第六章 离散系统的z域分析
第6章离散时间体统z域分析ppt课件
a n
a
n
令 f (n) an x(n) ，则它的Z变换
F(z)
f (n)zn
a n x(n) z n
n
n
所以 an x(n) X ( z )
a
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2.5 z域微分特性
若x(n)←——→X(z),收敛域为R，则nx(n)←→
z
dX (z) dz
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
u(n) U(z)
1 1 z1
,
z
1
u(n 1)
z1U (z)
z 1 1 z1 ,
z
1
(n)
u(n)
u(n
1)
1 1 z1
z 1 1 z1
1
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2.2 移序特性
若 x(n)←——→X(z) 的 收 敛 域 为 A ， 则 x(n-n0)←—— →z-n0 X(z)的收敛域也为A，但在零点和无穷远点可能 发生变化。
z re j eT e jT
(6―11)
《信号与线性系统》
第6章 离散时间体统z域分析
6.2 Z变换的性质
6.2.1 线性特性 设x1(n)X1(z)其收敛域为A，x2(n)X2(z),其收敛域为
B ， 则 有 ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z) 其 收 敛 域 为 A∩B （这里a,b为常数）。这一关系显然是和拉普拉斯变换 的同一特性相对应，为了避免不必要的重复，它的证 明从略。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
第六章 离散z域..
n
k 0 n
n 1
f (k ) z k
1
右移后 f (k n) (k ) z F ( z ) z
若f (k )是因果序列, f (k ) f (k ) (k )
f (k－n) (k n) z n F ( z)
f (k n) (k n) z n F ( z ) z n f (k ) z k
Fs ( s)
k
f (t ) (t kT )e dt f ( kT )e skT
st
k
f (t )(t kT )
sT 引入一个新的复变量z，令 z e 或 s
则上式变为 F ( z )
k
1 ln z T
第6章 离散系统的Z域分析
第6章
本章要点
离散系统的Z域分析
6.1 6.2 6.3 6.4
Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 Z域分析
第6章 离散系统的Z域分析
6.0
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进
行分析。 Z变换 差分方程 代数方程
第6章 离散系统的Z域分析
6.1
一 Z变换的定义
f (t )
1
z
1
z
1
k 1
的Z变换。
a k k a k 1 k 1 a 1a k k 1
z a k za 1 z a k k 1 z a a k 1 a a
第6章 离散系统的Z域分析
f ( k ) f ( k )( k 1) 称为左边序列
第6章 离散系统的Z域分析
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
第六章离散系统的频域和z域分析
k 0
3
fN
k
-2
11 2
j
k
2 k
f4 k
1 4
[ 2 (1 j ) e
j
j
2
k
e
j
2
k 0
fN
k e
k
1 j
2
(0 )e
1 2
2k
2
(1 j ) e
3k
]
3
F4 2
F4 3
k 0
第
具体对应关系
（1）s平面的原点
σ 0 ，z平面 0
r 1 ，即 z 1 。 θ 0
19 页
（2）典型区域 s平面
σ0
σ0 σ0
为常数 :
左半平面 z平面
r 1
虚轴
r 1
右半平面
r 1
左向右移
r为常数 : 0
单位圆内 单位圆上 单位圆外
一、从傅立叶级数到傅立叶变换（DFS→DTFT）
N 1
第 7 页
FN
n
k 0
fN
k
e
jn
2 N
k
fN (k )
1 N
N 1
1
FN
ne
jn
2 N
k
n0 N 1
2
d
N→∞
N
2
n0
FN
ne
jn
2 N
k
2 N
n
2 N
n
离散系统的Z域分析
n0 n
z z 1
即：
z u(n) z 1
z 同理： -u (-n-1) z 1
3．单位冲激序列
F ( z)
即：
n
( n) z
n
1
( n) 1
表6-1 常用离散序列的z变换对
6.2 z变换的性质
1、线性 a1x1 (n) a2 x2 (n) a1 X1 ( z) a2 X 2 ( z)
k m k x ( k ) z ] 1
m 1 m k x(n m) u(n) z X ( z ) x(k ) z k 0
3) 若f (k )是因果序列，其单边z变换为 f (k ) (k ) F ( z ) Z [ f (k－m) (k )] z m F ( z ) m 1 常用 m m k Z [ f ( k m ) ( k )] z F ( z ) z f ( k ) z k 0
n
归一化 T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
单边Z变换
二、Z变换的定义
单边Z变换
X ( z ) x ( n) z n
n 0
双边Z变换
X ( z)
n
x ( n) z
n
幂 - n中的n指出 x n 的位置
级数的系数是 x n
1O 1
n
1O 1
n
1O 1
n
x n m un , x n m un 较x n un 的长度有所增减 .
