一类二阶非线性振动方程的同伦摄动近似解
二阶非线性双曲型方程的近似解法
二阶非线性双曲型方程的近似解法二阶非线性双曲型方程是一类形式为$$u_{tt}-c^2u_{xx}+f(u,u_t,u_x)=0$$的偏微分方程，其中$c$为常数，$f(u,u_t,u_x)$为非线性项。
这类方程通常出现在波动方程、振动方程、输运方程等领域，解析解往往比较难以获得。
因此，我们需要求取它的数值解。
求解二阶非线性双曲型方程的近似解可以利用有限差分法、有限元法或者其他数值方法。
以下我们分别介绍这些方法。
1.有限差分法：有限差分法是一种基于差分逼近的数值求解方法。
它将求解区域离散化为一系列节点，然后利用近似的差分格式替代偏微分方程中的导数项，最终得到一个代数方程组。
常用的有限差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。
通过构建差分格式的方程组，可以通过迭代求解来获得方程的数值解。
2.有限元法：有限元法是一种在连续域上建立有限维函数空间的数值求解方法。
它将求解区域进行网格划分，并在每个网格单元内用一个局部插值函数来近似原方程，然后将整个区域的问题转化为一个代数方程组。
通过求解方程组，可以得到方程的数值解。
有限元法具有较高的适用性和精确度，并且可以处理复杂的几何结构。
3.其他数值方法：除了有限差分法和有限元法之外，还可以利用其他数值方法进行近似解的求取。
例如，谱方法基于将原方程展开为一组函数的级数，然后通过调节级数中的系数使得方程在一些选定的离散点满足。
神经网络方法则通过训练神经网络来逼近方程解。
这些方法在特定问题和特定条件下可能会有更好的效果。
总之，二阶非线性双曲型方程的数值求解可使用有限差分法、有限元法或其他数值方法。
具体选择哪种方法需要根据问题的特点和求解精度的要求来决定。
我们可以根据具体问题的需求进行合适的选择，并使用相应的技术工具来实现近似解的求取。
一类具有二次和三次项的非线性振子方程的一种简单解法
一类具有二次和三次项的非线性振子方程的一种简单解法王斌【摘要】应用何氏频率-振幅公式对一类具有二次和三次项的非线性振子方程获得了一个周期解,该方法简单,通过直接计算和计算机数值模拟表明获得的非线性振子方程的周期解是有效的.【期刊名称】《兴义民族师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】3页(P118-120)【关键词】何氏频率-振幅公式;二次和三次项;非线性;数值模拟;周期解【作者】王斌【作者单位】兴义民族师范学院, 贵州兴义 562400【正文语种】中文【中图分类】O175.12近年来，随着非线性科学的发展，各种方法已被广泛地应用于处理非线性问题。
如变分方法（Variational Method）[1-4]，参数展开法（Parameter Expansion Method）[5，6], 同伦摄动法(Homotopy Perturbation Method）[7-10]，指数函数法（Exp-function Method）[11-12]，能量平衡法（Energy Balance Method），以及 L-P法(Lindstedt-Poincare)，谐波平衡法（Harmonic Balance），平均法（The Method of Averaging），多尺度法（Multiple Scales），渐进法（KBM）等。
用这些方法处理各种非线性问题，各有其特点，但通常都比较复杂。
在本文中，针对一类具有二次和三次项的非线性振子方程（1），通过应用何氏频率-振幅公式，给出了一种简单，直接，高精度的近似解法，并通过计算机数值模拟，验证了这种解法的有效性。
其中，b为常数，且0≤＜＜b，＜＜A若取 =0，则方程（1）演变为Duffing方程（2），在相关文献[19]中已有一些讨论和相应的结果。
根据何氏频率-振幅公式，我们使用两个试函数u1（t）=Acost和u2（t）=Acosωt，它们分别是下面两个振子方程的解：其中ω为振子方程（1）的频率.将u1（t）和u2（t）分别代入方程（1），整理得到如下残量由文献[20,21]得何氏频率-振幅公式其中t1和t2是局部点，通常取t1=T1/12，t2=T2/12，其中T1和T2分别是试函数u1（t）=Acost和u2（t）=A-cosωt的周期，即由（3）（4）（5）（6）得因此，可得系统(1)的近似周期解为了描述所得结果的精度，我们给出下面的例子，取=0，则方程（1）变为由（7）得它的近似频率为，而它的准确频率为.因此，当b=1,A=0.5时，它的精度可达到0.0260.在MATLAB7.8.0环境中进行计算机数值模拟（以下图示中：虚线表精确值，实线表近似值）。
非线性振动方程的同伦摄动法求解
非线性振动方程的同伦摄动法求解
近年来，同伦摄动法已经成为一种有效的求解非线性振动方程的方法。
它具有收敛性高、速度快、容易实现的特点，可用来求解简单或复杂的振
动系统的解析解。
同伦摄动法的基本思想是，将非线性振动方程转化为一组常微分方程（ODE），使用迭代方法求解这组ODE，得到解析解。
首先，引入特征量，将原问题转化为一组ODE；其次，构造适当的迭代公式，通过迭代算法计
算特征量；最后，以特征量为基础求得解析解。
设有n个节点的同伦摄动法，其基本思想是将n个节点的非线性振动
方程，通过引入n个特征量，组成n个ODE，构造n个迭代公式，通过迭
代求解，求得节点振动方程的解析解。
对于节点振动方程，特征量可以是振动幅度或加速度，构造n个ODE 时，都以特征量为基础，求得n个ODE的解析解，便是求得节点振动方程
的解析解。
另外，同伦摄动法可以用来求解非线性振动方程的一般解，如求解常
微分方程的路径积分和求解复杂的非线性振动方程的解。
这种方法可以有
效地降低计算复杂度，大大简化计算过程。
同伦摄动—再生核法求解二阶常微分方程初值问题
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要现代学科中的许多研究课题都可以通过求解非线性方程的初值问题来解决。
因此，求解非线性方程的初值问题是许多专家与学者所关注的热点问题，具有很重要的现实意义。
在解决非线性方程的初值问题的发展过程中，许多数值解法被广大学者所提出，如Runge-Kutta方法、线性多步法、变分迭代法、牛顿法、欧拉法、同伦摄动法等。
何吉欢提出的同伦摄动法是结合传统的摄动理论和同伦技术的方法，克服了原有的传统摄动理论的不足，将许多复杂的非线性问题转化为更容易求解的线性问题，使问题得到解决。
该方法所求得的级数解能够快速收敛到真解，且取级数解的有限项就能快速地逼近方程的真解。
基于上述优点，该方法被广大学者应用到各领域中。
再生核方法是一种利用初始条件构造线性算子，通过求解简单的线性算子方程而求得原来复杂的非线性方程的一项分析技术。
但是同伦摄动法也有许多不足之处：（1）对于一些强非线性问题，该方法只在局部收敛；（2）由于算子是否为压缩算子难以验证，所以对于该方法的收敛性问题没有严格的证明。
基于以上两点，本文采用改进的同伦摄动法：对方程进行分段求解。
克服了传统的同伦摄动法的不足，同时本文还给出了严格的收敛性证明。
本文主要研究应用改进的同伦摄动法求解非线性Volterra积分—微分方程初值问题，同时结合再生核方法求解非线性二阶常微分方程初值问题。
并且对改进的同伦摄动法的收敛性给出严格的证明。
每章中数值算例部分的数值结果，充分说明改进的同伦摄动法在求解非线性问题时很有效。
关键词：同伦摄动法（HPM）；改进的同伦摄动法（MHPM）；再生核方法（RKM）；非线性Volterra积分—微分方程；非线性二阶常微分方程；初值问题哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AbstractThe initial value problem of nonlinear equations can be used to solve many problems from modern subjects.It is the hot topic concerned by many experts and scholars,since it has an important practical significance.In the development process of solving the initial value problems of nonlinear equation,many numerical methods proposed by experts and scholars,such as Runge-Kutta method,Linear multi-step method,Variational iteration method,Newton method,Euler method,Homotopy perturbation method and so on.Homotopy perturbation method was first proposed by J.H.He in1998,this method combines the traditional perturbation method with homotopy technique,overcoming the shortcoming of perturbation theory,deforming a difficult problem into simple solving ing this method,the series solution can quickly converge to the true solution.A few several terms of the series solution can be used for approximation to the exact solution.Based on the above advantages,this method has been applied to various fields.Reproducing kernel method is an analytical technique,using the initial conditions of the equation to construct a linear operator,then we can solve the simple linear operator equation instead of the original complex one.However,there are disadvantages of the homotopy perturbation method:(1)For strongly nonlinear problems,this method only local converges;(2)Since the compression operator is difficult to verify,there is no strict convergence proof.Based on the above two points,the traditional homotopy perturbation method is modified,which means the interval is divided.This new method overcomes the shortcoming of traditional homotopy perturbation method,strict convergence proof is also given.The purpose of this paper is to apply the modified homotopy perturbation method to nonlinear second-order Volterra integro-differential equations,combining Reproducing kernel method to solve strongly nonlinear second-order ordinary differential equations with initial value problem.The convergence proof of the new method is given.Numerical results of every chapter show that the modified homotopy perturbation method is a fast and simple method.Keywords:homotopy perturbation method(HPM)，modified homotopy perturbation method(MHPM)，reproducing kernel method(RKM)，nonlinearsecond-order V olterra integro-differential equations，strongly nonlinearsecond-order ordinary differential equation，initial value problem哈尔滨工业大学理学硕士学位论文目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1课题来源及背景 (1)1.2常微分方程初值问题的研究现状 (3)1.3本文主要研究内容 (3)第2章用改进的同伦摄动法求解非线性二阶Volterra积分—微分方程及其收敛性分析 (5)2.1同伦摄动法的介绍 (5)2.2改进的同伦摄动法求解非线性二阶Volterra积分—微分方程 (6)2.3方程的收敛性证明 (7)2.4具体的计算过程 (13)2.5一些结论 (13)2.5.1N的选取 (13)2.5.2‘step’的选取 (13)2.5.3 的选取 (13)2.6数值算例 (14)2.7本章小结 (16)第3章同伦摄动—再生核法求解二阶常微分方程初值问题 (17)3.1引言 (17)3.2预备知识 (17)3.2.1同伦摄动法分析 (17)3.2.2再生核方法分析 (17)3.2.3方程的解 (18)3.3方程的解及其收敛性分析 (19)3.3.1改进的同伦摄动法求解方程 (19)3.3.2用再生核方法求解方程 (20)3.4方程的收敛性证明 (21)3.5数值算例 (25)3.6本章小结 (29)结论 (30)参考文献 (31)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 (36)致谢 (37)哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第1章绪论1.1课题来源及背景在当今的社会生活中，很多问题都与非线性问题相关。
§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法讲解
3 A2 80
2
2
3 A4 256 0
4
)
(2) 以倍数越高的谐频振动的分振动, 其振幅越小.
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
(3)不存在固有频率, 基频不仅与系统结构有关, 还 与振幅及解的精度有关.
