质点运动学(1)

第一章质点运动学
基本要求
一、理解质点模型和参照系、坐标系等概念。

二、掌握位置矢量、位移、速度、加速度等物理量的概念及其关
系。

三、掌握直线运动、圆周运动及抛体运动中运动方程及速度、加
速度等物理量的计算。

四、理解运动叠加原理及其应用。

内容提要
一、参照系、坐标系和质点
参照系用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。

运动的相对性决定描述物体运动必须选取参照系。

运动学中参照系可任选，不同参照系中物体的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。

坐标系固定在参照系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。

坐标系为参照系的数学抽象。

参照系选定后，坐标系还可以任选。

在同一参照系中用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数学表述却可以不同。

常用坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等。

质点如果物体的线度和形状在所研究的现象中不起作用，或所起的作用可以忽略不计，我们就可以近似地把物体看作是一个没有大小和形状的理想物体，称为质点。

二、质点的位置矢量和运动方程
位置矢量（位矢、矢径）用来确定某时刻质点位置（用矢
1
2
端表示）的矢量。

k j i r r z y x z y x ++== ),,(
位置矢量的大小：222z y x r ++==r
位置矢量的方向余弦：r
z
r y r x ===γβαcos ,cos ,cos
运动方程 质点位置矢量坐标和时间的函数关系称为质点的运动方程。

k j i r )()()()(t z t y t x t ++= 或 )(t x x =，)(t y y =，)(t z z = 三、位移和路程
位移（矢量） 质点在一段时间（t ∆）内位置的改变（r ∆）叫作它在这段时间内的位移。

)()(t t t r r r -∆+=∆
路程（标量） 质点实际运动轨迹的长度s ∆。

注意：Δt →0时，位移大小等于路程，即r d ds = 四、速度和加速度
速度 位置矢量对时间的变化率。

平均速度：t
∆∆=
r v （瞬时）速度：dt d t t r r v =∆∆=→∆
lim 0k j i dt
dz dt dy dt dx ++=
速度方向：沿轨迹上质点所在点的切线，并指向质点前进的方向。

速度大小（速率）：dt
ds
dt d v ===r v
3
加速度 速度对时间的变化率。

平均加速度：t
ΔΔv
a =
（瞬时）加速度： 2
20ΔΔ lim dt d dt d t t r
v v a ===→∆
k j i k j i 22
2222dt z d dt y d dt x d dt
dv dt dv dt dv z y x ++=++=
加速度的方向：速度增量的极限方向。

加速度的大小：dt
d a v a == 五、直线运动
直线运动中，r ∆、v 、a 在同一条直线上，只用一维描述，
可当作标量去处理。

)(t x x =； dt dx
v =； 2
2dt x d dt dv a =
= 匀速直线运动 位置:vt x x +=0
匀加速直线运动 位置：2002
1
at t v x x ++=；
速度：)(202
02x x a v v -+= 六、圆周运动 1.加速度
切向加速度 引起速度大小改变的加速度。

dt
dv a t =
法向加速度（向心加速度） 引起速度方向改变的加速度。

4
R
v a n 2
=
加速度 n t n t a n t a a R
v dt dv +=+= 2
2.圆周运动的角量描述
角位移 θ∆ 角速度 dt
d θ
=
ω 角加速度 22dt
d dt d ωθ
β==
当β为常数时，质点作匀变速转动，此时有运动学关系
⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎨⎧-=-+=-+=)
(2 21 020220
0θθβωωβωθθβωωt t t 3.角量与线量的关系
ωR v =， βR dt dv a t ==， 22ωR R
v a n ==
七、运动叠加原理
物体同时参与几种运动时，该运动可以看作几个各自独立进
行的运动叠加而成。

竖直上抛运动 竖直向上的匀速直线运动+自由落体
202
1
gt t v y -=
竖直下抛运动 竖直向下的匀速直线运动+自由落体
202
1gt t v y +
=
5
平抛运动 水平方向上的匀速直线运动+自由落体
j i r 202
1gt t v +
=
解题方法与例题分析
一、已知运动方程（位置矢量），计算位移、速度和加速度。

计算（瞬时）速度和加速度一般用求导的方法：位置矢量（运动方程）对时间求导即为速度，速度对时间求导就是加速度。

计算位移、平均速度、平均加速度可先由始末时刻确定始末位置，再由定义计算。

例1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为
j i r 22bt at += （其中a 、b 为常量）
， 则该质点作何种形式的运动？
解 由质点的位置矢量 j i r 22bt at +=
得运动方程 ⎪⎩
⎪⎨⎧==2
2
bt y at
x 轨道方程
b a y x =， x a
b y = 质点的速度 j i r
v bt at dt
d 22+==
质点的加速度 j i v
a b a dt
d 22+==
6
质点的加速度为非零恒量，故该质点在xy 平面内作匀变速直
线运动，其轨道方程为x a
b
y =。

