[新版]人教版高中数学选修4-5：《柯西不等式》教案[精]

3.1 课时8 柯西不等式(黄秀红)

一、教学目标 （一）核心素养

通过对反证法与放缩法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路. （二）学习目标

1.认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.

2.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

3.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法. （三）学习重点

柯西不等式的证明思路以及柯西不等式的证明. （四）学习难点

利用柯西不等式解决问题时如何变形，套用已知不等式的形式. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第31页至第41页，思考：什么是柯西不等式？它又怎样的几何意义？ （2）想一想：可以运用柯西不等式解决怎样的问题？ 2．预习自测

（1）若实数,,,a b c d 满足22222()()()a b c d ac bd ++≤+，则应满足（ ） A ．,a c b d == B ．ac bd = C ．,,,a b c d R ∈ D ．ab cd = 【知识点】柯西不等式

【解题过程】因为22222()()()a b c d ac bd ++≥+，又22222()()()a b c d ac bd ++≤+，所以

22222()()=()a b c d ac bd +++，所以ad bc =

【思路点拨】22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时等号成立 【答案】B

（2）探讨二维形式的柯西不等式的几何意义时，θ为引入的两个向量的夹角，则柯西不等式

的得到运用了（ ）

A ．cos 1θ≤

B ．sin 1θ≤

C ．|cos |1θ≤

D ．|sin |1θ≤ 【知识点】柯西不等式 【解题过程】见教材

【思路点拨】||||||= a b a b |cos |θ≤||||a b 【答案】C

（3）在证明二维形式的三角不等式时，运用了 . 【知识点】柯西不等式 【解题过程】柯西不等式 【思路点拨】向量也可证明 【答案】柯西不等式

（4）判断：“在不等式222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++++≥+++ 中，

0(1,2,,)i b i n ≠= ，则等号成立的充要条件是12

12n n

a a a

b b b == .”是否正确？ 【知识点】柯西不等式 【解题过程】正确

【思路点拨】n 维柯西不等式取等条件 【答案】正确 (二)课堂设计 1.知识回顾

（1

）二元均值不等式：2

()4

a b a b ab ++≥≤.

（2）绝对值三角不等式几何意义为三角形两边之和大于第三边.. （3

）一般得均值不等式：12n a a a +++≥ . 2．问题探究

探究一 二维形式的柯西不等式 ●活动① 认识柯西不等式

定理1（二维形式的柯西不等式） 若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当

且仅当ad bc =时，等号成立.

证明：2222222222()()()2()0a b c d ac bd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥， 所以22222()()()a b c d ac bd ++≥+，且仅当ad bc =时，等号成立. 【设计意图】初步了解柯西不等式. ●活动② 柯西不等式的几何意义

对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景.下面看一看柯西不等式的几何意义.

设在平面直角坐标系xOy 中有向量=a (,)a b ，=b (,)c d ，a 与b 之间的夹角为θ，0θπ≤≤. 根据向量数量积，我们有||||= a b a b cos θ，所以||||||= a b a b |cos |θ.因为|cos |1θ≤，所以

||||||≤ a b a b ，所以||ac bd +≤.故22222()()()ac bd a b c d +≤++.

如果两向量中有零向量，则ad bc =时，等号成立.如果两向量都不是零向量，则当且仅当

|cos |1θ=，

即两向量共线时，等号成立，此时由坐标形式下两向量共线的充要条件可得，ad bc =.综上当且仅当ad bc =时，等号成立. 由上述过程可得

定理2（柯西不等式的向量形式）设a ，b 是两个向量，则||||||≤ a b a b ，当且仅当b 是零向量，或存在实数k ，使=a k b 时，等号成立. 【设计意图】掌握柯西不等式的几何意义. ●活动③ 柯西不等式的变形

由二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+，可得

（1）当0,0a b >>时，22222()())a b c d ++=++≥，当且仅当

=ad bc =时取等号；

（2）222222222()()(||||)(||||)(||||)a b c d a b c d ac bd ++=++≥+，当且仅当||||ad bc =时取等号；

（3||ac bd =≥=+，当且仅当ad bc =时取等号. （4）定理3（二维形式的三角不等式） 设1122,,,x y x y R ∈，那么

+≥

证明：

22112222x y x y -=++ 11221122112211222||2()2()2()0x y x y x y x y x y x y x y x y ≥+++≥-+++=

+≥. 【设计意图】熟练掌握柯西不等式的变形及使用. 探究二 一般形式的柯西不等式 ●活动① 三维形式的柯西不等式

类比二维形式的柯西不等式，我们猜想三维形式的柯西不等式如下：

2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，当且仅当0(1,2,3)i b i ==，或存在一个数k ，

使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立.

证明：我们知道，平面上向量的坐标(,)x y 是二维形式，空间向量的坐标(,,)x y z 是三维形式，从平面向量的几何背景能得到||||||≥ a b a b .将平面向量的坐标代入，化简后可得二维形式的柯西不等式.类似的，从空间向量的几何背景也能得到||||||≥ a b a b ，将空间向量的坐标代入，即可得到三维的柯西不等式.

【设计意图】了解三维的柯西不等式，注意理解取等条件． ●活动② 一般形式的柯西不等式

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，容易猜出一般形式的柯西不等式： 定理 设,,1,2,,i i a b i n = 时实数，则

222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ ，当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立.

证明：设22222212112212,,n n n n A a a a B a b a b a b C b b b =+++=+++=+++ ，则要证的不等式就是2AC B ≥，这正好与二次函数22(0)y Ax Bx C A =++≠的判别式244B AC -密切相关. 当00,1,2,,i i a b i n === 或，不等式显然成立；

当(1,2,)i a i n = 中至少有一个不为零时，即222120n A a a a =+++> ，