上述的讨论结果完全适用于大幅角单摆运动：
g g 3 l 6l
2
A3 x1 (cost cos3t ) 2 32
一级解的完整形式 基频
谐频
A 2 A3 x x0 x1 (1 ) A cost cos3t 2 2 32 32
0 (1
3 A2 4 0
12 ) 0 (1 2
3 A2 80
初始条件
(3)
线性方程
x(0) A
(0) 0 x
2
由x x0 x1 x2可得
x0 (0) A
x1 (0) 0 x2 (0) 0
0 (0) 0 x
1 (0) 0 x 2 (0) 0 x
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x0 x0 0
3 2 2 2 a2 x0 x0 3x0 x1
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x x0 0 (1) 0
齐次方程
x 1 x1 x0 a1 x0
2 3
2 2
(2)
非齐次方程
x 2 x2 3x0 x1 a1 x1 a2 x0
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2.用小参数展开方法求解非线性自由振动问题
一类二阶非线性微分方程的振动性与渐近性
一类二阶非线性微分方程的振动性与渐近性
戴毅;周兰
【期刊名称】《湖南人文科技学院学报》
【年(卷),期】2006(000)006
【摘要】主要研究了二阶非线性微分方程
(a(t)(x'(t))σ)'+p(x(t))x'(t)+q(t)f(x(g(t)))=0, t≥t0的振动性与渐进性,其中σ为一个偶数与奇数的正商,得到了方程振动与渐进的充分条件,所得结果推广了文献中的相应结论.
【总页数】3页(P14-15,33)
【作者】戴毅;周兰
【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083;中南大学数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性 [J], 崔文艳;李同荣
2.一类二阶非线性泛函微分方程解的振动性与渐近性 [J], 张全信
3.一类二阶非线性微分方程解的振动性与渐近性 [J], 罗卫华;杜雪堂
4.一类二阶非线性泛函微分方程解的渐近性及振动性 [J], 邓立虎
5.一类二阶非线性微分方程解的振动性与渐近性 [J], 白玉真
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一类非线性摄动问题解的渐近性态及其精度分析
一类非线性摄动问题解的渐近性态及其精度分析范小笑;唐荣荣【摘要】在适当的条件下,应用摄动理论与渐近展开方法,讨论一类较广泛的非线性摄动问题y''+f(y'；t；ε)=0,y(t0)=A(ε),y'(t0)=B(ε).证明了其解的存在性并得出了解的渐近表达式,再将结果应用于原物理模型,得出的结论与相应参考文献中的结果是一致的.通过对渐近解进行精确度分析,说明采用的渐近展开法为解决相关类型的摄动问题提供了一种较为有效的方法.【期刊名称】《湖州师范学院学报》【年(卷),期】2012(034)002【总页数】6页(P10-15)【关键词】摄动问题;渐近展开式;精确解【作者】范小笑;唐荣荣【作者单位】湖州师范学院理学院,浙江湖州313000;湖州师范学院理学院,浙江湖州313000【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言非线性摄动问题在自然科学甚至社会科学的众多领域中都存在着大量丞待解决的模型.利用现代数学的各种方法探索非线性问题解的存在性，寻求解的高精度近似表达式，一直以来都是数学和应用数学工作者极为关注的研究课题.近几十年来，国内外许多数学工作者致力于该方向的研究，应用摄动展开法、多尺度法、平均化法、匹配渐近展开法、重正规法、WKB方法等解决了大量的非线性问题［1～10］.值得注意的是以各个领域中的模型为背景的非线性问题研究，由于借鉴了模型所涉及领域的研究方法和相关结论，因此较有效地推进了摄动理论的发展，修正了原有的研究方法，扩大了研究结果的应用领域.以模型为背景，Holmes M H［1］、Bobkova A S［2］等对多维摄动系统的研究获得了进展，莫嘉琪［6］、唐荣荣［7～9］、韩祥临［10］等对一些类型的非线性摄动问题的可解性条件以及解的渐近性态进行了较深入的探索.非线性摄动问题没有统一的求解模式和解的结构，当方程的结构或条件发生变更时，解的存在性、求解模式和解的结构往往都会有较大的变化.文献［4］中，在利用压差阻力、浮力，用落球法精确测定重力加速度时，给出了一类二阶非线性方程：其中文献［5］在考虑粘滞阻力的前提下，探讨了在空气中用落球法测定重力加速度问题，得出球体在空气中自由下落的方程为：其中，k2 ＝6πηR，p，q＞0，g＊，k1 同文献［4］.以上参数的物理意义详见文献［4］、［5］.考虑到当球体的半径大于0.01m时，0＜≪1，因此上述两个模型均可归类于非线性摄动方程：其中，0＜ε≪1，p，q为正常数.由于在空气中进行受力分析时经常需要考虑压差阻力与粘滞阻力，因此在物理模型中，经常需要求解与上述类型相关的方程.以下首先运用摄动理论讨论一类较文献［4］、［5］更广泛的非线性摄动初值问题，探讨其解的存在性以及解的渐近表达式.然后将结果应用于文献［4］、［5］中方程的求解并进行精度分析.1 解的存在性和形式解考虑如下一类非线性摄动初值问题：且满足初值条件：其中，0＜ε≪1.A（ε），B（ε）满足：A（ε）＝A0＋εA1＋ε2A2＋…B（ε）＝B0＋εB1＋ε2 B2＋…其中，A0，B0，A1，B1，A2，B2 为常数.且假设：［H1］ f（y′；t；ε）有界，并且关于y′满足利普希茨条件；［H2］f（y′；t；ε）关于y′，t，ε任意阶可导，且任意阶导数都是域R×［a，b］×［0，ε0］上的连续函数，其中ε0是一个适当小的正常数.以下考虑其解的存在性以及表达形式.设问题（1）～（3）式具有如下形式的渐近解：由A（ε），B（ε）的表达式，有：y（t0）＝A（ε）＝A0＋εA1＋ε2 A2＋…y′（t0）＝B（ε）＝B0＋εB1＋ε2 B2＋…把（4）式代入（1）式，得到：由条件［H2］，将函数f （y0′＋εy1′＋O（ε2）；t；ε）在ε＝0点Taylor展开，可得：f （y′0 ＋εy1′＋O（ε2）；t；ε）＝把（6）式代入（5）式，得到：比较（7）式中的ε同次幂系数，得到：和注意到方程（8）式可化为：且在假设条件［H1］～［H2］下，f（z0；t；0）在域R×［a，b］上连续且有界，并且关于z0满足利普希茨条件，则根据文献［11］可知，∃δ＞0，且δ≤b－a，方程（12）式在｜t－t0｜≤δ上存在唯一解，于是问题（8）、（9）式在｜t－t0｜≤δ上存在唯一解.我们不妨假设方程（8）、（9）式的解为y0，从而可知这时fy′′（y0′；t；0）为t的确定函数.因此，方程（10）为二阶非齐次线性微分方程.类似地，根据文献［11］，由条件［H2］知方程（10）、（11）式存在唯一解，记方程（10）、（11）式的解为y1.令y1′＝z ，则方程（10）式可化解为：由常数变易法可得方程（13）式的通解为：这里C1由（9）式确定.注意到条件［H2］，由（14）式得：其中p（t）＝－fy′′（y0′；t；0），Q（t）＝fε′（y0′；t；0）.这里C2 由（11）式确定.将（13）式代入（4）式，可以知道满足假设条件［H1］、［H2］时的方程（1）式有以下形式的解：其中C1、C2是由（9）和（11）式确定的常数.综上所述，在满足假设条件［H1］、［H2］的情况下，原问题的解被唯一确定，且由（8）～（15）式问题（1）～（3）式解的渐近表达式（16）式被给出.2 应用为了说明以上所得渐近解（16）式的精确度，以下将利用上述结论（16）式对文献［4］、［5］中的模型求出相应的渐近解，然后进行精确度分析.2.1 球体在空气中下落问题的渐近解当原问题中f（y′；t；ε）＝εy′＋py2－q时，即为文献［4］、［5］中的球体在空气中自由落体的非线性问题：易知问题（17）、（18）式有形如（4）式的解，且由（8）～（11）式可知，问题（17）式的退化方程为：考虑到文献［4］、［5］模型中p、q的取值范围，由（12）知，方程（19）式有如下唯一确定的解：由当t＝0时＝0，解得：C1＝1.从而由（21）易得：当t＝0时，y＝0.解得：从而：对于方程（20）而言，代入方程（16）式，当t＝0，＝0，y＝0时，可得：于是（22）、（23）式得问题（17）、（18）式的渐近解为：2.2 球体在空气中下落方程的精确解以及渐近解的精度估计在方程（17）式中，设y′＝v，将方程转化为：v′＋εv＋pv2＝q.可得：由当t＝0时，＝0.解得：从而两边积分，得：当t＝0时，y＝0.解得：从而其中由Taylor级数展开得到：此外由（27）、（28）式得：将（26）～（29）式代入（25）式得到问题（17）、（18）式的精确解：比较问题（17）、（18）式的渐近解（24）式与精确解（30）式，由前两项完全相同，可知两者误差的量级仅为O（ε2）.因此可知，在适当条件下可简捷地利用摄动展开法得到相关非线性问题的渐近解，当ε充分小时，可以达到足够高的精度.3 结论由上述讨论，得到：结论1 在满足假设条件［H1］、［H2］的情况下，原问题（1）～（3）的解唯一存在，且其解的渐近表达式为：其中p（t）＝－fy′′（y0′；t；0），Q（t）＝fε′（y0′；t；0），0＜ε≪ 1 .当方程（1）式中f（y′；t；ε）＝εy′＋py2－q时，问题（1）～（3）即为文献［4］、［5］中的球体在空气中自由落体的非线性问题（17）、（18）式：结论2 文献［4］、［5］中的球体自由落体模型（17）、（18）式的渐近解与精确解的一阶表达式完全相同，两者误差至多为O（ε2）：其中p，q＞0，0＜ε≪1.综上可知：摄动展开法是求解一些非线性摄动方程的一种有效方法，在适当条件下，可使渐近解的精确度达到足够的高度.因此，摄动展开法可以解决大量的物理模型的求解问题.由以上探讨可知，在条件［H1］、［H2］下，继续上述解法可求得原问题解的更高阶渐近展开式，使其渐近解具有更高的精度.参考文献：［1］Holmes M H.扰动法导论［M］.北京：世界图书出版公司，2003.［2］Bobkova A S.The Behavior of Solutions of Multidimensional Singularly Perturbed Systems with one Fast Variable［J］.Ordinary Diff Eqs，2005，41（1）：22～32.［3］Nayfeh A H .Problems in Perturbation［M］.New York：Johu，1985. ［4］俞晓明，崔益和，陈飞，等.考虑空气阻力、浮力用落球法精确测定重力加速度的研究［J］.物理与工程，2010，20（5）：26～28.［5］周薇.流体的粘滞阻力对物体运动的影响［J］.技术物理教学，2009，17（2）：27～28.［6］MO Jia－qi，LIU Shu－de.Asymptotic Behavior of Solutions for Reaction Diffusion Equations with Two Parameters［J］.Mathematic Application，2009，22（1）：42～47.［7］Tang Rong－rong.The Asymptotic Behavior of Solution for a Class of Strongly Nonlinear Non－autonomous Equation［J］.Ann of Diff Eqs，2006，22（4）：569～572.［8］Tang Rong－rong.The Shock Behavior for the Nonlinear Singularly Perturbed Two－points Boundary Value Problems［J］.Advances in Mathematics，2005，34（5）：497～502.［9］Tang Rong－rong.Asymptotic Solution for a Class of Weakly Nonlinear Singularly Perturbed Reaction Diffusion Problem［J］.J Shanghai Univ，2009，13（1）：12～15.［10］HAN Xiang－lin.The Asymptotic Behavior for a Nonlinear Singularly Perturbed System［J］.Chin Quart J of Math，2007，22（2）：175～178. ［11］王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2006.。
二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性的开题报告
二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性的开题报告
一、研究背景
现实生活中存在着许多二阶非线性摄动微分方程的振动与渐近性问题，如弹簧振子、电路中的振荡等等。
这些问题的解析研究可以深刻揭示自然现象的规律与机理，
为实际应用提供指导。
二、研究目的
本文旨在研究二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性。
通过建立适当的数学模型，研究方程解的振动特性和渐近行为，并给出一些具体的例子，以便更好地理解
这些问题。
三、研究方法
