利用空间向量求角和距离典型例题精讲

9．8用空间向量求角和距离
一、明确复习目标
1．了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量； 2．理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离.
二．建构知识网络
1．求角：
（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角； （2）直线和平面所成的角： ①找出射影，求线线角；
②求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面角为
θ,则|cos ,|||||||
n a
sin n a n a θ⋅=<>=⋅.
（3）二面角：
①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）； ②求两个法向量的夹角（或补角）. 2．求距离
（1）点M 到面的距离||cos d MN θ=
（如图）就是斜线段MN 在法向量n 方向上的正投影. 由||||cos ||n NM n NM n d θ⋅=⋅⋅=⋅ 得距离公式：||
||
n NM d n ⋅=
（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；
（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量n 和连接两异面直线上两点的向量NM ，再代上面距离公式.
三、双基题目练练手
1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 （ ） ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.3 B.2 C.1
D.0
2． 直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA =90°，D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ）
A ．1030
B . 21
C ．15
30 D ．1015
3．已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k = ___ 4． 已知A （3，2，1）、B （1，0，4），则线段AB 的中点坐标和长度分别是 ， .
◆答案提示： 1. C ； 2. A ； 3. 5
7；
4.（2，1，2
5），d AB =
17
四、以典例题做一做
【例1】 (2005江西)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD =AA 1=1，AB =2，点E 在棱AB 上移动.（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π
.
解：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ,y ,z
轴，建立空间直角坐标系，设AE =x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）
（1）11(1,0,1)(1,,1)DA D E x ⋅=⋅-因为110,.DA D E =⊥所以 （２）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ， 设平面ACD 1的法向量为,n n 则不与y 轴垂直,可设
(,1,)n a c =，则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅,
0,
01AD n AC n
也即200a a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a a c
=⎧⎨
=⎩，从而)2,1,2(=n ， ∴点E 到平面AD 1C 的距离:
.3
1
3212|
|||1=-+=
⋅=
n n E D h （3）1(1,2,0),(0,2,1),CE x DC =-=-1(0,0,1),DD = 设平面D 1EC 的法向量(,1,)n a c =，
由10,20
(2)0.0,
n D C c a x n CE ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨
⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ ).2,1,2(x n -= 依题意11||2cos 4
2
||||
n DD n DD π⋅==⋅222.2
(2)5
x ⇒
=
-+
∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE =32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为
4
π
【例2】（2005全国）已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，
且P A =AD =DC =2
1AB =1，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面P AD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.
（Ⅰ）证明：因为P A ⊥PD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)2
1
N
M B A _ D C
y
x
P
z
(0,0,1),(0,1,0),AP DC == 0,.AP DC AP DC ⋅=⊥故所以
又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面P AD .
又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
||2,||5,2,10
cos ,5||||AC PB AC PB AC PB AC PB AC PB ==⋅=⋅∴<>==⋅故
由此得AC 与PB 所成的角为.5
10
arccos
（Ⅲ）解：设平面ACM 的法向量为(,,1)n x y =， 由1,(0,1,)2n AC AM =垂直于得：11(,,1)22n =-
设平面BCM 的法向量为(,,1)m x y =同上得
11(,,1)22m =- ∴1
cos ,3
m n <>=
结合图形可得二面角A -MC -B 为1
arccos
3
π- 解法2：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=
1(1,1,),(1,0,),
21
1,1,..
2
NC x y z MC x y z λλ=---=-∴=-==
要使,0AN MC AN MC ⊥⋅=只需140,.25
x z λ-==即解得
41212
,(,1,),0.,(,1,),
5555512
(,1,),0
55
N AN MC AN BN BN MC λ=⋅===-⋅=可知当时点坐标为能使此时有 0,0,.AN MC BN MC AN MC BN MC ANB ⋅=⋅=⊥⊥∠由得:所以
为所求二面角的平面角.
30304
||,||,.555AN BN AN BN =
=⋅=-2cos(,).3||||
AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅ 2
arccos().3
-故所求的二面角为
【例3】如图，AF DE 分别是⊙O ⊙O 1的直径 AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE //AD (Ⅰ)求直线BD 与EF 所成的角；
(Ⅱ)求异面直线BD 和EF 之间的距离.
