有限元静力分析基本原理
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制造 （ ＣＡＭ） 的重 要 组成 部 分 。
移 模 式 中 的 常 数 项 和 一 次 项 反 映 ｒ 元 刚 体 位 移 和 常 应 变 单 的特 性 。当 划 分 的单 元 数 趋 向 于 无 穷 大 时 ， 元缩 小趋 于一 单 点 ． 时 单 元 应 变 趋 丁 常应 变 。 此
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“ 蠹 。强 ＊ 强
交蛄… 一
％ Ⅲ ＝ ¨ Ⅲ≈
有限元 静力分析基本原理
郭 素娟 ， 吴 呜 ， 李江 涛
１ 郑州大学综合设计研究院（５ ０２ ２ ４ ００ ） 核工业第五研究设计院（５０ ２ ４０５）
摘 要 ： 述 了用 大型 有 限 元 软 件 进 行 粱 结 构 静 力 分 析 的 主 要 过 程 ， 用 有 限元 程 序 建 立 梁 结 构 的 有 限元 计 算 模 论 本 原 理
１ １要 点 ．
有 限 元 法 的理 论 是 建 直 在 加 权 余 量 法 和 变 分 原 理 的 基
础 上 的． 有 限元 法来 分 析 Ｔ 程 或 物 理 问 题 的 要 点 可 归 纳 如 用
下：
２ 位 移 插 值 函数 的建 立 ）
含的项数 。
② 用单元结 点ａ位 移表示 广 义 标 ｐ， ’ 惯用的单元纳点
化移排列是：
度 问题 。
ａ－１ ｌ２２ ｅ［ …ｒ ￣１ ｖ Ｕ ｖ ｌ
为便 丁 求解 广 义 坐标 Ｂ， 町采 刖 另 一 种 示 方 法 ， 如
将 二 维 或 ｉ维 连 续 体 离 散 为 有 限 个 单 元 的 集 合 体 时 ， 通 常 要 求 单 元 具 有 简单 而 规 则 的 几 何 形 状 以 便 计 算 。 常 ｊ ｝ ｛ ＿ 的 二 维 单 元 有 ÷ 角 形 或 矩 形 ， 用 的 兰 维 单元 有 四 面 体 、 常 五 面体 或 平 行 六 面体 。 同 样 形 状 的 单 元 还 ＿ 有 不 同 的 单 元 的 口 ｆ 结点 数 ， 因此 单 元 的种 类 繁 多 。如何 选 择 合 适 的单 元 进 行 计 算 ， 及 导求 解 州 题 的类 型 、 计 算 精 度 的 要 求 等 方 面 的 因 涉 对 素。 １ 位 移 模 式 的 选 择 ） 单 元 中 的位 移 模 式 一 般 采 用 广 义 坐 标 为 待 定 参 数 的有 限元 多项 式 作 为 近 似 函 数 ， 选 取 原 则 可 考 虑 以 下几 点 ： 其
③ 多项 的选取应 由低 阶到高阶 ， 避选 取完拿多项式 尽
以提 高 单 元 的 精 度 。 一般 米 说 ， 于 单 兀 堪边 有 ２个端 结 点 对
的应 保 证 一 次 完 全 多 项 式 边 有 ３个 结 点 的 应 取 二 次 完 全 每 多 项 式 。若 由于 项 数 限制 不 能 选取 完 全 多 项 式 时 ， 选择 的 多 项 式 廊 具 有 坐 标 的对 称 性 ： 且 ， 个 坐 标 方 向 的 次 数 不 应 并 一 超 过 完 全 多 项 式 的 次 数 ． 保 证 相 邻 单 元 交 界 面 （ ） 位 以 线 上
在 选 定 ， 坐 标 有 限元 的 移 模 式 以后 ， “义 重要 的 步 骤 就
