高中数学归纳《函数的单调性》

【知识要点】

一、判断函数单调性的方法

判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像 1、定义法

用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设D x x ∈21,，且12x x <；②作差，求)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.

2、复合函数分析法

设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：

()u g x =

()y f u =

[()]y f g x =

增 增 增 增 减 减 减 增 减 减

减

增

3、导数判断法

设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数()f x '，若()f x 在区间(,)a b 内，总有()0(()0)f x f x ''><，则

()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）.

4、图像法

一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D ，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D 是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 二、证明函数的单调性的方法

证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.

三、求函数的单调区间

求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.

2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.

3、导数法:先求函数的定义域D ，然后求导()f x '，再解不等式()()0f x '>< ,分别和D 求交集，得函数的递增（减）区间 .

4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.

四、一些重要的有用的结论

1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数x

y 1=、x y =和3

x y =；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数2

x y =.

2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数⨯增函数不一定是增函数，函数x y =和函数3

x y =都是增函数，但是它们的乘积函数4

x y =不是增函数. 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.

5、在多个单调区间之间不能用“或”和“

”连接，只能用逗号隔开.如函数()y f x =的增区间为

(1,2),(3,5).不要写成(1,2)(3,5).

【方法讲评】

【例1】证明函数()(0)f x x a x

=+

>在区间)+∞是增函数.

【点评】（1）本题就是利用定义判断函数单调性的典型例题，其中关键是第三步变形，多利用因式分解等知识,但是一定要变形到最后能判断它的符号为止.（2）有些同学在判断)()(21x f x f -的符号时，没有利用到D x x ∈21,，且12x x <，一般情况下是有问题的，必须利用这些条件你才能确定)()(21x f x f -符号. 学.科.网

【反馈检测1】讨论函数21)(++=x ax x f )2

1

(≠a 在),2(+∞-上的单调性.

【例2】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有

1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.

（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2

(21)2f x -<. 【解析】12(1)1(1)(1)(1)(1)0x x f f f f ==∴=+∴=令

121[(1)(1)](1)(1)02(1)(1)0x x f f f f f ==-∴-⨯-=-+-∴=-∴-=令

121[(1)]()(1)()()()x x

x f x f x f f x f x f x ==-∴⨯-=+-∴-=∴令是偶函数

1112122

22222

(2)0()()()()()()()x x

x x f x f x f x f x f x f f x x x >>∴-=-=+-设 1

1

1

12122

2

2

(

)011()0(

)0()()0x x x f x x x f x f f x f x x x x =>>∴

>>>∴>∴->时，

0+∴∞函数在（，）上是增函数

【点评】（1）本题是对抽象函数的单调性的判断和证明，其实和具体的函数的单调性的判断和证明的 方法本质上是一样的.区别在于一个有解析式，一个没有.所以在变形和判断)()(21x f x f -的符号时，难度要大一些，主要是充分利用已知条件进行变形.(2)本题第2问的关键是对1()f x 的变形，要充分利用已知条件“1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >”，所以可以这样拆，

1

12

2

()()x f x f x x =122()()x f x f x =+.（3）对于抽象函数的问题，常用赋值法解答，即根据解题的需要，

给已知条件中的等式的变量赋恰当的值.

【反馈检测2】已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠时，有

()()0f m f n m n +>+.（1）解不等式1

()(1)2

f x f x +<-（2）若2()21f x t at ≤-+对所有

[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围.

方法二 导数法

使用情景 一般使用于结构较复杂的函数.

解题步骤

先求函数的定义域，再求导()f x '，再判断()f x '的符号，最后下结论.

【例3】已知函数1ln )1()(2

+++=ax x a x f （1）讨论函数)(x f 的单调性；

（2）设1-