本文将采用以下方法研究二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性：
1.建立适当的数学模型，对方程进行分类和分析。
2.采用数学分析技巧，如变换、差分方程等方法，对方程进行求解、分析和研究。
3.经过数值模拟和图形分析，揭示方程的振动特性和渐近行为。
4.通过实例分析，验证理论分析的正确性和可信度。
四、研究内容
本文的主要研究内容包括以下几个方面：
1.二阶非线性微分方程的分类及其性质
研究不同类型的方程的解的振动特性和渐近行为，提供基础理论。
2.简谐激励下的振动特性
研究简谐激励下的二阶非线性微分方程的解的振动特性，并给出具体例子。
3.非简谐激励下的振动特性
研究非简谐激励下的二阶非线性微分方程的解的振动特性，并给出具体例子。
4.渐近行为的研究
研究二阶非线性微分方程的解的渐近行为，包括解的稳定性、解的周期性、解的渐近周期性等。
五、研究意义
本文的研究成果可以深刻揭示二阶非线性摄动微分方程的振动性与渐近性问题，为实际应用提供理论支持。
同时，研究方法也可以为其他非线性微分方程的研究提供参考。
运用同伦分析法求解一类强非线性耗散振动系统
解 和一 阶 近似 解 ， 用 数 值 模 拟 值 与原 系 统 的 精 确 解 相 比较 ， 明 了所 得 结 果 的 精 确 度 ， 明 了此 理 论 适 用 并 证 说
于一 些 强 非线 性 系 统 ． 关 键 词 ： 伦 分 析 法 ； 非线 性 耗 散 振 动 ； ｕ ｉｇ方 程 ； 似 解 同 强 Ｄ ｆｎ 近
引 进 新 的 时 问 尺 度
ｒ：力 ｔ ， （ ３） 七＝０时 ，
Ｊ ． 氅 ， （ ： Ⅳ
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同伦摄动法在求解非线性偏微分方程中的应用
同伦摄动法在求解非线性偏微分方程中的应用谭璐芸【摘要】文章主要研究了同伦摄动法在求解非线性偏微分方程中的应用问题。
简要介绍了同伦摄动法，该法的基本思想是通过行波变换并结合同伦摄动理论，把求解某些非线性偏微分方程的问题转化为求解常微分方程的初值问题，最后得出近似解。
文中求解了非线性平流方程和Fisher方程。
结果表明，这种方法简单而有效，显示同伦摄动法具有一些显著特点，例如可以任意选取初始猜测解、不依赖非线性方程中的小参数等等，同时可以简化复杂的求解过程，它的二阶近似解就相当精确。
同伦摄动方法是一种很普遍的解决非线性问题的方法。
%This paper mainly studied the homotopy perturbation method in solving the application problems of nonlinear partial differential equations. This paper first briefly introduces the homotopy perturbation method, the basic idea of the method is to transform the nonlinear partial differential equations into ordinary differential equations by combining the traveling wave transformation with the homotopy perturbation theory, and the approximate solution will be obtained. In this paper,we solve the nonlinear advection equation and the Fisher equation.The results show that this method is simple and effective,Also shows the homotopy perturbation method has some significant features, such as an arbitrary choice of initial guess solutions , the independence of the small parameters in nonlinear equations, etc., and at the same time, this method can also simplify the complex solving process, Its second-order approximate solution is quiteaccurate, the homotopy perturbation method is a very common method for solving nonlinear problems.【期刊名称】《江西理工大学学报》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】3页(P102-104)【关键词】同伦摄动法;非线性偏微分方程;近似解【作者】谭璐芸【作者单位】铁岭师范高等专科学校，辽宁铁岭 112000【正文语种】中文【中图分类】O175.29非线性现象广泛出现在流体力学、固体物理、等离子体物理学等科学领域，描述它们基本规律的方程许多为非线性偏微分方程[1-3]，对于非线性方程的求解[4-6]没有统一而普适的方法，如何求解非线性方程成为一个重要的研究课题.然而，大多数情况下，大量的非线性偏微分方程无法求得其精确的解析解，因此，探讨各种求非线性偏微分方程近似解析解的有效方法具有非常重要的理论和实际意义.近几十年间人们提出了许多求非线性偏微分方程的近似解的方法，例如，直线法[7]、有限谱方法[8]、差分法[9-10]等.同伦摄动法[11-13]是近年来提出的一种新方法，其本质是把非线性问题转化成无穷多个线性问题来处理，运用同伦摄动法能得到非线性偏微分方程和积分方程的近似解，使求解过程的复杂程度大为简化，大量的例子显示这种方法简单而有效.本文借用同伦摄动法求解了非线性平流方程和Fisher方程的近似解.假设给定了下面的非线性微分方程：及其边界条件：其中A，B分别为方程微分算子和边界条件算子，f（r）为已知解析函数,Γ为区域Ω的边界.建立同伦映射：其中p为一个嵌入参数,u0为满足方程（1）初始条件的近似值.由式(3)分析得：随着p从0到1的变化，v（r，p）从u0（r）变化到u（r）.相应地，H（v，p）从L（v）-L（u0）变到A（v）-f（r），且L（v）-L（u0）和A（v）-f（r）叫做同胚,这个过程称为形变.根据同伦摄动法,在方程（3）中可以把嵌入参数p∈[0，1]作为“小参数”来处理，应用摄动理论，方程（3）的解v可以表示成如下形式：令p=1,得到方程（1）的近似解可以写成：摄动法和同伦法的结合称为同伦摄动法.2.1 一类非线性平流方程的近似行波解非线性平流方程在大气学、海洋学和描述环境等众多领域有着广泛的应用.考虑如下一类非线性平流方程[14]的初值问题：令ξ=kx+ωt，并且作行波变换，则方程（5）得到如下常微分方程，且具有初始条件.构造同伦满足：设方程（6）解的形式：则有：将式（7）、式（8）代入式（6），并令p的相同次幂的系数为零，即p0，p1，p2，…的系数为0，根据式（9），可得到如下一系列线性常微分方程且都带有初始条件：满足式（10）的初始猜测解可选取u0（ξ）=cosξ将u0代入方程（11），则方程（11）化为：解得：将u0，u1代入方程（12），则方程（12）化为：解得：则方程（5）的二阶近似解为：2.2 一类Fisher方程的近似解Fisher方程被广泛应用于核反应理论、等离子体物理、流体力学、和人口增长模型等问题中的非线性现象.考虑如下一类Fisher方程[15]的初值问题：构造同伦满足：设方程（14）解的形式：则有：将式（15）、式（16）、式（17）、代入方程（14）中，并令p的相同次幂的系数为零，即p0，p1，p2，…的系数为 0，根据式（18），可得到下面一系列具有初始条件的线性偏微分方程：根据方程（19）可选取初始猜测解u0＝1－e-（x＋t），将其代入到方程（20），得：将u0，u1其代入到方程（21）得：则方程（13）的二阶近似解为：本文借用同伦摄动方法把求解某些非线性偏微分方程的问题，转化为求解线性偏微分方程的初值问题，并且得到了这些方程的二阶近似解，为非线性问题的求解开辟了一个全新的途径.必须指出的是,由于非线性偏微分方程求解的固有困难和解法理论的缺乏，目前还没有一种普适的求解非线性偏微分方程的方法，尽管同伦摄动法成功解决了许多工程上的非线性问题，但某些地方还需要进一步改进和完善如初始猜测解的选取方法问题、近似解的误差分析问题等.因此，非线性偏微分方程解法的理论研究，仍将是今后重要的研究课题之一.【相关文献】[1]姚占林.两类非线性偏微分方程的近似解[D].广州：华南理工大学，2011.[2]杨志强.一类非线性偏微分方程的解法与应用[D].阜新：辽宁工程技术大学，2011.[3]陈亮.修正的同伦摄动法及其对非线性偏微分方程的应用[D].广州：广州大学，2010.[4]刘明姬.同伦方法求解非线性微分方程边值问题[D].长春：吉林大学，2009.[5]斯琴.同伦摄动法在非线性方程求解中的应用[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2008.[6]阮周生，孙海.同伦摄动法在一类线性积微分方程初值问题中的应用[J].东华理工大学学报:自然科学版,2010,33(3):297-300.[7]彭亚绵，闵涛，张世梅，等.Burgers程的MOL数值解法[J].西安理工大学学报，2004，20(3)：276-279.[8]詹杰民，李毓湘 .一维 Burgers方程和KdV方程的广义有限谱方法[J].应用数学和力学，2006，27(12)：1431-1438.[9]龚玉飞，许传炬.一类非线性Schrodinger方程的守恒差分法与Fourier谱方法[J].数学研究，2006，39(4)：360-369.[10]吴阔华，范丽君.一类中立型微分差分方程解的渐近性[J].江西理工大学学报，2010，31(5):60-63.[11]He J H.The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities[J].Applied Mathematics and Computation, 2004,151(1):287-292.[12]He J parison of homotopy perturbation method and homotopy analysis method[J].Applied Mathematics and Computation,2004,156(2):527-539.[13]He J H.Application of homotopy perturbation method to nonlinear waveequations[J].Chaos,Solitons&Fractals,2005,26 (3):695-700.[14]季仲贞，王斌，曾庆存.大气海洋环境数值模拟中的若干计算问题[J].气候与环境研究，1999（4）：135-151.[15]包树蕊.若干非线性发展方程普遍性差分格式的构造与分析[D].北京：华北电力大学，2009.。
一类典型二阶非线性微分方程的近似解析解研究
一类典型二阶非线性微分方程的近似解析解研究楼智美;王元斌;王鹏【摘要】在非惯性转动参照系中研究力学体系的运动,常常会出现一类分子分母都含非线性项的二阶非线性微分方程,很难求得其近似解.用Adomian分解法研究了这类典型二阶非线性微分方程的近似解,在给定的初始条件和参数下得到了近似解的解析表达式,并作出了近似解析解的解曲线;与直接用Mathematica软件得到的数值解曲线和用同伦渐近法得到的近似解析解曲线进行了比较,结果表明,在第一个1/4周期时间内,用Adomian分解法得到的近似解解曲线与直接用Mathematica 软件得到的数值解曲线十分吻合,并且其误差比用同伦渐近法得到的解曲线更小.【期刊名称】《华东师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(000)004【总页数】9页(P129-137)【关键词】Adomian分解法;二阶非线性微分方程;近似解析解;数值解【作者】楼智美;王元斌;王鹏【作者单位】绍兴文理学院物理系,浙江绍兴312000;绍兴文理学院数学系,浙江绍兴312000;济南大学土建学院,济南250022【正文语种】中文【中图分类】O3160 引言在非惯性转动参照系中研究力学体系的运动,常常会遇到一类分子分母均含非线性项的二阶非线性微分方程[1],此类方程可以通过Mathematica软件直接得到它的数值解,但无法得到其近似解析解.文献[2]用同伦渐近法得到了三阶近似周期解,但求解过程过于繁复,求解思路比较抽象.Adomian分解法是求解非线性微分方程的一有效方法,已广泛应用于求非线性常微分方程、非线性偏微分方程的近似解析解中,并取得了一系列的成果[3-17].此方法的主要思路是先将非线性微分方程分解成线性最高阶常微分部分、一般的线性部分、非线性部分和非齐次部分,把非线性微分方程的解也分解成无穷个解分量,然后利用Adomian多项式和逆算符的性质,由低阶解分量递推求得高阶解分量,最后将全部解分量相加得到非线性微分方程的近似解析解.用Adomian分解法求非线性微分方程近似解的关键和难点在于求得与非线性项相对应的Adomian多项式,对于分母不含非线性项的情况比较容易求得其Adomian多项式,但对于分子分母中都含有非线性项的情况,其相应的Adomian多项式较难求得.本文首先给出用Adomian分解法求二阶非线性微分方程近似解的基本步骤.