１ 将 一 个 表 示 结 构 或 连 续 的 求 解 域 离 散 为 若 十 个 子 域 ） （ 元 ） 并 通 过 它 们边 界 上 的 结 点 相 互 联 结 成 为 组 合 体 。 单 ， ２ ＿ 每 个 单 元 内所 假 没 的 近 似 函数 来 分 片 地 表 示 权 求 ）＝ ｝ ｛ ｊ 解 域 内待 求 的未 知 场 变 量 ， 每 个 单 元 内 的 近 似 函 数 由 未 知 而 场 函 数 存 单 元 各 结 点 上 的数 值 和 与 其 对 应 的 插 值 函数 来 表 达 （ 表 达 式 通 常表 示 为 矩 阵 形 式 ） 由 于相 邻 单 元 结 点 的 此 。 场函数数值相 同 ， 町作 为 数 值 求 解 的 基 本 未 知 量 。 冈而 ， 求 解 原 来 待 求 场 函 数 的 无 穷 多 自由 度 问 题 转 换 成 为 求 解 场 函 数 结 点 值 的 有 限
３ Ｉｌ ２ ｖ ｖ『 ｅ ｌｕ … ｌ２ －ｌ Ｊ
，
将 单 元 结 点 坐标 代 入 ｕ Ｂ， 到 ＝ 得 ａ＝ ｔ Ａ３
③ 将单元结点 ｆ 移表示 单元 位移 数 ｕ 得到单元捅值 、 ） ． ，
函 数 矩 阵 Ｎ。
ｕ 中Ａ一 Ｎ ： －～ａ ａ
将 结 点 位 移 ａ 改 为 一 般 排 列 顺 序 －， 有 。 Ｌ 则 １
型 ． 有 限 元 计 算 模 型 进 行 静 力 的有 限元 分 析 。 对 关 键 词 ： 结 构 ； 力 ； 限 元 分 析 梁 静 有
０引 言
有 限 单 元 法 （ 称 为 有 限 元 法 ） 在 当今 工 程 分 析 中 获 也 是 得 最 广 泛 应 用 的数 值 计 算 方 法 。 山于 它 的 通 用 性 和 有 效 性 ， 受 到 工 程 技 术 界 的高 度 重 视 。 伴 随 着 计 算 机 科 学 和 技 术 的 快 速 发 展 ． 已 成 为 计 算 机 辅 助 设 计 （ Ａ １ 算 机 辅 助 现 Ｃ Ｄ） 计
１２一 般 格 式 ．
是 建 立 单 元 位 移 场 的 捅 值 鬲 数 表 达 式 。 现 给 ｆ 义 坐 标 有 ¨广 限 元 的一 般 步骤 和 表 达 式 如 下 ：
① 以广 义坐标为待定 参数 ， 出单元 内位移 １ 则： 给 １ ，
ｕ ￣１ ＝ ３
其 中 ， 为 位 移 模 式 ， 示 位 移 作 为 坐 标 的 函 数 中所 包 中 表
移 模 式 中 的 常 数 项 和 一 次 项 反 映 ｒ 元 刚 体 位 移 和 常 应 变 单 的特 性 。当 划 分 的单 元 数 趋 向 于 无 穷 大 时 ， 元缩 小趋 于一 单 点 ． 时 单 元 应 变 趋 丁 常应 变 。 此
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有限元 静力分析基本原理
郭 素娟 ， 吴 呜 ， 李江 涛
１ 郑州大学综合设计研究院（５ ０２ ２ ４ ００ ） 核工业第五研究设计院（５０ ２ ４０５）
摘 要 ： 述 了用 大型 有 限 元 软 件 进 行 粱 结 构 静 力 分 析 的 主 要 过 程 ， 用 有 限元 程 序 建 立 梁 结 构 的 有 限元 计 算 模 论 本 原 理
１ １要 点 ．
有 限 元 法 的理 论 是 建 直 在 加 权 余 量 法 和 变 分 原 理 的 基
础 上 的． 有 限元 法来 分 析 Ｔ 程 或 物 理 问 题 的 要 点 可 归 纳 如 用
下：
２ 位 移 插 值 函数 的建 立 ）
含的项数 。
② 用单元结 点ａ位 移表示 广 义 标 ｐ， ’ 惯用的单元纳点
化移排列是：
度 问题 。
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为便 丁 求解 广 义 坐标 Ｂ， 町采 刖 另 一 种 示 方 法 ， 如
