一类二阶非线性振动方程的同伦摄动近似解

（） １ ９
（Ｏ ２）
将（９式代入方程（７ ， １） １）得
ｃ ＝ 丽４ Ａ
由 （ ） ０得 ０＝
Ｃ。 ＝一
…
ｌ ∑ｃ＋ 。 厶０ｌ 一
Ｌｌ （１ ＺＪ ２）
至此 ， 已求得方程（ ） １的一阶近似解， 但是近似解 中含有无穷级数 ， 对解的研究不便 ， 为此 ， 需进一步
［］廖世俊． １ 超越摄动： 分析方法 导论【 ］ 同伦 Ｍ． 北京： 科学 出版 社，０７ ２０ ． ［］何吉欢． 一种新的摄动方法求解数学摆的近似解析解田． ２ 应用 上海理工大学学报， ９８ ２ （）３５ ３９ １９ ， ０ ： ２ — ２ ． ４
【］Ｂ ｌ ｄｚ Ｐｓｕｌ Ｏ ｔ ｏ Ａ ｐｉ ｔ ｎｏ ａ ｏ ｉｅ ｅｓ ｏ ｔ ｙｐｒ ｒａｏ ｅｈｄｔ ｏｔｎｌ ｈｒｏｄｒ ｐ ｒ ｉ ３ ｅ６ｎｅ ａｅａ Ｃ， ｒ ｆ ｐ ｌａｉ ｍ ｄｆ ｄＨ ’ ｈｍｏ ｐ ｅｔ ｂ ｔｎｍ ｔｏ ｂ ｉ ｉ ｅ－ ｒｅ ａｐｏ － Ａ， ｕ Ｍ． ｉ ｃ ｏ ｆ ｉ ｏ ｕ ｉ ｏ ａ ｇ ｘ
第１ ０期
姜兆敏 曹 毅 ： 一类二阶非线性振动方程的同伦摄动近似解
５ １
＋ ＝ ［－ ＇ ｎ ） ｘ ｐｘ ｘｓ （ 】 ｇ
。
（） ４
当 ｐ ０时， ＝ 方程 （ ） ３ 成为线性方 程
＝ ， 以求 得满足 初值条件 （ ）Ａ， （ ）０的精确解 （） ０可 ０； ０＝ 。 ￡ ＝
ｐ：０ ｏｘ＝ ，００； ０＝ 。） ０ｔ ｊ ０ ０ （ ）Ａ，０ ）０， ｔ＋ ２ （ Ｐ： ” ＋ ｌ（＋ １ 旷 ｓｎｘ） （ ） （ ）０。 １ ＝ １ａ） ｇ（ｏ， Ｏ ＝ｌ ０ ＝ １ 方 程 （０ 的解 是 １） Ｘ（）Ａｃｓ ｔ 。 ｏｔ＝ ｏｏ ） （２ １） （３ １） （Ｏ １） （１ １）
（０ ｐ １ ＋ ２ｔ … ）（ ＿ １ ２２… ）Ｘ＋Ｘ ２… ） ”＋ ｘ ｐ￣ｔ＋ ＋ ｐ ＿ Ｏ一 ２ ｐｌ ｏ １ ＋ ＝ ｐ ｐ（ｏ ｘ印 ２… ） Ｘ＋Ｘ印 ２… ）ｇ （ｏ ｘ印 ２… ） 。 ［ ＋ ｌ ＋ 一 ｏ ｌ ＋ ４ ｎｘ＋ １ ＋ ］ ｘｐ ｐ ｓ ｐ 设 ） ｓｎｘ ， ｘ ｇ（ ）当 ＃Ｏ时 ， （）４３ ｎｘ ， ｘ＝ｘｓ （ ） ｇ （） １ｘｓｎｘ 。 ｘ＝ ２ （） ｇ （） ８ （） ７
ｌ （＋ ・ ３Ａ ＝［ １ ） ２
５ 仃
４
］ｓ． Ｊ Ａ∑ ｃ ０
＋ｃｓ ２＋ ）￡ １。［ 凡 １∞］。 （
（７ １）
ｎ ＝１
为了消除长期项 ， －１Ｏ 一 ４ （＋Ｌ １
１）仃
：， ０可得 。 ：
