连根数构成的康托尔集的豪斯多夫维数研究

连根数构成的康托尔集的豪斯多夫维数研究如果a1,a2,a3,…是正实数,那么,被称为在a1,a2,a3…之下的一个连根数。限制ai属于集合S={a,b},其中a、b是自然数,这些在实数集上的连根数就可以构成一个康托尔集C({a,b})。

T. Clark·T. Ri chmond研究了这种康托尔集的厚度、测度、以及他们之和的性质。T. Clark.T. Richmond[3]计算出康托尔集C({a,b})的厚度τ({a,b}),并表示成仅仅关于a和b有关的连根式的极限形式。

在[29]中,康托尔集C{(a,b})的豪斯多夫维数dimH(C{a,b})与它的厚度之间的关系：于是,得到了康托尔集C({a,b})的豪斯多夫维数的下界。

T.Clark·T.Richmond[3]发现康托尔集C({a,b})的n阶基本区间中长度最长的小区间是最左边的那一个小区间。

我们以2n个长度为最左边的小区间的长度的区间去覆盖n阶基本区间。对这个长度进行适当的不等式放缩,得到一个关于n的一个表达式。

再给这个表达式配上一个为常数的指数,使得2n与这个表达式的常数次方的乘积也是一个常数。那么,这个指数就是我们所要寻找的康托尔集C({a,b})的豪斯多夫维数的一个上界。

而关于康托尔集C({a,b})的豪斯多夫维数的准确值,可以通过类似的压力

方程给出则,P(—slog｜f’｜)=0的唯一实数解就是它的豪斯多夫维数。