（3）性质证明：
证明：若 f (n) (n) F ( z) 则 令
信号与系统 第六章 离散时间系统的Z域分析
2z z X ( z) z 1 z 0.5
z 1, 即x n 为因果序列
x n = 2-0.5n u n
第六节 z变换的基本性 质
一、 Z变换的基本性质
１线性性：
若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
n
-n
<1 x(n) Rx1
即: z lim
n
看出：
z Rx1
则该级数收敛.其中Rx1是级数的收敛半径. 可见：右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。 1）如果n10，则收敛域包括z=。即收敛域为 z Rx1 2）如果n1<0，则收敛域不包括z=。即收敛域为 Rx1< z 3）如果n1=0，则右边序列变成因果序列，即因果 序列是右边序列的一种特殊情况，其收敛域为： z Rx1
b0 b1 z = a0 a1 z br 1 z r 1 br z r ak 1 z k 1 ak z k
对因果序列 z R为X z 的收敛域， 需k r保证X z 在z=处收敛。
逆Z变换
则（1）当X(z)仅含一阶极点时 X z 部分分式展开 k Am 先
二、 典型序列的Z变换
Z 1 单位样值序列 ( n ) 1
( n)
1
0
z , z 1 2 单位阶跃序列 u(n) z 1
Z
Z 3 斜变序列 nu(n)
n u ( n)
1
z
0
2
z 1
z , 1
n
典型序列的Z变换
4 单边指数序列 a u(n)
举例
求序列 a u(n) a u(n 1)的z变换.
第6章 离散时间系统的z域分析
1 | z | 1 2 | z | 2
例 求序列f (k ) cosh (2k ) (k )的z变换。
1 2k 由于 cosh ( k ) (e e 2 k ) 2 2 在单边指数序列a k ( k )的z变换中令a e 2 , 可得 z e (k ) , | z || e 2 | z e2 根据z变换的线性性质可得
f (k )
3
f ( k ) ( k ) 3
2
2
1
1 o 1 2
f ( k 1) 3 2
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k ) 3 2
1
k
1
1 o 1 2
f ( k 1)
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k )
3
k
3
2 1
1 o 1 2
k
1 o 1 2
k
(1)双边Z变换的移位 若 f (k ) F ( z )
k 0
该式称为单边Z变换。
将f ( k )的Z变换简记为Z [ f ( k )] ，象函数F ( z )的逆z变换 简记为Z
1
[ F ( z )] f ( k )与F ( z )两者间的关系简记为 ，
f (k ) F ( z )
在拉普拉斯变换分析中重点讨论了单边拉普拉斯 变换，这是由于在连续时间系统中，非因果信号 的应用较少。 对于离散系统，非因果信号也有一定的应用范围， 因此对单、双边z变换都进行讨论。
a
b
O
Re(z )
6.1.3 常见序列的Z变换
(k )
1
O
k
(k ) 1
第六章 离散系统的z域分析
第1-12页 12页
z > 1
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质 z变换的性质
二、移位特性
双边z 双边z变换
若： f (k) ←→F (z) ， α<z<β，且有整数 β 且有整数m>0， ， 则： f(k±m) ←→ z±mF(z)， α<z<β ± ， β
2 2
z > a
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质 z变换的性质
四、卷积定理
若： f1 (k) ←→F1(z) ， α1<z<β1 β f2 (k) ←→F2(z) ， α2<z<β2 β 则： f1(k) * f2(k) ←→ F1(z)F2(z)， ， 例 收敛域至少为 相交部分 求单边序列 (k+1)akε(k)的z变换，(0<a<1)。 的 变换， 。 变换
三、z域尺度变换(序列乘ak) 域尺度变换(序列乘a
若： f (k) ←→F (z) ， α<z<β，且对整数m>0， β 且对整数 ， 则： ak f(k) ←→ F(z/a)， αa<z<βa ， β 变换。 例：求指数衰减正弦序列 aksin(βk)ε(k) 的z变换。 β 解:
6.1 z 变 换
b k , k < 0 f 2 (k ) = b k ε (−k − 1) = 0, k ≥ 0
解: 反因果序列的 变换为： 反因果序列的z变换为 变换为：
第六章 离散系统的z域分析
Z Zn
=
k0 Z
n i 1
ki
Z
1 Zi
FZ
②ki=(Z- Z i ) Z Z= Zi
③F(Z)=k0+
n i 1
2.因果序列 :
a f1(k)=
k
ε(k)
←→Z/(Z-a),
︱Z︱＞
︱a︱
F1(Z)=
ak Z k
k 0
k 0
aZ 1
K 1 aZ 1 = 1 aZ 1
=
Z/(Z-a)
︱a
Z
1
︱＜
1,︱Z︱＜
︱a︱
不定
︱Z︱=︱a︱→收敛圆
无界
︱Z︱＜ ︱a︱
Im[Z]
