孟生旺《金融数学基础》参考答案

孟生旺《金融数学基础》
参考答案
（中国人民大学出版社，2015年2月第一版）
第1章 利息度量
1.1
360021500.125,2000(1)2848i i i ⨯=⇒=+=
1.2 /121/1218/121004314271141.6T v v v T =+⇒= 1.3
:
(2)2
i A X i X =⋅, ()()1615:1/21/2B X i X i +-+ 1615[(1/2)(1/2)]0.09458X i i i X i +-+=⋅⇒=
1.4
27.72e 20.025δδ=⇒=, 当0.5i δ= 时, /2
(12)7.0480n n δ+=⇒=
1.5 1/42
100(146%)
114.71-⨯⨯-⨯=
1.6 ()()
11118//m
m
m m i i d d m m m -+=+=-=-⇒=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
1.7 12:()(1.01)
t
A a t =, 2
/12
:()e t
B a t =, 2
12/12
(1.01)e 1.43t t
t =⇒=
1.8 2
:()exp()/2A a t an bn =+, 2
:()exp()/2B a t gn hn =+, 2()/()n a g h b =--
1.9 8
5
12()100(1)exp /4(1)d 2600.129a t d t t d --=-⋅⎡⎤+=⇒=⎢⎥⎣⎦
⎰ 1.10 11/(1)t δ=+, 22
2/(1)t t δ=+, 0.41t = 1.11 2
()(1)a t t =+
1111300(3)600(6)200(2)(5)=315.82a a a X a X ----⨯+⨯=⨯+⨯⇒
1.12 ()1
0.2025
330
(3)exp e
/100d a t t --==-
⎰.
1.13 2
0.5()0.040.031,(0.5)/(0.5)0.068a t t t a a δ'=++== 1.14 ()320
(3)100exp
/100d 109.42A t t X X
=⋅+=+⎰
()623
(6)(109.42)exp /100 1.8776(109.42)
A X t dt X =+⋅=+⎰
(6)(3)(109.42)(0.87761)784.61A A X X X -=+=⇒=
1.15 t = 4时的累积值为：()
3
0.0450
1000exp
0.02d e 1144.54t t ⋅=⎰
令名义利率为x , 则 16
1000(1/4)1144.540.03388x x +=⇒=
1.16 ()
20.075i
=, (4)(2)(2)21/2/2/2ln (1)41(1)0.1466d i i δ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
+=++-+= 1.17 ()()
510
20
5
exp
d exp
/25d 2.71830.414kt t kt t k ⋅=⇒=⎰⎰
1.18 0()exp d (2)/2,()(0)/216t
t a t t t a n a n n δδ⎡⎤==+=-=⇒=⎢⎥⎣⎦⎰ 1.19 201000exp 1068.94d t t δ⋅=⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⎰ 1.20 1010267.5, 10(1.0915)
30(1.0915), 2.3254n
n A B n --==+=
第2章
等额年金
2.1 1363元 2.2 279430元 2.3
26005
2.4 基金在第30年初的现值为65877
3.91, 如果限期领取20年, 每次可以领取57435, 如果无限期地领下去, 每次可以领取39526 2.5 31941.68元, 21738.97元, 46319.35元 2.6 9年 2.7 29月末
2.8 0.1162 2.9 8729.23 2.10 45281.05 2.11 0.2 2.12 302 2.13 4.06%
2.14
假设最后一次付款的时间为n , 则有：
4410000010000(10.05)23.18n a n --=+⇒=
假设在23年末的非正规付款额为X , 则有
4231910000010000(10.05)(10.05)1762.3a X X --=+++⇒=
2.15 601004495.503860000.749329k k a v v k ==⇒=⇒=
2.16 20101020153810721072153846600.08688a a v v i =⇒-+=⇒=
2.17 设j 为等价利率, 则0.040604j =, 168
1000()32430s s =+=&&&&累积值 2.18 以每半年为一个时期, 每个时期的实际利率为/2i , 两年为一个时期的实际利率为
()4
11/2j i =-+, 故 5.891/0.08j i ⇒==
2.19 ()201010
12126410.7520.09569i s i s i i ⋅⋅+⋅⋅=⇒+=⇒=
2.20 {}
ln(1)1exp d d 1n n
t
a n r t r
==+-
+⎰
⎰
2.21 20
()exp d (10.5)t
r a t r t δ==+⎡⎤⎣⎦
⎰, 5(5)(5)(5)...12.828(1)
(2)
(5)
a a a s a a a =
+
++
=
2.22
()88
8
8
1
11188100d (1)d t
