博士研究高等数值分析试题

一、写出5n =时 Lagrange 插值基函数2()l x 的表达式；

解：0134522021232425()()()()()

()()()()()()

x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x -----=

-----

二、设)(f x 的函数值及导数值为：312110='==)(f ,)(f ,)(f ，试求次数不超

过2的插值多项式。

解：因为若)(x f 在],[b a 上有三阶连续导数，已知)(x f 在],[b a 上两个互异点

10,x x 上的函数值)(0x f ，)(1x f 和一阶导数值1()f x '，则次数不超过二次的插值多项式为

2

010*********

010110

()(2)()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x L x f x f x f x x x x x x x --+---'=-+--- 并且插值余项为

2011

()()()(),(,)6

R x x x x x f a b ξξ'''=--∈

所以本题的插值多项式为

222()(1)2(2)3(1)12L x x x x x x x x =---+-=-+ 三、

x

的插值二次式)(x p 2，使得15225p 13,169p 11121222===)()(,)(p ，

解：0(169)(225)1

()(169)(225)(121169)(121225)4992

x x l x x x --=

=----

1(121)(225)1

()(121)(225)(169121)(169225)2688x x l x x x --=

=-----

2(121)(169)1

()(121)(169)(225121)(225169)5824

x x l x x x --=

=----

插值多项式为

2111315

()(169)(225)(121)(225)(121)(169)499226885824

L x x x x x x x =

-----+--

2111315

(145)(145169)(145225)(145121)(145225)(145121)(145169)

499226885824

L =-----+--

2112024960864012.0329674992

2688

5824

=+-≈

四、对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线2210)(x a x a a x y ++=

解：取()1x ω=，0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，22()x x ϕ=，22012()p x a a x a x =++，由于 5

1

15i ==∑，5

1

0i i x ==∑，5

21

10i

i x ==∑，5

31

0i

i x ==∑，5

41

34i

i x ==∑，5

1

22i i y ==∑，

5

1

1i i

i x y

==-∑，5

21

79i i i x y ==∑，从而可得法方程组为

012501022010011003479a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

解次方程组可得

00.6a =- 10.1a =- 2 2.5a = 故所求二次拟和合曲线为20.60.1 2.5y x x =--+。

五、设n x x x x ,,,,210⋅⋅⋅是互不相同的节点，)(x l i 是插值基函数，求证：对任何

k =0,1,2,…,n 下式成立： （1） k

i n i k

i x x l x =∑=)(0

（2）

0)()(0

=∑-=x l x x i n

i k i

证明：(1) 令()k f x x = （0,1,2,

,k n =）， 则()f x 的Lagrange 插值多项式为

()()()()n

n

k i i i i i i Ln x l x f x l x x ====∑∑

其中()(0,1,2,,)i l x i n = 为Lagrange 插值基函数。

插值余项为

(1)11

()()-()()()(1)!

n n Rn x f x Ln x f x n ξω++==

+

其中 ()()i x x x ω=∏-n

n+1i=0

，ξ在01,,

,n x x x 之间.

由于()k f x x = (0,1,2,

,)k n =故(1)()0n f x +=，从而()0n R x ≡,

即()()n f x L x ≡), 故

()(0,1,2,

,)0

n

k k l x x x k n i i i ===∑=

(2) 根据二项式展开定理有： 0

00(-)()(()

)()()()n

n

k

k

n

k

n j k j

n k j j

i i j i

i j

i i i i j j i x x l x C x x l x C x x l x --======-=-∑∑∑∑∑ (1)

n

k j

k j

j j

i C x

x ---∑∑k

n

i

j=0i=0

=l(x) (由(1)结论可得)

0(1)

(1)k

n

n k j

k j

j

n k j k

j

j j j C x

x C x ---===-=-∑∑ 0

(1)(1-1)0n

k

n

k j k k j

j x C

x -==-==∑

六、 证明：若,1

)(x

a x f -=

则()f x 在节点01,,,n x x x 处的 n 阶差商为 012011

[,,,,]()()()

n n f x x x x a x a x a x =

--- 证明：当n=1时，有

01011001()()1

[,]()()

f x f x f x x x x a x a x -==

--- 结论成立，假设当n=k-1时成立，对n=k 有

0121120120[,,,,][,,,]

[,,,,]n n n n

f x x x x f x x x f x x x x x x --=-

001112111[]()()()()()()()

n n n x x a x a x a x a x a x a x -=-------- 1100111

[]()()()()()

n n n a x a x x x a x a x -=------ 011

()()()

n a x a x a x =

--- 所以对任何n 上式都成立，证毕。

七、已知函数()x f y =的数据如下： ()()()122,31,20===f f f ， ()1475=f （1）求()x f y =的三次Lagrange 插值多项式及牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。

（2）如果再增加一个节点()31f =-，试利用（1）的结果，来求在新的条件下，()x f y =的牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。 解：（1）Lagrange 插值多项式：