︱a︱ 0
Re[Z]
Z平面---积坐标R e j S平面---直角坐标
FZ =
BZ
Z ZAZ
(m≤n) m＜n 变为真分式
求分母多项式的根→极点 极点:A(Z)=0的根，Z1,Z2,…,Zn.F(Z) →∞
极点类型: 实数单极点
共轭复数单极点
实数重极点
复数二重极点
1①.实F数Z单 极= 点k0:Z1,Zk12,… ,Zkn互2 不 .相.. 等.kn
Z
Z Z Z1 Z Z2
F(Z) →f(0),f(1)和f(∞)
1.初值定理：因果序列
F(Z) =
f k Z k
k 0
=f(0)+f(1) Z 1+f(2) Z 2+…+f(m) Z m2+…
∴ZF(Z)=Zf(0)+f(1)+f(2) Z 1+..+f(m) Z m1..
∴f(0)=limF(Z)
《信号与系统》讲义教案第6章离散信号与系统的Z域分析
第 6 章离散信号与系统的Z 域分析6.0 引言与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。
Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。
当然， Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。
6.1 双边 Z 变换6.1.1双边Z变换的定义前面讨论过，单位脉冲响应为h[n] 的离散时间 LTI 系统对复指数输入z n的响应y[n]为y[ n]H ( z) z n(6.1)其中H ( z)h[ n] z n(6.2)n式 (6. 2) 就称为 h[n] 的双边 Z 变换。
当 z= e j时， Z 变换就转变为傅立叶变换。
因此一个离散时间信号的双边Z 变换定义为：X ( z)x[ n]z n(6.3)n式中 z 是一个复变量。
而x[n]与它的双边z 变换之间的关系可以记做zx[n]X (z)6.1.2双边Z变换的收敛域x[n] 的双边 Z 变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z 变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z 平面上的所有点都能使X(z)收敛。
那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。
只有当式 (6.3) 的级数收敛，X (z) 才存在。
X ( z) 存在或级数收敛的充分条件是x[n]z n(6.4)n在 x[ n] 给定的条件下，式 (6.4)级数是否收敛取决于 z 的取值。
在 z 复平面上，使式 (6.4)级数收敛的 z取值区域就是 X(z)的收敛域。
6.1.3零极点图如果X(z) 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：N ( z)(z z i )X ( z)i(6.5)M(zD ( z)z p )p则由其全部的零极点即可表示出X ( z) ，最多相差一个常数因子。
在Z 平面上表示出全部的零极点，即构成X ( z) 的几何表示——零极点图。
《信号与系统》课件第6章离散系统的Z域分析
由冲击函数的性质可得：
x(n) x(t) (t nT ) n
x(n) x(nT ) (t nT )
▲
n
■
第3页
6.1.1 z变换的定义
根据拉普拉斯变换的基本定义式：
X (s) x(t)est dt
对离散时域信号 x(n) 进行双边变换：
X (s)
nx(nT
)
(t
nT
)est
dt
利用积分与冲击函数的性质可得：
X (s) x(nT )esnT n
令 z esT ，上式将成为复变量 z 的函数，用 X (z) 表示， x(nT ) x(n) ，则离散时间
序列转变成复变域即为 Z 域变换，得
X (z) x(n)zn n
（6.1.1）
X (z) x(n)zn n0
x(n)zn
n
（6.1.3）
时，其 z 变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列 x(n) 的 z 变换存在的充分且
必要条件。
Z 变换收敛域的定义：对于序列 x(n) ，满足（6.13）式，即使得其 Z 变换存在的所有 z 值组成的集合称为 z 变换 X (z) 的收敛域。
▲
■
第5页
6.1.1 z变换的定义
证明： Z[ak f (k)]
ak f (k)zk
f
(k )
z
k
F( z )
k
k
a
a
例 6-2-4： 求 ak (k ) 的 Z 变换。
解：已知 (k)
z ，则根据
z 1
Z
变换的尺度性质可知： ak (k)
z
z a
▲
■
第 18 页
信号与系统 第六章离散系统的Z域分析
Z平面
k 1 k (1 z ) ( 3z ) 3 k 1 k 0
0
|z|<3时，第一项收敛于
z ，对应于左边序列。 z 3 z |z|>1/3时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。 1 收敛域 z3
1 3
3
1 当 | z | 3 时, 3
8 z z 3 z F ( z) 1 z 3 z 3 ( z 3)( z 1 3)
应用尺度变换:
k
sin k (k )
z a
z sin z 2 2 z cos 1
0< a <1