t v a a t v t δδδ
δ-=
=
-=-=⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
⎰
⎰
()()5/4
8101810018100v v δδδδ=--⋅⇒=--⎡⎤⎣⎦
()[]
5/4
10
101181001v a δδδ
δ
----=
=
2.23 1/30
2.24 1[ln(/)]/i δδ- 2.25 4e 12e 3n n δ
δ
=⇒=, e 1
12121/6n n s δδδ
-=⇒
=⇒=
第3章
变额年金
3.1 ()29/2
292
29 /2
2972.8865.440.1/2j j j s j Is j s j j -⎡⎤=⋅=⋅⇒=⇒=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
&&&& 3.2 1010900100()a I a += 1088.69
3.3 2312(1)23......n n n n
n i a a v v v nv nv nv i
d
++++++++++=
=
3.4 3
3
5
7
9
22
22468...49.89(1)v X v v v v v =++++==-
3.5
A 的现值为：102010105555()X a a v a ==+
B 的现值为：1020101010306090X a v a v a =++ 故 10
10
20
55(1)3060900.07177574.74v v v
i X +=++⇒=⇒=
3.6 1()()n n n n n
Ia v Da a a -+=⋅&& 3.7 71520()1602146.20Da a +=
3.8 11846.66
3.9
每季度复利一次的利率为0.0194, 所有存款在第八年末的终值为
40.0194
80.08()183.01s Is =&&, /0.08183.0114.64X X =⇒= 3.10 343320
3.11 16607
3.12 现值为5197.50, 累积值为9333.98.
3.13 11
1193070()9998.16a Ia +=&&&&, 终值为23312.11. 3.14 现值为111120()2803246.03Da a +=, 在第20年末的终值为10410.46. 3.15 212.34
3.16 此项投资在第10年末的终值为：
106%
106%80000(5000)500()X s Ds =-+&&&&
80000(5000)(13.97164)500(83.52247)7736.88X X =-+⇒=
3.17 ()
4
106%116%100()200015979.37X v Da a =+=. 3.18 第20年末的终值为：16115%(1)200()19997.38i Ia +=
3.19 前5年的现值为77.79, 从第6年开始, 以后各年付款的现值为：
()510.092010.09v k k +⎛⎫
+ ⎪-⎝⎭
, 总现值为335, 故 3.76%k =.
3.20 104%104%9010()1735.96s I s +=
3.21 第8年的终值为：87%87%605()89
4.48478s Ds +=
第10年末的终值为1024.10. 3.22
10
0(43)exp (0.030.04)d d 89.97t t s s t ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰ 3.23 在时刻5的现值为：
10
2
25
5(1.22)exp (0.00060.001)d d 382.88t
t t s s s t ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰ 时刻零的现值为：5
0382.88exp (0.0040.01)d 346.44t t
⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦
⎰ 3.24 ()10
100
250009exp 1/(9)d d 190131.58t k tk s s t k k ⎡⎤=++=⇒=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰
第4章
收益率
4.1
0.1483 4.2 1221.99 4.3 时间加权收益率0.5426, 币值加权收益率0.5226, 两者之差0.0236.
4.4 93000 4.5 −10%
4.6 120100506565(10050)
136,0.1834100120100501009/12503/12
D D i D D --+-⋅⋅=⇒===-+-+⨯-⨯ 4.7 0.1327 4.8 7.5% 4.9 236.25 4.10
0.0619
4.11 5年末投资者共得到5624
5.5元. 设购买价格为P , 要得到4%的收益率, 有
5(1.04)56245.546229.7P P =⇒=
4.12 20.0820/220/2
5000100000(5000)()34.710.1i i s i Is s i =+⇒=⇒=&&&& 4.13 再投资利率为8.73%. 投资者B 的利息再投资后的积累值为6111.37.
4.14 ()10
200.75100.7512126410.7520.09569i i i s i s i i ⋅⋅+⋅⋅=⇒+=⇒=
4.15 3项投资在2015年初的余额为320.46万元, 在2015年末的余额为344.56万元, 故2015
年中所获利息为24.10万元.
