北京高考数学压轴题试题集锦(含详细解析)
北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)
1．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1AC 平面1B EF ；②1B EF 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有（A ）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 CA. {}2B. 255⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C. {|222}t t ≤≤ D. 2{|52}5t t ≤≤3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有 CA. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做ABCDE1A 1D 1B1C OABDCA 1D 1A 1C 1B DCB OPN MQM BA图1 图2 图3这个点到这个平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到平面β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，且满足P到β的距离是P到点A距离的2倍，则点P到平面γ的距离的最大值是C（A）3（B）3（C）3+（D）66.已知函数)(xf的定义域为R，若存在常数0>m，对任意x∈R，有|()|||f x m x<，则称)(xf为F函数．给出下列函数：①2)(xxf=；②xxxf cossin)(+=；③1)(2++=xxxxf；④)(xf是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数21,xx均有21212)()(xxxfxf-≤-．其中是F函数的序号为 C（A）②④（B）①③（C）③④（D）①②7.定义区间(,)a b，[,)a b，(,]a b，[,]a b的长度均为db a=-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d=-+-=. 用[]x表示不超过x的最大整数，记{}[]x x x=-，其中x∈R. 设()[]{}f x x x=⋅，()1g x x=-，若用123,,d d d分别表示不等式()()f xg x>，方程()()f xg x=，不等式()()f xg x<解集区间的长度，则当02011x≤≤时，有 B（A）1231,2,2008d d d===（B）1231,1,2009d d d===（C）1233,5,2003d d d===（D）1232,3,2006d d d===8. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点,0N n，则m的象就是n，记作f m n．则下列命题中正确的是（）CA ．114f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在其定义域上单调递增D ．()f x 的图象关于y 轴对称 9. 用max{}a b ，表示a ，b两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A A ．3512 B ．5924 C ．578D ．911210. 对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是C (A) 2n(B) 2(2n -1)(C) 2n(D) 2n 211. 定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ C ）12.对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-， 判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <.能使命题甲、乙均为真的函数的序号是D（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）①②13. 已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是 DA ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞C ．)5,31(D ．)3,(-∞(A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D) [3,)+∞14.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是 A（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）115. 已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为 A（A ）32 （B ）12（C ） 1 （D ）2 16. 已知抛物线M ：24yx ，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 DA ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈ D ．3[,)2r ∈+∞ 17. 设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）（A ）最小值为15（B（C ）最大值为15（D18. 已知数列*{} ()n a nN 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数*()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 . 2026 19. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义11,P x y 、22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y .若点1,3A -，则(,)d A O = ；已知点1,0B ，点M 是直线30(0)kxykk上的动点，(,)d B M 的最小值为 . 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩20. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____.，25 21. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=，在区间)1,0(内任取两个实数,p q ，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．[15,)+∞22. 定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．γ>α>β23．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．24.已知函数399)(+=x x x f ，则(0)(1)f f += ，若112()()k S f f k k-=+31()()(2,k f f k k kk-+++≥∈Z)，则1k S -= （用含有k 的代数式表示）．1，12k - 25.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n nn n k k a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.62；1或526.已知数列{}n a ，满足：123451,2,3,4,5a a a a a =====，且当5n ≥时，1121n n a a a a +=-，若数列{}n b 满足对任意*n ∈N ，有2221212n n n b a a a a a a =----，则5b = ；当5n ≥时，=n b ．65 n -7027．数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n =，，．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.120；(21,2),k k k -∈*N 28．函数)0(2>=x x y 的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，n N *∈，若161=a ，则=+53a a ，数列{}n a 的通项公式为 ．5， 52n-29.对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ．3430. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 . (2,4); 331.已知函数sin ()x f x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________.①② , 9 32．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__ACP BD秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．6，(1),2(3),2n n n n a n n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数.33．已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意 的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 .1334. 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -中的逆序数为 .4；232n n -35. 已知集合},,,{21n a a a A =中的元素都是正整数，且n a a a <<< 21，对任意的,,A y x ∈且x y ≠，有25xyy x ≥-． （Ⅰ）求证：251111-≥-n a a n ； （Ⅱ）求证：9≤n ；（Ⅲ）对于9=n ，试给出一个满足条件的集合A ． (Ⅰ) 证明：依题意有)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ，又n a a a <<< 21， 因此)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ． OA 1A 2 A 3 A 4B 1 B 2 B 3 B 4 AB可得)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i ． 所以12231111111111125i i n n n a a a a a a a a +---+-+-++-≥． 即251111-≥-n a a n ． …………………4分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得25111->n a ． 又11≥a ，可得2511->n ，因此26<n ． 同理2511i n a a n i -≥-，可知251i n a i ->． 又i a i ≥，可得251in i ->， 所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立． 当10≥n 时，取5=i ，则25)5(5)(≥-=-n i n i ， 可知10<n ．又当9≤n 时，25)2()2()(22<=-+≤-ni n i i n i ． 所以9≤n ． …………………9分（Ⅲ）解：对于任意n j i ≤<≤1，j i i a a a ≤<+1，由)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i 可知， 25111111≥-≥-+i i j i a a a a ，即25j i j i a a a a ≥-． 因此，只需对n i <≤1，251111≥-+i i a a 成立即可． 因为251211≥-；2513121≥-；2514131≥-；2515141≥-， 因此可设11=a ；22=a ；33=a ；44=a ；55=a ． 由2511165≥-a a ，可得4256≥a ，取76=a ． 由2511176≥-a a ，可得181757≥a ，取107=a ．由2511187≥-a a ，可得3508≥a ，取208=a ． 由2511198≥-a a ，可得1009≥a ，取1009=a ． 所以满足条件的一个集合{}100,20,10,7,5,4,3,2,1=A ．……………14分 36. 已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.（Ⅱ）若1000n =时① 若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值． 解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ．...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分 由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠． 对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉.又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈,即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤， 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =时，取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分 37. 已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为 30a =，且3221a a =+， 所以22a =-．同理可得123a =-，即23a =-． ………………………3分（Ⅱ）证明：假设a 为数列{}n b 中的第*()i i ∈N 项，即1i a a b ==；则211()()i i a f a f b b -===； 3212()()i i a f a f b b --===；………121()()2i i a f a f b b -====-；12()10i i ia f a a +==+=， 即1()(2)0i i a f a f +==-=。
【数学】北京市高考压轴卷(理)(解析版)
北京市高考压轴卷数 学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．y =x 2+1B ．y =e x ﹣e ﹣x C ．y =lg|x | D ．2x y =3．若变量满足约束条件,则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为（ ）A.B. C. D. 5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）(1i)i 1i(b b +=-+∈R)b 11-i i -0234a a 输出输入开始结束1235A ．27B ．30C ．32D ．36 6. “”是直线与直线平行的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）A ．B ．1C ．2D ． 3 8.设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.） 9.函数的最小正周期是 ，最小值是 ．10．已知x >0,y >0，且，若x +y ≥m 2+m +3恒成立，则实数m 的取值范围是__________．11.如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为 ．12.的二项展开式中项的系数为_________．（用数字作答）13.若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 有小到大排列为 ．14.数列满足：，给出下述命题：①若数列满足：，则成立；②存在常数，使得成立；③若，则； ④存在常数，使得都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．4ab =210x ay +-=220bx y +-=(,)P x y ||y PQ +12()f x D m x D ∈()()f x m f x +>()f x D m ()f x R 0x >()f x x a a =--a R ∈()f x R a 0a >5a <10a <20a <2sin(2)16y x π=++114=+yx (1,1)A a a -+(,)B a a l l 51⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x {}n a *112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈{}n a 21a a >*1(1,)n n a a n n N ->>∈c *()n a c n N >∈*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中p q m n a a a a +>+d *1(1)()n a a n d n N >+-∈在ABC △中，已知312,cos 413A C π==，13.BC = （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求BC 边上的中线AD 的长.16.