sin a z sin a sin k (k ) z 2 z ( a ) 2( a ) cos 1 z 2 2 a z cos a 2
§6.2
Z变换的性质
| k-3|(k)
解：（1） F z
k k k z 1
k 1
（2） 双边z变换： F z
k
f k z
k
2 1 z 2z 3 2 z z
2
0 z
单边z变换： F z f k z
k 0
长春理工大学
零点：0 极点：3，1/3
§6.1
Z 变换
Z变换的收敛域
收敛域内不包含任何极点，在极点处，F(z)为无穷大， Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能不含z=0, z=。 因果有限长序列： F(z)=f (1)z -1+ f (2)z -2+· · · · |z|>0 反因果有限长序列： F(z)=f (-1)z 1+ f (-2)z2+· · · · |z|< 如果是因果序列，收敛域为|z|>0圆的外部。 如果是左边序列，收敛域为|z|<0 。 如果是双边序列，收敛域由圆环组成。
第六章离散系统的Z域分析
z z F (z) （ a z b ） za zb
a z 当 1且 1即a z b 收敛 z b
j Im [z ]
b
0
a
Re [ z ]
5
由上可知 （1） z变换的收敛域与f(k) 与z值的范围有关，两 个不同的序列由于收敛域不同可能对应于同一个z 变换，为了单值的确定z变换对应的序列，在给出 序列的z变换式的同时，必须明确其收敛域。
m
n m
f (n)z
1
n m
f (n)z
n
1
n
]
]
14
z f ( k m ) ( k ) f ( k m )z
k 0
k
z
m
f (k m )z
k 0
( k m )
z
m
z [ f ( n)z
n 0
m m 1 n 0
据定义
zkf ( k )
k 1
z ( kz
k
d k d z z f (k ) z F ( z ) dz k dz
时域序列线性加权的z变换为原序列象函数微 20 分后乘以（z）
kf (k )z dz ) f ( k ) z [ dz
k k
k
k
] f (k )
推广：
m
d m k f ( k ) ( z ) F ( z ) ( 1 z 2 ) dz
d m ( z ) F ( z )表示对F ( z )求导并乘以 ( z )共m次 dz
z 例4、 若 已 知 z[ ( k )] ,求 斜 变 序 列 k ( k )的z变 换 z 1
信号与系统课件第六章-离散系统的Z域分析
认为该序列f(k)的z变换不存在。
上一页
2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
9
收敛域
设f(k)是一个因果信号［k < 0时f(k)≡0］，则F(z)是一个只
有z的负幂的级数，因此，在z平面上F(z)的绝对收敛区域是一
k 0
k 0
k 1,
z 0
指数序列 ak k
Fz
ak zk
k 0
1
a z
a z
2
若 a eb ，则 Fs z
z eb
1 z,
1
a z
za
a 1 z
za
若 a 1
，则
Fs
z z 1
（单位阶跃序列）
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2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
若 f k ，F则z
f k F z1
例：求 ak k 1 的 z 变换。 ∵ akk z
za
∴ ak k 1 a ak1 k 1 az1 z a
za za
ak k 1 a az
z1 a 1 az
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23 2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
线性叠加特性 移位（移序）特性 z 域尺度变换特性 （序列）卷积定理
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序列乘 k（z 域微分）特性 序列除(k+m)（z 域积分）特性 k 域反转特性 差分与求和特性 初值定理和终值定理
2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
17
信号与系统 -第六章离散系统z域分析
收敛域的定义：
对于序列f(k)，满 f (k) zk
足
k
所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。
第6-4页
■
6.1 z变 换
（1）整个z平面收敛；
第6-5页
■
6.1 z变
换
例1 求以下有限序列的z变换 (1) f1(k)= (k)
解
(2) f2(k↓)=k{=10, 2 , 3 ,
(1) F1 (z) (k )z k
则
f (k ) zm k m
kz+Fm(m> )0d
1
,
| z |
证明：F(z)
f (k)zk
k
F ( )d
z
m1
f (k) k
k
d
z
m1
f (k ) d (k m1)
z
f (k ) m ) k
(k
(k m)
z
k
f (k ) z(k m) z m
例2：cos( k) (k) ? sin( k) (k) ?