第5章 贷款偿还方法
5.1 X = 704.06
5.2 设每年的等额分期付款金额为R , 由已知
28(1)135R v -=, 147(1)108(1)72R v R v -=⇒-=
5.3 301
301(1)/32/322.69t t R v
R v t -+-+-=⇒=⇒=
故在第23年分期付款中利息金额最接近于付款金额的三分之一. 5.4 10
9
8
3
2
290.35,408.55Rv Rv Rv Rv Rv Rv =++=++
0.05,150.03,1158.4i R L ⇒===. 支付的利息总金额为10341.76R L -=
5.5 1510.6
5.6 （1）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额应为4438.42
（2）第2年末的余额为9231.91 （3）第2年末的贷款净额为10768.09
5.7 0| 4| 6104.56/20000/8.4911%k i i R L a a i ===⇒= 5.8 第5次偿还中的利息为6
6.89万元.
5.9 229
12125,0001 1.02(1.02)(1.02)526i Ra v v v R ⎡⎤=+++⋅⋅⋅⋅+⇒=⎣⎦
5.10 各期还款的积累值为 20
200.0510*******(1)0.0616s i i =+⇒=
5.11 121212155000500.3812 0.09173077.9455000(1)500.38j
n n
j
n a i j j s -=⎧⎪⇒==⎨=+-⎪⎩ 5.12 第一笔贷款偿还的本金为490.34, 第二笔贷款偿还的本金为243.93, 两笔贷款的本金
之和为 734.27. 5.13 3278.
5.14 第3次支付的本金金额为784.7, 第5次支付的利息金额为51.4. 5.15 0.119
6. 5.16 64.74.
5.17 调整后最后一次的偿还额为1239.1. 5.18 第11年末.
5.19 调整后借款人增加的付款为112.
5.20 20301019100001900100()5504.7Xa v a v Ia X =++⇒=. 5.21 11190.11.
第6章
证券定价
6.1 价格为95
7.88元, 账面值为973.27元.
6.2
价格为974.82元, 账面值为930.26元（理论方法）, 929.82（半理论方法）, 1015（实践方法.
6.3
7.227% . 6.4 6.986% .
6.5 10201010101000.11000.091000.089
7.74P a v a v a --=⨯+⨯+⨯=元.
6.6
债券每年末的息票收入为80元, 故有
()()()5432
1082.27(1)80180180
1099.84(1)80(1)80 6.5%
V V i V i i i i i ==+-=+-+-⎡⎤⎣⎦=+-+-⇒=
(3)3 8010001099.8412n n i a v n --⋅+=⇒= 1212 0.065801000(1.065)1122.38P a -=⋅+=元.
6.7
应用债券定价的溢价公式可以建立下述三个等式：
20
2020
40(1) 45(2) 50(3) 2X C i a C Y C i a C X C i a C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎛⎫
=- ⎪⎝⎭⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
由(3)/(1)得：50130
2403
Ci Ci Ci --=
⇒=-
由(1)(3)+得：2020(902)902X
X Ci a a Ci
=-⇒=-
所以有 20(45)/25Y Ci a X =-==元. 6.8 t = 7/12, 理论方法的账面值为87.35元, 实践方法的账面值为87.35元.
6.9
110019019/110910/33n n n v v a =⇒=⇒= 0.0311********.03n n P v a =+=.
6.10 40n n P a M v =+⋅, 30n n Q a M v =+⋅, 令债券C 的价格为X , 则有
8054n n X a M v X P Q =+⋅⇒=-.
6.11 ()()()()
10
10 0.04
10
10 0.0510*******.040.03581.49100011001.05P r a r P r a --⎧=+⎪⇒=⎨-=+⎪⎩ ()
10
10 0.0351*******.0351371100 1.0351371070.80X a -=⨯+⨯=
6.12 ()()()219
202320
105050 1.03 1.03 1.03837.78P v v v v v ⎡⎤=+++++=⎣⎦
L .
6.13 偿还值的现值为55200584.68()v a =元, 未来息票收入的现值为
5556012()355.99()a v Da +=元, 故债券的价格为940.67元. 也可以应用Makeham
公式计算, 即0.06/0.07(1000584.68)584.68940.67P =⨯-+=元.
6.14 20
20 10
104010001071.06401041.58P a v P P a X v X ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎪⎩⎩
6.15 债券每年末的息票收入为60元, 修正息票率为60/1050 = 5.7143%, 小于投资者所要求
的收益率8%, 所以赎回越晚（即到期时赎回）, 债券的价格越低. 由此可得该债券的价格为1010501050(5.7143%8%)888.94P a =+⨯-⨯=元.