（本小题满分13分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD =135°，侧面P AB ⊥底面ABCD ，∠BAP =90°，AB =AC =P A =2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面P AC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：ME ∥平面P AB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求的值．18. （本小题满分14分） 已知函数2()e (1)(0)2xmf x x x m =-+≥. （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值； （Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围.已知圆的切线与椭圆相交于，两点． （1）求椭圆的离心率； （2）求证：； （3）求面积的最大值.20.（本小题共13分）已知曲线的方程为：.（1）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;（2）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的; （3）若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.:O 221x y +=l :C 2234x y +=A B C OA OB ⊥OAB ∆n C *1()n nx y n N +=∈1,2n n ==n C ()n S n N *∈n C ()n S n N *∈n (2,)nnnx y z n n N +=>∈0xyz ≠(2,)n C n n N *>∈(,)x y ,x y【参考答案】1.【答案】A【解析】因为（1+bi ）i=i +bi 2=-b +i=-1+i ，所以，． 2．【答案】C【解析】y =x 2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y =ex ﹣e ﹣x 是奇函数．y =lg|x |是偶函数，值域为：R ．2x y =的值域：[0，+∞）． 故选：C 3．【答案】D【解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，是直线的纵截距，向上平移直线，增大，当直线过点时，为最大值．故选D ．4.【答案】C【解析】由题知：a =1，i =1，a =2-1=1，i =2，否；a =3，i =3，否；a =6-3=3，i =4，是， 则输出的a 为3． 5.【答案】A.【解析】四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是两个直角边长为3，4的直角三角形， 两个直角边长为3，5的直角三角形，∴该四棱锥的侧面积是272532124321=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，故选A. 6．【答案】B【解析】0=a 时，直线012=-+ay x 与直线022=-+y bx 不平行，所以直线012=-+ay x 与直线022=-+y bx 平行的充要条件是1222--≠=a b ，即4=ab 且)4(1≠≠b a ，所以“4=ab ”是直线012=-+ay x 与直线022=-+y bx 平行的必要不充分条件．故选B ．1b -=-1b =ABC ∆:20l x y +=z 2x y z +=l z l (2,0)B 24z x y =+=7.【答案】C.【解析】由抛物线的定义知：，∴，∴，即当，，三点共线时，值最小，故选C .8.【答案】B.【解析】若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴，符合题意；若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴大致的函数图象如下图所示，根据题意可知对于任意恒成立，∴问题等价于将的图象向左平移20个单位后得到的新的函数图象恒在图象上方，根据图象可知，即，综上实数的取值范围是，故选B.9.【答案】1-，π. 【解析】ππωπ===222T ，最小值是，故填：1-，π. 10．【答案】[]2,3-【解析】∵x >0，y >0，(x +y)min ≥m 2+m +3恒成立，且4x +1y =1， x +y =(x +y)(4x +1y )=5+4y x +x y ≥5+2√4y x ×x y =9因为(x +y)min ≥m 2+m +3恒成立，∴m 2+m +3≤9 ∴−3≤m ≤2． 11.【答案】01=+-y x 【解析】直线斜率为111-=---+aa aa ，所以l 斜率为1，设直线方程为b x y +=，由已知直线过点),1(a a -，所以b a a +-=1，即1=b 所以直线方程为01=+-y x 12.【答案】【解析】展开式通项为，令，，所以项的系数为．(0,1)F ||1PF y =+||||1||||11312y PQ PF PQ FQ +=-+≥-==-=P Q F 0a ≤0x >()||||f x x a a x x =--==()f x R ()f x x =0a >0x >, 0()||2, x x af x x a a x a x a -<<⎧=--=⎨-≥⎩()f x R ()f x (20)()f x f x +>x R ∈()f x (20)f x +()f x 420a <05a <<a (,5)-∞211-+=-AB 5-53521551()(1)rr rr r rr T C C x x --+=-=-5312r -=1r =x 115(1)5C -=-13.【答案】x y z <<【解析】取特殊值，令14a =，12b =，则121142b x a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，141122a y b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，121log log 24b z a ===，则1411222⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即x y z << 14.【答案】①④.【解析】试题分析：对①；因为，所以，由已知，所以，即，正确对②；假设存在在常数，使得，则有，所以应有最大值，错，对③，因为，，所以假设 ，则应有，即原数列应为递增数列，错，对④，不妨设，，则，若存在常数，使得，应有，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由12cos 13C =，02C π<<，所以5sin 13C =. 由正弦定理得，sin sin AB BC C A =，即5sin =13sin CAB BC A =⋅= .……… 6分 （Ⅱ）在ABD △中，3cos cos()cos 42226B C C C π=π--=+=. 由余弦定理得，222+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅,所以2AD 21691329+242264=-⨯⨯=.所以AD =. 21a a >210a a ->11n n n n a a a a +-->-11210n n n n a a a a a a +-->->⋅⋅⋅>->1n n a a ->c n a c>12n n n a a c a ++<<11n n a a -++p q m n +>+22p q m n++>p q m na a a a +>+22p q m na a ++>11a =1n n a a n+-=(1)12n n n a -=+d 1(1)n a a n d>+-112n a a nd n -<=-16.解：（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[)30,50且未使用自由购的共有31417+=人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率为17100P =． （2）X 所有的可能取值为1，2，3， ()124236C C 115C P X ===；()214236C C 325C P X ===；()304236C C 135C P X ===． 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=．（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=． 17．（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB =AC ，∠BCD =135°，∠ABC =45°． 所以AB ⊥AC ．由E ，F 分别为BC ，AD 的中点，得EF ∥AB ， 所以EF ⊥AC ．因为侧面P AB ⊥底面ABCD ，且∠BAP =90°， 所以P A ⊥底面ABCD ．又因为EF ⊂底面ABCD ，所以P A ⊥EF ．又因为P A ∩AC =A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以EF ⊥平面P AC ．（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以MF ∥P A ，又因为MF ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， 所以MF ∥平面P AB ．同理，得EF ∥平面P AB ． 又因为MF ∩EF =F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面MEF ∥平面P AB ．又因为ME ⊂平面MEF ， 所以ME ∥平面P AB ．（Ⅲ）解：因为P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （﹣2，2，0），E （1，1，0），所以，，，设，则，所以M （﹣2λ，2λ，2﹣2λ），，易得平面ABCD 的法向量=（0，0，1）． 设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），由，，得 令x =1，得=（1，1，1）．因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以，即，所以，解得，或（舍）．18.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)当0m=时：()(1)e x f x x '=+，令()0f x '=解得1x =-， 又因为当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，函数()f x 为增函数.(2,0,2)PB =-(2,2,2)PD =--(2,2,0)BC =-([0,1])PMPD λλ=∈(2,2,2)PM λλλ=--(12,12,22)ME λλλ=+--m n 0n BC ⋅=0n PB ⋅=220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩n cos ,cos ,ME m ME n <>=<>ME mME n ME mME n⋅⋅=⋅⋅22λ-=32λ=32λ+=所以，()f x 的极小值为1(1)ef -=-. （Ⅱ）()(1)(e )x f x x m '=+-.当0m >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x m =. (ⅰ)若1em =，则1()(1)(e )0e xf x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增；（ⅱ）若1em >，则ln 1m >-.故当()0f x '>时，1ln x x m <->或； 当()0f x '<时，1ln x m -<<. 所以()f x 在(),1-∞-，()ln ,m +∞单调递增，在()1,ln m -单调递减.(ⅲ)若10em <<，则ln 1m <-.故当()0f x '>时，ln 1x m x <>-或； 当()0f x '<时，ln 1m x <<-. 所以()f x 在(),ln m -∞，()1,-+∞单调递增，在()ln ,1m -单调递减.（Ⅲ）(1)当0m =时，()e x f x x =，令()0f x =，得0x =.因为当0x <时，()0f x <， 当0x >时，()0f x >，所以此时()f x 在区间(),1-∞上只有一个零点.(2)当0m >时： （ⅰ）当1em =时，由（Ⅱ）可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增，且1(1)0e f -=-<，2(1)e 0ef =->，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点. （ⅱ）当1em >时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，又(ln )(1)0f m f <-<， 只需讨论(1)e 2f m =-的符号： 当1ee 2m <<时，(1)0f >，()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点； 当e2m ≥时，(1)0f ≤，函数()f x 在区间()1-∞，上无零点. (ⅲ)当10em <<时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，(1)e 20f m =->，2(ln )ln 022m mf m m =--<，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.综上所述，e02m ≤<. 19.解：（1）由题意可知，，∴，∴，∴椭圆的离心率为；（2）若切线的斜率不存在，则，在中令得，不妨设，，则，∴，同理，当时，也有，若切线的斜率存在，设，依题意，即，由，得．显然，设，,则，，∴，∴，∴，综上所述，总有成立；（3）∵直线与圆相切，则圆半径即为的高，当的斜率不存在时，由（2）可知，则，当的斜率存在时，由（2）可知，24a =243b =22283c a b =-=3c e a ==C l :1l x =±223144x y +=1x =1y =±(1,1)A (1,1)B -110OA OB ⋅=-=OA OB ⊥:1l x =-OA OB ⊥l :l y kx m =+1=221k m +=2234y kx mx y =+⎧⎨+=⎩222(31)6340k x kmx m +++-=0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 122631kmx x k +=-+21223431m x x k -=+2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+2224(1)4431k k k +--==+OA OB ⊥OA OB ⊥AB O O OAB ∆l 2AB =1OAB S ∆=l AB ==，∴（当且仅当时，等号成立），∴，此时，综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．20.解：（1）当时，由图可知，；（2）要证是关于递增的，只需证明：，由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线与，因为（1）因为，在(1)和(2)中令，，当，存在，使得，成立，此时必有，因为当时，所以，两边同时开次方有，.（指数函数单调性）这就得到了，从而是关于递增的；（3）由于可等价转化为，==223131k k==++2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k kABk k k k k++++===++++++24222164164164419613396kk k kk=+⋅=+≤+=++++k=3AB≤max(S)3OAB∆=3k=±OAB∆31,2n=1141122C=⨯⨯⨯=2Cπ=(*)nS n N∈n*1()n nS S n N+<∈nCnCnC1nC+*||||1()n nx y n N+=∈11*||||1()n nx y n N+++=∈0x x=(0,1)x∈(0,1)x∈1y 2(0,1)y∈011n nx y+=11011n nx y+++=21y y>(0,1)x∈100n nx x+>121n ny y+>n1221nny y y+>>21y y>*()nS n N∈n(2,)n n nx y z n n N+=>∈()()1n nx yz z+=反证：若曲线上存在一点对应的坐标，，全是有理数，不妨设，，，且互质，互质，则由可得，，即，这时，，就是 的一组解，这与方程，，没有正整数解矛盾， 所以曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.*(2,)n C n n N >∈(,)x y x y q x p =ty s =*,,,p q s t N ∈,p q ,s t ||||1n n x y +=||||1n n q tp s +=||||||n n nqs pt ps +=qs pt ps (2,)n n n x y z n n N +=>∈(2,)n n nx y z n n N +=>∈0xyz ≠*(2,)n C n n N >∈(,)x y ,x y。
2020年北京市高考数学压轴试卷 (含答案解析)
