初中数学中考复习：尺规作图及命题、证明

• 【解析】(1)如图，⊙O即为所求．
•
(2)证明：由作图可知AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°，
•
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴∠ABE＝∠ADC，
•
∵���෢��������� = ���෢���������∴∠������ = ∠C
•
∴△ABE∽△ADC，∴������������������������
=
������������，即 6
������������
������������
=
58，∴AE＝9.6.
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考点四：尺规作图的综合应用
• 【例】(1)(2018·嘉兴、舟山)用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错 误的是( )
• (2)(2018·杭州拱墅区二模)如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，分别以A、C为圆心，以大于
1 2
AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AD于点E，则△CDE的周长是(
B
)
•
A．7
B．10
C．11
D．12
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考点四：尺规作图的综合应用
• 【例】(2018·湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作 图考他的大臣：
• ①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点； • ②分别以点A、D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点； • ③连结OG. • 问：OG的长是多少？ • 大臣给出的正确答案应是( )
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考点三：与圆有关的尺规作图 • 与圆有关的尺规作图：
• (1)过不在同一条直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)； • (2)作三角形的内切圆； • (3)作圆的内接正方形及正六边形．
• 有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见的类型．
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考点三：与圆有关的尺规作图
• 【例 如图，已知△ABC，∠B＝40°.
• 【答案】D
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考点四：尺规作图的综合应用
• 【例】如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为���෢���������的中点，P是 直径MN上一动点．
• (1)利用尺规作图，确定当PA＋PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)； • (2)求PA＋PB的最小值．
• 其中原命题与逆命题均为真命题的是( )
•
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
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解析：
• 【解析】①在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则sin A＞sin B，原命题为真命题，
•
逆命题是在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＞sin B，则∠A＞∠B，逆命题为真命题；
•
②四条线段a，b，c，d中，若������������ = ������������，则ad＝bc，原命题为真命题，
•
然后以点A为圆心，c为半径画弧交l于B，
•
连结AB，则△ABC即为所作．
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方法归纳：
• 作图题的一般步骤：
• (1)已知； (2)求作； (3)分析；
(4)作法； (5)证明； (6)结论．
• 其中步骤(3)(4)(5)一般不作要求，但作图时，一定要保留作图痕迹，作图不要忘记 写结论．
• 【思维提升】复杂作图都是在基本作图的基础上进行作图的，解答此类作图题的关 键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作 图，逐步操作．
• 【解析】(1)如图1，⊙O即为所求．
•
(2)如图2，连接OD，OE，
•
∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，
•
∵∠B＝40°，∴∠DOE＝140°，∴∠EFD＝70°.
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思维提升：
• 掌握圆的基本性质，以及点与圆、直线与圆的位置关系，结合几何图形的 基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，完成证明及计算过程．
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解析：
• 【解析】(1)如图1所示，点P即为所求．
•
(2)由(1)可知，PA＋PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，如图2，
•
∵点A′为点A关于直线MN的对称点，∠AMN＝30°，
•
∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，
•
∵点B为���෢���������的中点，
•
∴���෢��������� = ���෢���������，
26
解析：
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考点五：命题、定理、证明 • 定义与命题：
• (1)能清楚地规定某一名词或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义． • (2)判断某一件事情的句子叫做命题．正确的命题称为真命题；不正确的命题称为
假命题．每个命题都由条件和结论两部分组成． • 一般的命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条
•
逆命题是四条线段a，b，c，d中，若ad＝bc，则������������ = ������������，逆命题为真命题；
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解析：
• 【解析】如图，连结CD，AC，DG，AG，AD．
•
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.
•
在Rt△ACD中，AD＝2r，∠DAC＝30°，∴AC＝ 3r.
•
∵DG＝AG＝CA，OD＝OA，∴OG⊥AD，∴∠GOA＝90°，
•
∴OG= ������������2 − ������������2 = 3������ 2 − ������2 = 2������.
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考点三：与圆有关的尺规作图
• 【练】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D. • (1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：作△ABC的外接圆⊙O，作直径AE，连接BE； • (2)若AB＝8，AC＝6，AD＝5，求直径AE的长．(证明△ABE∽△ADC)
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解析：
• 【点拨】由于三角形的外心是三边中垂线的交点，作三角形任意两边的垂直平分线，它们 的交点即为外接圆的圆心，确定了圆心即可画出三角形的外接圆．
3
考点一：基本尺规作图
• (4)作一条线段的垂直平分线；
(5)过一点作已知直线的垂线．
4
考点一：基本尺规作图
• 【例】下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线； ③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线．则对应选项中作法错误 的是( )
•
A. ①
B. ②
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考点五：命题、定理、证明
• 【例】(包头)已知下列命题：
• ①在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则sin A＞sin B； • ②四条线段a，b，c，d中，������������ = ������������，则ad＝bc； • ③若a＞b，则a(m2＋1)＞b(m2＋1)；
• ④若|－x|＝－x，则x≥0.