6.16 股票在第六年的红利为6
0.50.2(1.10)⨯⨯, 以后每年增长10%. 应用复递增永续年金
的公式, 该股票的价格为6
51
0.50.2(1.10) 1.1110.510.110.1
P -=⨯⨯⨯
⨯=-元.
6.17 投资者每个季度的实际收益率为 2.47%j =, 应用复递增永续年金的公式, 投资者购
买该股票的价格为0.3/(2.47%2%)63.83P =-=元. 6.18 1.5/305%10%i =+=. 6.19 30元.
6.20 每股利润为109.500.50-=元, 保证金为100.505⨯=元, 保证金所得利息为
50.0500.25⨯=元, 每股红利为0.1元, 卖空收益率为(0.50.250.1)/513%+-=.
6.21 8.59%
第7章
利率风险
7.1
15D =马, 基于名义收益率的修正久期为15/(11%)14.85D =+=. 年实际收益率
为12.68%i =, 基于实际收益率的修正久期为15/(112.68%)13.31D =+=.
7.2 1
()/()e 1
n n
D P P δδδδ'==
-
-
7.3 假设债券的面值为100, 则92.648.027.57P D D ===马，， 7.4
债券的马考勒久期可以表示为nm j a D m
=
&&马, 其中()
/m j i
m =. 变形可得：
()
()()11(1)1(1)(1)n n m m m nm j
n
i v D j a j a m i d
--+-=+=+==&&马. 7.5 对年金的现值关于利率i 求导, 应用修正久期的定义公式可得1
11n n
nv D i v +=--.
7.6
对于期末付永续年金, 现值为()1/P i i =, 2
()1/P i i '=-, 所以修正久期为1/D i =, 马考勒久期为=(1)(1)/D D i i i +=+马.
7.7
对于期初付永续年金, 现值为()(1)/P i i i =+, 2
()1/P i i '=-, 所以修正久期为
1/[(1]D i i =+）, 马考勒久期为=(1)1/D D i i +=马.
7.8 24 /2()
510096.53()169.29 1.75()
i P i P a v P i D P i ''=+=⇒=-⇒=-= 7.9
7.49D =效
7.10 7.8861D D i =
=+马, () 1.18%P
i D P
∆=-∆⋅= ⇒ 新的债券价格近似为：75.98 1.01876.88⨯= 7.11 8.92D =效, 13.35C =效.
2()0.5()8.85%P
i D i C P
∆=-∆⋅+⋅∆⋅=-, 债券的新价格近似为95.59元. 7.12 修正久期为8.12, 凸度为101.24. 7.13 马考勒凸度为105.15.
7.14 22231d 1d 2
16.67d d P P P i i i i i
==⇒
=- = ()1
16.67()P i D P i i
'⇒=-==
2()2
555.55()P i C P i i
''⇒=
== 7.15
2()0.5() 4.28%P
i D i C P
∆=-∆⋅+⋅∆⋅=- 7.16 负债的现值为12418.43L P =, 负债的马考勒久期为5L
D =马, 负债的马考勒凸度为
25L C =马. 不妨假设两种零息债券的面值均为1000元, 则
4年期零息债券的价格为4
41000/(1)683.01P i =+=元, 10年期零息债券的价格为
10101000/(1)
385.54P i =+=元. 假设有%x 的债券投资4年期的零息债券, (1%)x -的债券投资10年期的零息债券, 由A
L
D D =马马, 有：(%)(4)(1%)(10)5%83.33%x x x +-=⇒=
投资4年期零息债券的金额为10348.28元, 投资10年期零息债券的金额2070.15元. 7.17 债券A 的价格为982.17元, 马考勒久期为1.934, 马考勒凸度为3.8. 债券B 的价格为
1039.93元, 马考勒久期为4.256, 马考勒凸度为19.85. 在债券A 上投资11.02%, 在债券B 上投资88.98%, 则债券组合的马考勒久期等于负债的马考勒久期, 均为4年, 债券组合的马考勒凸度为18.08, 大于负债的马考勒凸度16, 满足免疫的条件. 7.18 各种债券的购买数量分别如下：
购买5年期债券的数量 80000 购买4年期债券的数量 300000 购买2年期债券的数量 600000 购买1年期零息债券
100000
购买各种债券以后净负债的现金流如下（单位：万元）： 年度 1 2 3 4 5 负债的现金流
1794 6744 144 3144 824 5年期债券的现金流 24 24 24 24 824 净负债的现金流 1770 6720 120 3120 0 4年期债券的现金流 120 120 120 3120 0 净负债的现金流 1650 6600 0 0 0 2年期债券的现金流 600 6600 0 0 0 净负债的现金流 1050 0 0 0 0 1年期债券的现金流 1050 0 0 0 0 净负债的现金流
第8章
利率的期限结构
8.1
一年期债券的价格为102.78P =；两年期债券的价格为92.96P =；三年期债券的价格为112.43P =.