2020年北京市高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=3+2i，则|2−3iz|=()A. 1B. √13C. √1313D. 132.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B={2,3，4}，则(∁R A)∩B=()A. {2,3}B. {2,3，4}C. {2}D. ⌀3.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=()A. −2B. 0C. 1D. 24.函数f(x)=(e x−e−x)⋅cos3xx2(e为自然对数的底数)的大致图象为()A. B.C. D.5.已知直线l：y=k(x+√3)和圆C：x2+(y−1)2=1，若直线l与圆C相切，则k=()A. 0B. √3C. √33或0 D. √3或06.函数y=sin(2x−π3)的单调递增区间是()A. [kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z) B. [2kπ−π12,2kπ+5π12](k∈Z)C. [kπ−π6,kπ+5π6](k∈Z) D. [2kπ−π6,2kπ+5π6](k∈Z)7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 13B. 23C. 1D. 28.已知点P(−2,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上，其焦点为F，则直线PF的斜率是()A. −13B. −32C. −2D. −149.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(x2+1,−x)，则“x=1”是“a⃗⊥b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=13，k=1，2，3，则D(3ξ+5)=()A. 6B. 9C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知曲线y=4x(x>0)的一条切线斜率为−1，则切点的横坐标为_____．12.函数y=sin2xcos2x的最小正周期是__________；最大值是__________．13.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，则cosC=______；当BC=1时，则△ABC的面积等于______。
北京市高考十年数列压轴题
北京市数列压轴题 2020西城期末解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =； ……………… 3分（Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈使得0x A ∈, ……………… 4分令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分 由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈，x A ∉. ……………… 8分（Ⅲ）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>. 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 12分 所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分2019高考已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式． 解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.2018高考设n 为正整数，集合A={α|α=（t 1，t 2，…t n ），t k ∈{0，1}，k=1，2，…，n }，对于集合A 中的任意元素α=（x 1，x 2，…，x n ）和β=（y 1，y 2，…y n ），记M （α，β）=12[（x 1+y 1﹣|x 1﹣y 1|）+（x 2+y 2﹣|x 2﹣y 2|）+…（x n +y n ﹣|x n ﹣y n |）]（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M （α，α）和M （α，β）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M （α，β）是奇数；当α，β不同时，M （α，β）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M （α，β）=0，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【分析】（Ⅰ）直接根据定义计算．（Ⅱ）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明． （Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．【解答】解：（I ） M （a ，a ）=2，M （a ，β）=1．（II ）考虑数对（x k ，y k ）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的x k +y k −|x k −y k |2分别为0、0、0、1，所以B 中的每个元素应有奇数个1，所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： （1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）， （0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）， 对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M （α，β）是偶数，所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意，假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M （α，β）=1不合题意， 故B 中元素个数的最大值为4．（Il ） B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…， （0，0，0，…，1）}，此时B 中有n +1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M （α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有多于n +1个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M （α，β）=0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n +1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i =y i =l ，此时M （α，β）≥1不满足题意，故B 中最多有n +1个元素．【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．2017高考设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（Ⅰ）当n 1≥时，111211223112233=max{}=max{0}=0=max{-22}=max{-1-1}=-1=max{333}=max{-2-3-}=-2c b a c b a b a c b a b a b a -----，，，，，，4所以，对于*n N ∀∈且n 2≥，都有11n c b a n =-，只需比较11b a n -与其他项的大小比较 当*k N ∈且1<k<n 时， 11()()k k b a n b a n ---=[]k 1n -+<（2-1）-nk （1-k ）n+2(k-1)= （k-1）(2-n) 因为k-1>0,且2-n<0, 所以11k k b a n b a n -≤- 所以 对于*n N ∀∈且n 2≥11n c b a n =-=1-n 所以 -1=-1n n c c -n 2≥ 又21=-1c c - 所以{}n c 是以首项1=0c d=-1为公差的等差数列。
2020年北京市高考数学压轴试卷(含答案解析)
2020年北京市高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设复数z满足，则A. B. C. D.2.设集合0，1，2，，，则A. B. 1， C. 2， D. 1，2，3.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，则A. B. C. D.4.函数其中e为自然对数的底数图象的大致形状是A. B.C. D.5.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆相切，则满足条件的直线l有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6.函数的单调递增区间是A. B.C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为A. 10B. 20C. 30D. 608.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为A. B. C. D.9.已知，则“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件10.已知随机变量的分布列为：x yP y x则下列说法正确的是A. 存在x，，B. 对任意x，，C. 对任意x，，D. 存在x，，二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为______．12.函数的最小正周期等于______．13.在中，若，，，求的面积______．14.已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式______；设数列的前n项和为，则______．15.已知函数，下列命题正确的有______写出所有正确命题的编号是奇函数；在R上是单调递增函数；方程有且仅有1个实数根；如果对任意，都有，那么k的最大值为2．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数为常数，且．在下列条件中选择一个______使数列是等比数列，说明理由；数列是首项为2，公比为2的等比数列；数列是首项为4，公差为2的等差数列；数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．在的条件下，当时，设，求数列的前n项和．17.在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．18.已知函数Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ当时，若在上有零点，求实数a的取值范围．19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．20.已知椭圆C：．求椭圆C的标准方程和离心率；是否存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.对于，定义一个如下数阵：，其中对任意的，，当i能整除j时，；当i不能整除j时，设．Ⅰ当时，试写出数阵并计算；Ⅱ若表示不超过x的最大整数，求证：；Ⅲ若，，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由，得，，则．故选：A．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：B解析：解：解得，，或；，或；；1，．故选：B．解不等式即可得出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及一元二次不等式的解法，补集、交集的运算．3.答案：B解析：解：根据题意，函数为奇函数且满足，则，又由当时，，则；则有，故选：B．根据题意，由函数的奇偶性和周期性分析可得，结合函数的解析式求出的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质应用，涉及函数的周期，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的判断，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．判断的奇偶性，再根据在上的函数值的符号得出答案．【解答】解：，．为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当时，，，，排除D，故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．设出直线l：，再根据点到直线距离为2和直线与圆相切列方程组成方程组解得，只有一解．【解答】解：显然直线l有斜率，设l：，则，即，又直线l与圆相切，，联立，，，所以直线l的方程为，故选：A．6.答案：C解析：解：对于函数，令，求得，故函数的单调增区间为，，故选：C．由题意利用正弦函数的的单调性，求得结果．本题主要考查正弦函数的的单调性，属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意可知几何体是底面是直角三角形的三棱锥，顶点在底面的射影与底面三角形组成长方形，底面三角形的直角边长为：3，5，棱锥的高为4，射影几何体的体积为：．故选：A．判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．8.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．利用点在抛物线C：的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．【解答】解：点在抛物线C：的准线上，，，直线AF的斜率为．故选：C．9.答案：C解析：解：，由，，反之也成立．“”是“”的充要条件．故选：C．：，由，可得，化简即可判断出关系．本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：由随机变量的分布列得：x，，且，对任意x，，，由此排除A和B；取时，则，，排除D．故选：C．对任意x，，，由此排除A和B；取时，求出，，排除D．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查排除法、特殊值法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：2解析：解：曲线的导数为，曲线的一条切线的斜率是3，切点的横坐标为n，则，解得，故答案为：2．求出函数的导数，通过切线的斜率，转化求解切点的横坐标即可．本题考查导数的运用：求切线方程，正确理解函数导数的几何意义以及转化求解是解题的关键．12.答案：解析：解：因为函数；故最小正周期等于．故答案为：先根据二倍角的余弦公式将函数化简为的形式，再由得到答案．本题主要考查三角函数最小正周期的求法，一般先将函数化简为的形式，再由可解题．13.答案：或解析：解：在中，设，由余弦定理可得，，，或．当时，的面积为，当时，的面积为，故答案为或．设，由余弦定理可得，解出x的值，代入的面积为，运算求得结果．本题考查余弦定理的应用，求得BC的长度或，是解题的关键．14.答案：解析：解：设等比数列的公比为q，由题知，，，；，．故填：，．先由，求出公比q，再求与，最后求．本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和的求法，属于基础题．15.答案：解析：解：根据题意，依次分析4个命题：对于、，定义域是R，且，是奇函数；故正确；对于、若，则，故在R递增；故正确；对于、，令，令可得，，即方程有一根，，，则方程有一根在之间，故错误；对于、如果对任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，故正确；综合可得：正确；故答案为：．根据题意，依次分析4个命题，对于、由奇函数的定义分析可得正确；对于、对函数求导，分析可得，分析可得正确；对于、，分析可得，即方程有一根，进而利用二分法分析可得有一根在之间，即方程至少有2跟，故错误，对于、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得正确，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，关键是利用二分法．16.答案：解析：解：不能使数列是等比数列，可以．由题意，即，可得，且，，由常数且，可得为非零常数，则是为首项、为公比的等比数列；由可得，当时，，，可得，前n项和．选，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：证明：如图所示，0，，0，，0，，2，，1，，1，，2，，1，，由，，；Ⅱ解：，，．异面直线PC与BQ所成角的余弦值为．解析：建立空间直角坐标系，只要证明，即可证明结论．Ⅱ，，，利用向量夹角公式即可得出．本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ函数的定义域为，．由，可得或，当时，在上恒成立，的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．Ⅱ当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．在上有零点的必要条件是，即，．而，若，在是减函数，，在上没有零点．若，，在上是增函数，在上是减函数，在上有零点等价于，即，解得综上所述，实数a的取值范围是．解析：Ⅰ先求出函数的定义域，再求导，分类讨论，即可求出函数的单调区间，Ⅱ在上有零点等价于，解得即可本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查了运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题．19.答案：解：在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为．所有的可能取值为1，2，3，；；．所以X的分布列为X123P所以X的数学期望为．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．利用古典概型概率个数求解即可．求出X的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，然后求解即可．20.答案：解：椭圆C：，即有标准方程为，可得，，，；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，可得，，即，设，，可得，，由，可得，即，即，将代入可得，，消去，可得，解得，故存在这样的直线l，且方程为或．解析：将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，．因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．所以．Ⅲ证明：由的定义可知，，所以所以．考查定积分，将区间分成等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为所以．所以所以．所以．解析：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为从而得到结果．Ⅲ由的定义可知，，所以所以再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．本小题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．。