ｌ ｒ ３７
一 。 ６ 式中令 ｐ １ 求得角频率 ｃ 的一阶近似值 １ 在（ ） ：， ｃ Ｊ
为了便于讨论用同伦摄动方法得到的一 阶近似解析解 （４ 式 ， ２ ） 不妨取 ＝ ， ｌ 绘出方程 （ ） ２ 的四 １和（ ） 阶龙格一库塔法计算的数值解和其一阶近似解析解的图形（ １ｏ 图
ｔ ＝ ８ （ Ｏ０ ） ｈ
图 １ 数 值 解 和 一 阶近 似 解 析解 的 比较
第 １ 期 ０
ｐｒ ｒａｉ ｔ ｄＪＮ ｎ ｎａ ｎｌｓ ： ｅ ｒ ｐ ｌ ａｏｓ２ ０ ，０４ ６ ４ ７ ｅｔ ｂｔ ｎ ｈ ［．ｏｈ ｅｒ ａ ｉ Ｒ ａ Ｗｏ ｄＡ ｐｉ ｔｎ， ０ ９１： １－ ２ ． ｕ ｏ ｍｅ ｏ ］ Ａ ｙｓ ｌ ｌ ｃｉ
【］Ｂ ｌ ｄｚ Ｉｅ 丘 ｄｚ Ｂ ｌ ｄ ｚ ．ｉ ｅ ａｃｒｃ ａ ｔ ａａ ｐｏｉ ａｉ ｓｏ ｏ， ａ ｃ ｌｏ ｉ ｉ ｏｔ ｕｔ ｂ ５ ｅ ６ ｅ ｔｍ ｎ ｅ Ａ，ｅ ６ ｅ Ｈｇ ｒ ｃｕａｙ ｌ ｉ ｌ ｐ ｒｘ ｔ ｎ ｎｎ ｅ ｏ ｉａ ｒ ｔ ｄｓ ｎｉ ｉ ｙ ｎ Ａ， ｎ Ｔ ｈ ｎ ａ ｙｃ ｍ ｏ ｔａ ｒ ｓｌｔ ｗｈ ｃ ｎ ｙ Ｈ ’ｈｍｏ ｐ ｅｔ ｂｔ ｎｍ ｔｏ［． ｈｓ ｓ ｅ ｅｓ ， ０ ８ ３ ７ ２ １— ０ ６ ｅＳ ｏ ｔ ｙ ｒ ｒａｏ ｅ ｄ ］Ｐ ｙｉ ｔｒ ２０ ， ２ ： ０ ０ ２ １ ． ｏ ｐ ｕ ｉ ｈ Ｊ ｃＬ ｔ Ａ ［ ａｄ ｔａ ｄ Ａ， ｅｇ ａ Ｅ ｅ ｈｒＡＡ ｐ ｅｔ ｎｏＨ ’ｈ ｍ ｔ ｙ ｅｔ ｂ ｔｎ ｔ ｄｆ ｎ ｌ ｅ ｓ ｍ ｏｓｃｎ － ｒｅ ６ ａ ａ ｎ ｉ Ｄ ｈｈｎＭ，ｆ ｋ ａｉ ．ｐ ｈａ ｏ ｅ ｓ ｏ ｏ ｐ ｒ ｒａｏ ｈ ｒ ｏ －ｉ ａｓ ｔ ｏｄ ｏｄｒ ］Ｓ ｍ ｌ ｉ ｆ ｏ ｐ ｕ ｉ ｍｅ ｏ ｏ ｎ ｎ ｒ ｙ ｅ ｆｅ ｂｕ ｄｒ ｌｅ ｒｂｅ ｓ ．ｏｌ ｅｒ ｙ ｓ ： ｅ ｒ ｐ ｈａｉ ｓ ０ ９ １ ：９ ２ １２ ． ｏｎ ａｙ ａ ｏｌｍ 咖 Ｎ ｎｉ ａ ｌ ｉ Ｒ ａＷｏ ｄＡ ｐ ｃｔ ｎ， ０ ，０ １１ － ９ ２ ｖｕ ｐ ｎ ａ ａｓ ｌ ｎ ｌ ｏ ２ ［ ７ 】Ｍｉ ｅ ｓ ．ｓｉａ ｏｓｎＰａａ ｙａ ｉ ｙｔ ｓ ］ ｉｇｐｒ ： ｒ ｃ ｔ ｃ １９ ． ｃ ｎ ＥＯ ｃｌｔ ｎ ｌｎｒ ｎｍ ｃ Ｓｓ ｍ ［ ． ｎａ ｏｅＷｏ ｄＳｉ ｉ ， ６ ｋ Ｒ ｌｉ ｉ Ｄ ｓ ｅ ＭＳ ｌ ｎｆ ９ ｉ
