心理统计学精髓知识点

第一节 正态分布

1 正态分布的特点 首先，钟形对称分布

其次， 1.96X μσ-≤的概率是95%； 2.58X μσ-≤的概率是99%；将

1.96X μσ-≥称为决策水平0.05上的小概率事件，将

2.58X μσ-≥称为决策水平0.01上的小概率事件。其中，X 是总体中的随机抽取的一个数值；μ为总体平均值，

第三，曲线两端无限靠近横轴。 2 应用

（1）某学校三年级学生的平均智商是100，其标准差为15.那么，从中随机抽取一个学生，其智商大于等于130的概率是多少？其智商小于等于85的概率是多少？

（2）某企业生产的产品重量均值为100，标准差为15。质检人员从市场上随机抽取一件，发现其重量为115，仅从质量上看，如何用统计学视角来判断此产品是否属于这一企业（决策水平为0.05）。

（3）在上题中，如果质检人员从市场上发现一个产品的重量为140，那么，仅从质量上判断，此产品是否属于这一企业（决策水平为0.01）。

3 数据处理一

让学生报告自己的身高、体重以及自己的肥胖感知（我认为自己很肥胖）、以及自己的性别。数据处理任务包括：报告三个变量的茎叶图，并大致判断其分布形态；报告三个变量的平均值、中数以及中位数、标准差。

第二节 标准正态分布

将总体的平均值记为μ，标准差记为σ，将其中的数据或个案记为X 。那么，使

用公式X z μ

σ

-=，就可以将正态分布转化为标准正态分布。

标准正态分布是正态分布的一个特例，因此，第一节的内容皆可以标准正态分布进行直译。

思考题：标准正态分布的标准差是多少？其平均值又是多少？

对于标准正态分布而言， 1.96Z ≥为决策水平0.05上的小概率事件，将 2.58Z ≥为决策水平0.01上的小概率事件

思考题：某地三年级学生的身高是一个总体，并且是正态分布，均值为160厘米，标准差为5厘米。研究者随机抽取一个学生，其身高为170厘米。那么，此生在标准正态分布中的身高数值应该为多少？这次抽到他是一个小概率事件吗？为什么？

练习：将“数据处理一”中三个变量转化为标准正态分布，并报告其茎叶图。

第三节 样本均值的分布

1 存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值μ与标准差σ已知。用（放回式）随机抽样，获得无数个容量相等的样本，当每一个样本容量大于30时，样本均值的分布就是正态分布。

2将样本平均值记为X ，标准差记为S ，容量记为n ，则此分布的标准误X n

σ

σ=。

3 样本均值分布的特点： 首先，是正态分布，

第二，此分布的理论均值等于总体均值μ。 第三，其标准误X n

σ

σ=

第四， 1.96X X μσ-≤ 的概率是95%；将 1.96X X μσ-≥称为决策水平为0.05上的小概率事件； 2.58X X μσ-≤的概率是99%。将 2.58X X μσ-≥的事件称为决策水平为0.01上的小概率事件；

第五，用公式X X

X z μ

σ-= 将其标准化，则得到标准正态分布。那么，， 1.96

X z ≥为决策水平0.05上的小概率事件，将 2.58X z ≥为决策水平0.01上的小概率事件。

第四节 统计检验的逻辑

如果一个样本是从某一总体中随机抽样得来的，那么，这一个样本必定能够代表这一总体的特征，其含义有三。其一，两者的分布形态是一致的；其二，两者的方差是一致的；其三，两者的平均值是一致的。“一致”的统计含义是，在0.05或者0.01的决策水平上，是没有差异的。 当然，随机样本不能百分百地代表总体的特征，当这样的样本不能代表总体特征时，就说是小概率事件发生了。

在科学研究中，总体往往是一个理论上的或者特定的描述，包括其分布形态、平均值以及其标准差。而样本往往来自于现实的抽取中，通过比较三个方面，就可以决断这个样本是不是属于这个理论或者特定的总体。

比如，某地区90年代的14岁儿童的平均身高为μ厘米，标准差为σ厘米，并且为正态分布。现在来考察这一地区14儿童的身高是否与90年代同龄儿童的身高是否一致。

在统计学上，只能这样做：从现在的14岁儿童中，随机进行抽样，比如，抽取n 个儿童构成一个样本，其平均值为 ,X 标准差为S 。

由于是真正的随机抽样，那么，决策者会检验三个方面。第一，看此样本的分布是否与（90年代的那个）特定总体的分布形态有一致性，如果两者分布形态一致，即样本也是正态分布，那么第二，看此样本的方差是否与特定总体的方差具有一致性，如果两者方差一致，那么第三，看此样本的平均值是否与特定总体的均值具有一致性，如果一致，则可以认为此样本依然属于那个特定的总体，或者说，如今此地区14岁儿童的身高依然与90年代一样。 在上述中，“一致”是指在0.05或者0.01的水平上进行判断，即没有发生小概率事件。如果小概率事件

发生，则说明“不一致”，或者说“具有显著性差异”。

关于分布形态一致性检验与方差一致性检验在后面再学习。这里，我们先认为此样本分布形态和方差皆与那个特定总体的一致，那么，就只剩下检验样本均值是否与那个特定总体的一致。 统计学上的检验过程表述如下。

H 0：此样本是从90年代的总体中随机抽取的，那么,就有 1.96X X X μσ-≤ 计算过程：因为,,X X n

σ

μμσ==

所以只需要证明 1.96

X n

σ

μ-≤是否成立，即

/ 1.96X n

σ

μ-≤是否成立。如果成立，则认为H 0是正确的；反之，如果/

1.96X n

σ

μ-≥，则说明小概率事件发生了；一次随机抽样，就发生了小概率

事件，那么我宁愿在0.05的水平上相信H 0是不正确的，也就是说，此样本不是从90年代的那个样本中随机抽取的，或者说，这个样本不属于这个特定的总体。 在上面的逻辑过程中，H 0的表述非常重要，因为，只有先假定此样本是能够代表这个特定总体，才能套用公式 1.96X X X μσ-≤，这是为什么？这是因为，从任何非常数总体中，随机抽取无数个容量相等的大样本（通常指容量大于等于30），那么样本的均值（无数个X ）形成正态分布（其理论均值X μ=μ，标准误X n σ

σ=

）；那么， 1.96X X X μσ-≤的概率是95%，也即， 1.96

X n

σ

μ-≤的概

率是95%。反之就是0.05水平上的小概率事件发生了。因此，理解H 0与否，关系着统计检验的理解与否。

练习：从“数据处理一”中随机生产一个样本，并且报告此样本均值的标准分数。看全班同学抽取到的平均值有几个是小概率事件。

第四节 t 分布

存在一个非常数总体，无论其为何种分布。并且此总体平均值μ已知，但其标准差σ未知。用（放回式）随机抽样，获得无数个容量相等的样本，样本均值X 的分布就是t 分布。

t 分布的特点如下表述。

首先，t 分布为对称分布，并且左右对称

其次，t 分布是一簇曲线，并且每个df （即自由度，df=n-1）皆有自己的分布形态。df 越大，t 分布越接近正态分布。 第三，在此情况下，样本均值分布的标准误

,=1X s ss

s s s n n

=-其中是样本的标准差，。，其理论均值X μ等于总体均值μ。 第四，0.05X X X t s μ-≤水平上的临界值的概率是95% ，而0.05X X X t s μ-≥水平上的临界值则为0.05水平上的小概率事件。