高考数学-圆锥曲线最值问题及练习

高考数学

圆锥曲线最值问题及练习

中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最

值问题有两个特点：①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。 1、回到定义

例1、已知椭圆22

1259

x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5

||||4

PA PB +的最小值； （2）求|P A|+|PB|的最小值和最大值。

略解：（1）A 为椭圆的右焦点。作PQ ⊥右准线于点Q ，则由椭圆的第二定义

||4

||5

PA e PQ ==，

∴

5

||||||||4

PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ，

使其到点B 和右准线的距离之和最小，很明显，点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174

。 （2）由椭圆的第一定义，设C 为椭圆的左焦点，则|P A|=2a-|PC| ∴|P A|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)

根据三角形中，两边之差小于第三边，当P 运动到与B 、C 成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P 到P"位置时，|PB| -|PC|=|BC|，|P A|+|PB|有最大值，最大值为

10+|BC|=10+P 到P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|P A|+|PB|有最小值，最小值为

10-|BC|=10-

回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。 2、利用闭区间上二次函数最值的求法

例2、在抛物线2

4x y =上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。

解：设抛物线上的点)4,(2

t t P ，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离17

4)21(4175442

2

+-=+-=t t t d

当21=

t 时，17

4min =d ，故所求点为)1,21

(。 例3、已知一曲线x y 22

=，（１）设点A 的坐标为)0,3

2

(，求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离 |P A|；（２）设点A 的坐标为（a,0）a ∈R ，求曲线上点到点A 距离最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式。

解：（1）设M （x,y ）是曲线上任意一点，则x y 22

= )0(≥x

31)31(2)32()32(22222

++=+-=+-=x x x y x MA ∵ x ≥0

94min

2=

MA

∴ 所求P 点的坐标是（0，0），相应的距离是3

2=AP （2）设M （x,y ）是曲线上任意一点，同理有x a x y a x MA 2)()(2

2

2

2

+-=+-=

)12()]1([2-+--=a a x 0≥x

综上所述，有⎪⎩⎪⎨⎧-=a

a d 12)1a ()1a (时当时当<≥

3、运用函数的性质

例4、在△ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a,b,c ，且c=10,

3

4

cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 内切圆上动点，求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和最大值与最小值。 解：由

B A A B A A A

B

a b B A 2sin 2sin 0sin cos cos sin sin sin cos cos =⇒=-⇒== ∵

13

4

≠=a b ∴ B A 22-=π ∴△ABC 为Rt △由C=10，且34=a b 知 a=6 b=8

设△ABC 内切圆半径为r ，如图建立直角坐标系，则Rt △ABC 的内切圆M 的方程为：

4)2()2(22=-+-y x 设圆M 上动点P （x,y ）(40≤≤x )，则P 点到顶点A ，B ，C 的距离的

平方和为：2222222

22)6()8(x y y x y x PC PB PA ++-+++-=++=λ

10012163322+--+=y x y x 764])2()2[(322+--+-=x y x ＝88-4x

∵点P 在内切圆M 上，40≤≤x ，于是88088max =-=λ 721688min =-=λ

例5、直线m ：y=kx+1和双曲线x 2-y 2=1的左支交于A ，B 两点，直线L 过点P （-2，0）和线段AB 的中点M ，求L 在y 轴上的截距b 的取值范围。

略解：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），M （x 0,y 0），将y=kx+1代入x 2-y 2=1得（1-k 2)x 2-2kx-2=0,由题意，△>0且x 1+x 2<0,x 1x 2>0,

解之得1k

<<,且M 22

1

(,)11k k k

--,又由P （-2，0），M ，Q （0，b ）共线，得222

11122221b k k k k k -==-+++-，即2222b k k =-++ 下面可利用函数f(k)=-2k 2+k+2

在

上是减函数，可得22b b <-->。

例6、已知P 是椭圆22

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x y +=在第一象限内的点，A （2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB

的面积的最大值。

略解：设P （2cos θ,sin θ），(0<θ<л/2),点P 到直线AB ：x+2y=2

的距离

|)2|

5d π

θ+-==≤=

4、判别式法

例7、定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2

上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。

解：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，那么2

11y x =，2

22y x =①由题意，得

2122122)()(3y y x x -+-= ②，又AB 的中点M （x,y ）到y 轴的距离为12

2

x x x +=

③，将① ③ 代入② 整理得02432)(42

2

212

21=--++x x y y y y ④，∵ 21y y 为实数，