解: cos(
k) (k ) 1 (e j k e j k ) (k ) 0.5z
2
z ej
cos( k) (k) z2 z cos ,| z |1 z2 2z cos 1
0.5z z e j
sin(
k) (k) 10.5(ze j k e j k ) (k)
z ,
za
1
f (k ) ak
(k 1) F (z) a
,
z za a
2
2
| z | | z |
(k m) zm , | z | 0
其中：a>0
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1、确定序列)1()21(---k kε的z 变换，并写出其收敛域。
解：21,2111211112)21()1()21()]1()21([)]([)(101<-=--=+-=-=---=---==-∞=--∞=-∞-∞=-∑∑∑z z z z z z k k F z f F z F k k k k kk k kk k εε2、确定序列)(])41()21[(k kk ε+的z 变换，并写出其收敛域。
解：21,)41)(21()83(241112111)41()21()(1100>---=-+-=+=--+∞=-∞=-∑∑z z z z z z z z z z F k k k k k k 3、确定序列k)21(的z 变换，并写出其收敛域。
解：221,)2)(21(2312221)21(1)21()21()21()21()(0001<<---=----=+-=+==∑∑∑∑∑∞=-∞=∞=-∞-∞=--∞=---z z z zz z z z z zz z z F k k k k k k k kk k k k k k k4、用部分分式展开法求逆变换，已知)22)(2(3)(22+---=z z z zz z X解：对zz X )(进行部分分式展开，有jz k j z k z k z z z z z z X +-+--+-=+---=11222)(2(3)(*2212） 其中，43411)1)(2(3,212223221j j z j z z z k z z z z k -=+=+---=-==+--=故有jz zj j z z j z z z X +-++---+--=1)4341(1)4341(221)( 由于421πjez j z -=--，则)()]4sin(43)4cos(41[)2(2)()2(21)(k k k k k x k k εππε++-=5、对于一个稳定的离散时间LTI 系统，其输入)(k f 和输出)(k y 的关系为)()1()(310)1(k f k y k y k y =++--，求其单位冲激响应。
解：对差分方程两边取z 变换（零状态下），有)()()(310)(1z F z zY z Y z Y z =+--则系统函数为11111311833183)311)(31()()()(--------=--==z z z z z z F z Y z H 其极点为33121==P P ，,由于系统稳定，其收敛域包含单位圆，因此冲激响应为一个左边序列与一个右边序列之和，即)()31(83)1()3(83)(k k k h k k εε---=6、求序列⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0,00,)21()(k k k f k的双边z 变换，并注明收敛域。
解：由双边z 变换的定义，得∑∑∑--∞=---∞=-∞-∞=-===11)2()21()()(k k k k k k kz z zk f z F 令k i -=代入上式，有21,212)2()(1<-==∑∞=z z z z z F i i 7、求序列)(])31()21[()(k k f kkε-+=的z 变换，并注明收敛域。
解：由常用序列的z 变换，有3,3)()31(21,21)()21(>-↔>-↔-z z z k z z z k k k εε 根据线性性质，可得)(])31()21[()(k k f kkε-+=的z 变换为3,)3)(12(74321)]([)(2>---=-+-==z z z zz z z z zz f F z F8、求序列)()2cosh()(k k k f ε=的z 变换，并注明收敛域。
解：)()(21)()2cosh()(22k e e k k k f k kεε-+==，由常用序列的z 变换，有 222222,)(,)(--->-↔>-↔ez e z z k e e z e z z k e k k εε则根据线性性质，可得)()2cosh()(k k k f ε=的z 变换为22222,12cosh 2cosh )(21)(e z z z z z e z z e z z z F >+--=-+-=- 9、根据象函数平面全z z F ,1)(=及所标注的收敛域，求其所对应的原序列。
解：由z 变换的定义式∑∞-∞=-=k kzk f z F )()(，比较给定的1)(=z F ，可知)(0,10,0)(k k k k f δ=⎩⎨⎧≠==10、已知2)1()(,)(,1)(-↔-↔↔z zk k a z z k a k kεεδ，试利用z 变换的性质求序列)1()1(2--k k ε的z 变换。
解：)1()1()1()1()1()1(2-----=--k k k k k k k εεε，则应用线性性质，可得1,)1(1)1(1)1(2)1()1(3232>-+=---↔--z z z z z z k k ε11、已知2)1()(,)(,1)(-↔-↔↔z zk k a z z k a k k εεδ，试利用z 变换的性质求序列)()2cos(k k επ的z 变换。