北京市高考数学压轴卷 文（含解析）(1)
北京市高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1.已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，那么x yi +的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.已知函数3()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，那么123()()()f x f x f x ++的值为()A.正B.负C.零D.可正可负 3.已知某几何体的三视图如下，那么该几何体体积为（ ） A ．4+52π B ．4+32π C ．4+2πD ．4+π 4.如下图为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部份图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=( )A ．-1B ．3-C ．3D ．15.（5分）已知两条不重合的直线m 、n 和两个不重合的平面α、β，有以下命题： ①假设m⊥n，m⊥α，那么n∥α； ②假设m⊥α，n⊥β，m∥n，那么α∥β；③假设m 、n 是两条异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m∥β，n∥α，那么α∥β； ④假设α⊥β，α∩β=m，n ⊂β，n⊥m，那么n⊥α． 其中正确命题的个数是（ ） A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46.设函数是概念在上的可导函数，其导函数为，且有，那么不等式的解集为A ．B ．C ．D ．7. 已知A ，B 两点均在核心为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上，假设，线段AB 的中点到直线的距离为1，那么p 的值为（ ） A ． 1B ． 1或3C ． 2D ． 2或68. 已知f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0．现给出如下结论： ①f（0）f （1）＞0； ②f（0）f （1）＜0； ③f（0）f （3）＞0； ④f（0）f （3）＜0．其中正确结论的序号是（ ） A ． ①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置． 9.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，假设{}3A B =-，那么实数a 的值为________________.10.已知如下图的流程图(未完成)，设当箭头a 指向①时输出的结果S ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果S ＝n ，求m ＋n 的值．11.假设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，那么11S 的值为 ．12. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了把握各超市的营业情形，要从中抽取一个容量为20的样本．假设采纳分层抽样的方式，抽取的中型超市数是________________. 13.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ 长的最小值是_______14.设a∈R，假设x ＞0时均有[（a ﹣1）x ﹣1]（x 2﹣ax ﹣1）≥0，那么a= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15.已知向量)4cos ,4(cos ),1,4sin 3(2x x n x m ==．记n m x f ⋅=)( (I)求)(x f 的周期；(Ⅱ)在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边别离是a 、b 、c ，且知足(2a —c)cos B=b cosC ， 假设f (A )=，试判定∆ABC 的形状．16. 某校要从2名男同窗和4名女同窗当选出2人担任羽毛球竞赛的志愿者工作，每名同窗被选的机遇均相等． （Ⅰ）求被选的2名同窗中恰有l 名男同窗的概率； （Ⅱ）求被选的2名同窗中至少有1名女同窗的概率．17. 如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2． （1）求证：B 1B∥平面D 1AC ；（2）求证：平面D 1AC⊥平面B 1BDD 1．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右核心别离为12,F F ，点B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右核心2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右极点，直线,AE AF 别离交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k .求证: '⋅k k 为定值.19.已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++,231()n B n a a a +=+++,342(),1,2,n C n a a a n +=+++= .（Ⅰ）假设121,5a a ==，且对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20. 已知函数x a x g ln )2()(-=，2ln )(ax x x h +=)(R a ∈，令)()()('x h x g x f +=.(Ⅰ)当0=a 时，求)(x f 的极值； (Ⅱ)当2-<a 时，求)(x f 的单调区间；(Ⅲ)当23-<<-a 时，假设对]3,1[,21∈∀λλ，使得3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m f f λλ恒成立,求m 的取值范围.2021北京市高考压轴卷数学文word 版参考答案 1. 【答案】D 【解析】1()1,2,1,12x x xi yi x y i =-=-∴==+应选D ． 2. 【答案】B【解析】∵3()f x x x =--，∴函数()f x 在R 上是减函数且是奇函数，∵120x x +>，∴12x x >-，∴12()()f x f x <-，∴12()()f x f x <-，∴12()()0f x f x +<， 同理：23()()0f x f x +<，31()()0f x f x +<，∴123()()()0f x f x f x ++<. 3. 【答案】A【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部份2π，因此该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．应选A ． 4. 【答案】A. 【解析】 5. 【答案】C【解析】①假设m⊥n，m⊥α，那么n 可能在平面α内，故①错误 ②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确 ③过直线m 作平面γ交平面β与直线c ， ∵m、n 是两条异面直线，∴设n∩c=O， ∵m∥β，m ⊂γ，γ∩β=c∴m∥c， ∵m ⊂α，c ⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，应选C6. 【答案】C.【解析】由，得：，即，令，那么当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，因此由得，，即，应选7. 【答案】B.【解析】别离过A、B作交线l：x=﹣的垂线，垂足别离为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）依照抛物线的概念，得∴梯形ACDB中，中位线MN=（）=2，可得x0+=2，x∵线段AB的中点M到直线的距离为1，可得|x0﹣|=1∴|2﹣p|=1，解之得p=1或3应选：B8. 【答案】C.【解析】求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc ∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0应选C．9. 【答案】a=-1.【解析】假设a-3=-3,那么a=0，现在：}1,1,3{},3,1,0{--=-=B A ,}3,1{-=⋂∴B A ,与题意不符，舍若2a-1=-3,那么a=-1，现在：}2,4,3{},3,1,0{--=-=B A ，}3{-=⋂∴B A ，∴a=-1假设a2+1=-3,那么a 不存在综上可知：a=-1 10. 【答案】20.【解析】当箭头指向①时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0，S ＝1； i ＝2，S ＝0，S ＝2； i ＝3，S ＝0，S ＝3； i ＝4，S ＝0，S ＝4； i ＝5，S ＝0，S ＝5； i ＝6终止． ∴S＝m ＝5．当箭头指向②时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0， S ＝1； i ＝2，S ＝3； i ＝3，S ＝6； i ＝4，S ＝10； i ＝5，S ＝15； i ＝6终止． ∴S＝n ＝15．∴m＋n ＝20． 11. 【答案】44 【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得64a =,又由611111611211()114422a a a S a ⨯+====12. 【答案】6.【解析】每一个个体被抽到的概率等于 =，而中型超市有120家，故抽取的中型超市数是 120×=613.【答案】4.【解析】设过坐标原点的一条直线方程为y kx =，因为与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，因此0k >，且联列解得22,2,,2P k Q k k k ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此 14. 【答案】【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1，y 2=x 2﹣ax ﹣1，它们都过定点P （0，﹣1）． 考查函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1：令y=0，得M （，0），∴a＞1；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣1，显然过点M （，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）． 故答案为：15. 【解析】2311()3cos cos cos 4442222xx x x x f x =+=++ （I ）π4=T（Ⅱ 依照正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=∵13()f A += ∴ 113sin 262263A A πππ+⎛⎫++=⇒+= ⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或 π 而203A π<<，因此3A π=，因此∆ABC 为等边三角形.……………12分16. 【解析】（I ）所有的选法共有=15种，被选的2名同窗中恰有1名男同窗的选法有•=8种， ∴被选的2名同窗中恰有1名男同窗的概率为 ．（II ）所有的选法共有=15种，被选的2名同窗中恰有2名女同窗的选法有=6种， 被选的2名同窗中恰有1名女同窗的选法有•=8种，故被选被选的2名同窗中至少有1名女同窗的选法有6+8=14种， 故被选的2名同窗中至少有1名女同窗的概率为．17. 【解析】证明：（1）设AC∩BD=E，连接D 1E ， ∵平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1． ∴B 1D 1∥BE，∵B 1D 1=BE=，∴四边形B 1D 1EB 是平行四边形， 因此B 1B∥D 1E ．又因为B 1B ⊄平面D 1AC ，D 1E ⊂平面D 1AC ， 因此B 1B∥平面D 1AC（2）证明：侧棱DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC⊥DD 1．∵下底ABCD 是正方形，AC⊥BD．∵DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线， ∴AC⊥平面B 1BDD 1∵AC ⊂平面D 1AC ，∴平面D 1AC⊥平面B 1BDD 1． 18. 【解析】（Ⅰ）由条件2,3a b ==…………2分故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . …………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点2(1,0)F 在椭圆内，因此直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立. 设点1122(,),(,)E x y F x y ，那么34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分 因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ， 直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ， ………9分 令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x y N ， 因此点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--. ………10分 直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-1212121223()4142()4kx x k x x k x x x x -++=⋅-++ …………12分 因此k k '⋅为定值43-. …………13分 19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，因此()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分 因此1122n n a a a a ++-=-, ………2分 即21214n n a a a a ++-=-=. ………3分 因此数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分 因此1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分（Ⅱ）（１）充分性：假设关于任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，那么()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分因此[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121n n a qa a qa ++-=-. ………7分 因为当1n =时，由(1)(1),B qA =可得21a qa =， ………8分因此210n n a qa ++-=.因为0n a >， 因此2211n n a a q a a ++==. 即数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， ………9分（２）必要性：假设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，那么对任意n *∈N ，有 1n n a a q +=. ………10分因为0n a >，因此(),(),()A n B n C n 均大于0.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分 即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，因此三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………13分综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………14分20. 【解析】。
2021-2023北京高考真题数学汇编：压轴选择(第10题)
证明：当 n = 1 时， a1 − 6 =−3 ≤ −3 ，此时不等关系 an ≤ 3 成立；
设当 n = k 时， ak − 6 ≤ −3 成立，
则
ak +1
−
6
=
1 4
( ak
−
6)3
∈
−54, −
27 4
，故
ak +1
−
6
≤
−3
成立，
由数学归纳法可得 an ≤ 3 成立.
