1
a < 1. a > 1.
所以极限不存在
1
Leabharlann Baidu
a > 1;
5) lim log ax (a > 0 , a ≠ 1) = 0
习题二
1.列数列{xn } 当 n → ∞ 时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限：
（1）
xn
=
1 an
(a
> 1) ;
（3）
xn
=
1g
1 n
;
（2） xn = 3(−1)n ;
（4）
xn
=
(−1)n (1 +
1 n
)
;
（5）
xn
=
3+
(−1)n
1 n
;
（6）
xn
=
sec
1 n
;
（7）
x→x0 g(x)
x → x0
x → x0
解：因为 lim 2arctan x = lim 2x = 2 ,
x→0 5x
x→0 5x 5
lim f (x)
lim f (x) = x→x0
存在
x→x0 g( x) lim g (x)
x → x0
而 lim g(x) = 0
x → x0
所以 lim f (x) = 0 ;
x→∞
解：1） lim (x + h)3 − h3 = lim x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 − x3 = lim (3x2 + 3xh + h2) = 3x2
h→0
h
h→0
h
h→0
2) lim xn −1 = n
x→1 x −1
3）
⎛ xl→im+∞⎜⎜⎜ arctan
x
+
1
2x
⎞ ⎟ ⎟⎟
=
lim (arctan
x → +∞
x
+ 1)
=
π 2
+1
⎝
⎠
4)
lim(
x →1
x x −1
−
1 x2 −
) x
=
lim
x →1
(x −1)(x + 1) x(x −1)
=
lim
x→1
x +1 x
5) lim
x→0 1 −
x2
x2(1 + 1 + x2 )
= lim 1+ x2 x→0
− x2
= − lim(1 +
= 0.
⎧3
2)因为
xn
=
xn
=
⎪ ⎨1
⎪⎩ 3
n为偶数 n为奇数
所以 xn 是发散的;
3)发散的.因为当
n
→
∞
时,
1 n
→
0
;所以
xn
= 1g
1 n
→
−∞
;
4)因为
xn
=
⎧1 ⎨ ⎩− 1
n为偶数 n为奇数
所以 xn 是发散的;
5)收敛的.因为当 n → ∞ 时,
1 n
→ 0 ;所以 xn
= 3 + (−1)n
x→0
（4） lim ax (a > 0 , ≠ 1) ;
x→∞
（5） lim log a x(a > 0 , ≠ 1) ;
x →1
（6） lim arccos x ;
x → −1
（7） lim arctan x ;
x →1
（8） lim cos x .
x→∞
解：1）当 x → 0 时, lim xu (u > 0) = 0 ;
x →0 −1
x→0+
2) lim f (x) = 0 ≠ lim f (x) = ∞ ; 所以该点的极限不存在
x →0 −1
x→0+
3) lim
π f(x) = -
≠
lim
f(x) = π ; 所以该点的极限不存在
x →0 −1
2 x→0+
2
4) lim f (x) = 1 ≠ lim f (x) = 0 ; 所以该点的极限不存在
x→∞ 1 + n
所以是收敛的;
1 1−
2n−1
8)因为
1+
1 2
+⋯+
1 2n−1
=
1− 1 2
=3
1+
1 22
+⋯+
1 22( n −1)
1 − ( 1 )n−1 22
2
1 1− 22
1 1 + 2n−1
所以
lim
x→∞
3 2
1 1 + 2n−1
=
3 2
;
所以是收敛的;
2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取 其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成 数列，并考察其极限.
x → −1+
（4） lim 10x = 0 .
x → −∞
解：1)对于任意给定的 ξ ,要使 δψξ 成立,只要使 4 n > 1 即
ξ
n
>
1 ξ4
成立
所以对于任意给定的 ξ
,存在 N =
1 ξ4
当 n > N 时恒有
1 4n
−0
< ξ 成立,故 lim 1
x→∞ 4 n
=0
2)对于任意给定的 ξ
lim
n→∞
1
+ 3+ 5 +⋯ 2+4+6+
+ (2n − ⋯ + 2n
1)
;
（8） lim
1+
1 2
+⋯
+
1 2n −1
.
n→∞ 1 +
1 22
+⋯+
1 22(n−1)
解：1）收敛.因为当 n → ∞
时, an
→ ∞(a
> 1) ; 所以 xn
→ 0 ; 所以 lim xn
x→∞
=
lim
x→∞
1 an
解：数列为1, 1 , 1 ,…, 1 ;
2 22
2n -1
所以通项为 an
=
1 2n −1
; 所以 lim
x→∞
an
=
0;
3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：
（1） lim xµ (µ > 0) ;
x→0
（2） lim xµ (µ < 0) ;
x→∞
（3） lim ax (a > 0 , ≠ 1) ;
x
1
（2） f (x) = 3 x , x = 0 ;
（3） f (x) = arctan 1 , x = 0 ;
x
（4）
f
(x)
=
⎧1 ⎪⎨1g(1 +
x)
,
x <1
, x = 1.
⎪⎩arcsin(x −1) , 1 ≤ x ≤ 2
解：1) lim f (x) = −1 ≠ lim f (x) = 1; 所以该点的极限不存在