2020_2021学年新教材高中数学第1章集合1.1集合的概念与表示第1课时集合的含义教学案含解析苏教版必修第一册

1.1 集合的概念与表示

第1课时集合的含义

学

习目标核心素养

1．通过实例理解并掌握集合的有关概念．

2．初步理解集合中元素的三个特征．(重点)

3．体会元素与集合的属于关系．(重点)

4．掌握常用数集及其专用符号，初步认识用集合语言表示有关数学对象．(重点、易错易混点) 通过本节内容的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．

高一开学第一天，学校通知：上午9点，在学校操场举行新学期的第一次升旗仪式，这个通知的对象是全体在校师生还是个别对象？参加升旗仪式的师生能否构成一个集合？初中阶段，我们学习过哪些集合？

1．元素与集合的概念

一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．

2．集合中元素的特征

集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．

思考：假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合”，你去集合吗？

[提示]不知道，不清楚自己到底是不是高个子．

3．元素与集合的表示

(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．

(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．

4．元素与集合的关系

(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．

(2)不属于(符号：或∈)，a 不是集合A 中的元素，记作a A 或a ∈A ，读作“a 不属于A ”．

5．常用数集及表示符号

名称 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号

N

N *

或N ＋

Z Q R

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)漂亮的花可以组成集合．

( ) (2)在一个集合中可以找到两个(或两个以上)相同的元素．

( )

[提示] (1)因为“漂亮”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．

(2)因为集合中的元素具有互异性，故在一个集合中一定找不到两个(或两个以上)相同的元素．

[答案] (1)× (2)×

2．由单词different 中的字母构成的集合是 ．

{d ，i ，f ，e ，r ，n ，t } [由集合中元素的互异性知，重复的字母只能算一个，故字母有d ，i ，f ，e ，r ，n ，t ．]

3．用“∈”或“”填空．

3.5 N ；－4 Z ；0.5 R ； 2 N *

；13 Q ．

∈ ∈

∈ [因为3.5不是自然数，故3.5N ；

因为－4是整数，故－4∈Z ； 因为0．5是实数，故0．5∈R ； 因为2不是正整数，故2N *

； 因为13是有理数，故1

3

∈Q ．]

集合的含义

(1)无限接近零的数；

(2)方程x 2

－2x －3＝0的所有解；

(3)平面直角坐标系中，第一象限内的所有点．

[思路点拨] 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定． [解] (1)不能．因为“无限接近”标准不明确，不具有确定性，不能构成集合． (2)能．因为方程x 2

－2x －3＝0的解为x 1＝3，x 2＝－1确定，所以可以组成集合，集合中有两个元素3和－1．

(3)能．因为第一象限内的点是确定的点．

一般地，确认一组对象a 1，a 2，a 3，…，a n 能否构成集合的过程为：

[跟进训练]

1．判断下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负数；

(2)方程x 2

－9＝0在实数范围内的解； (3)某校2020年在校的所有高个子同学； (4) 3的近似值的全体．

[解] (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合． (2)能构成集合．

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．

(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．

元素与集合的关系

【例2】 所给下列关系正确的序号是 ． ①－1

2∈R ；②2Q ；③0N *；④|－3|N *

．

[思路点拨] 注意各个数集的范围，尤其是其中的特殊数值． ①②③ [－1

2

为实数，2是无理数，

0为自然数，但非正整数，|－3|＝3为正整数． 故①②③正确，④错误．]

1．由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立．

2．符号“∈”和“”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系． 3．“∈”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合．

[跟进训练]

2．设不等式3－2x <0的解集为M ，下列关系中正确的有 ．(填序号) ①0∈M,2∈M ；②0M,2∈M ；③0∈M,2M ；④0M,2M ．

② [本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x <0的解即可，当x ＝0时，3－2x ＝3>0，所以0M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1<0，所以2∈M ．]

集合元素的特征

1．某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合定义中“某些确定的”含义是什么？

[提示] 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．“某些确定的”含义是集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个对象在不在这个集合中就确定了．

2．有同学说，在某一个集合中有a ，－a ，|a |三个元素，他说的对吗？

[提示] 这种说法是错误的，因为|a |＝⎩⎪⎨

⎪⎧

a a ≥0，－a a <0，

且若a ＝0，则a ，－a ，|a |均

为0，这些均与元素的互异性矛盾．

3．“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？

[提示] 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．

【例3】 若集合A 中有三个元素a －3,2a －1，a 2

－4，且－3∈A ，求实数a 的值． [思路点拨] 按－3＝a －3或－3＝2a －1或－3＝a 2－4分三类分别求解a 的值，注意验证集合A 中元素是否满足互异性．

[解] (1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时满足题意；

(2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时a 2

－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (3)若a 2

－4＝－3，则a ＝±1．当a ＝1时，满足题意； 当a ＝－1时，由(2)知，不满足题意． 综上可知，a ＝0或a ＝1．