相交线(1)

知识点二：同位角、内错角、同旁内角
例4.如图所示，写出图中∠1的同位角．
思路分析：
题意分析：要准确地找出所有的同位角，就必须做到不重复、不遗漏，而出现同位角的条件必须是两条直线被第三条直线所截．
解题思路：由题意知，与∠1构成同位角的三条直线只可能是a、b、l1或a、b、l2，当直线l1.l2被直线a或b所截时，∠1不具有形成同位角的位置特征．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图④，线段PB的长度是点P到直线l的距离．
（2）垂线的性质
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
3.同位角、内错角、同旁内角
如图⑤所示，直线AB、CD与EF相交（也可以说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成的八个角中，具有∠1与∠5这样的位置关系的角称为同位角．同位角的特征：在被截两直线的同一方向；在截线的同旁．图中∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8也是同位角．具有∠4与∠6这样的位置关系的角称为内错角．内错角的特征：在被截两直线之间；在截线的两旁．图中∠3和∠5也是内错角．具有∠4和∠5这样位置关系的角称为同旁内角．同旁内角的特征：在被截两直线之间；在截线的同旁．图中∠3和∠6也是同．
三、考点分析：
本节的主要考点是：（1）对顶角的概念及其性质的应用；（2）同位角、内错角、同旁内角这三类角的识别；（3）应用垂线的性质解决实际问题，其中与生活实际联系密切的应用题、跨学科综合题、最短路径题是中考命题的方向．对本节知识的考查通常以填空题和选择题的形式出现．
年级
初一
学科
数学
内容标题
相交线
编稿老师
巩建兵
一、学习目标：
1.理解对顶角、邻补角、垂直、点到直线的距离等概念；
2.能够利用对顶角、邻补角的性质和垂直的定义解答有关角的问题；
3.掌握垂线的两个性质，体会其性质的应用；
4.了解“三线八角”，为学习平行线打下基础．
二、重点、难点：
重点：对顶角和邻补角的性质，垂线的定义和性质．
2.垂线
（1）垂直的概念
当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如图③，直线AB、CD互相垂直，记作AB⊥CD或CD⊥AB，若垂足为点O，记作AB⊥CD，垂足为O或AB⊥CD于点O．
根据两直线垂直的定义可知：因为∠AOD＝90°，所以AB⊥CD于O；反过来，因为AB⊥CD于O，所以∠AOD＝90°．
1.相交线
（1）邻补角：如图①，两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角．如图②，邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角．邻补角具有特殊的位置关系，是两角互补的特例．
（2）对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．对顶角相等．
思路分析：
题意分析：本题考查邻补角、对顶角性质的应用．
解题思路：由观察图形可知，∠AOF与∠FOB是邻补角，∠BOF与∠AOE是对顶角，利用它们的性质和已知条件可求得∠EOC的度数．
解答过程：设∠BOF＝x，则∠AOF＝3x．
由邻补角的定义可得：x＋3x＝180°．
解方程得x＝45°，即∠BOF＝45°．
解答过程：（1）当三条直线为a、b、l1时，①直线a、l1被直线b所截，得∠1的同位角是∠2；②直线b、l1被直线a所截，得∠1的同位角是∠3．（2）当三条直线为a、b、l2时，①直线a、l2被直线b所截，得∠1的同位角是∠4；②直线b、l2被直线a所截，得∠1的同位角是∠5．图中∠1的同位角共有4个，∠2.∠3.∠4.∠5．
解答过程：C
解题后的思考：①几何问题通过画图来帮助分析可使问题更有直观性．如图所示，画AB、CD交于点O，画∠AOC的平分线OE，∠BOD的平分线OF．②判断OE、OF是否在一条直线上，要看它们是否构成一个平角．③要说明某一结论是错的，只需举一个反例即可．
例2.如图所示，AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC＝120°．求∠BOD、∠AOE的度数．
知识点一：相交线
例1.下列结论错误的是（）
A.∠α的邻补角与∠α的和是180°
B.对顶角的角平分线在一条直线上
C.相等的角是对顶角
D.同一个角的两个邻补角是对顶角
思路分析：
题意分析：本题考查对顶角和邻补角的定义与性质．
解题思路：由邻补角的定义可知A和D是正确的，对于B，如图所示，因为AB、CD相交于点O，根据对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD，则它们的一半也相等，即∠1＝∠2，因为∠COD是一条直线，所以∠1＋∠EOD＝180°，∠2＋∠EOD＝180°，即OE与OF构成平角，所以OE、OF在同一条直线上，对于C，相等的角不一定是对顶角，如图，∠1＝∠3，但它们不是对顶角．
由对顶角相等，得∠AOE＝∠BOF＝45°，
即∠EOC＝∠AOC－∠AOE＝90°－45°＝45°．
解题后的思考：有关图形的计算题常借用方程来求解．一般地，有类似∠AOF＝3∠FOB这样的条件时，引入未知数构建方程较好．
小结：在两条直线相交所形成的四个角中，相邻的是邻补角，相对的是对顶角，理解邻补角和对顶角时要注意两点：一是位置关系，二是数量关系．
思路分析：
题意分析：如图所示，∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOD与∠AOC是邻补角，∠AOE＝∠DOE＝∠AOD．
解题思路：∠BOD与∠AOC是对顶角，可得∠BOD的度数．由于∠AOC与∠AOD是邻补角，可得∠AOD的度数．又由于OE平分∠AOD，可得∠AOE的度数．
解答过程：已知AB与CD相交于点O，
由对顶角相等，得：∠BOD＝∠AOC＝120°，
由邻补角的定义可得：∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，
又因为OE平分∠AOD，
所以∠AOE＝∠AOD＝×60°＝30°
解题后的思考：对顶角、邻补角的性质揭示了两个角的数量关系，因此，我们要善于观察图形，利用这种数量关系求角．
例3.如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOF＝3∠FOB，∠AOC＝90°．求∠EOC的度数．