当 １ 解（ ） 时， ５ 就是原方程的解 。 方程 （ ） １具有周期解嗍， 将角频率 ∞的平方表示为Ｐ的幂级数形式 ∞＝ ＋ｏ ｌｐｔ ２… 或 ｌ∞＿ 叩 叩 ２ ・ １ ＋ ＝ ２ｌ １ 一 （） ６
其 中 Ｏ （＝ ，…） ／ ｎ ｌ２ 待定。
将（ ）６式代人方程（ ） ５（） ４ 得
姜兆敏 曹 毅 ： 一类二阶非线性振动方程的 同伦摄动近似解
５ ３
从图 １ 可以很直观地看出， 用同伦摄动方法得到的一阶近似解析解在初始时刻非常接近高精度的四
阶龙格一库塔法计算 的数值解 ， 同伦摄动方法对解决非线性问题是很有效的一种方法。 依照此法， 还可以
得到更高阶的近似解 。
参考文献：
性问题 。 由于嵌入参数 Ｐ ［， ， ∈ ０ １ 因此 ， 】 嵌入参数可 以作为小参数 ， 以求得其摄动解 。 这种新方法可以克服 传统摄动方法的不足， 又可以充分应用各种摄动方法 ， 同伦摄动方法对许多类型的非线性常微分 、 偏微分
方程均有效， 它已经被成功的应用于许多非线性问题 。 本文考虑如下 的非线性振动方程
．
＋＂ ｎｘ ＝ ｘｓ （ ）Ｏ ｇ
。
（） １
ｏ 一
初值 条件 （ ） ，’Ｏ ＝ ０ （ ）０
＜０
ｘＯ ＝
。
（） ２
．
，
＞０
。
１ 同伦摄动近似解 求解过程
由于方程（ ） Ｉ 中不含小参数 ， 故一般的摄动方法无法求解 ， 下面考虑用 同伦摄动方法来求解 。嵌入同
关键词： 同伦摄 动方法 ； 非线性 ； 近似解 中圈分类号： ２ １ ０ ４ 文献标 志码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ４ ８２ （０ １１— ００ ０ １ ７ — ５ ２ ２ １ ）０ ０ ５ — ４
Ｏ 引 言
近年来， 对于求解非线性微分方程的近似解已经提出许多方法 ２传统摄动方法 、ｙｐｎｖ 】 ＇ Ｌａｕｏ 方法 、
ｍａｏｓｏ ｏｌ ｅｒ ｓｉａ ｒ ｉ ｉ ｏｔ ｕｔ ｓ］ ｏｌ ｅｒ ｎｌｓ ： ｅ ｒ ｐ ｌ ａｏｓ２ ０ ， ０ ０ — １ ． ｉ ｔａ ｔ ｎ ｎ ｎ ｎａ ｃ ｌｏ ｔ ｄｓ ｎ ｎ ｉｅ［． ｎｉ ａ ａ ｉ Ｒ ａＷｏ ｄＡ ｐ ｃｔ ｎ， ０９ １： １６ ０ ｉ ｏ ｌ ｔ ｗ ｈ ｃ ｉ ｉ ＪＮ ｎ Ａ ｙ ｓ ｌ ｌ ｉ ｉ ６
Ａ ｏ ｉ 分解法 、 ｄｍａ ｎ 展开法及同伦摄动方法等。同伦摄动方法（Ｐ ） 由何吉欢（ ９ 年） Ｈ Ｍ是 １ ８ 首先提出的翻 这种 ９ ，
方法有别于传统的摄动方法， 它不依赖于小参数， 而是应用拓扑学 中的同伦技术， 构造一个含嵌入参数