其次,通过研究在非惯性转动参照系中力学体系的运动,建立一类分子分母均含非线性项的二阶非线性微分方程.第三,计算与二阶非线性微分方程的非线性项相应的前5项Adomian多项式.第四,得到在给定初始条件和参数下的近似解析解,并与直接用Mathematica软件作出的解曲线以及与同伦渐近法[2]所得解曲线进行比较.结果表明,在第一个1/4周期时间内,近似解的解曲线与直接用Mathematica软件作出的数值解解曲线十分吻合,并且其误差比由文献[2]所得的解曲线更小;但当时间较长时,由Adomian分解法得到的解曲线与其他方法得到的解曲线出现了较明显的偏差,主要原因是由于Adomian分解法要在n→∞时其解才会接近数值解,而本文只取了前面5项.另外,本文对取3项、4项、5项截断的解曲线进行了分析,发现5项截断的解曲线比3项、4项截断的解曲线更接近数值解解曲线.1 Adomian分解法的基本理论Adomian分解法是求解非线性微分方程的一有效方法[3],其基本的思路是,设非线性微分方程可表示成2 二阶非线性微分方程的构建及其近似解析解的求解方法如图1所示,一质量为m的光滑小环,套在一光滑的抛物线形金属丝上,并可沿着金属丝滑动,抛物线形金属丝以角速度ω绕轴匀速转动.设抛物线的方程为x2=4py,则小环在x方向的运动微分方程为[1]图1 匀速转动的抛物线形金属丝Fig.1 A parabolic wire rotating at a constant speed方程(11)可以写成3 近似解析解与结果比较将式(16),式(17)代入式(15)能得到各解分量,求和后可得非线性微分方程近似解析解的一般表达式.但由于式(16),式(17)过于复杂且与初始条件和参数p,b有关,难以从所得解析解的一般表达式中讨论其准确性.因此,我们给定一组初始条件和参数p,b,得到解析解的表达式并作出其解曲线,并将解曲线与直接用Mathematica软件作出的解曲线以及与同伦渐近法[2]所得解曲线进行比较,来说明结果的准确性.设初始条件和参数为,将它们代入式(16)和式(17)可得a1,n,a2,n(n=0,1,2,3,4),具体为则在3项、4项、5项截断的近似解析解分别为式(22)中第二个等号后的第一项“1”表示初位置,反映初加速度的大小,且初加速度大小由Adomian多项式a1,0,a2,0之和决定,即由初始条件和微分方程的参数p,b 确定.在相同的初始条件和参数下,文献[2]中式(58)表示的近似解为其中Ω=0.596 211 722.如图2所示,红色曲线是根据式(22)作出的解曲线,蓝色曲线是根据式(23)作出的解曲线,黑色曲线是用Mathematica软件作出的解曲线.从图2中可以看出,在第一个1/4周期内,由近似解式(22)作出的解曲线与直接用Mathematica软件作出的解曲线十分吻合,且其误差比用同伦渐近法得到的解曲线还小.但是在时间较大区域,近似解式(22)作出的解曲线会出现较大的误差.产生误差的主要原因是,用Adomian分解法解非线性微分方程,当n→∞时才达到较高的近似度.因文中方程过于复杂,本文只计算到前5项,从而在时间较长时出现较大误差.图2 根据式(22)作出的曲线(红色曲线),根据式(23)作出的曲线(蓝色曲线),数值解曲线(黑色曲线)Fig.2 The red curve is constructed according to Eq.(22),the blue curve is constructed according to Eq.(23),and the black curve is constructed according to the numerical solution如图3所示,蓝色曲线、绿色曲线和红色曲线分别表示在3项、4项、5项截断时的近似解析解曲线,黑色曲线是用Mathematica软件作出的解曲线.从图3可见,在第一个1/4周期时间内,5项截断比3项、4项截断更接近数值解.图3 根据式(20)作出的曲线(蓝色曲线),根据式(21)作出的曲线(绿色曲线),根据式(22)作出的曲线(红色曲线),数值解曲线(黑色曲线)Fig.3 The blue curve isconstructed according to Eq.(20),the green curve is constructed according to Eq.(21),the red curve is constructed according to Eq.(22),and the black curve is made according to the numerical solution另外,Adomian多项式(16)、(17)是由初始条件非线性微分方程的参数p,b及解分量表示的多项式,其中的初始条件和参数p,b可以任意选取.由递推公式(15)得到的解分量具有普遍性,任取一组初始条件和参数p,b,就可得到一组相应的解析解表达式及其解曲线,并与直接用Mathematica软件作出的解曲线进行比较,仍可得出在第一个1/4周期时间内两者十分吻合的结论.设初始条件和参数变为按上述相同方法可得其在5项截断的近似解析解如图4所示.红色曲线是根据式(24)作出的解曲线,黑色曲线是用Mathematica软件作出的解曲线.从图4中可以看出,在第一个1/4周期内,由近似解式(24)作出的解曲线与用Mathematica软件作出的解曲线比较吻合,说明在不同的参数下,用Adomian分解法得到的近似解的准确性具有普遍性,与参数的选取无关.图4 根据式(24)作出的曲线(红色曲线),数值解曲线(黑色曲线)Fig.4 The red curve is constructed according to Eq.(24)and the black curve is constructed according to the numerical solution4 结论研究力学系统在非惯性转动参照系中运动时常常会遇到分子分母中均含非线性项的二阶微分方程,因方程复杂而无法直接求得其解析解,从而无法了解力学体系的运动规律.本文用Adomian分解法得到了在给定初始条件和参数下的3项、4项和5项截断的近似解析解,并通过作图与直接用Mathematica软件作出的解曲线以及与同伦渐近法所得解曲线进行了比较.结果表明,在第一个1/4周期时间内(如图2所示),5项截断的近似解的解曲线与直接用Mathematica软件作出的解曲线十分吻合,并且其误差比文献[2]用同伦渐近法得到的解曲线还小.由于Adomian分解法要在n→∞时其解才会接近数值解,因此在只计算有限项近似解,且在时间取值较大时会存在较大的误差,这也是Adomian分解法的不足之处.另外,对于数值解具有周期性的运动,用多项式表示近似解存在收敛性的问题,这一问题我们将另文研究. [参考文献]【相关文献】[1] 周衍柏.理论力学[M].3版.北京:高等教育出版社,2009:269.[2] MARINCA V,HERISANU N.Determination of periodic solutions for the motion of a particle on a rotating parabola by means of the optimal homotopy asymptotic[J].Journal of Sound and Vibration.2010,329:1450-1459.[3] 方锦清,姚伟光.逆算符方法求解非线性动力学方程及其一些应用实例[J].物理学报,1993,42(9):1375-1384.[4] BIAZAR J,SHAFIOF S M.A simple algorithm for calculating Adomian polynomials[J].Int J Contemp Math Sci,2007,20(2):975-982.[5] 段俊生.Adomian多项式的计算及其在整数阶和分数阶非线性微分方程中的应用[J].应用数学与计算数学学报,2015,29(2):187-210.[6] ZHU Y G,CHANG Q S,WU S C.A new algorithm for calculating Adomian polynomials[J].Appl Math Comput,2005,169:402-416.[7] DUAN J S．Convenient analytic recurrence algorithms for the Adomian polynomials[J]．Appl Math Comput,2011,217:6337-6348．[8] DUAN J S,RACH R.The degenerate from of the Adomian polynomials in the power series method for nonlinear ordinary differential equations[J].J Math SystemSci,2015(5):411-428.[9] RACH R,WAZWAZ A M,DUAN J S．A reliable modi fication of the Adomian decomposition method for higher-order nonlinear differentialequations[J]．Kybernetes,2013,42:282-308.[10] LESNIC D．The decomposition method for nonlinear,second-order parabolic partial differential equations[J].Int J Comput Math Numeric Simul,2008(l):207-233．[11] PATEL A,SERRANO S E．Decomposition solution of multidimensional groundwater equations[J].J Hydrology,2011,397:202-209.[12]RAMANA P V,RAGHU-PRASAD B K.Modi fied Adomian decomposition method for Van der Pol equations[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,2014,65:121-132.[13] CHEN F,LIU Q Q.Modi fied asymptotic Adomian decomposition method for solving Boussinesq equation of groundwater flow[J].Applied Mathematics andMechanics,2014,35(4):481-488.[14]BOUGOFFA L,RACH R,WAZWAZ A M,et al.On the Adomian decomposition method for solving the Stefan problem[J].International Journal of Numerical Methods for Heat&Fluid Flow,2015,25(4):912-928.[15]KHAN Y,VAZQUEZ-LEAL H,FARAZ N.An auxiliary parameter method using Adomian polynomials and Laplace transformation for nonlinear differential equations[J].Applied Mathematical Modelling,2013,27:2702-2708[16] HOSSEIEN M M,JAFARI M.A note on the use of Adomian decomposition method for high-order and system of nonlinear differential equations[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2009,14:1952-1957.[17] SHEHAHA M M.A study of some nonlinear partial differential equations by using Adomian decomposition method and variational iteration method[J].American Journal of Computational Mathematics.2015(5):195-203.。
一类奇摄动非线性边值问题的渐近解