解：(Ⅰ)以O 为原点，BC AF OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如
图所示），
则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0
，23，0） 所以，(32,32,8),(0,BD FE =--=-
cos ,|
|||
BD FE BD EF
BD FE •<>=
==设异面直线BD 与EF 所成角为α，则cos |cos ,|10
BD EF α=<>= 直线BD 与EF
所成的角为10
82arccos
(Ⅱ)设向量(,,)n
x y z =与BD 、EF 都垂直，则有
80
80
z z ⎧--+=⎪⇒⎨
-+
=⎪⎩0,8,x y z ===取得 (0,8,3n = ∴ BD
、EF 之间的距离
2||8||8n DE d n ⋅=
==
五．提炼总结以为师
1.求线线角、线面角、二面角的方法：
2．求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：
同步练习 9.8用空间向量求角和距离
【选择题】
1．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为 （ ）
A （41，41，4
1） B （43
，43，43）
C （
31，31，31） D （32，32，3
2） 2．在正方体A —C 1中，E 、F 分别为D 1C 1与AB 的中点，则A 1B 1与截面A 1ECF 所成的角为 ( )
A ．arctan 2
B ．arccos 2
1
C ．arcsin 31
D ．都不对
【填空题】
3.已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角
θ的大小是_________.
4．二面角α—l —β的平面角为120°，A 、B ∈l ，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，若AB ＝AC ＝BD ＝l ，则CD 的长为 ． ◆答案提示：1.A ; 2. A ; 3.120°; 4. 2 【解答题】
5. 设A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），求D 到平面ABC 的距离.
解：∵A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8）， ∴(7,7,7)AD =--;
设平面ABC 的法向量n =（x ，y ，z ），则n ·AB =0，n ·AC =0，
∴⎩
⎨⎧=⋅=-⋅,0)6,0,4(),,(,0)1,2,2(),,(z y x z y x
即⎪⎩⎪⎨⎧
-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+-.
,23064022z y z x z x z y x 令z =－2，则n =（3，2，－2）由点到平面的距离公式：
||
AD n d n ⋅=
=
222
|3(7)2(7)27|32(2)⨯-+⨯--⨯++-=1749=171749. ∴点D 到平面ABC 的距离为17
1749.
6．（2004浙江文）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB =
2
，AF =1，M 是线段EF 的中点.
（Ⅰ）求证AM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证AM ⊥平面BDF ； （Ⅲ）求二面角A —DF —B 的大小；
解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.
设N BD AC = ，连接NE ，
则点N 、E 的坐标分别是（)0,2
2,2
2、（0,0,1）,
∴NE =()1,2
2,2
2--,
又点A 、M 的坐标分别是 )0,2,2(、（)1,2
2,22. ∴ AM =（)1,2
2,2
2--
∴NE =AM 且NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM . 又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDF .
（Ⅱ）),1,2
2,2
2(--=AM
(2,0,0),(0,D F DF ∴=
0,.
,,.
AM DF AM DF AM BF DF BF F AM BDF ∴⋅=⊥⊥⋂=∴⊥所以同理又平面
（Ⅲ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ∩AD =A ， ∴AB ⊥平面ADF .
,,0)1,2
2,22()1,22,22
(,0)0,2,2()1,22
,22(.)0,0,2(NF NE DB NE NF NE DB NE DAF AB ⊥⊥=⋅-
-=⊥=-⋅--=⋅-=∴得的法向量为平面
6060.
21
,cos .的大小是即所求二面角的夹角是与的法向量为平面B DF A NE AB NE AB BDF NE --∴>=<∴∴
7.（2004全国·河北）如下图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面P AD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.
（1）求点P 到平面ABCD 的距离； （2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小
.
解（1）：如下图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O .连结OB 、OA 、OD ，OB 与AD 交于点E ，连结PE .
∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB . ∵P A =PD ，∴OA =OD . 于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD .由此知∠PEB 为面P AD 与面ABCD 所成二面角的平面角，∴∠PEB =120°，∠PEO =60°.由已知可求得PE =3，
∴PO =PE ·sin
×
23=23
，即点P 到平面ABCD 的距离为2
3. （2）解法一：如下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA .
P （0，0，
23），B （0，233，0），PB 中点G 的坐标为（0，433，4
3），连结AG .
又知A （1，2
3
，0），C （－2，2
3
3
，0）.
由此得到GA =（1，－
4
3
，－4
3），
PB =（0，2
33
，－2
3），BC =（－2，0，0）.
于是有GA ·PB =0，BC ·PB =0，
∴GA ⊥PB ，BC ⊥PB . GA ，BC 的夹角θ等于所求二面角的平面角. 于是cos θ|
|||BC GA =－7
72，
∴所求二面角的大小为π－arccos 7
72.
解法二：如下图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ， 则AG ⊥PB ，FG ∥BC ，FG =
2
1
BC .
∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB .∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG .
又∵PE =BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG =60°.
在Rt △PEG 中，EG =PE ·cos 60°=2
3
，
在Rt △GAE 中，AE =2
1AD =1，于是tan ∠GAE =AE
EG =
2
3.
又∠AGF =π－∠GAE ， ∴所求二面角的大小为π－arctan
2
3.
8. 如图，已知四边形ABCD 、EADM 和MDCF 都是边长为a 的正方形，点P 、Q 分别是ED 和AC 的中点 求：（1）PM 与FQ 所成的角；
（2）P 点到平面EFB 的距离；
（3）异面直线PM 与FQ 的距离
解：建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0）、A （a ，0，0）、B （a ，a ，0）、C （0，a ，0）、M （0，0，a ）、E （a ，0，a ）、F （0，a ，a ），
则由中点坐标公式得P （
2a ,0,2a ）、Q （2a ,2
a
,0） （1）∴PM =（－2
a ，0，2
a ），FQ =（2
a ，－2
a ，－a ），
PM ·FQ =(－
2a )×2a +0+2a ×(－a )=－4
3a 2
， 且|PM |=
2
2a ，|FQ |= 2
6
a .
∴cos 〈PM ，FQ 〉=||||PM FQ PM FQ ⋅=a a a 2
6
224
32⨯-=－23.
故得两向量所成的角为150°
（2）设n =（x ，y ，z ）是平面
EFB 的法向量， 即n ⊥平面EFB ，∴n ⊥EF ，n ⊥BE .
E
C
又EF =（－a ，a ，0），EB =（0，a ，－a ），
即有00
ax ay x y z ay az -+=⎧⇒==⎨-=⎩， 取1x =，则(1,1,1)n =.
∵ PE =（2a ，0，2a ）. ∴ 设所求距离为d ，则||PE n d n ⋅== 33a .
（3）设m =（x 1，y 1，1）是两异面直线的公垂线的方向向量，
则由PM =（－2a ，0，2a ），FQ =（2a ，－2
a ，－a ），
得111110221022
a a x x y a a x y a ⎧-+=⎪⎪⇒=-=⎨⎪--=⎪⎩, 而MF =（0，a ，0） 所求距离||MF m
m m ⋅==3
3a . 9．在60°的二面角的棱上，有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB =4，AC =6，BD =8.
⑴求CD 的长度； ⑵求CD 与平面α所成的角
解：⑴因为,60,AC BD <>=
,120.CA BD CD CA AB BD <>==++所以又，故有
22222||()()
222CD CD CA AB BD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD CA BD ==++++=+++⋅+⋅+⋅， ∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴.0,0=⋅=⋅BD AB AB CA
22221||64826868.||2172
CD CD ∴=++-⨯⨯⨯=∴=. （2）过C 作CE ⊥平面α于E ，连接AE 、CE 在△ACE 中，CE =6sin 60°=33，连接DE ，则∠CDE 就是CD 与平面α所成角。

33351sin .34
217351
arcsin 34CE CDE CD CDE ∠===∠=所以。