概率与概率的加法公式

§2
随机事件的概率，古典概型与概率的加法公式
2000/7/31
一． 概率的统计定义： １．频率：
随机事件在一次具体的试验是否发生，虽然不能预先知道，但是，当大量重复同
一试验时，随机现象却呈现出某种规律, 即所谓统计规律性． 如：历史上有人作过成千上万次投掷硬币，下表列出他们的试验记录：
２．随机事件
1。

随机事件及其概率 2。

古典概型
容易看出，投掷次数越多正面向上的频率越接近０．５，其中
事件Ａ发生的次数 频数 事件Ａ发生的频率＝ ＝
试验总次数 试验总次数 ．
我们将事件发生的可能性大小只停留在定性了解不够的，下面给出事件发生的可能性大小的客观的定量的描述，称为事件发生的概率．
２．随机事件的概率：
（１） 定义：在不变的一组条件Ｓ下，重复作n 次试验，记μ是n 次试验中事件A 发生
的次数．当试验的次数n 很大时，如果频率
n
μ
稳定在某一数值p 的附近摆动，而且一来随着试验次数增多，这种摆动的幅度越变越小，则称数值p 为事件A 在条件Ｓ下发生的概率，记作
()P A p =
这里，频率的稳定性是概率一个直观朴素的描述，通常称为概率的统计定义．但必须指出，事件的频率是带有随机性的，这是由事件本身的随机性所决定。

而事件的概率，却是一个客观存在的实数，是不变的。

二． 古典概型：
１．定义： 如果随机现象满足下列三个条件：
(1) 一次试验可能结果只有有限个，即所有基本事件只有有限个：
12,,,n A A A ，
(2) 每一个基本事件(1,2,,)i A i n =发生的可能性是相等的．
(3) 基本事件(1,2,
,)i A i n =是两两互不相容
满足以上三个条件的随机现象模型，称为古典概型．
在古典概型中，如果n 为基本事件总数， m 为事件A 包含的基本事件数, 那么事件A 的概率
()m P A n
=
=
法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义．现在通常称它
为概率的古典概型的定义，因为它只适用于古典概型场合． ２． 古典概型公式的运用举例：
【例1】 袋里有2个白球和3个黑球．从袋任取出一球，求它是白球的概率．
解 ： 容易看出，“从袋里任取一球”这一试验是古典概型的，且
基本事件总数n ＝5，取到白球的基本事件数m ＝2，故
把白球换为合格产品，黑球换为废品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样检验问题．这种模型化的方法把表面上不同的问题归类于相同的模型之小中，能使问题更消楚，更易于计算。

【例2】把a, b 两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ 的三只盒子里，求盒子I 中没有球的概率。

解：这是一个古典概型问题，
把a, b 两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ 的三只盒子里，基本事件总数
2
39n ==
设Ａ＝“盒子I 中没有球”，则事件A 包含的基本事件数
2
24m ==
∴ 4()9
P A =
【例3】有一个口袋，内装a 只白球，b 只黑球，它们除颜色不同外，外形完全一样, 从袋了中任不同外，外形完全一样. 现任意模出2个球时，求： （１）模出2个球都是白球的概率； （２）模出一个白球一个黑球的概率
解: 这口袋共有a+b 只球，从袋了中任意模出2个球的基本事件总数
2
a b n C += ，
（１） 模出2个球都是白球基本事件数 2
1a m C =，
∴ 模出2个球都是白球的概率 21
2a a b
C m P n C +==；
（２） 模出一个白球一个黑球的基本事件数 11
2a b m C C ab ==，
∴ 模出一个白球一个黑球的概率 22a b
m ab
P n C +=
= ． 若把黑球作为废品，白球作为好品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样．按如产品
分为更多等级，例如：一等品，二等品，二等品，等外品等等．则可用装有多种颜色的球的口袋的摸球模型来描述．
【例3】 列
【例4】
1．无放回抽样：
2．有放回抽样：
，
【例5】 有一个口袋内装可分辨4个黑球，6个白球, 它们除颜色不同外，外形完全一样. 现
按两种取法；
（Ⅰ）无放回； （Ⅱ）有放回
连续从袋中取出３个球，分别求下面事件的概率： （１） A =“取出３个球都是白的”； （２） B =“取出２个黑球，１个白球”． 解：（Ⅰ）无放回：连续从袋中取出３个球的基本事件总数
3
10n A =，
（１）取出３个球都是白的基本事件数 3
16m A =，
∴ 3
613106541
()0.16710986
A m P A n A ⨯⨯====≈⨯⨯ ；
（２）取出２个黑球，１个白球，注意到取出黑球的次序，
∴ 事件B 的基本事件数 221
2446m C A A =⨯⨯，
因而 2214
4623
10
()0.3C A A m P B n A ⨯⨯===
（Ⅱ）有放回： 连续从袋中取出３个球的基本事件总数 310n =，
（１） 取出３个球都是白的基本事件数 3
16m =，
∴ 3
136()0.21610
m P A n =
==； （２） 取出２个黑球，１个白球，注意到黑球黑球的次序，
∴ 事件B 的基本事件数 221
2464m C C =⨯⨯，
因而 2214
6234()0.28810
C C m P B n ⨯⨯===
【例６】设有k 个球，每个球都能以同样的概率落到N 个格子(N ≥k)的每—个格子中，
试求：下列事件的概率
(1) A=”某指定的k 个格子中各有一个球”； (1) B=”任何k 个格子中各有一个球”； (3) C=“k 个球落到同一个格子中”.
解: 这是一个古典概型问题，由于每个球可落入N 个格子中的任一个，所以n 个球在
N 个格子基本事件总数 k n N =
(1) k 个球在那指定的k 个格子中全排列，总数为n!，因而所求概率
（2）n 个格子可以任意，即可以从N 个格子中任意选出n 个来，这种选法共有
n
N C
又对于每种选定的n 个格子，共有n! 排列，因而所求概率
2!!
()!
n N n n
C n N P N N N n ==-
【例】
【例】
三。

概率的性质：
１． 0()1P A ≤≤ ２． ()1P Ω= ３． ()0P φ=
四．概率加法公式：
１． 概率加法公式：
（１） 如果事件A ， B 是互不相容，则 P （A+B ）=P （A ）+P （B ），
特别地，()()()1P A A P A P A +=+=；
()1()P A P A =-
（２）
．
特别地，（1）如果A 与B 是两个互斤事件，则 ，
（2）
(3) 若 B ⊂ A ，则 P （AB ）=P （A ）-
P （B ） ．
2． 逆事件概率：
【例7】在浴池的鞋柜中乱放着10双号码不同的托鞋．今随意取来三只，求有一双配对的概率．
解法I ： 设10双鞋的号码为t 号至10号鞋．我们有下列事件等式，
“三只鞋中有一双配对”＝“三只中1号鞋配对” +“三只中2号鞋配对”
+ … +“三支中10号鞋配对”．
相应地可设事件为
把1号鞋看成废品，其他鞋看成合格品，由超几何分布的概率公式，有
解法1的特点是把较复杂的事件分解成较简单的事件和．
【例8】
【例9】一个著名问题——匹配问题：
４张卡门分别标着1，2，3，4，面朝下放在桌子上．一个自称有透视能力的人将用他超感觉能力说出卡片上的号数，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少猜中—个的概率是多少？
对于这个小数日(n＝4)的具体问题，可以通过把“至少猜中一个”进行分析而获得解答．这里仅给出分析结果：
【例10】
【例】
=，解；（ⅰ）∵ABφ
七．习题：
1．.
2．P．16 ----- 1，4，5，6，7。