一类奇摄动非线性边值问题的渐近解吴利敏【摘要】利用匹配渐近展开法,讨论了一类奇摄动非线性边值问题,给出了该问题的零阶渐近解,并确定了边界层的相应位置,得出了渐近解与边界条件的对应关系.【期刊名称】《安徽工程大学学报》【年(卷),期】2010(025)001【总页数】6页(P74-79)【关键词】非线性问题;渐近解;边值问题;匹配【作者】吴利敏【作者单位】湖州师范学院,数学系,浙江,湖州,313000【正文语种】中文【中图分类】O175.14在科学研究中,人们会遇到大量的非线性问题.而奇摄动方法是解决这类问题的有效方法之一.近几十年来,国际上十分关注这类问题[1-3],并取得了很多丰硕的成果.特别在非线性方程的边界层(激波层)问题中,由于激波的位置很强地依赖于边值,引起了人们的广泛关注和深入探讨.对这类问题,在文献[4-9]中已有一些研究,下面进一步探讨一类奇摄动非线性方程的边值问题.考虑如下二阶奇摄动非线性问题:其中0＜ε≪1,a为非负实数,n为整数,α(ε)=αi,βi均为常数.易知,(1)的退化解为y 0(x)=0和其中c为任意常数.显然,y0(x)=0一般不能同时与两个边界条件相匹配,应舍弃.下面只讨论形如(4)的退化解.由(4)知,问题(1)～(3)的零次外部解的可能形式为:其中y0l只满足边界条件(2),y0r只满足边界条件(3).若n为偶数时,(5)或(6)中正负号的选取依赖于α0或β0的符号,α0≥0或β0≥0时取正号,α0＜0或β0＜0取负号.不妨设 x0为问题(1)～(3)的激波位置.在 x=x 0附近引入伸长变量:其中v为正的常数.记问题(1)～(3)的内层解为y i,将(7)代入(1)得:根据特异极限理论,只有v=1才可能产生内层解,这时y i的零次近似y i 0应满足方程:由(8)可得其中c1为使(9)有意义的任意常数.显然,c1=k2＞0,否则=∓∞.这时,yi0将不能与外部解y0匹配.由(9)可得其中c2为使(10)和(11)有意义的任意常数.因为双曲正切和双曲余切均为奇函数,所以不妨设(10),(11)中的常数k为正,即k＞0.接下来的工作主要是选取k和c2,使得零阶内层解和零阶外部解相匹配.本文就n≠0和n=0两种情况进行讨论,每一种情况再按边界层可能的3种位置予以分类讨论:边界层在左端、在右端和在内部.2 n≠0时的情形2.1 边界层位置在区间[0,1]的左端时,即x0=0这时伸长变量为ξ=x/ε.(1)～(3)的零次外部解只能是由(6)决定,即零次外部解为y0r,它与相应的内层解的零次近似y i 0匹配如下.将零次外部解y 0r用内层变量ξ来表示,并对小的ε展开,即可得到零次外部解的内层极限:类似地,再将内层解的零次近似(10)和(11)用外部变量 x来表示,并对小的ε展开,又得到零次内层解的外部极限:( )0=k＞0.由匹配原则,我们得到:因为k＞0,所以又可以得到:其中β-n 0-(-n)/(a+1)＞0,且 n为偶数(n ≠0)时,β0≥0.于是,综合(10)～(12),我们得到:其中k=[β-n0-(-n)/(a+1)]1/(-n).再考虑边界条件(2).在(13)和(14)中用ξ=0(它与x=0对应)代入,并令y i0(0)=α0,从而有下列表达式:由(15)或(16)即可决定c2.根据(12)知道:β2-n0 ＞(2-n)/(a+1).当n为偶数时β0≥0,再由(15),(16)及双曲正切和双曲余切函数的性质可知:当α0＞[β-n 0-(-n)/(a+1)]1/(-n)时,内层解的零次近似yi0只能由(14)表出.当|α0|＜[β-n 0-(-n)/(a+1)]1/(-n)时,内层解的零次近似 yi0只能由(13)表出.由奇摄动问题的合成解的构造理论可得到:(Ⅰ)当＞(-n)/(a+1),α0＞[β-0n-(-n)/(a+1)]1/(-n)时(n为偶数时还需增加条件β≥0),问题(1)～(3)的零阶渐近解为其中k=[-(-n)/(a+1)]1/(-n),0＜ε≪1,c2由(16)决定.此解在x=0附近有冲击层. (Ⅱ)当＞(-n)/(a+1),|α0|＜[-(-n)/(a+1)]1/(-n)时(n为偶数时还需条件β0≥0),问题(1)～(3)的零阶渐近为其中k=[β-n0-(-n)/(a+1)]1/(-n),0＜ε≪1,c2由(15)决定.此解也在x=0附近有冲击层.2.2 边界层位置在区间[0,1]的右端时,即 x0=1这时伸长变量为ξ=(x-1)/ε,问题(1)～(3)的零次外部解是由(5)决定的y 0l,将它与相应的内层解的零次近似y i0相匹配;用与x0=0类似的方法可得到:由匹配原则,我们又可得到:又因为k＞0,所以当n为奇数时,有下列表达式:当n为偶数且n≠0时,又有:综合考虑(10)～(11)和(19)～(20)可知:①当n为奇数时又考虑到边界条件(3),在(21)和(22)中用ξ=0(它与χ=1对应)代入,使y i0(0)=β0,从而有 :由(23)或(24)即可决定c2.因为α2-n0+(-n)/(a+1)＜0,所以由(23),(24)及双曲正切和双曲余切函数的性质可得:当β0＜[α-n0+(-n)/(a+1)]1/(-n)时,内层解的零次近似 y i0能由(22)给出.当|β0|＜-[α-n 0+(-n)/(a+1)]1/(-n)时,内层解的零次近似y i0只能由(21)表出.于是,由奇摄动问题的合成解的构造知:(Ⅲ)当α-n0+(-n)/(a+1)＜0,β0＜[α-n0+(-n)/(a+1)]1/(-n)时,问题(1)～ (3)的零阶渐近为其中0＜ε≪1,c2由(24)决定,k由(19)决定.上述解在x=1附近有冲击层.(Ⅳ)当α-n 0+(-n)/(a+1)＜0,|β0|＜-[α-n 0+(-n)/(a+1)]1/(-n)时,问题(1)～ (3)的零阶渐近为其中0＜ε≪1,c2由(23)决定,k由(19)决定.上述解也在x=1附近有冲击层.②当n为偶数且n≠0时又因为边界条件(3),在(27)和(28)中用ξ=0(它与 x=1对应)代入,使y i0(0)=β0,故有由(29)或(30)即可决定 .根据(20):α-n0+(-n)/(a+1)＞0,α0≤0,再由(27),(28)及双曲正切和双曲余切函数的性质知:当α-n 0+(-n)/(a+1)＞0,α0≤0,β0＜-[α-n 0+(-n)/(a+1)]1/(-n)时,内层解的零次近似y i0只能由(28)给出.当α-n 0+(-n)/(a+1)＞0,α0≤0,|β0|＜[α-n 0+(-n)/(a+1)]1/(-n)时,内层解的零次近似y i 0只能由(27)给出.于是,由奇摄动问题的合成解的构造理论得到:(Ⅴ)当α-0n +(-n)/(a+1)＞0,α0 ≤0,β0 ＜-[α0-n +(-n)/(a+1)]1/(-n)时,问题(1)～(3)的零阶渐近解为其中0＜ε≪1,c2由(30)决定,k由(20)决定.上述解在x=1附近有冲击层.(Ⅵ)当α-n 0+(-n)/(a+1)＞0,α0 ≤0,|β0|＜[α-n 0+(-n)/(a+1)]1/(-n)时,问题(1)～(3)的零阶渐近解为其中0＜ε≪1,c2由(29)决定.k由(20)决定.上述解也在x=1附近有冲击层.2.3 边界层位置在区间[0,1]的内部时,即x0∈(0,1)此时,伸长变量为ξ=(x-x0)/v.问题(1)～(3)的内部解需由(5)和(6)共同决定,即:这时内层解的零次近似只能是(10)的形式.将它与(33)左端的零次外部解匹配可得:对应于(yi0)0=-k.根据匹配原则,我们可得:而对应于于(y i0)0=k.根据匹配原则,我们有:此时,(-n)(xa+10-1)/(a+1)+β-n0 ＞0,且n为偶数(n≠0)时,β0≥0.于是,我们从(34)和(35)可以得到:①当n为奇数时由此可得:②当n为偶数且n≠0时上述两式不能确定x0和k,这就意味着此时边界层不能在区间[0,1]内出现.当n为奇数时,易知零次内层解只能是(10)的形式,即其中k=[-(β-n 0-α-n0)/2-(-n)/2(a+1)]1/(-n),且因为激波集中在 x=x0(即ξ=0),因此c2=0.由于0＜x0＜1且k＞0,所以由(36)知根据奇摄动问题合成解的结构理论可得:(Ⅶ)当n为奇数,-1＜(a+1)(α-n0+β-n 0)/(-n)＜1,β-n 0-α-n0 ＞(-n)/(a+1)时,问题(1)～ (3)的激波解为其中0＜ε≪1,x0,k由(36)决定.上述解在(0,1)内部x=x0附近有冲击层.综合上述讨论,可得如下结论(n≠0):(Ⅰ)当＞(-n)/(a+1),＞[-(-n)/(a+1)]1/(-n)时(n为偶数时还需β0≥0),问题(1)～(3)有形如(17)的零阶渐近解.此解在x=0附近有冲击层.(Ⅱ)当β2-n0 ＞(-n)/(a+1),|α-n 0|＜[β-n0-(-n)/(a+1)]1/(-n)时(n为偶数时还需β0≥0),问题(1)～(3)有形如(18)的零阶渐近解.此解也在x=0附近有冲击层.(Ⅲ)当n为奇数+(-n)/(a+1)＜0,＜[-(-n)/(a+1)]1/(-n)时,问题(1)～ (3)有形如(25)的零阶渐近解.此解在x=1附近有冲击层.(Ⅳ)当n为奇数+(-n)/(a+1)＜0,||＜-[-(-n)/(a+1)]1/(-n)时,问题(1)～ (3)有形如(26)的零阶渐近解.此解在x=1附近有冲击层.(Ⅴ)当n为偶数, +(-n)/(a+1)＞0,α0 ≤0, ＜-[-(-n)/(a+1)]1/(-n)时,问题(1)～(3)有形如(31)的零阶渐近解.此解在x=1附近有冲击层.(Ⅵ)当n为偶数, +(-n)/(a+1)＞0,α0 ≤0,| |＜[-(-n)/(a+1)]1/(-n)时,问题(1)～(3)有形如(32)的零阶渐近解.此也在x=1附近有冲击层.(Ⅶ)当n为奇数,-1＜(a+1)(+)(-n)＜1,- ＞(-n)/(a+1)时,问题(1)～(3)有形如(38)的零阶渐近解.且此时在x=x0∈(0,1)附近有冲击层.(Ⅷ)当n为偶数时,问题(1)～(3)不存在内部冲击层.(Ⅸ)在其它情形,问题(1)～(3)无激波解.(Ⅹ)在(Ⅰ)到(Ⅶ)的对应区域中,它们可能有公共部分,说明在此区域有两个或两个以上的激波解.3 n=0时的情形类似地,用上述方法可得如下结论(n=0):(Ⅰ)当β0＞0,α0＞β0exp[-1/(a+1)]时,问题(1)～(3)有形如0＜ε≪1的激波解.它在左边界x=0附近有冲击层.(Ⅱ)当β0＞0,|α0|＞β0exp[-1/(a+1)]时,问题(1)～ (3)有形如0＜ε≪1的零阶渐近解.它也在左边界x=0附近有冲击层.(Ⅲ)当α0＜0,β0＜-αexp[1/(a+1)]时,问题(1)～(3)有形如0＜ε≪1的零阶渐近解.它在右边界x=1附近有冲击层.(Ⅳ)当α0＜0,|β0|＜-α0exp[1/(a+1)]时,问题(1)～(3)有形如0＜ε≪1的零阶渐近解.它也在右边界x=1附近有冲击层.(Ⅴ)在其它情况下,问题(1)～(3)无激波解.4 结束语本文用匹配渐近展开法,讨论了一类奇摄动非线性边值问题,得到了该问题的零阶渐近解和渐近解与边界条件的对应关系.由上述我们可以看出,边界条件对激波解的影响是很大的.随着边界条件的变化,激波解也随之变化,有时存在,有时不存在.即使存在,其情况也是很复杂的.另外,我们可以用上述思想进一步求该问题的一阶或高阶渐近解,并可用于其它一些类型的奇摄动问题的研究.参考文献:[1] Ammari H Kang H,Touibi K.Boundary layer techniques for deriving the effective properties of composite materials[J].AsymptoticAnal.,2005(41):119-140.[2] 莫嘉琪,林万涛.一类奇摄动非线性方程的激波解[J].系统科学与数学,2006(26),21-27.[3] R E O'Malley Jr.On the asymptotic solution of the singularly perturbed boundary valueproblems posed by Bohé[J].J.Math.Anal.A ppl.,2000(242):18-38.[4] JG Laforgue,R E O'Malley.Shock layer Movement for Burgers equation[J].SLSM J.Appl.Math.1995(55):332-348.[5] Mo Jiaqi,Ouyang Cheng.A class of singularly perturbed generalized boundary value problems for quasi-linear elliptic equation of higherorder[J].Apll.Maths.Mech.,2001(22):372-378.[6] A Bohé.The shock location for a class of sensitive boundary value probldems[J].J.Math.Anal.Appl.,1999(235):295-314.[7] Mo Jiaqi.A class of singularly perturbed reaction diffusion integral differential system[J].Acta Maths.Sinica,1999(15):19-23.[8] A H Nayfeh.Introduction to perturbed techniques[M].New York:John Weiley&Sons,1981:365-375.[9] Ouyang Cheng.Nonlinear singular perturbed problem with multiple solution[J].Advances in Mathematics,2007(36):363-370.。
用摄动法求解一类小参数方程的近似周期解
知道周期解的解析表达式 , 以便具体了解该周期 解所包含的各种谐波成分以及它与各个参数之间
的数量关系. 这一问题 , 近年来引起了不少学者
的关注 ,并对此展开了一系列的研究工作. 孟国
明 ,周虹用正则摄动法给出求一类含小参数微分
方程组近似解的方法 [1 ] ;吴晓 ,禹金云则对强非线
性振动系统进行参数变换 , 把强非线性振动系统
当 ε = 0时 ,方程
··
x
+g
( x)
=εf
(
x,
·
x
)有一能量积分
1 ·x2
+V ( x)
=E(E >
2
∫ 0,常数 ) ,其中 V ( x) = x g (ξ) dξ乃弹力的势能. 0
强非线性自治系统的周期解 , 不仅在理论上十分
重要 ,而且在土建 、机械 、电力电子 、交通运输和航 天航空等许多工程领域具有广泛的应用背景. 例
dθ
48
48
= - a·π48 故有
-
1+
3 4
a2
+
5 4
a4 ·59a6
- 136a4 - 360a2 - 8 + 6a2 + 5a4
+ 384.