而 an+1 − a=n
2021-2023 北京高考真题数学汇编
压轴选择（第 10 题）
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知数列{an} 满足 an+1=
1 4
(
an
−
6)3
+
6(n=
1, 2,3,) ，则（
）
A．当 a1 = 3时，{an} 为递减数列，且存在常数 M ≤ 0 ，使得 an > M 恒成立
B．当 a1 = 5 时，{an} 为递增数列，且存在常数 M ≤ 6 ，使得 an < M 恒成立
1 4
x3
−
9 2
x2
+
26x
−
47 (
x
≤
3)
，判断得
an+1
<
an
−1，
进而取 m = −[M ] + 4 推得 an > M 不恒成立；对于 B，证明 an 所在区间同时证得后续结论；对于 C，记
m0
log3
2 log1
(M
− 6)
+ 1
，取=m
[m0 ] +1推得 an > M 不恒成立；对于 D，构造
2025届北京市对外经贸大学附属中学高考压轴卷数学试卷含解析
2025届北京市对外经贸大学附属中学高考压轴卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-22．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1B ．0C ．1D ．23．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=4．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点DP 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π； ②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A所成角的正切值取值范围是3⎣；③若DP ，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．35．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π6．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞7．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．33B ．63C ．32D ．2338．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，BD'与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 10．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-B ．(13)-C ．(3,1)--D ．(1,3)--11．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 12．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年北京市普通高等学校招生全国统一考试高考压轴卷数学试题及答案解析
绝密★启用前2020年北京市普通高等学校招生全国统一考试高考压轴卷数学试题一、 选择题（本大题共10小题. 每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．1010B ．5C ．5D ．102．设集合{}1,0,1,2,3A =-，2{|20},B x x x =->则()R A B =I ð（ ）A ．{}1,3-B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,33．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当01x ≤≤时,3()f x x =,则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．278- B ．18- C ．18 D ．2784．函数()21cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．5．已知坐标原点到直线l 的距离为2,且直线l 与圆()()223449x y -+-=相切,则满足条件的直线l 有（ ）条A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()sin(2)6f x x π=+的单调递增区间是（ ） A ．()2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦7．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．60 8．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上,记C 的焦点为F,则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 9．已知1a =r ,则“()a a b ⊥+r r r ”是“1a b ⋅=-r r ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 10．已知随机变量ξ的分布列,则下列说法正确的是( )A ．存在x ,y ∈(0,1),E (ξ)>12B ．对任意x ,y ∈(0,1),E (ξ)≤14。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
答案：an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。
答案：三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。
答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。
答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。
答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。
答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。
北京市丰台二中2025届高三压轴卷数学试卷含解析
北京市丰台二中2025届高三压轴卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝16，a 3a 4＝﹣32，则S 8＝（ ） A ．﹣21B ．﹣24C ．85D ．﹣852．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A B C D ．3．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e4．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A ．1)-B ．(-C ．(1)-D ．(1,-5．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ）A ．B ．18C ．1D ．19-6．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．17．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥10．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ）A ．{}1,5B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,411．已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．4512．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年北京高考数学压轴题答案详解及解题方法技巧(含模拟专练)
2022年北京高考数学试卷压轴真题解读9．已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A ．34πB ．πC ．2πD ．3π【命题意图】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力【答案】B 【解析】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且2632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC 内切圆的圆心为O ，半径为2364136=>⨯，故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为π故选：B10．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【命题意图】本题考查了平面向量数量积的最值问题【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=--，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D【解题技巧】1.计算平面向量的数量积主要方法：(1)利用定义：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)活用平面向量数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.15．己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．【命题意图】本题考查命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力【答案】①③④【解析】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=，因为20a >，解得23a =，①对；假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q +=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不是等比数列，②错；当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对；假设对任意的N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=，所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【方法总结】1.由S n 求a n 的步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并.2.S n 与a n 关系问题的解题思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化，(1)由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式求解；(2)转化为只含a n ，a n －1(n ≥2)的关系式.20．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．【命题意图】本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式【解析】(1)因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00=f ，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1)1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x=(2)因为1()()e (ln(1)1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++-++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()eln(1)e ln(1)()()11x t x x txm x x t x g x t g x x t x++=+++-+-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1)1xg x f x x x=++'=+在[)0,+∞上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,+∞上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.【方法总结】1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.21．已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．【命题意图】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力【解析】(1)21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表数列；易知，不存在,i j 使得16i i i j a a a +++++= ，所以Q 不是6-连续可表数列．(2)若3k ≤,设为:Q ,,a b c ,则至多,,,,,a b b c a b c a b c ++++，6个数字，没有8个，矛盾；当4k =时,数列:1,4,1,2Q ，满足11a =，42a =，343a a +=，24a =，125a a +=，1236a a a ++=，2347a a a ++=，12348a a a a +++=，min 4k ∴=．(3)12:,,,k Q a a a ，若i j =最多有k 种，若i j ≠，最多有2C k 种，所以最多有()21C 2k k k k ++=种，若5k ≤，则12,,,k a a a …至多可表()551152+=个数，矛盾,从而若7k <,则6k =，,,,,,a b c d e f 至多可表6(61)212+=个数，而20a b c d e f +++++<，所以其中有负的，从而,,,,,a b c d e f 可表1~20及那个负数（恰21个），这表明~a f 中仅一个负的，没有0，且这个负的在~a f 中绝对值最小，同时~a f 中没有两数相同,设那个负数为(1)m m -≥则所有数之和125415m m m m m ≥++++++-=+ ，415191m m +≤⇒=，{,,,,,}{1,2,3,4,5,6}a b c d e f ∴=-，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=-+ （仅一种方式），1∴-与2相邻，若1-不在两端,则",1,2,__,__,__"x -形式，若6x =，则56(1)=+-（有2种结果相同，方式矛盾），6x ∴≠，同理5,4,3x ≠，故1-在一端，不妨为"1,2,,,,"A B C D -形式，若3A =,则523=+（有2种结果相同，矛盾），4A =同理不行，5A =，则6125=-++（有2种结果相同，矛盾），从而6A =，由于7126=-++,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4-，①或1,2,6,4,5,3-，②这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k ≠7k ∴≥．压轴模拟专练1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C ，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为（）A ．256πB ．9πC ．92πD ．98π【答案】C【解析】取AB 中点为D ,过D 作//OD PA ,且11==22OD PA ,因为PA ⊥平面ABC,所以OD ⊥平面ABC .由于AC BC ⊥,故DA DB DC ==,进而可知OA OB OC OP ===,所以O 是球心,OA 为球的半径.由112==4323P ABC V AC CB PA AC CB -=⨯⋅⋅⇒⋅,又2222=8AB AC BC AC BC =+≥⋅,当且仅当2AC BC ==,等号成立,故此时AB =所以球半径32R OA ==,故min 3=2R ,体积最小值为334439πππ3322R ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选:C2．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知球O 是正三棱锥A BCD -（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，6BC =，AB =点E 在线段BD 上，且3BD BE =.过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（）A ．3πB ．4πC ．8πD ．9π【答案】C【解析】如图，1O 是A 在底面的射影，由正弦定理得，BCD △的外接圆半径161sin 602r ⨯︒==由勾股定理得棱锥的高16AO ==，设球O 的半径为R ，则222(6)R R =-+，解得4R =，所以12OO =，在1BO E 中，由余弦定理得214122242O E =+-⨯⨯=，所以12O E =，所以在1OEO中，OE =当截面垂直于OE =，截面面积为8π.故选：C.3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()+⋅= MB MC AH MB MC ⋅=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】A【解析】因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅== ,因为()+⋅=MB MC AH所以()MH MH A HB HC H +⋅=++所以2MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅=所以MH AH ⋅=所以MH AH ⋅= ，所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅ 2cos MH HC HB π=+⋅228(1)4=+⨯-=-,故选：A4．（2022·北京·人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O 的半径为2，圆O 的直径MN CD ∥，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，OAB 、OBC 、OCD 、ODE 、OEF 、OFA 均为边长为4的等边三角形，当点P 位于正六边形ABCDEF 的顶点时，PO取最大值4，当点P 为正六边形各边的中点时，PO 取最小值，即min4sin3POπ==所以，4PO ⎡⎤∈⎣⎦.所以，()()()()[]248,12PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-∈ .PM PN ⋅的最小值为8.故选：D.5．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知n S 为单调递减的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和3612n n T n =-，则下列结论中正确的有______．（填写序号）①30a =；②27n S n n =-；③()2n n S n a n =+-；④4n S S <．【答案】②【解析】设等差数列{}n a 的公差为,0d d <，则111111111n n n n n n n n a a a a d a a d a a ++++⎛⎫-=⋅=- ⎪⎝⎭，故12231111111111n n n T d a a d a a d a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭11111111113612n n n n a a dn n n d a a d a a a a n++++-=⋅=⋅==-，所以113612n a a n +=-，则()()1211131124212a a a a d a a a a d ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，解得162a d =⎧⎨=-⎩或162a d =-⎧⎨=⎩（舍去），所以28n a n =-+，故32a =，故①错误；()262872n n n S n n -+==-，故②正确；()()222826n n a n n n n n n +-=-++-=-，故③错误；22749724n S n n n ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，*N n ∈，则当3n =或4时，n S 取得最大值，所以412n S S ≤=，故④错误.6．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前项和13n n T k -=-，数列{}n c 满足12c =，23c =，33c b =，且1n n n c c a +=+；下列几个结论中，所有正确结论的编号为___________.①3k =；②222211n n n n a b a b +++>+；③221n n n S S S ++<；④121111n n c c c n +++≥+ .【答案】③④【解析】对于①，当1n =时，111b T k ==-，当2n ≥时，()()12213323n n n n n n b T T k k ----=-=---=⋅，因为{}n b 是等比数列，所以，121123b k -=-=⋅，所以，13k =，①错；对于②，因为336c b ==，1211a c c =-=，2323a c c =-=.又因为{}n a 是等差数列，所以，公差212d a a =-=，则()12121n a n n =+-=-.所以，()21212n n n S n +-==.设()()22222149n n n f n a b n -=+=-+⋅，则()()2112149n f n n -+=++⋅，所以，()()2183290n f n f n n -+-=+⋅>，即()()1f n f n <+，②错；对于③，()()()()()()24222221212121n n n S S S n n n n n n n n n ++⎡⎤⎡⎤-=+-+=+-+⋅+++=⎣⎦⎣⎦()22410n n -++<，③对；对于④，因为121n n c c n +=+-，当2n ≥时，()()()()12132121323n n n c c c c c c c c n -=+-+-++-=++++- ()()()212312122n n n +--=+=-+，当1n =时，12c =满足()212n c n =-+，所以，()()212N n c n n *=-+∈.所以，()22211111133112nc n n n n n n n n ==≥=-++-++-+.故12111111111111223111n n c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④对.7．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）设函数()e 1xf x a x =--，a R ∈．(1)当1a =时，求()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(3)求证：当()0,x ∈+∞时，2e 1e xx x->．