例2 某质点的运动方程为 x =2t –7t 3+3（SI ），则该质点作何种形式的运动？并确定加速度的方向。

解 由质点的运动方程 x =2t –7t 3+3 得质点的速度 2212t dt
dx
v -== 质点的加速度 t dt
dv
a 42-==
质点的加速度为时间的函数，故该质点作变加速直线运动；加速度为负，说明加速度方向沿x 轴负方向。

例3 一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x =5t 2– 3t 3 (SI)。

试求：
（1）在第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒末的加速度。

解 （1）由平均速度的定义：
t x v ∆∆=/
m /s 61
2)1315()2325(3232-=-⨯-⨯-⨯-⨯=
（2）由定义 2910 t t dx/dt v -==
s 2=t 时，有 s v /m 162-=
（3）由定义 dt dv a / =t 1810-= s 2=t 时，有 22m /s 26-=a
例4 在离船高度为h 的岸边，绞车以恒定的速率v 0收绳（绳原长l 0），使船靠岸，如图1—1所示，试描述船的运动。

7
解 建立如图坐标系，显然船在x 轴上作直线运动。

t 时刻绳长为
t v l l 00-=
船的运动方程为
2200)(h t v l x --= 速度为 2200000)()(h
t v l v t v l dt dx
v ----
==
方向沿x 轴负向。

加速度为 []
3
2
2
02
3
2
20022
0)(x h v h t v l h v dt dv
a -=
---
== 方向沿x 轴负向。

可见，船作加速直线运动，离岸越近，x 越小，a 越大。

例5 已知质点的运动方程x=2t ，y=4–t 2（SI ）。

试求任一时
刻质点的速度、切向加速度、法向加速度、总加速度的大小。

解 由运动方程可求得质点速度的x 、y 分量
2==
dt dx v x , t dt
dy v y 2-== 速度大小为 22
2
12t v v v y x +=+=
同理：0==
dt
dv a x
x ， 2-==dt dv a y y m/s 2 所以加速度大小为 2-==y a a m/s 2
图1—
1
8 切向加速度：212t
t dt dv a t +==
法向加速度：2
2
212t
a a a t n +=
-=
二、已知加速度及初始条件，计算速度和运动方程。

此类问题是前一类问题的逆过程，加速度对时间的积分即为
速度，速度对时间的积分就是运动方程。

解决此类问题时应注意由初始条件确定积分上下限。

例6 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标的关系为 a =3+6x 2（SI ）。

如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。

解 设质点在任意位置x 处的速度为v ，则
dt dx dx dv dt dv a ⋅==
dx
dv
v
=263x += 分离变量，两边积分：
dx x vdv v
x
)63(0
2⎰
⎰+=
得 346x x v +=
例7 一艘正在行驶的汽船，当关闭发动机后，沿一直线运动，加速度与船速的平方成正比且反向，即2kv a -=，其中常量k >0。

若关闭发动机时汽船的速度为v 0，求：
（1）关闭发动机后t 时刻的汽船速度；
（2）关闭发动机后的t 时间内，汽船行驶的距离。

解 以汽船为研究对象，由于它做减速直线运动，所以取汽船运动方向为坐标轴x 的正方向，坐标原点选择在刚关闭发动机的位置处。

9
（1）按直线运动的加速度公式有 dt
dv a = 由题意2kv a -=，代入上式，有 dt
dv kv =-2 分离变量 2
v dv kdt -
= 已知t =0时，0v v =，并设t 时刻的速度为v ，对上式取定积分
2
v dv dt k v
v t ⎰⎰-
= ∴ 1
00
+=
t kv v v
（2）由 dt
dx v = 有
1
00+=t kv v dt dx 分离变量，两边取定积分，有
dt t kv v dx t x 10000+=⎰⎰ 由此得汽船的运动方程为 )1ln(1
0+=t kv k
x 汽船在t 时间内行驶的距离
0)1ln(1||00-+=
-=∆t kv k x x s )1ln(1
0+=t kv k
例8 一质点从静止出发沿半径为R =3m 的圆周运动，切向加速度为2s m 3-⋅=t a 。

求：
（1）经过多少时间它的总加速度a 恰好与半径成45º角？
10 （2）在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？ 解 已知3==
dt
dv
a t ，即 dt dv 3= 由初始条件: t =0时，00=v ，得质点的瞬时速率
⎰⎰===t
v
t dt dv v 0
33
质点的法向加速度的大小为 22
233
)3(t t R v a n ===
这样总加速度为：n t a a a n t 233t +=+=
其中n 为沿半径指向圆心的单位矢量，t 为切向单位矢量。