解：)]()()()[(21)()(21)()2cos(2222k e k e k e e k k kj k j k j k j εεεεπππππ--+=+=由于jz z ez z k ej z z e z z k e j k jjk j+=-↔-=-↔--2222)()()()(ππππεε则根据线性性质，可得1,1)(21)()2cos(22>+=++-↔z z z j z z j z z k k επ12、已知2)1()(,)(,1)(-↔-↔↔z zk k a z z k a k kεεδ，试利用z 变换的性质求序列)()42cos()21(k k k εππ+的z 变换。
解：)]()2sin()21()()2cos()21[(22)()]4sin()2sin()4cos()2[cos()21()()42cos()21(k k k k k k k k k k k k k επεπεππππεππ-=-=+其中),(21)2sin(22πππk j k j e e jk --=则有1,1)(21)]()([21)()2sin(222>+=+--↔-=-z z zj z z j z z j k e k e j k k k j k j εεεπππ根据尺度变换，可得21,144)()2cos()21(21,142)()2sin()21(222>+↔>+↔z z z k k z z z k k k k επεπ所以，根据线性性质，可得21,14)2(2)142144(22)()42cos()21(22222>+-=+-+↔+z z z z z z z z k k k εππ 13、利用z 变换求序列∑=-ki i)1(的z 变换。
解：由于1)()1(+↔-z zk kε 由部分和特性，有111)()1()1(220-=+⋅-↔-=-∑∑==z z z z z z i ki iki iε 14、因果序列的z 变换为)1)(2()(2--=z z z z F ，求)2()1()0(f f f 、、。
解：由初值定理，可得7]3)1)(2([lim )]1()0()([lim )2(3])1)(2([lim )]0()([lim )1(1)1)(2(lim )(lim )0(242232=----=--==---=-==--==∞→∞→∞→∞→∞→∞→z z z z z zf f z z F z f z z z z zf z zF f z z z z F f z z z z z z15、求象函数5.0,5.011)(1>-=-z zz F 的逆z 变换。
解：215.011)(1-=-=-z zz z F ，根据其收敛域为21>z 可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为)()21()(k k f kε=16、求象函数2,23)(22>++=z z z z z F 的逆z 变换。
解：12223)(22+-+=++=z zz z z z z z F ，根据其收敛域为2>z 可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为)(])1()2(2[)(k k f kkε---=17、求象函数5.0,)25.0)(5.0()(2>--=z z z z z F 的逆z 变换。
解：对z z F )(进行部分分式展开，有411212)41)(21()(2---=--=z z z z z z z z F故41212)(---=z zz z z F 根据其收敛域为21>z 可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为)(])41()21(2[)(k k f kk ε-=18、求象函数31,)31)(21()(2<--=z z z z z F ，的双边逆z 变换。
解：对z z F )(进行部分分式展开，有312213)31)(21()(---=--=z z z z z zz F故312213)(---=z zz z z F 根据其收敛域为31<z 可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为)1(])21(3)31(2[)1()31(2)1()21(3)(---=--+---=k k k k f kk k k εεε19、求象函数1,11)(2>+=z z z F 的逆z 变换。
解：对z z F )(进行部分分式展开，有)(211)1(1)(2jz zj z z z z z z z F ++--=+= 故)(211)(jz zj z z z F ++--= 根据其收敛域为1>z 可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为)()2cos()()(])()[(21)()(k k k k j j k k f k k επδεδ-=-+-=20、求象函数1,)1)(1()(22>+--+=z z z z zz z F 的逆z 变换。
解：对zz F )(进行部分分式展开，有232112321112)1)(1(1)(2j z j z z z z z z z z F +------=+--+=故33122321232112)(ππjjez z ez z z zj z z j z z z zz F ------=+------=根据其收敛域为1>z 可知，)(k f 为因果序列，则由常用序列z 变换，得)(z F 的逆变换为)()]3cos(1[2)()()(2)()()()()(2)(3333k k k e k ek k e k e k k f jkjkkjkjεπεεεεεεππππ-=--=--=--21、求象函数a z a z azz z F >-+=,)()(32的逆z 变换。