11
111
102.788%1s s =⇒=+ 22
12323
123510592.969.03%1(1)1515115
112.4310.20%1(1)(1)
s s s s s s s =
+⇒=++=++⇒=+++
8.2
现金流分别按对应的即期利率折现得债券的价格为：
23
1010110
105.751.05 1.06 1.08
P =++= 8.3 各年远期利率分别为8%、10.1%和12.6%. 8.4
假设债券的面值为100元, 计算5年期债券的价格：
2345234512345234
12341010101011010101010110
1.07 1.07 1.07 1.07 1.071(1)(1)(1)(1)1111 3.741(1)(1)(1)
s s s s s s s s s ++++=++++
+++++⇒
+++=++++
每年支付40元的5年期期初付年金按对应的即期利率折现即得其现值为：
23412341111401189.751(1)(1)(1)s s s s ⎡⎤++++=⎢⎥++++⎣⎦
8.5
由远期利率计算的债券价格为：
1010110
107.251.07(1.07)(1.05)(1.07)(1.05)(1.1)
++=（元）
8.6
假设债券的面值为100元, 则有：00104
1004%(1)
f f =
⇒=+
100120010126106
1008.16%
(1)(1)(1)
88108
10012.69%
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
f f f f f f f f f f f ⇒=
+⇒=+++⇒=++⇒=++++++
8.7 应用即期利率和远期利率的关系, 有
10102
2012330123116%
(1)(1)(1) 5.50%
(1)(1)(1)(1) 6.98%
s f s f s f f s s f f f s +=+⇒==+=++⇒=+=+++⇒=
8.8
用t C 表示债券在t 年末的现金流入, 则有：
1111
20%1.21C C
s s =⇒=+ 1212
222220%1.2 1.2 1.2(1)
C C C C s s +=+⇒=+ 33121232323320%1.2 1.2 1.2 1.2 1.2(1)
C C C C C C
s s ++=++⇒=+ 8.9
1001120%s f f +=+⇒=
3
2
11221.21.2(1.2)(1)20%,120%1.2
f f f =+⇒==-=
8.10 00
110
106 3.77%1f f =
⇒=+ 100120010125105
9512.20%1(1)(1)
99109
1029.37%
1(1)(1)(1)(1)(1)
f f f f f f f f f f f =
+⇒=+++=++⇒=++++++
用远期利率计算年息票率为15%, 面值为100元的3年期债券的价格：
0010121515115
117.651(1)(1)(1)(1)(1)P f f f f f f =
++=++++++ 8.11 用远期利率分别计算3年期和4年期零息债券的价格可得：
012100
82(1)(1)(1)
f f f =
+++，
30123100
759.33%(1)(1)(1)(1)
f f f f f =
⇒=++++
8.12 21012012115%,
(1)(1)(1)6%s f s s f f s +=+⇒=+=++⇒=
假设债券的面值为100元, 则有：323
3881081008.2%1.05 1.06(1)s s =
++⇒=+
8.13 通过收益率计算的债券价格为 2
610693.061.1(1.1)P =
+= 通过即期利率计算的债券价格为2
610694.831.07(1.09)
P =
+= 债券价格被低估了1.77元, 故可以按94.83元的价格购买一个2年期债券, 同时按即期利率出售一个1年期的面值为6元的零息票债券和一个2年期的面值为106元的零息票债券.
8.14 与远期利率一致的债券价格为
5510597.421.05(1.05)(1.06)(1.05)(1.06)(1.07)
P =
++=（元） 债券的市场价格为100元, 说明债券被高估了, 因而存在套利机会.
