2019苏锡常镇高三三模数学试题

苏锡常镇高三年级第三次模拟考试(十五)

数学

(满分160分，考试时间120分钟)

方差公式：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x ＝1

n (x 1＋x 2＋…＋x n )．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 若复数z 满足(1＋i )z ＝2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为________．

2. 设集合A ＝{2，4}，B ＝{a 2，2}(其中a<0)，若A ＝B ，则实数a ＝________．

3. 在平面直角坐标系xOy 中，点P(－2，4)到抛物线y 2＝－8x 的准线的距离为________．

4. 一次考试后，从高三(1)班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如下图所示，则这五人成绩的方差为________．

5. 上图是一个算法流程图，若输入值x ∈[0，2]，则输出值S 的取值范围是________．

6. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是________．

7. 已知函数f(x)＝sin (πx ＋φ)(0<φ<2π)在x ＝2时取得最大值，则φ＝________．

8. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝4，则4a 1

d ＝________．

9. 在棱长为2的正四面体PABC 中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，D 是线段PN 上一

点，且PD ＝2DN ，则三棱锥DMBC 的体积为________．

10. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos B －b cos A ＝35c ，则

tan A

tan B ＝________.

11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A(2，0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．

12. 如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP →·OQ →的取值范围为________．

13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12（|x ＋3|＋1），x ≤0，

ln x ， x>0，若存在实数a

则af(a)＋bf(b)＋cf(c)的最大值是________．

14. 已知a ，b 为正实数，且(a －b)2＝4(ab)3，则1a ＋1

b

的最小值为________．

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在四棱锥PABCD 中，∠ADB ＝90°，CB ＝CD ，E 为棱PB 的中点． (1) 若PB ＝PD ，求证：PC ⊥BD ； (2) 求证：CE ∥平面PAD.

16. (本小题满分14分)

在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．

(1) 求角B 的大小；

(2) 设向量m ＝(sin 2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，求m·n 的取值范围．

下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型，索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21∶4，且点P对两塔顶的视角为135°.

(1) 求两索塔之间桥面AC的长度；

(2) 研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a)，且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b)．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．

如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2

2，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C

分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点M(x 1，

0)，直线AC 与直线BD 交于点N(x 2，y 2)．

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 若CM →＝2MD →

，求直线l 的方程； (3) 求证：x 1·x 2为定值．

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，a，b∈R.

(1) 若a2＋b＝0.

(ⅰ) 当a>0时，求函数f(x)的极值(用a表示)；

(ⅱ) 若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由；

(2) 函数f(x)的图象在点A处的切线l1与f(x)的图象相交于另一点B，函数f(x)的图象在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．

已知等差数列{a n }的首项为1，公差为d ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，6S n ＝9b n －a n －2恒成立．

(1) 如果数列{S n }是等差数列，求证：数列{b n }也是等差数列；

(2) 如果数列⎩⎨⎧

⎭

⎬⎫b n ＋12为等比数列，求d 的值．

(3) 如果d ＝3，数列{c n }的首项为1，c n ＝b n －b n －1(n ≥2)，求证：数列{a n }中存在无穷多

项可表示为数列{c n }中的两项之和．

2018届高三年级第三次模拟考试(十五)

数学附加题

(本部分满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，AB 为圆O 的直径，AE 平分∠BAC 交圆O 于点E ，过点E 作圆O 的切线交AC 于点D ，求证AC ⊥DE .

B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤214x 的一个特征值为3，求M －1.