A1 ( a)
= ∫20π ( 2 <0
1
+
a
9<0 9a
)
sin2θdθ
- a·π48
-
1+
3 4
a2
+
5 4
a4
×59a6
- 136a4 - 360a2 - 8 +6a2 +5a4
[摘 要 ] 主要讨论了强非线性拟保守自治系统
一类二阶非线性摄动微分方程解的振动性质
伽 ￡ （ｗ （恙 ） ）
（ ） ）
≤ ｑ） 一（一 ￡
一
（ ） ｗ￡ ｋ 一 （） ）
ｑ＋ 丽） ｗ 一 （ ｐ 一 临 （ ￡ ） ２ １ （ ｔ
Ｖｏ ＿ ６ ＮＯ ２ ｌ２ ， ．
Ｊｎ ，０ ８ ｕ ． ２０
一
类 二 阶非 线 性 摄 动 微 分 方 程 解 的振 动 性 质
孙 建 武 ，张全 信
（ 州学 院 数 学 与 信息 科 学 系 ． 东 滨 州 ２ ６ ０ ） 滨 山 ５ ６ ３
摘 要 ： 究 了一 类 二 阶 非线 性 摄 动 微 分 方 程 解 的 振 动 性 质 ． 一 定 条 件 下 ， 立 了 两 个 新 的 振 动 性 定 理 ， 广 和改 研 在 建 推 进 了 已知 的结 果． 关 键 词 ： 线 性 ； 动 微 分 方 程 ； 动 性 质 非 摄 振 中 图分 类 号 ： ７ ０１ ５ 文献标识码 ： Ａ 文 章编 号 ；１ ０ — ５ ３ ２ ０ ） ２０ ５ —４ ０ ７ ６ ７ （ ０ ８ ０ — ０ ００
本 文总假设 方程 （ ） １ 的每 一个 解 （） 以延 拓 于 ［。 ＋ｏ ） 在任 何无 穷 区 间 ［ ＋ｏ ） ， ￡ ｔ可 ｆ， 。 上． Ｔ， 。 上 （）
不恒等 于零 ， 样 的解 叫正则 解． 个正 则解 ， 它有 任 意大 的零 点 ， 这 一 若 则称 为 振动 的 ； 否则 就 称 为非 振动 的． 方程 （ ） 若 １ 的所有正 则解是 振动 的 ， 称方程 （ ） 振动 的． 则 １是
Ａ ）Ｐ－ ｔ， ｏ ）× Ｒ 一 Ｒ 是 连 续 函 数 ， 且 存 在 连 续 函 数 Ｐ（ ） ｔ， ｏ ） Ｒ， 得 ［。 ＋ 。 并 ｔ ：［。 ＋ 。 一 使
解非线性振动方程的两种摄动法的比较_周红庆
( 2. 1)
第6期
周红庆 , 等 : 解非线性振动方程的两种摄动法的 比较
489
式中 “′ ” 表示对变量 τ 求导 . 变量 τ 的引进使得方程( 2. 1) 的解是关于 τ 的以 2π为周期的周期函数 , 原方 程( 1. 1)的周期 T = 2π /ω . 2 [1 -2 ] 利用 L-P 摄动法 , 方程( 2. 1) 的解 x ( τ ) 和频率的平方 ω 可展成如下的幂级数 x =x 0 + x 1 ε + x 2 ε +… , ω =ω ω 0 +ε 1 +ε ω 2 + …. 相应的初始条件为 x 0( 0)= A , x′ ( 0)= 0 , 0 xi ( 0)= 0 , x′ 0)= 0( i = 1 , 2 , …) . i( 将式( 2. 2) 和式( 2. 3) 代入方程( 2. 1) ,令 ε 的各次幂的系数分别为零 , 得 x″ 0 +x 0 = 0 , x″ 1 + x 1 =x″ 2 + x 2 =ω 1 1 x 0) , 2 x″ 0- 2 g ( ω ω 0 0 ω 2
周红庆1 , 高福顺2
( 1. 中原工学院 信息商务学院 , 河南 郑州 450007 ; 2. 北华大学 数学学院 , 吉林 吉林 132033 )
摘要 : 首先介绍了解非线性振动方程的 L -P 摄动法和 K ry lov 展开法 , 然后对两种 方法进行 了比较 . 比较可知 , 对 恢复力是位移奇函数的单自由度保守振动系统 Kry lov 展开 法适用范围比 L -P 摄动法广 泛 ; 对恢复力是位移一般 函数的单自由度保守振动系统两者都仅适用于弱非线性系统 . 两个典型例子验证了结论的正确性 . 关键词 : 摄动法 ; 奇非线性振动系统 ; 一般非线性振动系统 中图分类号 : O322 文献标识码 : A
二阶非线性摄动微分方程解的振动性质
二阶非线性摄动微分方程解的振动性质高丽;张全信【摘要】研究了一类二阶非线性摄动微分方程解的振动性质.在一定条件下,建立了两个新的振动性定理,推广和改进了已知的结果.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2010(026)003【总页数】4页(P99-102)【关键词】非线性;摄动微分方程;振动性质【作者】高丽;张全信【作者单位】滨州学院,数学与信息科学系,山东,滨州,256603;滨州学院,数学与信息科学系,山东,滨州,256603【正文语种】中文【中图分类】O175文[1]研究了二阶线性阻尼微分方程的解的振动性质,[2]和[3]研究了二阶非线性微分方程的解的振动性质,[4]和[5]研究了二阶非线性阻尼微分方程的解的振动性质,分别建立了上述方程的若干个振动性定理.在此基础上,本文讨论了一类较为广泛的二阶非线性摄动微分方程的解的振动性质,在一定条件下,建立了方程(1)的两个新的振动性定理,推广和改进了已有的结果.在本文中,对于方程(1),约定本文总假设方程(1)的每一个解x(t)可以延拓于[t0,+∞)上.在任何无穷区间[T,+∞)上,x(t)不恒等于零,这样的解叫正则解.一个正则解,若它有任意大的零点,则称为振动的;否则就称为非振动的.若方程(1)的所有正则解是振动的,则称方程(1)是振动的. 定理1 设ψ(x)f′(x)≥k＞0,x≠0,并且【相关文献】[1] Yan Jurang.Oscillation theorems for second order linear differential equations with damping[J].Proc.Amer. Math.Soc.,1986,98(2)：276-282.[2] Cecchi M and Marini M.Oscillatory and nonoscillatory behavior of a second order functional differential equation [J].Rocky Mount.J.Math,1992,22(4)：1259-1276.[3] Rogovchenko Yu V.On oscillation of a second order nonlinear delay differential equation[J].Funkcial Ekvac, 2000,43(1)：1-29.[4] 张全信,燕居让.一类二阶非线性阻尼微分方程的振动性[J].系统科学与数学,2004,24(3)：296-302.[5] 张全信,燕居让.二阶非线性阻尼微分方程解的振动性质[J].数学杂志,2007,27(4)：455-460.[6] Ladde G S,Lakshmikantham V and Zhang B G.Oscillation theory of differential equations with deviating arguments[M].New York：Marcel Dekker,1987.。
用同伦摄动法求解第一类超奇异积分方程
用同伦摄动法求解第一类超奇异积分方程汪菊玲;汪文帅【摘要】大量的物理学问题和工程问题等都可以用超奇异积分方程描述,但此类方程解析解的求解非常困难.因此相关领域的研究者将其目光投向了对其数值解的研究上.文中采用同伦摄动法求解了第一类超奇异积分方程,并运用数值算例验证了所用方法的有效性,最后将该方法应用到了断裂力学问题的求解中,且将得出的裂纹尖端应力强度因子的解与其解析解进行对比.由对比结果可知该方法在求解含裂纹的断裂力学问题时是非常有效的.%A large number of physical and engineering problems can be described by hypersingular integral equations,but it is difficult to solve the analytical solutions of suchequations.Therefore,researchers have paid their attentions to study the numerical solutions of the hypersingular integral equations.In this paper,the hypersingular integral equation of the first kind is solved by the homotopy perturbation method,and the numerical examples are used to verify the validity of the method.Finally,the method is applied to solve the fracture mechanics problem,and the value of the stress intensity factors of the crack tips is given.The comparison between the numerical solution and the analytical solution shows that the homotopy perturbation method is very effective in solving the fracture mechanics problems with cracks.【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】5页(P38-41,47)【关键词】同伦摄动法;超奇异积分方程;裂纹;应力强度因子【作者】汪菊玲;汪文帅【作者单位】宁夏大学数学统计学院,宁夏银川 750021;宁夏大学数学统计学院,宁夏银川 750021【正文语种】中文【中图分类】O175.5超奇异积分方程是一种具有高阶奇异性的积分方程，发展很缓慢，但其广泛地应用在物理和工程问题中，如数学物理方程中的水波散射[1]和断裂力学[2—3].超奇异积分方程的解析解很难求解，甚至有些超奇异积分方程的解析解不能求解，因此高精度的超奇异积分方程数值解法受到了很多学者的关注.就超奇异积分方程的数值解而言，Golberg[4]使用伽辽金方法和配置法求解了超奇异积分方程.Mandal等[5]采用Chebyshev多项式逼近法求解了边界值为零的第一类超奇异积分方程的数值解.Mahiub等[6]采用Chebyshev多项式逼近法求解了第一类超奇异积分方程的数值解.Chen 等[7]对文献[5]中传统的方法进行了改进，使其更适用于求解第一类超奇异边界积分方程.秦彪[8]采用改进的线元配置法，求解了第一类超奇异积分方程的数值解，但其精度并不高.同伦摄动法是将同伦技术与摄动技术相结合，将复杂问题简单化而得到的一种新的摄动理论.1998年，何吉欢[9]首次提出了同伦摄动法,与传统的摄动方法不同，它不依赖于小参数，而是通过构造一个含嵌入参数的方程来解决问题.