【解析】(1)()e 1xf x x =--，()00e 010f =--=，即切线()0,0.()e 1x f x '=-，()00e 10k f '==-=，则切线方程为：0y =.(2)x ∈R ，0e 1x a x --≥恒成立等价于x ∈R ，1e xa x +≥恒成立.设()1ex x g x +=，()e x x g x -'=，(),0∈-∞x ，()0g x '>，()g x 为增函数，()0,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()()max 01g x g ==，即1a ≥.(3)()0,x ∈+∞，2e 1e x x x ->等价于()0,x ∈+∞，2e e 10xx x -->.设()2=e e 1x x h x x --，()0,x ∈+∞，()221=e e 12x x h x x ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭，设()21=e 12x k x x --，()0,x ∈+∞，()21=e 102x k x ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，所以()k x 在()0,+∞为增函数，即()()00k x k >=，所以()221=e e 102x x h x x ⎛⎫'--> ⎪⎝⎭，即()h x 在()0,+∞为增函数，即()()00h x h >=，即证：2e 1e x x x->.8．（2022·北京·模拟预测）已知函数1()ln =+f x a x x.()a R ∈(1)若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的极值和单调区间；(3)若()f x 在[]1,e 上不是单调函数，且()e f x ≤在[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当2a =时，函数()12ln f x x x =+，()221f x x x '=-．所以()11f =，()11f '=．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程y x =．(2)函数()f x 定义域()0,x ∈+∞．求导得2211()a ax f x x x x-'=-=.①当0a ≤时，因为()0,x ∈+∞，所以()0f x '<．故()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，此时()f x 无极值.②当0a >时，x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：x 1(0,)a 1a 1(,)a+∞()'f x -0+()f x 极小值所以()f x 的单调递减区间是1(0,)a，单调递增区间是1(,)a +∞．此时函数()f x 的极小值是1()ln f a a a a=-，无极大值．(3)因为()f x 在[]1,e 不是单调函数，由第（2）可知此时0a >，且[]11,e a ∈，x 11(1,)a1a 1(,)e a e ()'f x -0+()f x (1)f 极小值()f e 又因为()e f x ≤在[]1,e 上恒成立，只需11e (1)e (e)e a f f ⎧<<⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩即可，所以1e e 1e 11e a a ⎧+≤⎪⎪≤⎨⎪⎪<<⎩，解得a 的取值范围是1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（2022·北京·模拟预测）已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令n n n A b B =(1,2,3,)n = ，并将数列{}n b 称为{}n a 的“生成数列”．(1)若2(1,2,3,)n n a n ==L ，求数列{}n b 的前n 项和；(2)设数列{}n b 的“生成数列”为{}n c ，求证：11212()n n b c c c b b b +++=+++L L ；(3)若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n ≥时，+1+2n n n a a a ,,,L 是等比数列．【解析】(1)因为2(1,2,3,)n n a n ==L ，所以112220n n n n n a a ++-=-=>．所以1231n n a a a a a +<<<<<< ，所以12n B a ==，2n n n A a ==(1,2,3,)n = ，所以12(1,2,3,)n n n nA b nB -===L ，因为11222nn n n b b +-==，所以数列{}n b 是等比数列，所以数列{}n b 的前n 项和为：122112n n -=--；(2)由题意可知10n n A A +>≥，10n n B B +<≤，所以11n n n n A B A B ++≥，所以+1+1n n n nA AB B ≥．所以1n n b b +≥(1,2,3,)n = ，所以123b b b ≤≤≤L ，由“生成数列”的定义可得1(1,2,3,)k k b c k b ==L ，所以1(1,2,)k k k b c b ==L ．累加可得11212()n n b c c c b b b +++=+++L L .(3)由题意知111111A a b B a ===．由（Ⅱ）可知1n n b b +≥(1,2,3,)n = ．①当1=n n b b +时，得1n b =，即1n nA B =，所以n n A B =，所以1=n a a .即{}n a 为公比等于1的等比数列，②当1n n b b +>时，令{}12min ,,,,t n a a a a =L L ，则()m t B a m t =≥.当n t ≥时，显然1n n A A +>．若1n n a A +≤，则1=n n A A +，与1n n A A +>矛盾,所以1n n n a A a +>≥，即11n n A a ++=.取0+1n t =，当0n n ≥时，n n n n tA a bB a ==，显然+1+2n n n a a a ,,,L 是等比数列,综上，存在正整数0n ，使得0n n ≥时，+1+2n n n a a a ,,,L 是等比数列.10．（2022·北京丰台·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．若对任意*n N ∈，不等式n T m <恒成立，求m 的最小值．条件①：11a =且()1202n n a a n --=≥；条件②：21n n S =-；条件③：21n n a S -=．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】(1)选条件①：因为11a =，且()1202n n a a n --=≥，即12n n a a -=所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=.选条件②：当1n =时，111a S ==当2n ≥时，111121(21)222n n n n n n n n a S S ----=-=---=-=因为当1n =时，上式也成立，所以12n n a -=.选条件③：因为21n n a S -=，得21n n S a =-当1n =时，1121a S -=，得11a =当2n ≥时，11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---整理得12n n a a -=所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=.(2)由（1）知，1112n n a -=，记1112n n n b a -==因为112112122n n n n b b ---==，10112b ==所以{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列所以111(12221212n n n T --==-<-所以m 的最小值为2.。
2020届北京市高考压轴卷：数学(文)试卷(word版,含解析)(精品)
北京市高考压轴卷 文科数学 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设常数a ∈R ，集合A={}0)a ()1(≥--x x x ，B={}1-≥a x x .若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ）（A ）（－∞，2） （B ）（－∞，2] （C ）（2，+∞） （D ）[2，+∞）2.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞ 3.将函数3cos sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π64.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q5.函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B) 2- (C) 2 (D) 0 6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23 C ．1321D ．610987 8.下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分） 9.方程x 31139x =+-的实数解为 . 10.学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .11. 设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 12. 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 . 13. 在四边形CD AB 中，()C 2,4A =u u u r ，()D 2,1B =-u u u r ，则该四边形的面积为_______14.设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 。
北京市高考压轴卷+数学+Word版含解析
北京高考压轴卷数学一、 选择题（本大题共10小题. 每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．1010B ．5 C ．5 D ．102．设集合{}1,0,1,2,3A =-，2{|20},B x x x =->则()R A B =（ ） A ．{}1,3-B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,33．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．278-B ．18-C ．18D ．2784．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知坐标原点到直线l 的距离为2，且直线l 与圆()()223449x y -+-=相切，则满足条件的直线l 有（ ）条 A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()sin(2)6f x x π=+的单调递增区间是（ ）A ．()2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．(),,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．608．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12-9．已知1a =，则“()a a b ⊥+”是“1a b ⋅=-”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件10．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )A ．存在x ，y ∈(0，1)，E (ξ)>12B ．对任意x ，y ∈(0，1)，E (ξ)≤14C ．对任意x ，y ∈(0，1)，D (ξ)≤E (ξ) D ．存在x ，y ∈(0，1)，D (ξ)>14二．填空题（本大题共5小题.每小题5分，共25分） 11．已知曲线()212f x x x =+的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为____________.12．函数2cos 2sin y x x =-的最小正周期等于_____.13．在△ABC 中，若30B =，23AB =2AC =,求△ABC 的面积 14．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝1，a 3＝100，则{a n }的通项公式a n ＝_____；设数列{lga n }的前n 项和为T n ，则T n ＝_____.15．已知函数，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）①是奇函数；②在上是单调递增函数；③方程有且仅有1个实数根；④如果对任意，都有，那么的最大值为2.注：本题给的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其他得3分.三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）．（1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当2k =时，设12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .17．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，2PA AD ==，1AB BC ==，Q 为PD 中点．（1）求证：PD BQ ⊥；（2）求异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值． 18．已知函数()()22ln R f x a x x ax a =-+∈.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当0a >时，若()f x 在()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率； （Ⅱ）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 20．已知椭圆22:24C x y += （1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．对于n ∈N *（n ≥2），定义一个如下数阵：111212122212n n nnn n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，其中对任意的1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，当i 能整除j 时，a ij ＝1；当i 不能整除j 时，a ij ＝0．设()121nij j j nj i t j a a a a ===+++∑．（Ⅰ）当n ＝6时，试写出数阵A 66并计算()61j t j =∑； （Ⅱ）若[x ]表示不超过x 的最大整数，求证：()11 nnj i n t j i ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑；（Ⅲ）若()()11 n j f n t j n ==∑，()11ng n dx x =⎰，求证：g （n ）﹣1＜f （n ）＜g （n ）+1．北京高考压轴卷数学Word 版含解析参考答案1．【答案】A【解析】13iz z +=，1131313101010i z i i +===+-，||z =. 故选:A. 2．【答案】B【解析】由220x x ->，得0x <或2x >，即{|0B x x =<或2}x >，={|02}R B x x ∴≤≤，又{}1,0,1,2,3A =-()={0,1,2}R A B ∴.故选：B. 3．【答案】B【解析】由()f x 满足(2)()f x f x +=， 所以函数的周期2T=，又因为函数()f x 为奇函数，且当01x ≤≤时，3()f x x =，所以51112228f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B4．【答案】B【解析】()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()1e cos()1e x xf x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e(1)cos101ef -=<+，排除D ，选B.故选：B.5．【答案】A【解析】显然直线l有斜率，设l：y kx b=+，则22 1b k=+，即()2241b k=+，①又直线l与圆相切，23471k bk-+∴=+，②联立①②，34k=-，52b=-，所以直线l的方程为3542y x=--.故选：A6．【答案】C【解析】令222262k x kπππππ-+≤+≤+因此36k x kππππ-≤≤+故函数()sin(2)6f x xπ=+的单调递增区间是(),,36k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故选：C7．【答案】B【解析】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h=；底面面积：1155322S=⨯⨯=∴三棱锥体积：1115410332V Sh==⨯⨯=本题正确选项：B 8．【答案】C【解析】试题分析：由已知得，抛物线22y px =的准线方程为2px =-，且过点(2,3)A -，故22p -=-，则4p =，(2,0)F ，则直线AF 的斜率303224k -==---，选C ． 9．【答案】C【解析】由()a a b ⊥+，则2()00⋅+=⇒+⋅=a a b a a b 又1a =，所以1a b ⋅=-若1a b ⋅=-，且1a =，所以20+⋅=a a b ，则()a a b ⊥+ 所以“()a a b ⊥+”是“1a b ⋅=-”的充要条件 故选：C 10．【答案】C【解析】依题意可得()2E xy ξ=，()()()()()()()222222222212121212D x xy y y xy x y x y x y x y x x y yxξ⎡⎤=-+-=-+-=-+-⎣⎦因为1x y +=所以()21222x y xy +≤=即()12E ξ≤故A ，B 错误；()()()()()()222221121212D x x x y yx x x y yx x yx ξ⎡⎤∴=-+-=-+=-⎣⎦01x <<1211x ∴-<-<()20211x ∴<-< ()D yx ξ∴<即()()12D E ξξ<，故C 成立； ()()()2211244x y D x yx xy ξ+=-<≤=故D 错误故选：C11．【答案】2【解析】 由于()212f x x x =+，则()1f x x '=+， 由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值， 曲线21()2f x x x =+的一条切线斜率是3， 令导数()13f x x '=+=，可得2x =， 所以切点的横坐标为2. 故答案为：2． 12．【答案】π【解析】因为函数21cos 231cos 2sin cos 2cos 2222x y x x x x -=-=-=- 故最小正周期等于π. 故答案为：π13．【答案】【解析】在ABC 中，设BC x =，由余弦定理可得241230x =+-，2680x x -+=，2x ∴=，或4x =．当2x =时，ABC的面积为111222AB BC sinB x ⋅⋅=⨯⋅= 当4x =时，ABC的面积为111222AB BC sinB x ⋅⋅=⨯⋅=，14．【答案】10n ﹣1()12n n -【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由题知q ＞0. ∵a 1＝1，a 3＝100， ∴q ==10， ∴a n ＝10n ﹣1；∵lga n ＝lg 10n ﹣1＝n ﹣1，∴T n ()12n n -=.故答案为：(1). 10n ﹣1 (2).()12n n -15．【答案】①②④【解析】根据题意，依次分析四个命题： 对于①中，，定义域是，且是奇函数，所以是正确的； 对于②中，若，则，所以的递增，所以是正确的；对于③中，，令， 令可得，，即方程有一根，，则方程有一根之间，所以是错误的； 对于④中，如果对于任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立， 若，即恒成立，而，若有，所以是正确的，综上可得①②④正确.16．【答案】（1）②，理由见解析；（2）21n nT n =+ 【解析】（1）①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+， 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．（2）由（1）知()14222n k n a k kk -+=⋅=，所以当k =12n n a +=.因为12241+=-n n n a b n ， 所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12111111L 1L 23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．【答案】（1）详见解析；（2）3． 【解析】（1）由题意在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D，()002P ,,．因为Q 为PD 中点，所以()0,1,1Q ，所以()0,2,2PD =-，()1,1,1BQ =-，所以()()0,2,21,1,10PD BQ ⋅=-⋅-=，所以PD BQ ⊥．（2）由（1）得()1,1,2PC =-，()()1,1,21,1,12PC BQ ⋅=-⋅-=-，6PC =，3BQ =，2,3PC BQ COS PC BQ PC BQ⋅==，所以PC 与BQ． 18．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）)1e 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222a x a x a ax x f x x x-++='-=.由()0f x '=得x a =或2a x =-. 当0a =时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞，没有单调递增区间. 当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）当0a >时，()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 所以()f x 在()1,e 上有零点的必要条件是()0f a ≥， 即2ln 0a a ≥，所以1a ≥. 而()11f a =-，所以()10f ≥.若1a =，()f x 在()1,e 上是减函数，()10f =，()f x 在()1,e 上没有零点. 若1a >，()10f >，()f x 在()1,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数，所以()f x 在()1,e 上有零点等价于()e 01e f a ⎧<⎨<<⎩，即22e e 01e a a a ⎧-+<⎨<<⎩，解得)1e 12a <<.