将 二 维 或 ｉ维 连 续 体 离 散 为 有 限 个 单 元 的 集 合 体 时 ， 通 常 要 求 单 元 具 有 简单 而 规 则 的 几 何 形 状 以 便 计 算 。 常 ｊ ｝ ｛ ＿ 的 二 维 单 元 有 ÷ 角 形 或 矩 形 ， 用 的 兰 维 单元 有 四 面 体 、 常 五 面体 或 平 行 六 面体 。 同 样 形 状 的 单 元 还 ＿ 有 不 同 的 单 元 的 口 ｆ 结点 数 ， 因此 单 元 的种 类 繁 多 。如何 选 择 合 适 的单 元 进 行 计 算 ， 及 导求 解 州 题 的类 型 、 计 算 精 度 的 要 求 等 方 面 的 因 涉 对 素。 １ 位 移 模 式 的 选 择 ） 单 元 中 的位 移 模 式 一 般 采 用 广 义 坐 标 为 待 定 参 数 的有 限元 多项 式 作 为 近 似 函 数 ， 选 取 原 则 可 考 虑 以 下几 点 ： 其
③ 多项 的选取应 由低 阶到高阶 ， 避选 取完拿多项式 尽
以提 高 单 元 的 精 度 。 一般 米 说 ， 于 单 兀 堪边 有 ２个端 结 点 对
的应 保 证 一 次 完 全 多 项 式 边 有 ３个 结 点 的 应 取 二 次 完 全 每 多 项 式 。若 由于 项 数 限制 不 能 选取 完 全 多 项 式 时 ， 选择 的 多 项 式 廊 具 有 坐 标 的对 称 性 ： 且 ， 个 坐 标 方 向 的 次 数 不 应 并 一 超 过 完 全 多 项 式 的 次 数 ． 保 证 相 邻 单 元 交 界 面 （ ） 位 以 线 上
在 选 定 ， 坐 标 有 限元 的 移 模 式 以后 ， “义 重要 的 步 骤 就
１ 将 一 个 表 示 结 构 或 连 续 的 求 解 域 离 散 为 若 十 个 子 域 ） （ 元 ） 并 通 过 它 们边 界 上 的 结 点 相 互 联 结 成 为 组 合 体 。 单 ， ２ ＿ 每 个 单 元 内所 假 没 的 近 似 函数 来 分 片 地 表 示 权 求 ）＝ ｝ ｛ ｊ 解 域 内待 求 的未 知 场 变 量 ， 每 个 单 元 内 的 近 似 函 数 由 未 知 而 场 函 数 存 单 元 各 结 点 上 的数 值 和 与 其 对 应 的 插 值 函数 来 表 达 （ 表 达 式 通 常表 示 为 矩 阵 形 式 ） 由 于相 邻 单 元 结 点 的 此 。 场函数数值相 同 ， 町作 为 数 值 求 解 的 基 本 未 知 量 。 冈而 ， 求 解 原 来 待 求 场 函 数 的 无 穷 多 自由 度 问 题 转 换 成 为 求 解 场 函 数 结 点 值 的 有 限
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，
将 单 元 结 点 坐标 代 入 ｕ Ｂ， 到 ＝ 得 ａ＝ ｔ Ａ３
③ 将单元结点 ｆ 移表示 单元 位移 数 ｕ 得到单元捅值 、 ） ． ，
函 数 矩 阵 Ｎ。
ｕ 中Ａ一 Ｎ ： －～ａ ａ
将 结 点 位 移 ａ 改 为 一 般 排 列 顺 序 －， 有 。 Ｌ 则 １
型 ． 有 限 元 计 算 模 型 进 行 静 力 的有 限元 分 析 。 对 关 键 词 ： 结 构 ； 力 ； 限 元 分 析 梁 静 有
０引 言
有 限 单 元 法 （ 称 为 有 限 元 法 ） 在 当今 工 程 分 析 中 获 也 是 得 最 广 泛 应 用 的数 值 计 算 方 法 。 山于 它 的 通 用 性 和 有 效 性 ， 受 到 工 程 技 术 界 的高 度 重 视 。 伴 随 着 计 算 机 科 学 和 技 术 的 快 速 发 展 ． 已 成 为 计 算 机 辅 助 设 计 （ Ａ １ 算 机 辅 助 现 Ｃ Ｄ） 计
１２一 般 格 式 ．
是 建 立 单 元 位 移 场 的 捅 值 鬲 数 表 达 式 。 现 给 ｆ 义 坐 标 有 ¨广 限 元 的一 般 步骤 和 表 达 式 如 下 ：
① 以广 义坐标为待定 参数 ， 出单元 内位移 １ 则： 给 １ ，
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其 中 ， 为 位 移 模 式 ， 示 位 移 作 为 坐 标 的 函 数 中所 包 中 表