（1）设总加速度与半径夹角为α， 则有： n a a =αcos ， t a a =αsin
当α=45º时，有n t a a =，即要求
3t 2 =3，t =1s （另一负根舍去）
所以t =1s 时，总加速度a 与半径成45º角。

（2）由
v dt
ds
= 和初始条件：t =0时，s 0=0 ，得： ⎰⎰===202
33t tdt vdt s t
将t =1s 代入，求出这段时间内的路程：
m 5.112
32
32
1
2
1=⨯=
==t t s 由角位移与路程的关系 R
s =
θ
11
当t =1s 时, rad 5.03
5.111===R s θ 三、利用角量与线量的关系解题。

例9 质点P 在水平面内沿一半径为R =1m 的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t 的函数关系为ω =kt 2（k 为常量）。

已知t =2s 时质点P 的速率为16m/s ，试求t =1s 时，质点P 的速度与加速度的大小。

解 首先确定k 值：2/t k ω=2/Rt v =22rad/s 42
116=⨯=
所以有 24t =ω， ωR v =24Rt =
s 1=t 时，24Rt v =m/s 4= dt dv a t /=Rt 8=2m /s 8=
R v a n /2=2s /m 16=
22t n a a a +=2m /s 58=
习 题
一、选择题
1、一质点在xy 平面内运动，其运动方程为2,ct b y at x +==，式中a 、b 、c 均为常数。

当运动质点的运动方向与x 轴成45º角时，它的速率为[ ]。

A ．a ；
B ．a 2；
C ．2c ；
D ．224c a +。

12 2、一质点以匀速率在xy 平面内运动，如图1—2所示。

则经轨道上的a 、b 、c 、d 四点时，质点的加速度最大的点是[ ]。

A ．a B ．b C ．c D ．d 3、设木块沿光滑斜面从下端开始往上滑动，然后下滑，则
4、对斜抛运动，正确的说法是[ ]。

A ．在最高点，物体的切向加速度为零；
B ．在最高点，物体的速度为零；
C ．在起抛点，物体的速度最大，因此在该点物体的法向加速度也最大；
D ．如起抛点和落地点在同一水平面上，则抛射角为（α+ 45）和（α- 45）时，射程相同。

二、填空题
1、一质点沿x 轴运动，其运动方程为225t t x
-+=（SI ）。

质
13
点的初速度为 ，第4秒末的速度为 ，第4秒末的加速度为 。

2、一质点以πm/s 的匀速率作半径为5m 的圆周运动。

该质点在5s 内的平均速度的大小为 ，平均加速度的大小为 。

3、 质点作直线运动，其速度与时间的关系曲线如图1—4所示。

图中过A 点的一切线AC 的斜率表示 ，割线AB 的斜率表示 ，曲线下的面积()⎰21t t dt t v 表示 。

4、一质点沿半径为0.1m 的圆周运动，其运动方程为22t +=θ（SI ）。

质点在第一秒末的速度为 ，切向加速度为 。

三、计算题
1、一质点沿y 轴作直线运动，它在t 时刻的坐标为
3225.4t t y -=（SI ）。

试求： （1）1～2秒，1～1.5秒，1～1.1秒，1～1.01秒内质点的位移和平均速度；
（2）1秒末和2秒末的瞬时速度；
（3）第2秒内所通过的路程；
（4）第2秒内质点的平均加速度以及1秒末和2秒末的瞬时加速度；
（5）说明该质点的运动情况和速率变化情况（1～3秒内）。

2、已知质点的运动方程为t x 2=，24t y -=（SI ）。

试求：
14 （1）计算轨道方程并图示质点的运动轨道；
（2）第1秒和第2秒末质点的位置矢量及第2秒内质点的平均速度；
（3）第2秒末质点的速度和加速度。

3、已知重力加速度为g ，忽略空气阻力，试分析当质点以初速度0v ，方向与水平线成0θ角方向抛出时，质点的运动方程。

（提
示：已知加速度和初始条件，用积分法求运动方程。

）
4、简要叙述直线运动中怎样用正负号表示位移、速度、加速度等物理量的方向。

5、一升降机高2米，以10米/秒的速度匀速垂直上升，某时刻升降机的上顶部脱落一螺钉，经过多长时间螺钉掉到升降机的底面。

6、已知质点的运动方程为t R x ωcos =，t R y ωsin =（式中R 和ω均为常数）。

试求：
（1）轨道方程；
（2）任意时刻的速度和加速度；
（3）任意时刻的切向加速度和法向加速度。

7、一人站在山坡上，山坡与水平面成α角，他扔出一个初速为v 0的石子，v 0与水平面成θ角（斜向上）,如图1—5所示。

求石子在斜坡上由抛出点到落地点的距离s 。