但是随机误差的分布规律表明
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第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-1
一、置信度与m的置信区间
3-4 有限测定数据的统计处理
日常分析中测定次数是很有限的，总体平均值 自然不为人所知。但是随机误差的分布规律表明， 测定值总是在以 m 为中心的一定范围内波动，并有 着向 μ 集中的趋势。因此，如何根据有限的测定结 果来估计 μ 可能存在的范围（称之为置信区间）是 有实际意义的。该范围愈小，说明测定值与 m 愈接 近，即测定的准确度愈高。但由于测定次数毕竟较 少，由此计算出的置信区间也不可能以百分之百的 把握将m包含在内，只能以一定的概率进行判断。
4
第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-5
注意： m是确定且客观存在的，它没有随机性 。而区间x±uσ或 x u x是具有随机性的，即它们 均与一定的置信度相联系。因此我们只能说置信区间 包含真值的概率是0.95，而不能认为真值落在上述区 间的概率是0.95。 （二）已知样本标准偏差s时 在实际工作中，通过有限次的测定是无法得知m 和σ的，只能求出 x 和s。而且当测定次数较少时，测 定值或随机误差也不呈正态分布，这就给少量测定数 据的统计处理带来了困难。此时若用s代替s从而对m 作出估计必然会引起偏离，而且测定次数越少，偏离 就越大。如果采用另一新统计量tP,f取代u(仅与P有关)， 上述偏离即可得到修正。 5
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第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-7
f=∞
f=5 f=1
图3-6 t分布曲线
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第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-8
与正态分布曲线一样，t分布 曲线下面某区间的面积也表示随机 误差在此区间的概率。但t值与标 准正态分布中的u值不同，它不仅 与概率还与测定次数有关。不同置 信度和自由度所对应的t值见表3-2 中。
m x u
(3-14b)
2
第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-3
由于平均值较单次测定值的精密度更高，因此 常用样本平均值来估计真值所在的范围。此时有
m x u x x u
n
(3-17)
式（3-14b）和式（3-17）分别表示在一定 的置信度时，以单次测定值x或以平均值为中心的 包含真值的取值范围，即m的置信区间。在置信区 间内包含m的概率称为置信度，它表明了人们对所 作的判断有把握的程度，用P表示。u值可由表3-1 中查到，它与一定的置信度相对应。
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第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-9
t值 P f(n-1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 60 120 ∞
表3-2 tP，f值表（双边） 90% 95% 99%
6.31 2.92 2.35 2.13 2.02 1.94 1.90 1.86 1.83 1.81 1.72 1.70 1.67 1.66 1.64 12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.23 2.09 2.04 2.00 1.98 1.96 63.66 9.92 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.35 3.25 3.17 2.84 2.75 2.66 2.62 2.58
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第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-2
（一） 已知总体标准偏差σ时 对于经常进行测定的某种试样，由于已经积累 了大量的测定数据 ，可以认为 σ 是已知的。根据 （3-14）式并考虑u的符号可得：
x m u
(3-14a)
由随机误差的区间概率可知，测定值出现的概 率由 u 决定。例如，当 u=±1.96 时。 x 在 μ-1.96σ 至 μ+1.96σ 区间出现的概率为 0.95 。如果希望用单次 测定值x来估计μ可能存在的范围，则可以认为区间 x±1.96σ能以0.95的概率将真值包含在内。即有