从常微分方程[10]到偏微分方程[11]，同伦摄动方法的应用很广泛，可以应用于由微分[11]、积分[12]、积分微分[13]等形式组成的线性、非线性方程(方程组)描述的数学物理模型的问题中.为了提高同伦摄动的效率，很多学者对同伦摄动法进行了改进.Javidi 等 [14]为了获得非线性Fredholm 积分方程的近似数值解，给扰动方程添加了嵌入参数.Eshkuvatov等[15]采用改进的同伦摄动法求解了第一类超奇异积分方程，只讨论了具有二阶奇异性的情况.基于此，本文讨论具有更高阶奇异性的第一类超奇异积分方程，采用同伦摄动法求解了此类方程的数值解，并用该方法求解了含裂纹的断裂力学问题.1 同伦摄动法求解超奇异积分方程考虑如下的超奇异积分方程p≥1，p∈R+, -1<x<1,(1)其中：φ(x) 是关于x的未知函数；K(s,t)和L1(s,t)是D={(s,t)∈R2|-1≤s,t≤1}上的平方可积核.假设K(s,t)=c0+(t-x)pK1(x,t)，K1(x,t)=Q(x)+(t-x)Q1(x,t)，其中c0是非零常数，Q(x)是光滑函数，K1(x,t)和Q1(x,t)是平方可积核.根据超奇异积分方程主部分析的结果，方程(1)的解可以表示为[15](2)其中u(x)为[-1,1]上待求解的有界函数.将(2)式代入(1)式可得p≥1, p∈R+, -1<x<1,(3)其中L(x,t)=Q1(x,t)+L1(x,t).由文献[16]可知p≥1, p∈R+, -1<x<1.(4)令p≥1, p∈R+,则有从而第一类超奇异积分方程(3)可以写成算子形式：Hp+1u+Cu+Lu=f.(5)对于方程(5)，在凸同伦的形式下做一摄动，可得H*(v,θ)=(1-θ)(Hp+1v-u0)+θ(Hp+1v+)(Cv+Lv-f),(6)其中θ∈[0,1]是同伦参数，u0是方程(1)满足初始条件的初始近似值.显然有Hp+1v-u0=0, Hp+1v+Cv+Lv-f=0.(7)易知，θ从0到1的变化过程正好是u0(x)到u(x)的变化过程.相应地,也是H*(v,θ)从Hp+1v-u0变到Hp+1v+Cv+Lv-f的过程，即Hp+1v-u0和Hp+1v+Cv+Lv-f是同胚的，这正是同伦理论中的变形.根据摄动理论，H*(v,θ)=0的解v可以表示为同伦参数θ的幂级数形式:(8)将(8)式代入H*(v,θ)=0可得(9)对于方程(9)，两端分离出θ的同幂次项，即Hp+1(v0)=u0,Hp+1(v1)=f-u0-Cv0-Lv0,Hp+1(vk)=-Cvk-1-Lvk-1, k≥2.(10)根据Hφn(x)=-c0(n+1)φn(x),φn+1(x)-φn-1(x)),φn2(x)dt=1,n=0,1,…, (11)其中(x)是第二类切比雪夫多项式.通过迭代法，可以得到方程(1)的解(12)其逼近解可以表示为(13)2 数值算例例1[7] 考虑超奇异积分方程:(14)其精确解为令N=10，用同伦摄动法和配置法[17]求解方程(14)，其精确解与数值解的绝对误差见表1.表1 方程(14)数值解与精确解的绝对误差x配置法[17]本文同伦摄动法0.96598.330×10-178.330×10-170.86601.665×10-161.110×10-160.70711.665×10-165.550×10-170.50002.220×10-165.550×10-170.25883.053×10-161.390×10-1702.090×10-161.513×10-16-0.25881.527×10-162.220×10-16-0.50001.665×10-161.388×10-16-0.70715.550×10-171.110×10-16-0.866000-0.965900例2[15] 考虑超奇异积分方程：-1<x<1,(15)其精确解为令N=10，用同伦摄动法和配置法[17]求解方程(15)，其精确解与数值解的绝对误差见表2.表2 方程(15)数值解与精确解的绝对误差x配置法[17]本文同伦摄动法0.96592.220×10-162.220×10-160.86604.440×10-166.660×10-160.70711.443×10-156.660×10-160.50001.776×10-158.880×10-160.25882.220×10-151.110×10-1501.998×10-159.990×10-16-0.25882.109×10-153.330×10-16-0.50001.776×10-150-0.70711.332×10-151.110×10-16-0.86606.940×10-167.490×10-16-0.96594.720×10-163.330×10-16由以上2个算例易知：用本文的同伦摄动法求解方程(14)～(15)时，其数值解与精确解的绝对误差比用配置法[17]求解的小，从而验证了同伦摄动法求解第一类超奇异积分方程的可行性和有效性.3 求解含裂纹的断裂力学问题在数学模型中，许多断裂力学问题都可以化为超奇异积分方程[18—19]，因此,断裂力学问题的求解都可以归结为求解超奇异积分方程.考虑一对等长的处于无限大各向同性弹性体中的共面裂纹问题，a<|x1|<b，x2=0.在裂纹表面的应力边界条件下，该裂纹问题可归结为求解一组以未知裂纹面位移尖端表示的超奇异积分方程[17]：(16)式中ω[1](y)=S(t)=-1，λ和μ是Lame常数，r(y)是待求函数.运用同伦摄动法将超奇异积分方程组(16)化为线性代数方程组，可求得裂纹面位移尖端函数r(y)的值，进而可以求得裂纹尖端(a,0)和(b,0)两点处无量纲应力强度因子的数值解.对于该例子，取b-a=2，s1=s2=1和μ(λ+μ)/(λ+2μ)=1，每个裂纹上取10个插值点.为了考察裂纹尖端面对应力强度因子的影响，取的不同值，分别对应力强度因子进行计算，并与其解析解[20]做比较，结果见表3.由表3可知，当2a/(b-a)=0.01 时，应力强度因子的数值解与精确解的差别很明显，尤其在内置裂纹尖端(a,0)处.当2a/(b-a)的值越接近裂纹内部时，同伦摄动法求解的应力强度因子的数值解与精确解[20]的绝对误差越小，从而验证了该方法的可行性.表3 本文用同伦摄动法计算的应力强度因子的数值解与文献[20] 中相应的解析解的比较2ab-a2K1(a)s2π(b-a)2K1(b)s2π(b-a)0.010.010.200.300.402.9993161.207856本文方法3.0044151.205812文献[20]1.4914301.122038本文方法1.4914281.122037文献[20]1.2802991.091073本文方法1.2802981.091073文献[20]1.1922951.073012本文方法1.1922951.073012文献[20]1.1434541.060712本文方法1.1434541.060712文献[20]4 结论本文用同伦摄动法求解了第一类超奇异积分方程.通过数值算例和对实际问题的求解可知，对于第一类超奇异积分方程的求解，同伦摄动法是一种非常有效的高精度数值计算方法.参考文献：[1] KANORIA M, MANDAL B N. Water wave scattering by a submerged circular-arc-shaped plate [J]. Fluid Dynamics Reachers,2002,31(5/6):317-331.[2] CHAN Y S, FANNJIANG A C, PAULINO G H. Integral equations with hypersingular kernels-theory and applications to fracture mechanics[J]. International Journal of Engineering Science,2003,41(7):683-720.[3] NIK LONG M A N, ESHKUVATOV Z K. Hypersingular integral equation for multiple curved cracks problem in plane elasticity[J]. International Journal of Solids and Structures,2009,46(13):2611-2617.[4] GOLBERG M A. The convergence of several algorithms for solving integral equations with finite part integrals. II [J]. Applied Mathematics and Computation,1987,21(4):283-293.[5] MANDAL B N, BERA G H. Approximate solution for a class of hypersingular integral equations [J]. Applied MathematicsLetters,2006,19(11):1286-1290.[6] MAHIUB M A, NIK LONG N M A, ESHKUVATOV Z K. Numerical solution of hypersingular integral equations [J]. 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The opening of a pair coplanar Griffith cracks under internal pressure [J]. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics，1961，14(3)：283-292.。
二阶非线性泛函微分方程解的振动准则
二阶非线性泛函微分方程解的振动准则
邹自然;申建华
【期刊名称】《怀化学院学报》
【年(卷),期】2007(26)2
【摘要】给出关于二阶非线性泛函微分方程解的一些新的振动准则.
【总页数】3页(P1-3)
【作者】邹自然;申建华
【作者单位】湖南师范大学,数学系,湖南,长沙,410081;湖南师范大学,数学系,湖南,长沙,410081;怀化学院,数学系,湖南,怀化,418008
【正文语种】中文
【中图分类】O175.10
【相关文献】
1.一类二阶中立型非线性阻尼泛函微分方程的振动准则 [J], 陈大学;周树清;龙玉花
2.二阶非线性脉冲泛函微分方程的振动准则 [J], 丁强生;蒋威;孟祥旺
3.二阶非线性泛函微分方程解的振动准则 [J], 厉亚;黄立宏;孟益民
4.二阶非线性泛函微分方程解的振动准则 [J], 唐文峰;徐立新
5.一类二阶非线性泛函微分方程的振动准则 [J], 王芳
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一类超越方程的摄动解
一类超越方程的摄动解
孙敏
【期刊名称】《湖州师范学院学报》
【年(卷),期】2005(027)002
【摘要】利用摄动理论的直接展开法,研究了超越方程εx5+asinx+bcosx-c=0,较简捷地得出了方程的近似解.