C. ③
D. ④
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解析：
• 【解析】①是作一个角等于已知角的正确方法；
•
②是作一个角的平分线的正确作法；
•
③是作一条线段的垂直平分线，但缺少另一个交点，作法错误；
•
④是过直线外一点P作已知直线的垂线的正确作法．
• 【思维提升】尺规作图的关键：①先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
•
②读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
•
∵∠CDA为△ABD的一个外角,
•
∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°.
•
∵AD=AC,∴∠C=∠CDA=50°.
• 【答案】 C
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考点一：基本尺规作图
• 【练】尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：已知线段a和∠AOB，点M在OB上(如图所 示)．
•
①在OA边上作点P，使OP＝2a； ②作∠AOB的平分线； ③过点M作OB的垂线．
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考点五：命题、定理、证明 • 互逆命题与互逆定理：
• (1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的 结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫 做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
• (2)如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么它就是原定理的逆定理，这两 个定理叫做互逆定理．例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平 行”是互逆定理．
Leabharlann BaiduD．若甲错，则乙对
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解析：
• 【点拨】设只参加一项的人数为x人，则两项都参加的人数为y人，则y＝20－x.
•
若甲对，即x>14，则y<6，则乙错，故A不是真命题；
•
若乙对，即y<5，则20－x＜5，∴x>15，当然也就大于14，故B是真命题；
•
若乙错，即y≥5，则20－x≥5，∴x≤15，当y＝5时，x＝15，则甲对，故C不是真命
7
解析：
• 【 径例作】弧[,两20弧18相·凉交山于州M],如N两图点,在;②△作AB直C线中M,按N以交下BC步于骤D作,连图结:①AD分.若别A以DA=,ABC为,∠圆B心=,2大5°于,则12A∠BC长=为( 半)
•
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
• 【解析】由作图可知MN为线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠DAB=∠B=25°,
• 【例】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． • 已知：线段c，直线l及l外一点A. • 求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.
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解析：
• 【解析】在直线l另一侧取点P，以点A为圆心，AP为半径画弧交直线l于M、N，
•
再作线段MN的垂直平分线交l于C，
• (1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F
•
(保留痕迹，不必写作法)；
• (2)连接EF，DF，求∠EFD的度数．
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解析：
• 【点拨】由于三角形的内心是三个角平分线的交点，所以作出任意两个角的角平分线，它 们的交点即为内切圆的圆心；然后过圆心作边的垂线，确定半径，继而可求得三角形的内 切圆．
题；
•
若甲错，即x≤14，则y≥6，则乙错，故D不是真命题．
•
根据以上分析，故选B.
• 【答案】 B
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考点五：命题、定理、证明 • 基本事实与定理：
• (1)经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为 基本事实．例如，“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”．
• (2)用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．例如，“对顶角相等”，“三角形任何 两边的和大于第三边”．
• (1)已知三边作三角形； • (2)已知两边及其夹角作三角形； • (3)已知两角及其夹边作三角形； • (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； • (5)已知一直角边和斜边作直角三角形． • 【温馨提示】求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的判定
定理来进行的．
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考点二：利用尺规作三角形
1 2
AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AD于点E，则△CDE的周长是(
)
•
A．7
B．10
C．11
D．12
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解析：
• 【例】(1)(2018·嘉兴、舟山)用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错 误的是( C )
• (2)(2018·杭州拱墅区二模)如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，分别以A、C为圆心，以大于
件，“那么”后面的部分是结论．
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考点五：命题、定理、证明
• 【例】(台州)某班有20位同学参加围棋、象棋比赛．甲说：“只参加一项的人数大于14人．” 乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命 题的是( )
•
A．若甲对，则乙对
B．若乙对，则甲对
•
C．若乙错，则甲错
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解析：
• 【解析】①在OA上截取OP＝2a即可求出点P的位置；
•
②根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；
•
③以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，
•
作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线．
•
作图如右图所示：
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考点二：利用尺规作三角形
• 根据基本作图作三角形：
•
③作图时，要保留作图痕迹．
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考点一：基本尺规作图
• 【 径例作】弧[,两20弧18相·凉交山于州M],如N两图点,在;②△作AB直C线中M,按N以交下BC步于骤D作,连图结:①AD分.若别A以DA=,ABC为,∠圆B心=,2大5°于,则12A∠BC长=为( 半)
•
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
尺规作图及命题、证明
命题趋势：
• 主要是考查利用尺规作图解决实际问题的能力，中考试题题型主要以设计 、探究形式的解答题为主．
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考点一：基本尺规作图 • 尺规作图：在几何作图里，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称为尺规
作图.
• 基本作图：
• (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作一个角的平分线；