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第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-4
在对真值进行区间估计时，置信度的高低要定 得恰当。一般以95%或90%的把握即可。 式（3-14b）和式（3-17）还可以看出置信区间 的大小取决于测定的精密度和对置信度的选择，对 于平均值来说还与测定的次数有关。当 σ 一定时， 置信度定得愈大，∣ u∣值愈大，过大的置信区间 将使其失去实用意义。若将置信度固定，当测定的 精密度越高和测定次数越多时，置信区间越小，表 明x或 x 越接近真值，即测定的准确度越高。 例题1：
第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-5
t分布法：t值的定义：
t P, f
xm s
(3-18)
t分布是有限测定数据及其随机误差的分布规律。 t 分布曲线见图 3-6 ，其中纵坐标仍然表示概率密度 值，横坐标则用统计量t值来表示。显然，在置信度 相同时，t分布曲线的形状随f（f=n-1）而变化，反 映了 t 分布与测定次数有关有实质。由图 3-6 可知， 随着测定次数增多，t分布曲线愈来愈陡峭，测定值 的集中趋势亦更加明显。当 f→∞ 时， t 分布曲线就 与正态分布曲线合为一体，因此可以认为正态分布 就是t的极限。
99.5%
127.32 14.98 7.45 5.60 4.77 4.32 4.03 3.83 3.69 3.58 3.15 (3.01) (2.87) 2.81 2.81
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第三章
误差和分析数据和得理
11-10
由表 3-2中的数据可知，随着自由度的增加， t 值逐渐减小并与u值接近。当f=20时，t与u已经比较 接近。当f→∞时，t→u，S→σ。在引用t值时，一般 取0.95置信度。 根据样本的单次测定值x或平均值分别表示μ的 置信区间时，根据t分布则可以得出以下的关系：
m x tP, f s
或
3-18a
s n 3-19
10
m x t P , f sx x t P , f
第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-11
式（ 3-18a ）和式（ 3-19 ）的意义在于，真值 虽然不为所知（ σ 也未知），但可以期望由有限的 测定值计算出一个范围，它将以一定的置信度将真 值包含在内。该范围越小，测定的准确度越高。例 题 2 ：式（ 3-19 ）是计算置信区间通常使用的关系 式。由该式可知，当 P 一定时，置信区间的大小与 tP,f、S、n均有关，而且tP,f与S实际也都受n的影响， 即n值越大，置信区间越小。例3：
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误差和分析数据和得理
11-1
一、置信度与m的置信区间
3-4 有限测定数据的统计处理
日常分析中测定次数是很有限的，总体平均值 自然不为人所知。但是随机误差的分布规律表明， 测定值总是在以 m 为中心的一定范围内波动，并有 着向 μ 集中的趋势。因此，如何根据有限的测定结 果来估计 μ 可能存在的范围（称之为置信区间）是 有实际意义的。该范围愈小，说明测定值与 m 愈接 近，即测定的准确度愈高。但由于测定次数毕竟较 少，由此计算出的置信区间也不可能以百分之百的 把握将m包含在内，只能以一定的概率进行判断。
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第三章
误差和分析数据和得理
11-5
注意： m是确定且客观存在的，它没有随机性 。而区间x±uσ或 x u x是具有随机性的，即它们 均与一定的置信度相联系。因此我们只能说置信区间 包含真值的概率是0.95，而不能认为真值落在上述区 间的概率是0.95。 （二）已知样本标准偏差s时 在实际工作中，通过有限次的测定是无法得知m 和σ的，只能求出 x 和s。而且当测定次数较少时，测 定值或随机误差也不呈正态分布，这就给少量测定数 据的统计处理带来了困难。此时若用s代替s从而对m 作出估计必然会引起偏离，而且测定次数越少，偏离 就越大。如果采用另一新统计量tP,f取代u(仅与P有关)， 上述偏离即可得到修正。 5
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11-7
f=∞
f=5 f=1
图3-6 t分布曲线
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误差和分析数据和得理
11-8
与正态分布曲线一样，t分布 曲线下面某区间的面积也表示随机 误差在此区间的概率。但t值与标 准正态分布中的u值不同，它不仅 与概率还与测定次数有关。不同置 信度和自由度所对应的t值见表3-2 中。
m x u
(3-14b)