【总页数】2页(P30-31)
【作者】孙敏
【作者单位】湖州师范学院,理学院,浙江,湖州,313000
【正文语种】中文
【中图分类】O173
【相关文献】
1.一类超越方程的摄动解 [J], 陈跃勤
2.一类超越方程的摄动解与解的精度估计 [J], 高飞;唐荣荣
3.一类超越方程的摄动解 [J], 王莉婕
4.一类超越方程的摄动解 [J], 陈怀军
5.论一类超越方程ax=xn（a〉0且a≠1,n∈N＊）的根的分布 [J], 周廷银
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肋∑ｃ＋。（ ＋）￡ ＝ ｃ［ｎ１ ］ ｓ２ ， ｃ ＝∑ｃ 。 ｆ一 ： 肿
显然 ｌ ｆ （） （ ，ｉ ｆ （ ＝６ ｆ 。 ｉ ｍ 肋 ＝ ｌ ） ｌ ｂ肋 。 ） ｒ ａ ） （
（） ２ ２ （） ２ ３
为了研究方便， 考虑最简单 的情形： ＝ ， ２ ） ， Ｎ Ｉ 由（２ 式 得 ｆ ￡ ｆ ｃｓｔ ｓ ｔ 由（５ （０ （ ＝ｃ －ｏ ＋ｃ ％ｏ３ ， １ ）２ ） ） ） ｗ ｗ （３式 ， ｃ ） ｃ ） ２ ） 得 ｆ． ） ｃｓ 。 ＝ 时， ３ 即为原来的非线性方程（ ） １。
由于 同伦摄动参数ＰＥ０ １ 故可以将 Ｐ视为小参数 ， ［，］ ， 将方程（ ） ３ 的解 （） ｔ 表示为 Ｐ的幂级数形式
ｘｔ＝ｏｔ＋ｘ（）ｐ （）… （）Ｘ（）ｐ １ ＋ ２ｔ＋ ￡ （） ５
姜兆敏 曹 毅 ： 一类二阶非线性振动方程的 同伦摄动近似解
５ ３
从图 １ 可以很直观地看出， 用同伦摄动方法得到的一阶近似解析解在初始时刻非常接近高精度的四
阶龙格一库塔法计算 的数值解 ， 同伦摄动方法对解决非线性问题是很有效的一种方法。 依照此法， 还可以
得到更高阶的近似解 。
参考文献：
（ １ ６ 一） （ ５ １）
（ｎ ３ （ｎ １（ｎ １（ｎ ３ （ｎ ５７ 。 ２ 一 ）２ ， ）２＋ ）２＋ ）２ ＋ ） ｒ
由（５ 式计算得 １）
ｏ 而２ ・ ３ ，
，
。
。
（６ １）
将（４ 一 １） １ ）（６式代入方程（３ ， １ ）得
ｆＩ ＋（２ Ｃｔ ！ ｃｘ Ｊ
‘
Ａ ＝、 ， ） ４／ ＝ Ａ
一
’
（ １ ８ ）
阶近似周期 （ ： ）
： ｊ
。
ｅ［ ２ ／Ａ ｏＡ ｘ Ａ、 ２
５ ２
设
江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报
第 １ ７卷
。
（＝ ｃ［肼１ ， ￡ ∑ｃ 。（ ） ） ｓ２
（＝ ， ， ） ｌ２ … 。
第ｌ ７卷第 １ 期 Ｏ
２１ ０ １年 １ Ｏ月
江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＵＲ Ａ ＦＪ Ｇ ＵＴ Ａ Ｈ Ｒ ＮＶＥ ＳＴ ＦＴ Ｃ ＮＯ Ｏ Ｙ Ｏ Ｎ ＬＯ Ｉ Ｓ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＵ Ｉ Ｒ ＩＹ Ｏ Ｅ Ｈ Ｌ Ｇ ＡＮ
Ｖ０．７ Ｎｏ１ １ ． ．０ １ ０ｃ一 ２ １ ｔ ０ １
当 １ 解（ ） 时， ５ 就是原方程的解 。 方程 （ ） １具有周期解嗍， 将角频率 ∞的平方表示为Ｐ的幂级数形式 ∞＝ ＋ｏ ｌｐｔ ２… 或 ｌ∞＿ 叩 叩 ２ ・ １ ＋ ＝ ２ｌ １ 一 （） ６
其 中 Ｏ （＝ ，…） ／ ｎ ｌ２ 待定。
将（ ）６式代人方程（ ） ５（） ４ 得
Ａ ｏ ｉ 分解法 、 ｄｍａ ｎ 展开法及同伦摄动方法等。同伦摄动方法（Ｐ ） 由何吉欢（ ９ 年） Ｈ Ｍ是 １ ８ 首先提出的翻 这种 ９ ，
方法有别于传统的摄动方法， 它不依赖于小参数， 而是应用拓扑学 中的同伦技术， 构造一个含嵌入参数
ＰＥ ０ ｌ ［， 的方程， 】 当嵌入参数 ｐ ０时， ＝ 方程即为问题 的一个线性方程， ＝ 时 ， 当ｐ ｌ 方程转化为原来的非线
伦摄动参数 Ｐ ０ １， ，】 Ｅ［ 将方程（ ） ｉ形变为ＡＴ参数方程
ｄｘ ２
＋ １ｐ ｐ＂ ｎ ＝ ， （－ ）＋ ｇ （）０ ｓ
（） ３
将方程（ ） ３变形， 得
收稿 日期 ： ０ １０ — ０ 修回 日期 ： ０ １０ — ３ ２１—８３ ； ２ １ — ９ ２ 作者简介： 姜兆敏（９７ ）女 ， １７一 ， 山东临沂人 ， ， ， 讲师 硕士 主要研究方向为微分方程及其应用 。
ｐ：０ ｏｘ＝ ，００； ０＝ 。） ０ｔ ｊ ０ ０ （ ）Ａ，０ ）０， ｔ＋ ２ （ Ｐ： ” ＋ ｌ（＋ １ 旷 ｓｎｘ） （ ） （ ）０。 １ ＝ １ａ） ｇ（ｏ， Ｏ ＝ｌ ０ ＝ １ 方 程 （０ 的解 是 １） Ｘ（）Ａｃｓ ｔ 。 ｏｔ＝ ｏｏ ） （２ １） （３ １） （Ｏ １） （１ １）
第１ ０期
姜兆敏 曹 毅 ： 一类二阶非线性振动方程的同伦摄动近似解
５ １
＋ ＝ ［－ ＇ ｎ ） ｘ ｐｘ ｘｓ （ 】 ｇ
。
（） ４
当 ｐ ０时， ＝ 方程 （ ） ３ 成为线性方 程
＝ ， 以求 得满足 初值条件 （ ）Ａ， （ ）０的精确解 （） ０可 ０； ０＝ 。 ￡ ＝
将 ｘ ｐ － ｚ． ） Ｘ展成 Ｔｙ ｒ ｏｘ ＋ ＋． 在 Ｏ － ａｌ 级数， ｏ 并整理得
‰ ｐ １ ２…） ‰） １ ｘ） ｐ ＋ｘ ｐ ＋ ＝ ＋ 印 ｆ（０ ＋ （０ ｘｆ ２） Ｄｐ ） 。 Ｘ） ＋ ｉ ＇（０ ＋ （ ＇ ；］ （） ９
将（ ）９式代人方程（ ）并令方程两端人工小参数 Ｐ的同次幂的系数相等， ８（ ） ７， 得
ｃｇｓ （ ｓ ）∑ １ｓ２ １ ａ 。ｏａ ｏｔ … ｏｅ ｇ ｃｅ ＝ ｓｔｎ ｏｏ ｏ ｔ ｃ［ｎ ）］Ｉｓｔ３ ｓｏ ｏ（ ＋ ∞＝ ｃｔ ｃ３ｔ ＋ ＋
ｎ Ｏ ＝ ‘ －＝ ｆ日ｌ ２
（） １ ４
』 。ｓ（ｓｃｒｎ ）ｒ 。ｃ ｎ。）ｓ２ １ｄ ｓｇｃｒ。（＋ｒ＝
关键词： 同伦摄 动方法 ； 非线性 ； 近似解 中圈分类号： ２ １ ０ ４ 文献标 志码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ４ ８２ （０ １１— ００ ０ １ ７ — ５ ２ ２ １ ）０ ０ ５ — ４
Ｏ 引 言
近年来， 对于求解非线性微分方程的近似解已经提出许多方法 ２传统摄动方法 、ｙｐｎｖ 】 ＇ Ｌａｕｏ 方法 、
．
＋＂ ｎｘ ＝ ｘｓ （ ）Ｏ ｇ
。
（） １
ｏ 一
初值 条件 （ ） ，’Ｏ ＝ ０ （ ）０
＜０
ｘＯ ＝
。
（） ２
．
，
＞０
。
１ 同伦摄动近似解 求解过程
由于方程（ ） Ｉ 中不含小参数 ， 故一般的摄动方法无法求解 ， 下面考虑用 同伦摄动方法来求解 。嵌入同
ｍａｏｓｏ ｏｌ ｅｒ ｓｉａ ｒ ｉ ｉ ｏｔ ｕｔ ｓ］ ｏｌ ｅｒ ｎｌｓ ： ｅ ｒ ｐ ｌ ａｏｓ２ ０ ， ０ ０ — １ ． ｉ ｔａ ｔ ｎ ｎ ｎ ｎａ ｃ ｌｏ ｔ ｄｓ ｎ ｎ ｉｅ［． ｎｉ ａ ａ ｉ Ｒ ａＷｏ ｄＡ ｐ ｃｔ ｎ， ０９ １： １６ ０ ｉ ｏ ｌ ｔ ｗ ｈ ｃ ｉ ｉ ＪＮ ｎ Ａ ｙ ｓ ｌ ｌ ｉ ｉ ６
为了便于讨论用同伦摄动方法得到的一 阶近似解析解 （４ 式 ， ２ ） 不妨取 ＝ ， ｌ 绘出方程 （ ） ２ 的四 １和（ ） 阶龙格一库塔法计算的数值解和其一阶近似解析解的图形（ １ｏ 图
ｔ ＝ ８ （ Ｏ０ ） ｈ
图 １ 数 值 解 和 一 阶近 似 解 析解 的 比较
第 １ 期 ０
将（２式代人方程（ １ ， １） １ ） 得
Ｉ
”＋ １ ＝（＋ ｌ ｃｓｔａ４ ｓｏｓｎＡｃｓｔ ∞ １ａ ｏｗ－ ｃ ４ｔ （ ｏｅ ）。 ｏｔ ｇ ａ
令 ｇ ￡ ｃｓ ｓ （ ｃｓ ， （） ｏ ｇ Ａ ０ ＝ ￡ ｎ ）由于 ｇ￡ ）ｇ￡， ｇ ｔ ｔ ｏｒ ｒ （ ＿ （）故 （）Ｊ ｕｉ 展开式中 ａ Ｏａ＝ ｚ Ｏ从而 一 ￣ Ｆ ｅ ｏ ， ｂ＝ ， ＝ ｕ ￣
） ￡ ） 其 中 ＝ （ 。 １Ａ）
。
从而得到方程（ ） １满足初值条件（ ） ２ 的一阶近似解的表达式
， （４ ２）
、
）（ ：Ａ一 ） 删 —４ ｃ ￡ Ａ４ ＋ ３－９ ３７ ｔ ＇ ＂ ｏ ３￣ ｃｓ ５ｒ ｗ ｏ３
１ ‘
‘
１
２ 近似解与数值解 的比较
［］廖世俊． １ 超越摄动： 分析方法 导论【 ］ 同伦 Ｍ． 北京： 科学 出版 社，０７ ２０ ． ［］何吉欢． 一种新的摄动方法求解数学摆的近似解析解田． ２ 应用 上海理工大学学报， ９８ ２ （）３５ ３９ １９ ， ０ ： ２ — ２ ． ４
【］Ｂ ｌ ｄｚ Ｐｓｕｌ Ｏ ｔ ｏ Ａ ｐｉ ｔ ｎｏ ａ ｏ ｉｅ ｅｓ ｏ ｔ ｙｐｒ ｒａｏ ｅｈｄｔ ｏｔｎｌ ｈｒｏｄｒ ｐ ｒ ｉ ３ ｅ６ｎｅ ａｅａ Ｃ， ｒ ｆ ｐ ｌａｉ ｍ ｄｆ ｄＨ ’ ｈｍｏ ｐ ｅｔ ｂ ｔｎｍ ｔｏ ｂ ｉ ｉ ｅ－ ｒｅ ａｐｏ － Ａ， ｕ Ｍ． ｉ ｃ ｏ ｆ ｉ ｏ ｕ ｉ ｏ ａ ｇ ｘ
（０ ｐ １ ＋ ２ｔ … ）（ ＿ １ ２２… ）Ｘ＋Ｘ ２… ） ”＋ ｘ ｐ￣ｔ＋ ＋ ｐ ＿ Ｏ一 ２ ｐｌ ｏ １ ＋ ＝ ｐ ｐ（ｏ ｘ印 ２… ） Ｘ＋Ｘ印 ２… ）ｇ （ｏ ｘ印 ２… ） 。 ［ ＋ ｌ ＋ 一 ｏ ｌ ＋ ４ ｎｘ＋ １ ＋ ］ ｘｐ ｐ ｓ ｐ 设 ） ｓｎｘ ， ｘ ｇ（ ）当 ＃Ｏ时 ， （）４３ ｎｘ ， ｘ＝ｘｓ （ ） ｇ （） １ｘｓｎｘ 。 ｘ＝ ２ （） ｇ （） ８ （） ７
其
中 Ｓ
一
类二阶非线性振动方程 的同伦摄动近似解
０
姜 兆 敏 ， 毅 曹
（ 江苏技术师 范学院 数理 学院， 江苏 常州 ２ ３ ０ ） １０ １
摘 要： 应用同伦摄 动方法求解 了一类二阶非线性振动方 程的初值 问题 的近似周 期解 ， 并将近似解与方程 的数 值解进行 了比较， 验证 了同伦摄 动方法对求解非线性 问题是一种很有效的方法。
性问题 。 由于嵌入参数 Ｐ ［， ， ∈ ０ １ 因此 ， 】 嵌入参数可 以作为小参数 ， 以求得其摄动解 。 这种新方法可以克服 传统摄动方法的不足， 又可以充分应用各种摄动方法 ， 同伦摄动方法对许多类型的非线性常微分 、 偏微分