单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法

矩阵单纯形法计算的描述
对 偶 问 题
初始单纯形表
非基变量 基变量
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0
Xs cj zj
b
XB B CB
XN N CN
Xs I 0
初始基变量
矩阵单纯形法计算的描述
对 偶 问 题
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
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CB
X B B 1b cj zj
单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
返回
非基变量
基变量
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
约束方程组 XB AX b ( B N ) X N BX B NX N b
1
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~ ~ X B B (b NX N ) b NX N ~ ~ 1 其中 b B b, N B1N
当前基解
XB I 0
XN Xs B 1 N B C N CB B 1 N CB B 1
当前检验数
修正单纯形法简介
对 偶 问 题
原因：
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单纯形法的目的是要求问题的最优解， 而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大。因此，对单纯形法进 行修正。
思路：
~ ~ 每次迭代关键求出 B , Pk b , Pk , j ,i
1 ' 1 aik 1 Bold ' Bold a lk 1 B old ' a lk
x l 时，
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il il
B
new
修正单纯形法简介
对 偶 问 题
有关公式：
确定新的换入变量
1
j c j CB B Pj c j Pj
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其中 C B B 1 单纯形乘子（行向量） ~ ~ 1 1 Pk B Pk , b B b i
确定新的换出变量
修正单纯形法简介
对 偶 问 题
修正单纯形法要点：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
寻求初始可行解，方法与单纯形法相同。 其迭代过程如下：

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确定换入变量，方法与单纯形法相同。 确定换出变量，方法与单纯形法相同。 确定新的基可行解： 首先导出B-1 然后计算XB= B-1 b 迭代终止原则与单纯形法相同。
令
XN 0
得当前的目标函数值为：
~ 1 z0 CBb CB B b
当前目标值
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
检验数 ~ N C N CB N
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~ ~ (Cm1 Cn ) (C1 Cm )( Pm1 Pn ) ~ n 1 Cm1 C B Pm1 当前检验数 ~ n Cn C B Pn
第五节
单纯形法的进一步讨论
继续
----单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
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单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
设线性规划问题
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不妨设基为
max z CX s.t AX b X 0
则
返回
B P1 P2 Pm A ( P1 P2 Pn ) ( B N ) X (XB XN ) C (CB CN )
当前 x j 对应的系数列
~ 1 其中 Pj B Pj
矩阵单纯形法计算的描述
对 偶 问 题
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线性规划问题 max z CX AX b s.t. X 0 化为标准型，引入松弛变量 X s

max z CX 0 X s AX IX s b s.t. X 0, X s 0
1
需要换入的变量对应的列
修正单纯形法简介
对 偶 问 题
修正单纯形法的优点：
能够从问题的原来参数（A，b，C），
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计算出单纯形表中所有的数据，只要导 1 B 出 即可。 单纯形表中的任一数字，只要作部分的 矩阵乘法即可获得。
修正单纯形法简介
对 偶 问 题
有关公式：
当换入变量 xk ，换出变量 新的 B 1为：
令
XN 0
~ 1 XB b B b
得当前的基解为： 当前基解
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
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目标函数 XB z (C B C N ) X CB X B C N X N N 1 1 C B B b (C N C B B N ) X N ~ ~ C B b (C N C B N ) X N