综上所述，实数a的取值范围是)1e 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 19．【答案】17100；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 【解析】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人， 所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =． （Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，()124236C C 115C P X ===, ()214236C C 325C P X ===, ()304236C C 135C P X ===. 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=. 20．【答案】（1）22142x y +=，2e =；（2）存在，7x ＝0或7x﹣0 【解析】（1）由22142x y+=，得2,a b==c==2cea==；（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足2PB PA=，可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程x2+2y2＝4，可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜47，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝2262mm+，y1y2＝22942mm-+，①由2PB PA=，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②将②代入①可得3y1﹣3＝2262mm+，y1（2y1﹣3）＝22942mm-+，消去y1，可得22232mm++•22322mm-+＝22942mm-+，解得m2＝2747<，所以7m=±，故存在这样的直线l，且方程为7xy＝0或7x﹣0．21．【答案】（Ⅰ）66111111 010101 001001 000100 000010 000001A⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭，()6114jt j==∑．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）依题意可得，66111111 010101 001001 000100 000010 000001A⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭，()6112232414jt j==+++++=∑．（Ⅱ）由题意可知，t （j ）是数阵A nn 的第j 列的和，可得()1nj t j =∑是数阵A nn 所有数的和．而数阵A nn 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i ≤n ，不超过n 的倍数有1i ，2i ，…，n i i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．得数阵A nn 的第i 行中有n i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个1，其余是0，即第i 行的和为n i⎡⎤⎢⎥⎣⎦．从而得到结果．（Ⅲ）由[x ]的定义可知，1n n n i i i ⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦＜，得111 n nn i i i n n nn i i i===⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦∑∑∑＜．进而()1111 1?nni i f n i i ==-≤∑∑＜．再考查定积分11 n dx x ⎰，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论． 【详解】（Ⅰ）依题意可得，66111111010101001001000100000010000001A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭．()6112232414j t j ==+++++=∑． （Ⅱ）由题意可知，t （j ）是数阵A nn 的第j 列的和，因此()1nj t j =∑是数阵A nn 所有数的和．而数阵A nn 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i ≤n ，不超过n 的倍数有1i ，2i ，…，n i i⎡⎤⎢⎥⎣⎦．因此数阵A nn 的第i 行中有n i ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个1，其余是0，即第i 行的和为n i⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以()11 n nj i n t j i ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑． （Ⅲ）证明：由[x ]的定义可知，1n n ni i i⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦＜， 所以111 nn n i i i n n nn i i i ===⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦∑∑∑＜．所以()1111 1?n ni i f n i i ==-≤∑∑＜．考查定积分11 ndx x ⎰，将区间[1，n ]分成n ﹣1等分，则11n dx x ⎰的不足近似值为21 ni i =∑，11 n dxx ⎰的过剩近似值为111 n i i -=∑． 所以1211111n n n i i dx i x i -==∑∑⎰＜＜． 所以11 1ni i =-∑＜g （n ）11ni i=∑＜．所以g （n ）﹣1()11111?nni i f n i i==-≤∑∑＜＜＜g （n ）+1．所以g （n ）﹣1＜f （n ）＜g （n ）+1．。
2025届北京市西城区北京市第四中学高考压轴卷数学试卷含解析
2025届北京市西城区北京市第四中学高考压轴卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，27cos 7C -=，则ABC 的面积为（ ） A ．32B ．3C ．7D ．722．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π163B ．4π33C 16343π+D ．43π1633．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．354．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦ 5．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．34B ．43C ．-43D ．-346．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)7．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -8．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–209．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%10．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A ．B ．CD ．25-11．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]12．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最近九年北京高考数学理压轴题含答案
1(北京17)设{an}和{bn}是两个等差数列，记c n =max{b 1–a 1n ,b 2–a 2n ,…,b n –a n n }(n =1,2,3,…)，其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若a n =n ，b n =2n –1，求c 1,c 2,c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列．2（北京16）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥2)。
如果对小于n(2≤n ≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。
记“G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合。
（I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (II)证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则G （A ）≠∅；(III ）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则G （A ）的元素个数不小于N a -1a 。
3（北京15）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．4（北京14）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列 P(2,5),(4,1)，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列g (,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.5（北京13）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后的各项1n a +，2n a +，的最小值记为n B ，n n n d A B =-（1）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，，是一个周期为4的数列（即对任意N*n ∈，4n n a a +=）写出1d ，2d ，3d ，4d 的值。
2021-2023北京高考真题数学汇编：压轴解答题-新定义(第21题)
2021-2023北京高考真题数学汇编压轴解答题-新定义（第21题）一、解答题1．（2023·北京·统考高考真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数. (1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值； (2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r jm +−≤+=− ，求n r ； (3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．2．（2022·北京·统考高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=，则称Q 为m −连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a 为8−连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20−连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．3．（2021·北京·统考高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=； ②414,1,2,n n a a n −<=⋅⋅⋅()； ③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅． （1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由； （2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．参考答案1．(1)00r =，11r =，21r =，32r =(2),n r n n =∈N(3)证明见详解【分析】（1）先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ，根据题意分析求解； （2）根据题意题意分析可得11i ir r +−≥，利用反证可得11i i r r +−=，在结合等差数列运算求解； （3）讨论,m m A B 的大小，根据题意结合反证法分析证明.【详解】（1）由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ========， 当0k =时，则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=，故00r =； 当1k =时，则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=，故11r =；当2k =时，则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =；当3k =时，则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>，故32r =； 综上所述：00r =，11r =，21r =，32r =. （2）由题意可知：nr m ≤，且n r ∈N ，因为1,1n n a b ≥≥，且11a b ≥，则10n A B B ≥>对任意*n ∈N 恒成立，所以010,1r r =≥， 又因为112ii i r r r −+≤+，则11i i i i r r r r +−−≥−，即112101m m m m r r r r r r −−−−≥−≥⋅⋅⋅≥−≥，可得11i ir r +−≥，反证：假设满足11n nr r +−>的最小正整数为01j m ≤≤−，当i j ≥时，则12i i r r +−≥；当1i j ≤−时，则11i ir r +−=，则()()()112100m m m m m r r r r r r r r −−−=−+−+⋅⋅⋅+−+()22m j j m j ≥−+=−，又因为01j m ≤≤−，则()2211m r m j m m m m ≥−≥−−=+>， 假设不成立，故11n nr r +−=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,nr n n n =+×=∈N .（3）因为,n n a b 均为正整数，则{}{},n n A B 均为递增数列，（ⅰ）若m m A B =，则可取0t q ==，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+； （ⅱ）若m m A B <，则k r m <，构建,1n n r n S B A n m =−≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数， 反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤−， 则1,0K K r K r K B A m B A +−≤−−>，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B BA B A m +++−−−−>，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≥−.①若存在正整数N ，使得0N N r N S B A =−=，即N N r A B =，可取0,,N t q p N s r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+； ②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为(){}1,2,,1n S m ∈−−⋅⋅⋅−−，且1n m ≤≤， 所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =， 即X Y r X r Y B A B A −=−，可得X Y Y r X r A B A B +=+，可取,,,Y X p Y s r q X t r ====， 满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+； （ⅲ）若m m A B >，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k R i A B i m =≤∈L ∣，则k R m <， 构建,1n n R n S A B n m =−≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数， 反证，假设存在正整数,1K K m ≤≤，使得K S m ≤−， 则1,0K K R K R K A B m A B +−≤−−>，可得()()111K K K K K R R R R K R K a A A AB A B m +++−−−−>，这与{}11,2,,K R a m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意11,n m n ≤≤−∈N ，均有1n S m ≥−.①若存在正整数N ，使得0N N R N S A B =−=，即N R N A B =， 可取0,,N q t s N p R ====，即满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+； ②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为(){}1,2,,1n S m ∈−−⋅⋅⋅−−，且1n m ≤≤， 所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =， 即X Y R X R Y A B A B −=−，可得Y X R X R Y A B A B +=+，可取,,,Y X p R t X q R s Y ====， 满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+.综上所述：存在0,0q p m t s m ≤<≤≤<≤使得t p s q A B A B +=+．2．(1)是5−连续可表数列；不是6−连续可表数列． (2)证明见解析． (3)证明见解析．【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++< 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1−，然后分类讨论验证不行即可．*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b +++，由于11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b −−=+≥=+==+<+=， 因此数列{}n b 为0ℜ数列. 由（2）可知:若444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=−==+−；11111402320a S S a p ×+−==−≥=，91010422(2)0S S a a p ×+−=−=−=−−≥， 因此2p =，此时1210,,,0a a a …≤，()011j a j ≥≥，满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
北京北京大学附属中学高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附解析
北京北京大学附属中学高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附解析一、立体几何多选题1．已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）A ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB ．若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线C ．若1D N 与AB 所成的角为3π，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为3π，则N 的轨迹为椭圆【答案】BC 【分析】对于A ，连接MN ，ND ，DP ，得到直角MDN △，且P 为斜边MN 的中点，所以1PD =，进而得到P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于B ，可知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于C ，建立空间直角坐标系，设(,,0)N x y ，利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB y x y D N ABπ⋅===⨯++⋅，化简可知N 的轨迹为双曲线；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为3MND π∠=，3ND =，可知N 的轨迹是以D 为圆心，33为半径的圆周； 【详解】对于A ，如图所示，设P 为MN 的中点，连接MN ，ND ，DP ，由正方体性质知MDN △为直角三角形，且P 为MN 的中点，2MN =，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN △不管怎么变化，始终有1PD =，即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D为球心，1为半径的球的18，其面积214182Sππ=⨯⨯=，故A错误；对于B，由正方体性质知，1BB⊥平面ABCD由线面垂直的性质定理知1NB BB⊥，即NB 是点N到直线1BB的距离，在平面ABCD中，点N到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，所以点N的轨迹是以点B为焦点，直线DC为准线的抛物线，故B正确；对于C，如图以D为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，(,,0)N x y，1(0,0,2)D，(0,2,0)A，(2,2,0)B，则1(,,2)D N x y=-，(0,2,0)AB=，利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB yx yD N ABπ⋅===⨯++⋅，化简整理得：2234y x-=，即221443y x-=，所以N的轨迹为双曲线，故C正确；对于D，由正方体性质知，MN与平面ABCD所成的角为MND∠，即3MNDπ∠=，在直角MDN△中，33ND=，即N的轨迹是以D为圆心，33为半径的圆周，故D错误；故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与划归能力与运算求解能力，属于难题.2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为153015【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α2215301515=， 故D 正确故选：CD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．3．