数学运算入门基础

二、整除问题

（一）整除性质

如果整数a除以整数b（不为0），除得的商正好是整数，那么就称整数a能被整数b 整除，或者称整数b能整除整数a，并称整数a是整数b的倍数，整数b是整数a的约数。

1．数字整除的特性

在数学运算试题中，通常需要考生分析某一数值能否被常见数值整除，因此，我们只有熟悉能被常见数值整除的数字的基本特征，才能快速应用到试题的解答中。

表2 能被常见数值整除的数字的基本特征

在这些整除特点中，3（或9）的整除特点是行测考试中最常考的，7（11或13）和8（或125）的整除特点较难掌握，考查的可能性较小，但并不意味着不出现，其中对7的整除特性的考查就出现在2010年的试题中。此外，以上给出了能被11整除的数字的两种特征，这两个特征都可以用来判断一个数是否能被11整除。

2．整除的扩展特征

性质1：如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被数c整除；

性质2：如果数a能被数b整除，数b又能被数c整除，那么数a也能被数c整除；

性质3：如果数a能被数b与数c的积整除，那么数a也能被数b或数c整除；

性质4：如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么数a一定能被数b与数c的乘积整除；

性质5：如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除（m≠0）；

性质6：如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除；；

【经典例题】

例1：（2010·北京应届）有大、中、小三种文件夹，大文件夹里装的文件数是小文件夹的5倍，比中文件夹多100件，小文件夹里装的文件数是中文件夹的三分之一，三种文件夹共装了多少件文件？

A．300 B．420 C．450 D．550

【答案】C

【解析一】根据题意可知，大文件夹里的文件数是小文件夹里文件数的5倍，中文件夹里的文件数是小文件夹里文件数的3倍，故大、中、小三个文件夹里的文件数必能被5+3+1=9整除，分析选项，显然只有C项符合。

【解析二】根据题意，设小文件夹里的文件数为x件，则大文件夹里的文件数为5x件，中文件夹里的文件数为3x件，则有5x-3x=100，解得x=50，故三种文件夹共装了50×（5+3+1）=450件文件。

例2：（2009·国考）甲乙共有图书260本，其中甲有专业书13%，乙有专业书12.5%，那么甲的非专业书有多少本?

A．75 B．87 C．174 D．67

【答案】B

【解析】根据题意，由于“甲有专业书13%”，故甲拥有的图书的数量必为100或者200（13为质数，且总数目为260），则此时乙拥有的图书的数量只能为160或者60。由于“乙

有专业书12.5%（1

8

）”，这就意味着乙拥有的图书的数量必能被8整除，故乙只能拥有160

本图书。此时甲的非专业书为（260-160）×（1-13%）=87本。

例3：（2009·浙江）甲、乙两个工程队，甲队的人数是乙队的70%。根据工程需要，现从乙队抽出40人到甲队，此时乙队比甲队多136人，则甲队原有人数是：A．504人B．620人C．630人D．720人

【答案】A

【解析一】由于“甲队的人数是乙队的70%”，故甲队原有人数必能被7整除，排除B、D项；且乙队原有人数必能被10整除，故乙队人数的尾数必为0。根据“现从乙队抽出40人到甲队”可知，此时甲队人数的尾数与原有人数的尾数相同，由于“此时乙队比甲队多136人”可知，甲队人数的尾数为0-6的尾数，即为4，分析选项，显然只有A项符合。

【解析二】根据题意，设甲队原有x人，乙队有y人，则有

70%

4040136

x y

y x

=

⎧

⎨

-=++

⎩

，解得

x=504。

【名师点睛】在解答试题时，可结合其他运算技巧，如尾数法、归纳法等等，从而提高解题速度。

例4：（2010·上半年联考）n为100以内的自然数，那么能令2n-1被7整除的n有多少个？

A．32 B．33 C．34 D．35

【答案】C

【解析】由于n为100以内的自然数，当n=0时，2n-1=0，能被7整除；当n=1时，2n-1=1，被7除余1；当n=2时，2n-1=3，被7除余3；当n=3时，2n-1=7，能被7整除；当n=4时，2n-1=15，被7除余1，当n=5时，2n-1=31，被7除余3……以此类推，当n取3的倍数时（除去0），能被7整除，由于101÷3=33……2，则这样的n值有33+1=34个。

【名师点睛】在解答整除问题时，通常会用到以下几点：

（1）如果A是B的n倍，则（A+B）能被（n+1）整除，（A-B）能被（n-1）整除；如果A比B多n倍，则（A+B）能被（n+2）整除；

（2）如果A、B均为整数，a与b互质，且有A=B×a

b

，则A一定能被a整除，B一定

能被b整除；

例5：（2010·北京下半年）将大米300袋、面粉210袋、食用盐163袋按户分给某受灾村庄的村民，每户分得的各种物资均为整数袋，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2，则该村有多少户村民？

A．7 B．9 C．13 D．23

【答案】D

【解析一】由于余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2且都为整袋，因此余下的大米、面粉和食用盐的总袋数为6的倍数，因此三项物资的总数除以村民户数所得余数是6的倍数，代入选项验证，只有D符合条件。

【解析二】根据题意，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2，故余下的大米和食用盐的袋数和面粉的袋数相同，则有大米和食用盐的袋数减去面粉的袋数，即300+163- 210=253必能被村民的户数整除，分析选项，显然只有D项符合。

【名师点睛】假设整数A除以整数C的余数为a，整数B除以整数C的余数为b，则（A-a）-（B-b）必能被整数C整除；如果a=b，则（A-B）必能被整数C整除。

（二）奇数与偶数

根据能否被2整除，可将整数分为奇数和偶数两大类，其中能被2整除的数叫做偶数，用2k（k为整数）表示；不能被2整除的数叫做奇数，用2k+1表示。因为0能被2整除，所以0是偶数。

在行测考试数学运算部分，常用到的奇数与偶数的性质有以下几个：

（1）当两个数字相加减，且数字的奇偶性相同时，得到的和值或者差值为偶数，反之，则为奇数；

如：奇数±奇数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±偶数=偶数。

（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数；

（3）在整数的加减运算中，偶数的个数不改变结果的奇偶性，奇数的个数将会影响结果的奇偶性；

如：奇数+偶数+偶数+……+偶数-奇数=偶数；奇数+偶数+偶数+……+偶数-奇数+奇数=奇数。

即：当奇数的个数为奇数个时，加减运算后得到的结果为奇数，当奇数的个数为偶数个时，加减运算后得到的结果为偶数。

（4）在整数的乘法运算中，若乘数全部为奇数时，得到的结果为奇数，若乘数有一个或多个偶数时，得到的结果就为偶数；

如：奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数×奇数×……×奇数×偶数=偶数。

（5）多次方运算后（指数为正整数），不影响数值的奇偶性。

【经典例题】