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第三章
误差和分析数据和得理
11-3
由于平均值较单次测定值的精密度更高，因此 常用样本平均值来估计真值所在的范围。此时有
m x u x x u
n
(3-17)
式（3-14b）和式（3-17）分别表示在一定 的置信度时，以单次测定值x或以平均值为中心的 包含真值的取值范围，即m的置信区间。在置信区 间内包含m的概率称为置信度，它表明了人们对所 作的判断有把握的程度，用P表示。u值可由表3-1 中查到，它与一定的置信度相对应。
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11-9
t值 P f(n-1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 60 120 ∞
表3-2 tP，f值表（双边） 90% 95% 99%
6.31 2.92 2.35 2.13 2.02 1.94 1.90 1.86 1.83 1.81 1.72 1.70 1.67 1.66 1.64 12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.23 2.09 2.04 2.00 1.98 1.96 63.66 9.92 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.35 3.25 3.17 2.84 2.75 2.66 2.62 2.58
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第三章
误差和分析数据和得理
11-2
（一） 已知总体标准偏差σ时 对于经常进行测定的某种试样，由于已经积累 了大量的测定数据 ，可以认为 σ 是已知的。根据 （3-14）式并考虑u的符号可得：
x m u
(3-14a)
由随机误差的区间概率可知，测定值出现的概 率由 u 决定。例如，当 u=±1.96 时。 x 在 μ-1.96σ 至 μ+1.96σ 区间出现的概率为 0.95 。如果希望用单次 测定值x来估计μ可能存在的范围，则可以认为区间 x±1.96σ能以0.95的概率将真值包含在内。即有
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第三章
误差和分析数据和得理
11-4
在对真值进行区间估计时，置信度的高低要定 得恰当。一般以95%或90%的把握即可。 式（3-14b）和式（3-17）还可以看出置信区间 的大小取决于测定的精密度和对置信度的选择，对 于平均值来说还与测定的次数有关。当 σ 一定时， 置信度定得愈大，∣ u∣值愈大，过大的置信区间 将使其失去实用意义。若将置信度固定，当测定的 精密度越高和测定次数越多时，置信区间越小，表 明x或 x 越接近真值，即测定的准确度越高。 例题1：
第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-5
t分布法：t值的定义：
t P, f
xm s
(3-18)
t分布是有限测定数据及其随机误差的分布规律。 t 分布曲线见图 3-6 ，其中纵坐标仍然表示概率密度 值，横坐标则用统计量t值来表示。显然，在置信度 相同时，t分布曲线的形状随f（f=n-1）而变化，反 映了 t 分布与测定次数有关有实质。由图 3-6 可知， 随着测定次数增多，t分布曲线愈来愈陡峭，测定值 的集中趋势亦更加明显。当 f→∞ 时， t 分布曲线就 与正态分布曲线合为一体，因此可以认为正态分布 就是t的极限。
99.5%
127.32 14.98 7.45 5.60 4.77 4.32 4.03 3.83 3.69 3.58 3.15 (3.01) (2.87) 2.81 2.81
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误差和分析数据和得理
11-10
由表 3-2中的数据可知，随着自由度的增加， t 值逐渐减小并与u值接近。当f=20时，t与u已经比较 接近。当f→∞时，t→u，S→σ。在引用t值时，一般 取0.95置信度。 根据样本的单次测定值x或平均值分别表示μ的 置信区间时，根据t分布则可以得出以下的关系：
m x tP, f s
或
3-18a
s n 3-19
10
m x t P , f sx x t P , f
第十一讲
第三章
误差和分析数据和得理
11-11
式（ 3-18a ）和式（ 3-19 ）的意义在于，真值 虽然不为所知（ σ 也未知），但可以期望由有限的 测定值计算出一个范围，它将以一定的置信度将真 值包含在内。该范围越小，测定的准确度越高。例 题 2 ：式（ 3-19 ）是计算置信区间通常使用的关系 式。由该式可知，当 P 一定时，置信区间的大小与 tP,f、S、n均有关，而且tP,f与S实际也都受n的影响， 即n值越大，置信区间越小。例3：