专题14.3 因式分解(解析版)

专题14.3 因式分解

1.因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.

2.因式分解方法

（1）提公因式法：找出最大公因式.

（2）公式法：

①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-

②完全平方公式：()2

222a ab b a b ±+=± 3.分解因式的一般步骤

若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ),完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.

【例题1】因式分解：ab ﹣a ＝ ．

【答案】a （b ﹣1）．

【解析】提公因式a 即可．

ab ﹣a ＝a （b ﹣1）．

【点拨】本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．

【例题2】把多项式4a 2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）

A ．（4a +1）（4a ﹣1）

B ．（2a +1）（2a ﹣1）

C ．（2a ﹣1）2

D ．（2a +1）2

【答案】B

【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）；完全平方公式：a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2；

4a 2﹣1＝（2a +1）（2a ﹣1），

【点拨】本题考查了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。

【例题3】分解因式3x 2﹣27y 2＝ ．

【答案】3（x +3y ）（x ﹣3y ）

【解析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．

原式＝3（x2﹣9y2）＝3（x+3y）（x﹣3y），

【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

【例题4】分解因式：xy2﹣2xy+x＝．

【答案】x（y﹣1）2．

【解析】xy2﹣2xy+x，

＝x（y2﹣2y+1），

＝x（y﹣1）2．

【点拨】提取公因式和完全平方公式结合。

【例题5】因式分解：x2﹣9＝．

【答案】（x+3）（x﹣3）．

【解析】原式利用平方差公式分解即可．

原式＝（x+3）（x﹣3）

【点拨】直接利用公式。

【例题6】分解因式：ax2﹣4a＝．

【答案】a（x+2）（x﹣2）．

【解析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

ax2﹣4a，

＝a（x2﹣4），

＝a（x+2）（x﹣2）．

【点拨】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

一、选择题

1.a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为( )

A．a2b（a2﹣6a+9） B．a2b（a﹣3）（a+3） C．b（a2﹣3）2 D．a2b（a﹣3）2

【答案】D

【解析】提公因式法与公式法的因式分解。要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，

a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2。故选D。

2.把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（）

A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2

C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）

【答案】A

【解析】原式利用完全平方公式分解即可．

x2﹣6x+9=（x﹣3）2

3．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c 之值为何？（）

A．0 B．10 C．12 D．22

【答案】C

【解析】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．

首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．

利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，

可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．

∴a=﹣5，b=11，c=6，

则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．

4．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15

【答案】A

【解析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解．

∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），

x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），

∴乙为x﹣2，

∴甲为x+2，丙为x+17，

∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．

5．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）

A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）

C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2

【答案】C

【解析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．

8a3﹣8a2+2a

=2a（4a2﹣4a+1）

=2a（2a﹣1）2．

6．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c 之值为何？（）

A．0 B．10 C．12 D．22

【答案】C

【解析】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．

首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．

利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，

可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．

∴a=﹣5，b=11，c=6，

则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．

7．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15

【答案】A

【解析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解．

∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），

x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），

∴乙为x﹣2，