ＰＥ ０ ｌ ［， 的方程， 】 当嵌入参数 ｐ ０时， ＝ 方程即为问题 的一个线性方程， ＝ 时 ， 当ｐ ｌ 方程转化为原来的非线
近似 ， 取
肋∑ｃ＋。（ ＋）￡ ＝ ｃ［ｎ１ ］ ｓ２ ， ｃ ＝∑ｃ 。 ｆ一 ： 肿
显然 ｌ ｆ （） （ ，ｉ ｆ （ ＝６ ｆ 。 ｉ ｍ 肋 ＝ ｌ ） ｌ ｂ肋 。 ） ｒ ａ ） （
（） ２ ２ （） ２ ３
为了研究方便， 考虑最简单 的情形： ＝ ， ２ ） ， Ｎ Ｉ 由（２ 式 得 ｆ ￡ ｆ ｃｓｔ ｓ ｔ 由（５ （０ （ ＝ｃ －ｏ ＋ｃ ％ｏ３ ， １ ）２ ） ） ） ｗ ｗ （３式 ， ｃ ） ｃ ） ２ ） 得 ｆ． 』 ＿ 一 一 ： Ａ 一 ４
将 ｘ ｐ － ｚ． ） Ｘ展成 Ｔｙ ｒ ｏｘ ＋ ＋． 在 Ｏ － ａｌ 级数， ｏ 并整理得
‰ ｐ １ ２…） ‰） １ ｘ） ｐ ＋ｘ ｐ ＋ ＝ ＋ 印 ｆ（０ ＋ （０ ｘｆ ２） Ｄｐ ） 。 Ｘ） ＋ ｉ ＇（０ ＋ （ ＇ ；］ பைடு நூலகம் （） ９
将（ ）９式代人方程（ ）并令方程两端人工小参数 Ｐ的同次幂的系数相等， ８（ ） ７， 得
Ａ ｏｔ 当ｐ ｌ 方程 （ ） ｃｓ 。 ＝ 时， ３ 即为原来的非线性方程（ ） １。
由于 同伦摄动参数ＰＥ０ １ 故可以将 Ｐ视为小参数 ， ［，］ ， 将方程（ ） ３ 的解 （） ｔ 表示为 Ｐ的幂级数形式
ｘｔ＝ｏｔ＋ｘ（）ｐ （）… （）Ｘ（）ｐ １ ＋ ２ｔ＋ ￡ （） ５
‘
Ａ ＝、 ， ） ４／ ＝ Ａ
一
’
（ １ ８ ）
阶近似周期 （ ： ）
： ｊ
。
ｅ［ ２ ／Ａ ｏＡ ｘ Ａ、 ２
５ ２
设
江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报
第 １ ７卷
。
（＝ ｃ［肼１ ， ￡ ∑ｃ 。（ ） ） ｓ２
（＝ ， ， ） ｌ２ … 。
第ｌ ７卷第 １ 期 Ｏ
２１ ０ １年 １ Ｏ月
江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＵＲ Ａ ＦＪ Ｇ ＵＴ Ａ Ｈ Ｒ ＮＶＥ ＳＴ ＦＴ Ｃ ＮＯ Ｏ Ｙ Ｏ Ｎ ＬＯ Ｉ Ｓ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＵ Ｉ Ｒ ＩＹ Ｏ Ｅ Ｈ Ｌ Ｇ ＡＮ
Ｖ０．７ Ｎｏ１ １ ． ．０ １ ０ｃ一 ２ １ ｔ ０ １
其
中 Ｓ
一
类二阶非线性振动方程 的同伦摄动近似解
０
姜 兆 敏 ， 毅 曹
（ 江苏技术师 范学院 数理 学院， 江苏 常州 ２ ３ ０ ） １０ １