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE 沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是（）A．点A'到平面BCED的距离为3B．直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为5 8C．A'D⊥BDD．四棱锥A'-BCED237【答案】ABD【分析】作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.利用线面垂直的判定定理判定CD⊥平面A'MN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A到平面面BCED的高A'H,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.【详解】如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,∵'A M∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°，∵正三角形ABC中，AB=8,∴AN=43∴A'M3,∴A'H=A'M sin60°=3，故A正确；连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4,∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，DN=DA'=4,A'N=A'M3,cos ∠A'DN =22441252448+-=⨯⨯,故B 正确；A'D =DB =4,A'B=22121627A N BN +=+=',∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直，故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4，∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心， 设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC , 若O 在平面BCED 上方，入图①所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P , 则HP =x ,易得()()22222433x x R +=-+=,解得23x =-,舍去； 故O 在平面BCED 下方，如图②所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P , 则HP =x ,易得()()22222433x x R +=++=, 解得23x =, ∴244371699R ⨯=+=,237R ∴=,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.4．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（含边界）一点．（ ） A ．若13A P P 点有且只有一个 B ．若12A P ，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若1//A P 平面11B D C ，则1A P 2D ．若12A P 且1//A P 平面11B DC ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23π【答案】ABD 【分析】选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 2P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =︒，求出6r =，进而求出面积. 【详解】对A 选项，如下图：由13A P =P 在以1A 3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=C满足，故A 正确；对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =-=的小圆圆弧上，在底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD上，则1A P 长的最大值为12A B =，则C 不正确； 对选项D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆，利用2126622,,sin 60333A B r r S r ππ==∴=∴==︒.故D 正确.故选：ABD 【点睛】（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，d 为球心到小圆距离）；（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.5．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是43π 【答案】BD 【分析】对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，不可能；对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体积是43π． 【详解】对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ， 则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥， 如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点， 不可能，故A 选项不正确；对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 选项正确．对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ， 由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得12BO =，DM =11B E ===， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，体积是43π．故D 选项正确． 故答案为：BD ． 【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.6．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点，1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题正确命题的序号是（ ）A ．平面1MB P 1ND ⊥ B ．平面1MB P ⊥平面11ND AC ．1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D ．1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】取N 与P 重合，结合勾股定理可判断A 选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误；分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误；取点P 与点1C 重合，判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，如下图所示：当点P 与点N 重合时， 若1ND ⊥平面1MB P ，1B N ⊂平面1MB P ，则11ND B N ⊥，由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=，同理可得15B N =，1122B D =，2221111B N D N B D ∴+≠，则1ND 与1B N 不垂直，假设不成立，A 选项错误；对于B 选项，取1BB 的中点E ，连接1A E 、EN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点， 则11//B E C N 且11B E C N =，所以，四边形11B ENC 为平行四边形，则11//EN B C 且11EN B C =，1111//A D B C 且1111A D B C =，所以，11//A D EN 且11A D EN =，所以，四边形11A END 为平行四边形，所以，11//A E D N ，111A B BB =，1B E BM =，11190A B E B BM ∠=∠=，所以，111Rt A B E Rt B BM ≅△△，所以，111B A E BB M ∠=∠，所以，111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=，190B FE ∴∠=，所以，11B M A E ⊥，11A D ⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，111B M A D ∴⊥， 1111A D A E A =，11A D 、1A E ⊂平面11ND A ，1MB ∴⊥平面11ND A ，1MB ⊂平面1MB P ，所以，平面1MB P ⊥平面11ND A ，B 选项正确；对于C 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时，1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △， 此时，射影图形的面积为21224MBCa a S a =⋅=△； 若点P 在棱11C D 上运动时，设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ，则G CD ∈， 且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ，则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △，且21224MBGa a S a =⋅⋅=△.综上所述，1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值，C 选项正确； 对于D 选项，当点P 与1C 重合时，P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合， 此时，1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形，D 选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.7．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）A ．若1233AD AB AC =+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111333MG MA MB MC =++C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则32BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即111333MG MA MB MC =++，故B 正确；对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；对于D ，111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+-()21122PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-，又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1PQ ∴==，故D 错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．8．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【分析】作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+22211122222222222222222=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．9．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的是（）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为3232⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =，2232cos ,2288AB AMAB AM AB AM a a ⋅⎡<>===⎢⋅⨯++⎣⎦， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为3232⎣⎦，A 选项正确；对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD CC ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，易知1A BD 是边长为22(12322234A BD S =⨯=△为22362=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()236233⨯⨯=，则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得1b =，()1,0,2E ∴，所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，()1,1,0EF =，而()2,2,0DB =，12EF DB ∴=，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()2222212205BF =-+-+-=，DE BF ∴=，所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，11//CC DD ，2222222MC AC DN AD ∴===-+， 11222MC CC =-≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.10．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=，下面结论中正确结论的有（ ）A ．11A D C P ⊥；B ．当1A P PD +取最小值时，23λ=；C ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭； D ．若P 为1BD 的中点，四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π．【答案】ABD【分析】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC ；根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D.【详解】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则()1,1,0B ，()10,0,1D ，设(),,P x y z ，()()10,1BP BD λλ=，1BP BD λ∴=，即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--，则可解得()1,1,P λλλ--，对A ，()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ，()11,0,1A D ∴=--，()11,,1C P λλλ=---，则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=，则11A D C P ⊥，故A 正确；对B ，()()()()()2222221111111A P PD λλλλλλ+=--+-+--+-+222223422333λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 则当23λ=时，1A P PD +取最小值，故B 正确； 对C ，()()1,0,0,0,1,0A C ，(),1,PA λλλ∴=--，()1,,PC λλλ=--，则222321cos 1321321PA PC APC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅， 01λ<<，则2232123λλ≤-+<，则2111123212λλ-≤-<-+， 即11cos 22APC -≤∠<，则2,33APC ππ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，故C 错误； 对于D ，当P 为1BD 中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，设平面11AA D D 的中心为O ，四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ，所以22212R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得34R =， 故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.。
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北京高考数学压轴题试题集锦第1讲 真题分析【例1】 （2007北京理）已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ． 集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，． 从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．【例2】 （2009北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N p *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ； （Ⅰ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅰ）是否存在,p q 使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求,p q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得1123n a n =-， 解11323n -≥，得203n ≥. Ⅰ11323n -≥成立的所有n 中的最小正整数为7，即37b =. （Ⅰ）由题意，得21n a n =-， 对于正整数m ，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈； 当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.Ⅰ()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅰ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. Ⅰ32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+， 即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p qm p +≤--），这与上述结论矛盾！当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得2133q -≤<-.（经检验符合题意） Ⅰ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =，2133q -≤<-. 【例3】 （2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅰ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅰ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，Ⅰ该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，Ⅰ该数集具有性质P. （Ⅰ）Ⅰ{}12,,n A a a a =具有性质P ，Ⅰn n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，Ⅰn n n a a a >，故n n a a A ∉.从而1nna A a =∈，Ⅰ11a = Ⅰ121n a a a =<<<， Ⅰk n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=.又Ⅰ121n nn nn n a a a a a a a a -<<<<， Ⅰ121121,,,n nn n n n n n a a a aa a a a a a a a --====， 从而121121n nn nn n n n a a a a a a a a a a a a --++++=++++，Ⅰ1211112nn na a a a a a a ---+++=+++. （Ⅰ）由（Ⅰ）知，当5n =时，有552343,a a a a a a ==，即25243a a a a ==，Ⅰ1251a a a =<<<，Ⅰ34245a a a a a >=，Ⅰ34a a A ∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈. 由2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，Ⅰ34232a aa a a ==， Ⅰ534224321a a a a a a a a a ====， 即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.【例4】 （2010北京理）已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为=1(,)||i i i d A B a b =-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅰ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ) 设P n S ⊆，P 中有m (m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()P d，证明：()P d≤2(1)mnm -.证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)||||||niiiii d A C B C a c b c =--=---∑由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)||(,)niii d A C B C a b d A B =--=-=∑(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=(,)(,)d B C d B A C A h =--=所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的个数为l 。
设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数。