平行四边形中的动点问题含答案

平行四边形中的动点问题

一、新课导入

（一）学习目标

学会运用数形结合思想，能根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题．

（二）预习导入

1．在四边形ABCD中，AB∥CD，请添加一个条件：_____________，使得四边形ABCD 是平行四边形．

2．如图，边长为4的正方形ABCD中，动点Q以每秒4个单位的速度从点A出发沿正方形的边AD-DC-CB方向做折线运动，设点Q的运动时间为t秒．当点Q在DC上运动时，DQ=________，QC=________（用含t的代数式表示）．

二、典型问题

知识点：平行四边形中的动点问题

例如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，∠COA=60°，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（10，43）．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC 运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）当运动2秒时，求△APQ的面积；

（2）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？

分析：（1）作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．求出PA，QE即可解决问题；

（2）如当点Q在射线BC上，且CQ=PA时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，由此构建方程即可解决问题．

三、阶梯训练

A组：基础练习

1．在矩形ABCD中，AB=6cm，∠ACB=30°，动点P从A出发沿AC向点C以2cm/s的速度运动，运动经过_______秒时，BP的长度最小，最小值为_________．

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为_________．

3．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD边上的一个动点，AC=AD=6，则OE的最小值为__________．

4．如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=12，点E，F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止．运动时间为_______秒时，四边形AECF为矩形．

5．在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC ∥x 轴，若A 点的坐标为（-1，22），C 点坐标为（3，-22）．若动点P 沿矩形ABCD 的边从A →D →C 的路径运动，运动速度为每秒2个单位，运动时间为t 秒．（1）当t=1时，S △BCP =________，当t=4时，求S △BCP =________；

（2）当△BCP 的面积是矩形ABCD 面积的1

4时，求点P 的坐标．

6．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB=3，BC=5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连接PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．

（1）BQ=__________（用含t 的代数式表示）；

（2）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，求t 的值．

B组：拓展练习

7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，P为对角线AC上一动点，则△PBE的周长的最小值为_________．

8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E，F分别是AB，AC的中点．

（1）求证：四边形AEDF是菱形；

（2）若H从F点出发，沿线段FE以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，设运动时间为t s．

①当t=______时，四边形BPHE是平行四边形；

②是否存在t的值，使四边形PCFH是菱形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

平行四边形中的动点问题答案

一、新课导入

预习导入

1．AB=CD（答案不唯一）．

2．4t-4，8-4t．

例（1）作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．

∵A（6，0），B（10，43），

∴OA=6，OF=10，BF=43．

∴AF=10-6=4，AB= 2+ 2=8．

当t=2时，OP=2，PA=4，AQ=4．

∵四边形OABC是平行四边形，

∴∠BAF=∠COA=60°．∴∠AQE=30°．

∴AE=12AQ=2．∴EQ=23．

=12PA•QE=43．

∴S

△PAQ

（2）当点Q在射线BC上，且CQ=PA时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．∴|14-2t|=|t-6|．

解得t=203或8．

∴t为203或8时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．

1．32，33cm．

2．2或3．5．

3

4．2或10．

5．（1）82，8；

（2）当点P是CD的中点时，△BCP的面积是矩形ABCD面积的14，则P点坐标为（3，0）．6．（1）5-t；

（2）如图，过点O作EF⊥AD交AD，BC于点E，F．

Rt△ABC中，∵AB=3，BC=5，∴AC=4．∴AO=CO=2．

∵S△ABC＝12AB·AC＝12BC·EF，

∴3×4=5×EF，∴EF＝125．∴OE＝65．

∵OE是AP的垂直平分线，∴AE=12AP=t，∠AEO=90°，

由勾股定理得AE2+OE2=AO2，∴（12t）2+（65）2＝22．∴t=165．∴当t=165时，点O在线段AP的垂直平分线上．

7．3+1．

8．（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．

∵E，F分别为AB，AC的中点，∴DE和DF是△ABC的中位线．∴DE∥AC，DF∥AB．∴四边形AEDF是平行四边形．

∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，

∴AE=AF．∴四边形AEDF是菱形．

（2）①1；

②不存在t的值，使四边形PCFH是菱形．理由如下：

∵EF∥BC，∴FH∥PC．若四边形PCFH为菱形，则FH=PC=CF．当FH=PC时，2t=10-3t．解得t=2．

∴FH=PC=4．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12BC=5．

∴AC=AD2+CD2=89．∵F是AC的中点，

∴CF=12AC=FH=PC≠CF．

∴四边形PCFH是平行四边形，不是菱形．

∴不存在t的值，使四边形PCFH是菱形．