摘 要： 应用同伦摄 动方法求解 了一类二阶非线性振动方 程的初值 问题 的近似周 期解 ， 并将近似解与方程 的数 值解进行 了比较， 验证 了同伦摄 动方法对求解非线性 问题是一种很有效的方法。
将（２式代人方程（ １ ， １） １ ） 得
Ｉ
”＋ １ ＝（＋ ｌ ｃｓｔａ４ ｓｏｓｎＡｃｓｔ ∞ １ａ ｏｗ－ ｃ ４ｔ （ ｏｅ ）。 ｏｔ ｇ ａ
令 ｇ ￡ ｃｓ ｓ （ ｃｓ ， （） ｏ ｇ Ａ ０ ＝ ￡ ｎ ）由于 ｇ￡ ）ｇ￡， ｇ ｔ ｔ ｏｒ ｒ （ ＿ （）故 （）Ｊ ｕｉ 展开式中 ａ Ｏａ＝ ｚ Ｏ从而 一 ￣ Ｆ ｅ ｏ ， ｂ＝ ， ＝ ｕ ￣
） ￡ ） 其 中 ＝ （ 。 １Ａ）
。
从而得到方程（ ） １满足初值条件（ ） ２ 的一阶近似解的表达式
， （４ ２）
、
）（ ：Ａ一 ） 删 —４ ｃ ￡ Ａ４ ＋ ３－９ ３７ ｔ ＇ ＂ ｏ ３￣ ｃｓ ５ｒ ｗ ｏ３
１ ‘
‘
１
２ 近似解与数值解 的比较
【］ ｅ ６ ｄｚＡ Ｐ ｓｕ Ｂ ｌ ｄｚ ． ｌｔ ｎｆ ｎａｔ ｓｍ ｔｃｑ ａｒｔ ｏ＇ ｅ ｓｉａ ｒ ｙａ ｄｆ ｄＨ ’ ｈ ｍ ｔ ｙ ４ Ｂ ｌ ｅ ，ａｃａ Ｃ，ｅ ６ｎｅ Ｓ ｕｉ ｒ ｎｉ ｙ ｍｅ ｉ ｕｄａｃｎｎ ｎａ ｏｃｌｔ ｍｏｉｅ ｅＳ ｏ ｏ ｐ ｎ ｌ Ｔ ｏ ｏ ｏａ － ｒ ｉ ｒ ｌ ｏｂ ｉ ｏ
伦摄动参数 Ｐ ０ １， ，】 Ｅ［ 将方程（ ） ｉ形变为ＡＴ参数方程
ｄｘ ２
＋ １ｐ ｐ＂ ｎ ＝ ， （－ ）＋ ｇ （）０ ｓ
（） ３
将方程（ ） ３变形， 得
收稿 日期 ： ０ １０ — ０ 修回 日期 ： ０ １０ — ３ ２１—８３ ； ２ １ — ９ ２ 作者简介： 姜兆敏（９７ ）女 ， １７一 ， 山东临沂人 ， ， ， 讲师 硕士 主要研究方向为微分方程及其应用 。
ｃｇｓ （ ｓ ）∑ １ｓ２ １ ａ 。ｏａ ｏｔ … ｏｅ ｇ ｃｅ ＝ ｓｔｎ ｏｏ ｏ ｔ ｃ［ｎ ）］Ｉｓｔ３ ｓｏ ｏ（ ＋ ∞＝ ｃｔ ｃ３ｔ ＋ ＋
ｎ Ｏ ＝ ‘ －＝ ｆ日ｌ ２
（） １ ４
』 。ｓ（ｓｃｒｎ ）ｒ 。ｃ ｎ。）ｓ２ １ｄ ｓｇｃｒ。（＋ｒ＝
（ １ ６ 一） （ ５ １）
（ｎ ３ （ｎ １（ｎ １（ｎ ３ （ｎ ５７ 。 ２ 一 ）２ ， ）２＋ ）２＋ ）２ ＋ ） ｒ
由（５ 式计算得 １）
ｏ 而２ ・ ３ ，
，
。
。
（６ １）
将（４ 一 １） １ ）（６式代入方程（３ ， １ ）得
ｆＩ ＋（２ Ｃｔ ！ ｃｘ Ｊ