套利者可以按100元的价格卖出一个三年期债券, 同时将97.42元按4%的利率投资一年. 在第一年末, 支付已出售债券的5元利息后, 把剩余的资金在第二年按6%的远期利率再投资一年. 在第二年末, 支付已出售债券的5元利息后, 把剩余的资金在第三年按8%的远期利率进行投资. 在第三年末的累积值正好用于支付套利者所售债券在第三年末的偿还值. 完成上述步骤后, 套利者即可在当前时刻获得100 - 97.42 = 2.58元的无风险收益.
第9章
远期、期货和互换
9.1
股票多头的回收和盈亏如下表所示： 1年后的股票价格
多头的回收
多头的盈亏
50 50 −16 60 60 −6 70
70
4
如果1年后的股票价格为66元时, 则股票多头的回收为66元. 购买股票的初始费用在1年后的累积值为66元, 所以盈亏为0元. 9.2
股票空头的回收和盈亏如下表所示, 与多头的回收和盈亏正好相反. 1年后的股票价格
空头的回收 空头的盈亏
50 −50 16 60 −60 6 70
−70
−4
如果1年后股票的价格是66元时, 则空头的回收为−66元. 初始所得在1年后的累积
值为66元, 所以盈亏为 0元. 9.3 4
0.06/40.061
(105 1.7e )e 104.54t t F -==-⨯=∑（元）
9.4
日股利为0.02/3651050.00575⨯=元. 若在年初持有一单位股票, 年末将持有
0.02e 1.0202=单位. 若要在年末持有一单位股股票, 年初应持有0.02e 0.9802-=单位,
故投资额为0.02105e 102.92-=元. 9.5
（1）0.060.570e 72.13F ⨯=⨯=元. （2）0.0670e 720.032δδ-⨯=⇒=.
9.6
无套利的远期价格为 0.060.5105108.20F e ⨯==（元）
（1）远期价格115 > 108.20, 所以投资者可以先签出一份远期合约, 约定在6个月末以115元的价格卖出股票. 同时借入105元购买股票, 承诺在6个月末还款. 到6个月末, 以115元卖出手中的股票, 同时偿还借款108.20元, 最终无风险获利6.80元. （2）远期价格107 < 108.20, 所以投资者可以先签订一份远期合约, 约定在6个月末以107元购买股票. 同时将手中持有的股票卖出, 获得105元, 将这105元投资于5%的零息债券, 6个月末可以获得108.20元. 6个月末利用远期合约买入股票, 最终获得无风险利润1.20元.
9.7 22
838483.491.05 1.055 1.05 1.055x x
x +=+⇒= 9.8
（1）2323
82838482.981.05 1.055 1.06 1.05 1.055 1.06x x x
x ++=++⇒= （2）2323
838483.501.055 1.06 1.055 1.06
x x
x +=+⇒= 9.9
四个时期的浮动利率分别为0.06、 0.07、 0.08和 0.09. 互换利率为0.0745.
9.10 应用债券组合的定价方法：
0.13/120.1059/120.1115/120.13/124e 4e 104e 98.24(5.1100)e 102.5198.24102.51 4.27
B B f B B -⨯-⨯-⨯-⨯=++==+==-=-=-固浮浮固
第10章 期权
10.1 远期多头的回收分别为−10元、−5元、0元、5元和10元, 空头的回收是其相反数. 看涨期权多头的回收分别为0元、0元、0元、5元和10元. 看跌期权的回收分别为10元、5元、0元、0元和0元.
10.2 回收分别为0元、0元和5元. 盈亏分别为−6.01元、−6.01元和−1.01元.
10.3 看跌期权的回收分别为5元、0元和0元. 盈亏分别为3.96元、−1.04元和−1.04元. 10.4 组合的回收分别为105元、105元、110元和115元. 组合的盈亏分别为−7.56元、−7.56
元、−2.56元和2.44元.
10.5 组合的回收分别为−105元、−105元、−110元和−115元. 组合的盈亏分别为12.81元、
12.81元、7.81元和2.81元.
10.6 多头的盈亏为0.95元, 盈亏平衡点为42.05元. 10.7 多头的盈亏为3.47元, 盈亏平衡点为28.53元. 10.8 看跌期权的期权费是3.13元. 10.9 10.2417d =, 20.09167d =.
根据Black−Scholes 公式, 欧式看涨期权价格为：12()e () 3.61rT
C S d K d -=Φ-Φ=
根据平价公式, 欧式看跌期权价格为e 2.38rT P C K S -=+-=
10.10 1.0905u =, 1/0.9170d u ==, 0.5266r t e d
p u d
∆-=
=- 欧式看跌期权的价值为2.62, 相应的二叉树如下：
美式看跌期权的价值为2.71, 相应的二叉树如下：
10.11 1.0524u =, 1/0.9502d u ==, ()0.5118r t
e
d
p u d
τ-∆-=
=-
欧式看涨期权的价值为19.63, 相应的二叉树如下：
10.12 回收和盈亏如下表：
股票价格 看跌期权回收
总回收 成本及其利息 盈亏 90 5 95 −105.98 −10.98 100
100
−105.98
−5.98
10.13回收和盈亏如下表：
股票价格看涨期权
回收
股票空头
回收
总回收
净收入
及其利息
盈亏
90 0 −90 −90 94.03 4.03
100 5 −100 −95 94.03 −0.97 10.14回收和盈亏如下表：
股票价格看涨期权
回收
空头回收总回收
净收入
及其利息
盈亏
100 0 −100 −100 97.44 −2.56 110 5 −110 −105 97.44 −7.56
10.15回收和盈亏如下表：
股票价格看涨期权
回收
看跌期权
回收
贷出资金
回收
总回收
净成本
及其利息
盈亏
90 0 −5 95 90 −105 −15
100 5 0 95 100 −105 −5 10.16回收和盈亏如下表：
股票价格看涨期权
回收
看跌期权
回收
借入资金的
回收
总回收
净收入
及其利息
盈亏
100 0 5 −105 −100 105 5 110 −5 0 −105 −110 105 −5
10.17105(9.31 1.69) 1.0597
--⨯=
10.18通过下表可以看到两种交易的盈亏相同：
股票价格买进看涨期权
的回收
卖出看涨期权
的回收
总回收
净成本
及其利息
盈亏
90 0 0 0 −2.46 −2.5
100 5 0 5 −2.46 2.54 10.19通过下表可以看到两种交易的盈亏相同：
股票价格买进看涨期权
的回收
卖出看涨期权
的回收
总回收
净成本
及其利息
盈亏
90 0 0 0 3.41 3.41 100 0 −5 −5 3.41 −1.59
第11章
随机利率
11.1 A 10的完整分布如下：
概率 A 10 (A 10)2 0.20 1.63 2.65 0.40 2.10 4.41 0.40
2.91
8.48
(1) 十年末累积值的期望为2330.05元.
(2) 十年末累积值的方差为255027.66, 标准差为505.
11.2 期望累积值为2593.74元. 累积值的方差为83865.54, 标准差为289.60. 11.3 期望累积值为1560.9元. 11.4 公式（3）和（4）是正确的.
11.5 三个投资额的期望累积值分别为6350.4元, 3528元和2240元. 第3年末该账户的期望
累积值为12118.4元.
11.6 期望累积值为1.1449, 累积值的方差为0.000916.
11.7 (1) ln(1)t i +的期望为0.073189, ln(1)t i +的方差为0.000122.
(2) ()()2
5050ln 50, var ln 50E A A μσ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()[][]
5050Pr 100040000Pr ln ln 40Pr 0.3761Pr 0.376A A Z Z >=> ≈> =-<⎡⎤⎣⎦ []Pr 0.3760.65Z <=, ()50Pr 1000AV 400000.35>= 11.8 累积价值的95%置信区间为（0.81, 1.34）. 11.9 (1)t i +的期望和方差分别为2
22
/2
2E(1)e , var(1)e (e 1)t t i i μσ
μσσ+++=+=-, 故有
E()0.0844, var()0.00235t t i i ==
假设年收益率的中位数为k , 则有
()ln(1)Pr()0.5Pr ln(1)ln(1)0.5Pr 0.5t t k i k i k Z μσ+-⎛⎫<=⇒+<+=⇒<= ⎪⎝⎭
ln(1)08.33%k k μ
σ
+-=⇒=.
11.10 利率树：
现金流和各节点的价值：
可赎回债券的价格为99.19元.
11.11 第1年末的即期利率由当前的即期利率发展而来, 在当前利率水平的基础上上调30%的概率为0.75, 下降30%的概率为0.25. 第2年末的即期利率由第1年末的即期利率发展而来, 在第1年末利率水平的基础上上调30%的概率为0.75, 下降30%的概率为0.25. 利率树如下：
[]()()()()()()()()()()()()
2E 0.750.750.08450.750.250.050.250.750.050.250.250.029596.813%
i =+++=。